北师大版八年级数学上册试题 7.2定义与命题同步练习（含答案）

7.2定义与命题同步练习2
一、选择题
1. 下面关于公理和定理的联系，说法不正确的是（ ）
A. 公理和定理都是真命题
B. 公理就是定理，定理也是公理
C. 公理和定理都可以作为推理论证的依据
D. 公理的正确性不需证明，定理的正确性需证明
2. 在证明过程中可以作为推理根据的是（ ）
A. 命题、定义、公理 B. 定理、定义、公理
C. 命题 D. 真命题
3. 下列说法不正确的是（ ）
A. 若∠1＝∠2，则∠1，∠2是对顶角
B. 若∠1，∠2都是直角，则∠1＝∠2
C. 若∠1＝∠2，则∠1＋∠3＝∠2＋∠3
D. 若∠1＋∠3＝90°，∠2＋∠3＝90°，则∠1＝∠2
4．下列说法错误的是（ ）
A．所有的命题都是定理 B．定理是真命题．
C．公理是真命题 D．“画线段AB＝CD”不是命题．
5．“在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线”这个句子是（ ）
A．定义 B．命题 C．公理 D．定理
6．定理“三角形的任意两边之和大于第三边”的依据是（ ）
A．两点之间线段最短 B．边边边公理
C．同位角相等，两直线平行 D．垂线段最短
7．命题“对顶角相等”是（ ）
A．角的定义 B．假命题 C．公理 D．定理
8．下列说法正确的是（　　）
A．所有命题都是定理
B．三角形的一个外角大于它的任一内角
C．三角形的外角和等于180°
D．公理和定理都是真命题
9.下列命题能够称为公理的是（ ）
A．同角的补角相等 B．两点确定一条直线
C．邻角的平分线互相垂直 D．内错角相等，两直线平行
10．下列命题：①能被3整除的数也能被6整除；②等式两边除以同一个数，结果仍是等式；③是一元一次方程的根；④对顶角相等.其中可以作为定理的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
11．下列说法正确的是（ ）
A．两条平行线之间的距离等于其中一条直线上任意一点到另一条直线的距离；
B．经过一点一定有一条直线与已知直线平行；
C．如果两条直线被第三条直线所截，那么截得的同旁内角互补；
D．垂直于同一条直线的两条直线平行．
12．下列说法中，不正确的是（ ）
A．命题是判断一件事情的句子
B．证实命题正确与否的推理过程叫做证明
C．公理的正确与否必须用推理的方法来证实
D．要证明一个命题是假命题，只要举出一个反例即可
二、填空题
1．下列说法中，错误的有_____________________
①公理的正确性是用定理证实的；
②证明一个命题是假命题，只要举一反例，即举出一个具备条件，而不具备结论的命题即可；
③要说明一个命题是真命题，只要举出例子，说它的正确性即可；
④假命题不是命题.
2．（1）如图所示，点是公路旁的居民点，从点向公路修一条连接公路的小路，，这样修所依据的数学公理是______．
（2）如图所示，点，，，在同一条直线上，当________，________，_______时，，所依据的数学公理是_______．
3．如图 ，已知直线AB∥CD，直线AB与EF相交于点P，那么直线EF也与直线CD相交，请在下面的推理过程中填空．
∵AB∥CD，AB.EF交于点P；
∴点P必在直线CD外．
假设直线EF和CD不相交，那么过点P就有两条直线.
AB和EF都与CD平行，这与____________公理矛盾．
∴直线EF也与直线CD相交．
4．过直线外一点，_________一条直线和这条直线平行，这叫________公理．
5．我国古代数学家赵爽创制了一幅“赵爽弦图”，极富创新意识地给出了勾股定理的证明.如图所示，“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形，若大正方形的面积是25，小正方形的面积是1，则______．
三、解答题
1．如图，在和中，给出下列三个论断：①；②；③.请将其中两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论构成一个真命题，然后写出证明过程.
