八年级数学上册试题 1.3《勾股定理的应用》同步练习3-北师大版(含答案)

文档属性

名称 八年级数学上册试题 1.3《勾股定理的应用》同步练习3-北师大版(含答案)
格式 docx
文件大小 288.6KB
资源类型 教案
版本资源 北师大版
科目 数学
更新时间 2023-06-30 11:15:38

图片预览

文档简介

1.3《勾股定理的应用》同步练习3
一、解答题
1.如图,有一个直角三角形纸片,两直角边cm, cm,现将直角边沿直线AD折叠,使它落在斜边AB上,且与AE重合,你能求出CD的长吗?
2.已知:如图,△ABC中,AB=AC=10,BC=16,点D在BC上,DA⊥CA于A.
求:BD的长.
3.如图,在边长为4的正方形ABCD中,E是CD的中点,F是BC上的一点,且∠AEF=90°,延长AE交BC的延长线于点G,
(1)求GE的长;
(2)求证:AE平分∠DAF;
(3)求CF的长.
4.如图,在边长为6的正方形ABCD中,E是边CD的中点,将△ADE沿AE对折至△AFE,延长交BC于点G,连接AG.
(1)求证:△ABG≌△AFG;
(2)求BG的长.
5.如图,△ABC中,∠ACB=90°,AB=5cm,BC=4cm,若点P从点A出发,以每秒2cm的速度沿折线A﹣B﹣C﹣A运动,设运动时间为t秒(t>0).
(1)若点P在BC上,且满足PA=PB,求此时t的值;
(2)若点P恰好在∠ABC的角平分线上,求此时t的值;
(3)在运动过程中,当t为何值时,△ACP为等腰三角形.
6.小明把一根长为160 cm的细铁丝剪成三段,将其做成一个等腰三角形风筝的边框ABC,已知风筝的高AD=40 cm,你知道小明是怎样弯折铁丝的吗?
7.如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,AB=5 cm,AC=3 cm,动点P从点B出发沿射线BC以1 cm/s的速度移动,设运动的时间为t s.
(1)求BC边的长;
(2)当△ABP为直角三角形时,求t的值.
8.已知,如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=18cm.动点P从点A出发,沿AB向点B运动,动点Q从点B出发,沿BC向点C运动,如果动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速度同时出发,设运动时间为t(s),解答下列问题:
(1)t为______时,△PBQ是等边三角形?
(2)P,Q在运动过程中,△PBQ的形状不断发生变化,当t为何值时,△PBQ是直角三角形?说明理由.
9.课间,小明拿着老师的等腰三角板玩,不小心掉到两墙之间,如图.
(1)求证:△ADC≌△CEB;
(2)从三角板的刻度可知AC=25cm,请你帮小明求出砌墙砖块的厚度a的大小(每块砖的厚度相等).
10.如图,某地方政府决定在相距50km的A、B两站之间的公路旁E点,修建一个土特产加工基地,且使C、D两村到E点的距离相等,已知DA⊥AB于A,CB⊥AB于B,DA=30km,CB=20km,那么基地E应建在离A站多少千米的地方?
11.在一条东西走向河的一侧有一村庄C,河边原有两个取水点A,B,其中AB=AC,由于种种原因,由C到A的路现在已经不通了,某村为方便村民取水决定在河边新建一个取水点H(A,H,B在一条直线上),并新修一条路CH,测得CB=3千米,CH=2.4千米,HB=1.8千米.
(1)问CH是不是从村庄C到河边的最近路,请通过计算加以说明;
(2)求原来的路线AC的长.
12.如图,在四边形BCDE中,∠C=∠BED=90°,∠B=60°,延长CD、BE,两线相交于点A,已知CD=2,DE=1,求Rt△ABC的面积.
13.为了丰富少年儿童的业余生活,某社区要在如图中的AB所在的直线上建一图书室,本社区有两所学校所在的位置在点C和点D处,CA⊥AB于A,DB⊥AB于B,已知AB=2.5km,CA=1.5km,DB=1.0km,试问:图书室E应该建在距点A多少km处,才能使它到两所学校的距离相等?
14.如图,△ABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12.
(1)证明:△BCD是直角三角形.
(2)求△ABC的面积.
15.已知:如图,一块Rt△ABC的绿地,量得两直角边AC=8cm,BC=6cm.现在要将这块绿地扩充成等腰△ABD,且扩充部分(△ADC)是以8cm为直角边长的直角三角形,求扩充等腰△ABD的周长.
(1)在图1中,当AB=AD=10cm时,△ABD的周长为 .
(2)在图2中,当BA=BD=10cm时,△ABD的周长为 .
(3)在图3中,当DA=DB时,求△ABD的周长.
答案
一、解答题
1.
解:在Rt三角形中,由勾股定理可知:
由折叠的性质可知:DC=DE,AC=AE,∠DEA=∠C.
∴BE=AB-AE=10-6=4,∠DEB=90°.
设DC=x,则BD=8-x.
在Rt△BDE中,由勾股定理得:BE2+ED2=BD2,即42+x2=(8-x)2.
解得:x=3.
∴CD=3.
2.
