新湘教版九年级数学第2章__一元二次方程教案（共12课时）

第2章 一元二次方程
第1课时 一元二次方程
教学目标
1、在把实际问题转化为一元二次方程的模型的过程中，形成对一元二次方程的感性认识。
2、理解一元二次方程的定义，能识别一元二次方程。
3、知道一元二次方程的一般形式，能熟练地把一元二次方程整理成一般形式，能写出一般形式的二次项系数、一次项系数和常数项。
重点难点
重点：能建立一元二次方程模型，把一元二次方程整理成一般形式。
难点：把实际问题转化为一元二次方程的模型。
教学过程
（一）创设情境
前面我们曾把实际问题转化成一元一次方程和 ( http: / / www.21cnjy.com )二元一次方程组的模型，大家已经感受到了方程是刻画现实世界数量关系的工具。本节课我们将继续进行建立方程模型的探究。
1、展示课本P26动脑筋（1）
引导学生设挖去的圆的半径为xm，
找等量关系： 矩形的面积—圆的面积=矩形的面积×
列出方程： 200×150-3x2=200×150× ①
2、展示课本P26动脑筋（2）
引导思考：
等量关系：两年后的汽车拥有量=前年的汽车拥有量×（1+年平均增长量）
列出方程：75（1+x）2 =108
化简，整理得 25x2+50x-11=0 ②
3、能把①，②化成右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式的形式吗？让学生展开讨论，并引导学生把①，②化成下列形式：
①化简，整理得 x2 -2500=0 ③
②化简，整理得 25x2+50x-11=0 ④
（二）探究新知
1、观察上述方程③和④，启发学生归纳得出：
如果一个方程通过移项可以使右边为0，而左边是只含有一个未知数的二次多项式，那么这样的方程叫作一元二次方程，它的一般形式是：
ax2+bx+c=0，(a，b，c是已知数且a≠0)，
其中a，b，c分别叫作二次项系数、一次项系数、常数项。
2、让学生指出方程③，④中的二次项系数、一次项系数和常数项。
（三）讲解例题
例1：把方程(x+3)(3x-4)=(x+2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数和常数项。
[解]去括号，得 3x2+5x-12=x2+4x+4，
化简，得 2x2+x-16=0。
二次项系数是2，一次项系数是1，常数项是-16。
点评：一元二次方程的一般形式ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )+bx+c=0(a≠0)具有两个特征：一是方程的右边为0，二是左边二次项系数不能为0。此外要使学生认识到：二次项系数、一次项系数和常数项都是包括符号的。
例2：下列方程，哪些是一元一次方程？哪些是一元二次方程
(1) 2x+3=5x-2； (2) x2=25；
(3) (x-1)(x-2)=x2+6； (4) (x+2)(3x-1)=(x-1)2。
[解]方程(1)，(3)是一元一次方程；方程(2)，(4)是一元二次方程。
点评：通过一元一次方程与一元二次方程的比较，使学生深刻理解一元二次方程的意义。
（四）应用新知
课本P28，练习第1、2题，
（五）课堂小结
1、一元二次方程的显著特征是：只有一个未知数，并且未知数的最高次数是2。
2、一元二次方程的一般形式为：ax2+bx+c=0(a≠0)，一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项都是根据一般形式确定的。
3、在把实际问题转化为一元二次方程模型的过程中，体会学习一元二次方程的必要性和重要性。
（六）思考与拓展
当常数a，b，c满足什么条件时，方 ( http: / / www.21cnjy.com )程(a-1)x2-bx+c=0是一元二次方程？这时方程的二次项系数、一次项系数分别是什么 当常数a，b，c满足什么条件时，方程(a-1)x2-bx+c=0是一元一次方程
当a≠1时是一元二次方程，这时方程的二次项系数是a-1，一次项系数是-b；当a=1，b≠0时是一元一次方程。
布置作业
P28课本习题2.1中A组第1，2，3题。
教学后记：
第2课时 直接开平方法
教学目标
1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
3、引导学生体会“降次”化归的思路。
重点难点
重点：掌握直接开平方法解形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程。
难点：通过直接开平方将一元二次方程降次为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
填空：若x2=a；则x叫a的 ，x= ；若x2=4，则x= ；
若x2=2，则x= 。
答案：平方根，± ，±2，± 。
（二）创设情境
前面我们已经学了一元一次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程和二元一次方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