2．如图，已知AB=AC，∠A=36°，AB的中垂线MN交AC于点D，交AB于点M，有下面3个结论：①射线BD是∠ABC的角平分线；②△BCD是等腰三角形；③△AMD≌△BCD．
（1）判断其中正确的结论是哪几个？
（2）从你认为是正确的结论中选一个加以证明．
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3．《几何原本》是一部集前人思想和欧几里得个人创造性于一体的不朽之作，把人们公认的一些事实列成定义、公理和公设，用它们来研究各种几何图形的性质，从而建立了一套从定义、公理和公设出发，论证命题得到定理的几何学论证方法．在其第一卷中记载了这样一个命题：“在任意三角形中，大边对大角．”
请补全上述命题的证明．
已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：　 　．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠　 　．（　 　）（填推理的依据）
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（　 　）（填推理的依据）
∴∠ADB＞∠C．
∴∠ABD＞∠C．
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD．
∴∠ABC＞∠C．
4．小刘在学习过程中产生了一个猜想：“如果三角形一边上的中线的长度等于所在边长度的一半，那么这个三角形是直角三角形．”
（1）请你用尺规作图，在图中作出线段的中点，并连接．（保留作图痕迹）
（2）请你结合图形，将小牧猜想的命题写成已知、求证．
已知：_____________．
求证：为直角三角形．
（3）补全上述猜想的证明过程．
证明：∵点是线段的中点，
∴，
又∵，
∴，
在中，∵，
∴，（___________）（填推理的依据），
同理，在中，．
在中
∵．
∴________，
∴在中， ，
∴为直角三角形．
5．课本指出：公认的真命题称为公理，除了公理外，其他的真命题(如推论、定理等)的正确性都需要通过推理的方法证实．
（1）叙述三角形全等的判定方法中的推论AAS；
（2）证明推论AAS．
要求：叙述推论用文字表达；用图形中的符号表达已知、求证，并证明，证明对各步骤要注明依据．
答案
一、选择题
B.B.A.A.A.A.D.D．B.A.A.C
二、填空题
1.①③④
2.（1）垂线段最短；（2） ， ， ， .
3.平行
4.有且只有 平行
5.3．
三、解答题
1.条件：②，③；结论：①.
证明：在和中，，
所以，所以.（答案不唯一）
2.(1) AB的中垂线交AC于点E，
AE=BE,
△ABE是等腰三角形, ③正确.
AD=AD,AE=BE,∠ADE=∠BDE,
△ADE≌△BDE,④正确.
AB=AC，∠A=36°，
∠C=72°.∠EBC=36°，
射线BE是∠ABC的平分线①正确.
∠BEC=72°.
△BCE是等腰三角形，②正确.
①②③④都正确.
(2)证明见（1）详解.
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3.已知：如图，在△ABC中，AC＞AB．
求证：∠ABC＞∠C．
证明：如图，由于AC＞AB，故在AC边上截取AD＝AB，连接BD．（在图中补全图形）．
∵AD＝AB，
∴∠ABD＝∠ADB（等边对等角），
∵∠ADB是△BCD的外角，
∴∠ADB＝∠C+∠DBC．（三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和），
∴∠ADB＞∠C，
∴∠ABD＞∠C，
∵∠ABC＝∠ABD+∠DBC，
∴∠ABC＞∠ABD，
∴∠ABC＞∠C．
4.（1）解：如图，CD即为所求作的线段，
证明：∵点E、F分别到A、B的距离相等，
∴点E、F分别在AB的垂直平分线上，
∴点D为AB中点，
∴CD即为所求作的线段；
（2）已知：在中，是的中线，且．
求证：为直角三角形．
故答案为：在中，是的中线，且；
（3）证明：∵点是线段的中点，
∴，
又∵
∴，
在中，∵
∴，（等边对等角）（填推理的依据）
同理，在中，．
在中
∵．
∴或，
∴在中， ，
∴为直角三角形．
故答案为：等边对等角；或；
．
5.解：（1）三角形全等的判定方法中的推论AAS指的是：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等．
（2）已知：在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F，BC=EF．
求证：△ABC≌△DEF．
证明：如图，在△ABC与△DEF中，∠A=∠D，∠C=∠F（已知），
∴∠A+∠C=∠D+∠F（等量代换）．
又∵∠A+∠B+∠C=180°，∠D+∠E+∠F=180°（三角形内角和定理），
∴∠B=∠E．
∴在△ABC与△DEF中，．
∴△ABC≌△DEF（ASA）．