解:如图,过点A作AE⊥BC于点E,
∵AB=AC=10,BC=16,∴BE=CE=8,
在Rt△ACE中,利用勾股定理可知:AE===6,
设BD=x,则DE=8﹣x,DC=16﹣x,
又DA⊥CA,
在Rt△ADE和Rt△ADC中分别利用勾股定理得:AD2=AE2+DE2=DC2﹣AC2,
代入为:62+(8﹣x)2=(16﹣x)2﹣102,解得:x=.
即BD=.
3.(1)解:在正方形ABCD中,∠D=90°,AD∥BC
∴∠D=∠DCG=90°,∠DAE=∠G
∵E是CD的中点
∴DE=CE
∴△ADE≌△GCE
∴AD=CG
∵AD=DC=4
∴CG=4,CE=2
在Rt△GCE中,GE=
(2)证明:由(1)得:△ADE≌△GCE
∴AE=GE
∵∠AEF=90°
∴EF垂直平分AG
∴AF=GF
∴∠FAE=∠G
∵∠DAE=∠G
∴∠FAE=∠DAE
∴AE平分∠DAF
(3)解:在正方形ABCD中
∠B=∠BCD=∠D=90°,AB=BC=CD=DA=4
∴DE=CE=2
设CF=x,则BF=4-x
根据勾股定理得:
AF2=AB2+ BF2=42+(4-x)2=32-8x+x2
EF2=CF2+ CE2=x2+22= x2+4
AE2=AD2+ DE2=42+22=20
在Rt△AEF中,AF2= EF2+ AE2
∴32-8x+ x2= x2+4+20
解得:x=1
∴CF=1
4.(1)、∵四边形ABCD是正方形,∴∠B=∠D=90°,AD=AB,由折叠的性质可知
AD=AF,∠AFE=∠D=90°, ∴∠AFG=90°,AB=AF, ∴∠AFG=∠B, 又AG=AG, ∴△ABG≌△AFG;
(2)、∵△ABG≌△AFG, ∴BG=FG, 设BG=FG=,则GC=,
∵E为CD的中点,
∴CE=EF=DE=3, ∴EG=, ∴, 解得, ∴BG=2.
5.(1)根据题意得AB+BP=2t,所以BP=2t-AB=2t-5,
则AP=2t-5,PC=BC-PB=4-(2t-5)=9-2t.
Rt△APC中,由勾股定理得:AC2+PC2=AP2,即32+(9-2t)2=(2t-5)2,解得t=.
(2)过点P作PD⊥AB于点D.
因为BP平分∠ABC,∠C=90°,所以PD=PC,BD=BC.
根据题意得,AB+BC+CP=2t,所以CP=2t-9,
则DP=2t-9,AP=3-(2t-9)=12-2t.
Rt△APD中,AD=AB-BD=5-4=1,由勾股定理得:
PD2+AD2=AP2,即12+(2t-9)2=(12-2t)2,解得t=.
(3) 如图1,当AP=AC时,AP=3,2t=3,t=.
如图2,当CA=CP,点P在AB上时,过点C作CD⊥AB于点D,则AD=PD.
因为CD×AB=AC×BC,所以5CD=3×4,CD=.
Rt△ACD中,由勾股定理得AD=.
因为AP=2AD,所以t=2AD÷2=AD=.
如图3,当CA=CP,点P在BC上时,CP=CA=3.
则BP=BC-BP=4-3=1,AB+BP=5+1=6.
所以t=6÷2=3.
如图4,当PA=PC时,过点P作PD∥BC交AC于点D,则PD垂直平分AC,所以AP=BP=,t=÷2=.
综上所述,当t=,,3,时,△ACP为等腰三角形.
6.解:设AB=AC=x(cm),则BC=(160﹣2x)cm,
∴BD=BC=(80﹣x)cm,
在Rt△ABD中,AB2=AD2+BD2,
即x2=402+(80﹣x)2,
解得x=50,
则AB=AC=50 cm,BC=60 cm.
7.解:解:(1)在Rt△ABC中,由勾股定理,得BC2=AB2-AC2=52-32=16.
∴BC=4 cm.
(2)由题意,知BP=t cm,
①当∠APB为直角时,如图1,点P与点C重合,BP=BC=4 cm,
∴t=4;
②当∠BAP为直角时,如图2,BP=t cm,CP=(t-4)cm,AC=3 cm,
在Rt△ACP中,AP2=AC2+CP2=32+(t-4)2.
在Rt△BAP中,AB2+AP2=BP2,
即52+[32+(t-4)2]=t2.
解得t=.
∴当△ABP为直角三角形时,t=4或t=.
8.解:(1)要使,△PBQ是等边三角形,即可得:PB=BQ,
∵在Rt△ABC中,∠C=90°,∠A=30°,BC=18cm.
∴AB=36cm,
可得:PB=36-2t,BQ=t,
即36-2t=t,
解得:t=12
故答案为;12
(2)当t为9或时,△PBQ是直角三角形,
理由如下:
∵∠C=90°,∠A=30°,BC=18cm
∴AB=2BC=18×2=36(cm)
∵动点P以2cm/s,Q以1cm/s的速度出发
∴BP=AB-AP=36-2t,BQ=t
∵△PBQ是直角三角形
∴BP=2BQ或BQ=2BP
当BP=2BQ时,
36-2t=2t
解得t=9
当BQ=2BP时,
t=2(36-2t)
解得t=
所以,当t为9或时,△PBQ是直角三角形.
9.解:(1)根据题意得:AC=BC,∠ACB=90°,AD⊥DE,BE⊥DE,
∴∠ADC=∠CEB=90°,
∴∠ACD+∠BCE=90°,∠ACD+∠DAC=90°,
∴∠BCE=∠DAC,
在△ADC和△CEB中,