给出2.1节问题一中的方程：x2 -2500=0 。
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程
（三）探究新知
让学生对上述问题展开讨论，教师再利用“ ( http: / / www.21cnjy.com )复习引入”中的内容引导学生，按课本P30那样，用直接开平方法，将方程x2 -2500=0 “降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫直接开平方法。
（四）讲解例题
展示课本P30例1 4x2 -25=0 ，
P31例2 （2x+1）2 =2 。
按课本方式引导学生用直接开平方法解一元二次方程。
引导同学们小结：对于形如(ax+b)2-k=0(k≥0)的方程，可用直接开平方法解。
直接开平方法的步骤是：把方 ( http: / / www.21cnjy.com )程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
注意：直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k≥0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k≥0，当k<0时，方程无实数解。
（五）应用新知
课本P31，做一做 4（1+x）2 －25=0
练习 1、2
（六）课堂小结
1、解一元二次方程的基本思路是什么
2、直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？
（七）思考与拓展
不解方程，你能说出下列方程根的情况吗？
(1) -4x2+1=0； ( http: / / www.21cnjy.com ) (2) x2+3=0； (3) (5-3x)2=0； (4) (2x+1)2+5=0。
答案：(1)有两个不相等的实数根；(2)和(4)没有实数根；(3)有两个相等的实数根
通过解答这个问题，使学生明确一元二次方程的解有三种情况。
布置作业
课本P41 习题2.1中A组第1题．
教学后记：
第3课时 配方法(一)
教学目标
1、理解“配方”是一种常用的数学方法，在用配方法将一元二次方程变形的过程中，让学生进一步体会化归的思想方法。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
重点难点
重点：会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
难点：用配方法将一元二次方程变形成可用因式分解法或直接开平方法解的方程。
教学过程
（一）复习引入
1、a2±2ab+b2=
2、解方程(x+2)2-16=0。
如何解方程x2+4x=12呢
（二）创设情境
如何解方程x2+4x-12=0呢？
（三）探究新知
1、利用“复习引入”中的内容引导学生思考，得 ( http: / / www.21cnjy.com )知：反过来把方程x2+4x-12=0化成(x+3)2-16=0的形式，就可用前面所学的因式分解法或直接开平方法解。
2、怎样把方程x2 ( http: / / www.21cnjy.com )+4x-12=0化成(x+2)2-16=0的形式呢？让学生完成课本P32的“做一做”和“探究”并引导学生归纳：当二次项系数为“1”时，只要在二次项和一次项之后加上一次项系数一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里，这种做法叫作配方．将方程一边化为0，另一边配方后就可以用直接开平方法解了，这样解一元二次方程的方法叫作配方法。
（四）讲解例题
将下列多项式配方
(1) x2+2x-3 (观察二次项系数是否为“l”)
=x2+2x+12-12-3 (在一次项和二次项之后加上一次项系数一半的平方， 再减去这个数，使它与原式相等)
=(x+1)2-4。 (使含未知数的项在一个完全平方式里)
用同样的方法讲解(2)，让学生熟悉上述过程，进一步明确“配方”的意义。
引导学生完成将下列多项式配方
(1) x2+10x+9 ; (2) x2-12x-13
例题3 P33用配方法解下列方程。
(1) x2+10x+9=0 ; (2) x2-12x-13=0
（五）应用新知
P33 练习 1、2
学生相互交流解题经验。
（六）课堂小结
1、怎样将二次项系数为“1”的一元二次方程配方？
2、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么？
（七）思考与拓展
解方程：(1) x2-6x+10=0； (2) x2+x+ =0； (3) x2-x-1=0。
说一说一元二次方程解的情况。
[解] (1) 将方程的左边配方，得(x-3)2+1=0，移项，得(x-3)2=-1，所以原方程无解。
(2) 用配方法可解得x1=x2=- 。
(3) 用配方法可解得x1= ，x2=
一元二次方程解的情况有三种：
无实数解，如方程(1)；
有两个相等的实数解，如方程(2)；
有两个不相等的实数解，如方程(3)。
课后作业