∴△ADC≌△CEB(AAS);
(2)由题意得:AD=4a,BE=3a,
由(1)得:△ADC≌△CEB,
∴DC=BE=3a,
在Rt△ACD中:AD2+CD2=AC2,
∴(4a)2+(3a)2=252,
∵a>0,
解得a=5,
答:砌墙砖块的厚度a为5cm.
10.解:设基地E应建在离A站x千米的地方.
则BE=(50﹣x)千米
在Rt△ADE中,根据勾股定理得:AD2+AE2=DE2
∴302+x2=DE2
在Rt△CBE中,根据勾股定理得:CB2+BE2=CE2
∴202+(50﹣x)2=CE2
又∵C、D两村到E点的距离相等.
∴DE=CE
∴DE2=CE2
∴302+x2=202+(50﹣x)2
解得x=20
∴基地E应建在离A站20千米的地方.
11.解:(1)∵,即,
∴Rt△CHB是直角三角形,即CH⊥BH,
∴CH是从村庄C到河边的最近路(点到直线的距离中,垂线段最短);
(2)设AC=AB=x,则AH=x-1.8,
∵在Rt△ACH,
∴,即 ,解得x=2.5,
∴原来的路线AC的长为2.5米.
12.解:∵∠C=90°,∠B=60°,
∴∠A=30°,
∴AD=2DE=2,
∴AC=AD+CD=4,
设BC=x,则AB=2x,
由勾股定理得,(2x)2-x2=16,
解得,x=,即BC=,
则Rt△ABC的面积=×BC×AC=.
13.由题意可得:设AE=xkm,则EB=(2.5﹣x)km.∵AC2+AE2=EC2,BE2+DB2=ED2,EC=DE,∴AC2+AE2=BE2+DB2,∴1.52+x2=(2.5﹣x)2+12,解得:x=1.
答:图书室E应该建在距点A1km处,才能使它到两所学校的距离相等.
14.解:(1)证明:∵ CD=9,BD=12,
∴ CD2+BD2=92+122=225,
∵ BC=15,∴ BC2=225,
∴ CD2+BD2=BC2,
∴ △BCD是直角三角形,且∠BDC=90°;
(2)设AD=x,则AC=x+9,
∵ AB=AC,∴ AB=x+9,
∵ ∠BDC=90°,∴ ∠ADB=90°,
∴ AB2=AD2+BD2,
∴ ,
解得:x=,
∴AC=+9=,
∴S△ABC=AC×BD=××12=75,
∴ △ABC的面积为75.
15.解::(1)如图1,∵AB=AD=10m,AC⊥BD,AC=8m,

则△ABD的周长为:10+10+6+6=32(m).
故答案为32m;
(2)如图2,当BA=BD=10m时,
则DC=BD-BC=10-6=4(m),

则△ABD的周长为:AD+AB+BD=10+4+10=(20+4)m;
故答案为(20+4)m;
(3)如图3,∵DA=DB,
∴设DC=xm,则AD=(6+x)m,
∴DC2+AC2=AD2,
即x2+82=(6+x)2,
解得;x=
∵AC=8m,BC=6m,
∴AB=10m,
故△ABD的周长为:AD+BD+AB=2