课本P41 习题2.2中A组第2题
教学后记：
第4课时 配方法(二)
教学目标
1、理解用配方法解一元二次方程的基本步骤。
2、会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程。
3、进一步体会化归的思想方法。
重点难点
重点：会用配方法解一元二次方程．
难点：使一元二次方程中含未知数的项在一个完全平方式里。
教学过程
（一）复习引入
1、用配方法解方程x2+x-1=0，学生练习后再完成课本P34的“动脑筋”．
2、用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的基本步骤是什么
（二）创设情境
现在我们已经会用配方法解二次项系数为1的一元二次方程，而对于二次项系数不为1的一元二次方程能不能用配方法解
怎样解这类方程：4x2-12x-1=0
（三）探究新知
让学生议一议解方 ( http: / / www.21cnjy.com )程4x2-12x-1=0的方法，然后总结得出：对于二次项系数不为1的一元二次方程，可将方程两边同除以二次项的系数，把二次项系数化为1，然后按上一节课所学的方法来解。让学生进一步体会化归的思想。
（四）讲解例题
1、展示课本P34例4，按课本方式讲解。
用配方法解方程 4x2-12x-1=0
2、引导学生完成课本P35“议一议”。
3、归纳用配方法解一元二次方程 ( http: / / www.21cnjy.com )的基本步骤：首先将方程化为二次项系数是1的一般形式；其次加上一次项系数的一半的平方，再减去这个数，使得含未知数的项在一个完全平方式里；最后将配方后的一元二次方程用因式分解法或直接开平方法来解。
（五）应用新知
课本P35练习 。
（六）课堂小结
1、用配方法解一元二次方程的基本步骤是什么
2、配方法是一种重要的数学方法，它的重要性不仅仅表现在一元二次方程的解法中，在今后学习二次函数，高中学习二次曲线时都要经常用到。
3、配方法是解一元二次方程的通法，但是由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少。
（七）思考与拓展
不解方程，只通过配方判定下列方程解的情况。
(1) 4x2+4x+1=0； (2) x2-2x-5=0；(3) –x2+2x-5=0；
[解] 把各方程分别配方得
(1) (x+ )2=0；
(2) (x-1)2=6；
(3) (x-1)2=-4
由此可得方程(1)有两个相等的实数根，方程(2)有两个不相等的实数根，方程(3)没有实数根。
点评：通过解答这三个问题，使学生能灵活运用“配方法”，并强化学生对一元二次方程解的三种情况的认识。
布置作业
课本P41习题2.2中A组第3题。
教学后记：
第5课时 公式法（一）
教学目标
1、理解求根公式法与配方法的联系。
2、会用求根公式法解一元二次方程。
3、注意培养学生良好的运算习惯。
重点难点
重点：会运用求根公式法解一元二次方程。
难点：由配方法导出一元二次方程的求根公式。
教学过程
（一）创设情境
由用配方法解一元二次方程的基本 ( http: / / www.21cnjy.com )步骤知：对于每个具体的一元二次方程，都使用了相同的一些计算步骤，这启发我们思考，能不能对一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）使用这些步骤，然后求出解x的公式？
这样做了以后，我们可以运用这个公式来求每一个具体的一元二次方程的解，取得一通百通的效果．
（二）探究新知
按课本P35-36的方式引 ( http: / / www.21cnjy.com )导学生，用配方法导出一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，当b2-40c≥0时的求根公式为：x= (b2-4ac≥0)。并让学生知道，运用一元二次方程的求根公式直接求每一个一元二次方程的解，这种解一元二次方程的方法叫公式法。
（三）讲解例题
1、展示课本P36例5(1)，( ( http: / / www.21cnjy.com )2)，按课本方式引导学生用公式法解一元二次方程，并提醒学生在确定a，b，c的值时，先要将一元二次方程式化为一般形式，注意a，b，c的符号。
用公式法解方程 (1) x2-x-2=0 (2) x2-2x=1
2、引导学生完成P37例6，用公式法解方程9x2+12x+4=0
3、引导学生归纳用公式法解一元二次方 ( http: / / www.21cnjy.com )程的基本步骤：首先要把原方程化为一般形式，从而正确地确定a，b，c的值；其次要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，再用求根公式求解。
（四）应用新知
课本P37练习，第(1)~(4)题。
（五）课堂小结
1、熟记一元二次方程的求根公式，并注意公式成立的条件：a≠0，b2-4ac≥0。
2、熟悉用公式法解一元二次方程的基本步骤。
3、公式法是解一元二次方程的通法，有普遍的适用性，即可以解任何一元二次方程。
布置作业
课本P42习题2.2中A组第4题。
教学后记：
第6课时 因式分解法（一）
教学目标
1、知道解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
2、学会用因式分解法解方程。
3、引导学生体会“降次”化归的思路。
重点难点
重点：掌握用因式分解法解方程。
难点：通过分解因式将一元二次方程降次为一元一次方程。
教学过程
（一）复习引入
判断下列说法是否正确
(1) 若p=1，q=1，则pq=l( )， 若pq=l，则p=1，q=1( )；
(2) 若p=0，g=0，则pq=0( )， 若pq=0，则p=0或q=0( )；
(3) 若x+3=0或x-6=0，则(x+3)(x-6)=0( )，
若(x+3)(x-6)=0，则x+3=0或x-6=0( )；
(4) 若x+3= 或x-6=2，则(x+3)(x-6)=1( )，
若(x+3)(x-6)=1，则x+3= 或x-6=2( )。
答案：(1) √，×。 (2) √，√。 (3)√，√。 (4)√，×。
（二）创设情境
前面我们已经学了一元一次方程和二元一次 ( http: / / www.21cnjy.com )方程组的解法，解二元一次方程组的基本思路是什么？(消元、化二元一次方程组为一元一次方程)。由解二元一次方程组的基本思路，你能想出解一元二次方程的基本思路吗？
引导学生思考得出结论：解一元二次方程的基本思路是“降次”化一元二次方程为一元一次方程。
给出2.1节问题一中的方程：x2 -2500=0
问：怎样将这个方程“降次”为一元一次方程
（三）探究新知
让学生对上述问题展开讨论，教师 ( http: / / www.21cnjy.com )再利用“复习引入”中的内容引导学生，按用因式分解法，将方程x2 -2500=0 “降次”为两个一元一次方程来解。让学生知道什么叫因式分解法。
（四）讲解例题
展示课本P37 “动脑筋” 解方程 x2 -3x=0
可用公式法求解
方程左边提取公因式x，得 x(x-3)=0
由此得 x=0 或 x-3=0
即 x1=0 ， x2=3
比较两种方法，哪种更简单？
例7:用因式分解法解下列方程;
(1) x(x-5)=3x ( http: / / www.21cnjy.com ) (2) 2x(5x-1)=3(5x-1) (3) (35-2x)2-900=0
例8: 用因式分解法解下列方程
x2 -10x+24=0
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
引导同学们小结：
形如 ax2+bx=0 形式可用因式分解法；
② 形如 ax2-c =0 (c＞0)形式，既可用因式分解法解，又可用直接开平方法解。
③ 形如(ax+b)2- k=0(k≥0)的方程，既可用因式分解法，又可用直接开平方法解。
因式分解法的基本步骤是：把方程化成 ( http: / / www.21cnjy.com )一边为0，另一边是两个一次因式的乘积(本节课主要是用平方差公式分解因式)的形式，然后使每一个一次因式等于0，分别解两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
直接开平方法的步骤是 ( http: / / www.21cnjy.com )：把方程变形成(ax+b)2=k(k≥0)，然后直接开平方得ax+b= 和ax+b=- ，分别解这两个一元一次方程，得到的解就是原一元二次方程的解。
注意：(1) 因式分解法适用于一边是0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程；
(2) 直接开平方法适用于形如(ax+b)2=k(k≥0)的方程，由于负数没有平方根，所以规定k≥0，当k<0时，方程无实数解。
（五）应用新知
课本P39，练习 1、2 。
（六）课堂小结
1、解一元二次方程的基本思路是什么
2、通过“降次”，把—元二次方程化为两个一元一次方程的方法有哪些？基本步骤是什么？
3、因式分解法和直接开平方法适用于解什么形式的一元二次方程？
（七）思考与拓展
用因式分解法解下列一元二次方程。议一议：对于含括号的守霜露次方程，应怎样适当变形，再用因式分解法解。
(1) 2(3x-2)=(2-3x)(x+1)； (2) (x-1)(x+3)=12。
[解] (1) 原方程可变形为 2(3x-2)+(3x-2)(x+1)=0，
(3x-2)(x+3)=0，
3x-2=0，或x+3=0，
所以xl= ，x2=-3
(2) 去括号、整理得 x2+2x-3=12，x2+2x-15=0，
(x+5)(x-3)=0，
x+5=0或x-3=0，
所以x1=-5，x2=3
先让学生动手解方程，然后交流自己的解题 ( http: / / www.21cnjy.com )经验，教师引导学生归纳：对于含括号的一元二次方程，若能把括号看成一个整体变形，把方程化成一边为0，另一边为两个一次式的积，就不用去括号，如上述(1)；否则先去括号，把方程整理成一般形式，再看是否能将左边分解成两个一次式的积，如上述(2)。
布置作业
课本P42习题，2.2中 A组第5题．
教学后记：
第7课时 因式分解法 (二)
教学目标
1、进一步体会因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。会用因式分解法解某些一元二次方程。
2、能根据题目选择适当的方法解一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
重点难点
重点： 掌握一元二次方程的一些解法。
难点： 选择适当的方法解一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、提问：
(1) 解一元二次方程的基本思路是什么？
(2) 现在我们已有了哪几种将一元二次方程“降次”为一元一次方程的方法
2、用三种方法解方程：9(1-3x)2=25
（二）创设情境
说明：可用因式分解法或直接开平方法解此方程。解得x1= ，x2=- 。
1、说一说：因式分解法适用于解什么形式的一元二次方程。
归纳结论：因式分解法适用于解一边为0，另一边可分解成两个一次因式乘积的一元二次方程。
2、想一想：这个方程能用直接开平方法和公式法及配方法解吗
看课本P40 “议一议”
（三）讲解例题
1、展示课本P40例9。
选择合适的方法解下列方程：
(1) x2+3x=0 (2) 5x2-4x-3=0 (3) x2+2x-3=0
按课本方式引导学生用因式分解法解一元二次方程。
2、让学生讨论P40“说一说”栏目中的问题。
要使学生明确：如何选择合适的方法
总之，解一元二次方程的基本思路 ( http: / / www.21cnjy.com )都是：将一元二次方程转化成为一元一次方程，即降次，其本质是把方程ax2+bx+c=0(a≠0)的左边的二次多项式分解成两个一次多项式的乘积，即ax2+bx+c=a(x-x1)(x-x2)，其中x1和x2 是方程ax2+bx+c=0的两个根。
让学生自己尝试着解，然后看书上的解答，交换批改，并说一说在解题时应注意什么。
（五）应用新知
课本P41练习。
（六）课堂小结
1、用因式分解法解一元二次方程的基本步骤 ( http: / / www.21cnjy.com )是：先把一个一元二次方程变形，使它的一边为0，另一边分解成两个一次因式的乘积，然后使每一个一次因式等于0，分别解这两个一元一次方程，得到的两个解就是原一元二次方程的解。
2、能根据题目选择适当的方法解一元二次方程。
3、进一步让学生体会“降次”化归的思想。
4、在解方程时，千万注意两边不能同时除以一个含有未知数的代数式，否则可能丢失方程的一个根。
布置作业
P42课本习题2.2中A组第7题，B组8、9题
教学后记：
能根据题目选择适当的方法解一元二次方程，要将方程化成满足解法的形式。
解方程时不能把方程两边都同除以一个含未知数的式子，若方程两边同除以含未知数的式子，可能使方程漏根。
第8课时 一元二次方程的判别式
教学目标
1、会熟练运用求根公式解一元二次方程。
2、了解b2-4ac的值与一元二次方程解的情况的关系。
3、会用适当的方法解一元二次方程。
4、通过训练，提高学生运算的正确率，养成良好的运算习惯。
重点难点
重点：熟练地运用判别式判断一元二次方程根的情况。
难点：选用适当的方法解一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
一元二次方程的求根公式是什么？其成立的条件是什么？
（二）探究新知
1、让学生观察课本P43“议一议” ，并思考问题：b2-4ac的值与一元二次方程ax2+bx+c=0的解的情况有什么关系？引导学生归纳：
当b2-4ac>0时，一元二次方程有两个不相等的实数根；
当b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根。
2、让学生观察方程(x+ )2- =0，当b2-4ac<0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)有实数解吗？试讨论方程x2+x+1=0有没有实数解？
通过对此问题的讨论让学生明确 ( http: / / www.21cnjy.com )：当b2-4ac<0时，一元二次方程没有实数解。所以在运用公式法解一元二次方程时，先要计算b2-4ac的值，当b2-4ac≥0时，可以用公式法求解；当b2-4ac<0时，方程无实数解，就不必再代入公式计算了。
（三）应用新知
1、不解方程判定下列方程的根的情况。
(1)4y+2y2-3=0； (2)x2+ =3x； (3) x2-6x+21=0
提醒学生：在运用b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况时，先要将一元二次方程化为一般形式，从而才能正确地确定a，b，c的值。
[解] (1) 原方程可化为2y2+4y-3=0，
因为b2-4ac=42-4×2×(-3)=40>0，
所以原方程有两个不相等的实数根。
(2) 原方程可化为x2-3x+ =0，
因为b2-4ac=(-3)2-4×1× =0，
所以原方程有两个相等的实数根。
(3) 因为b2-4ac=(-6)2-4× ×21=-6<0，所以原方程无实数根。
2、课本P44例题
P45练习1、2
（四）课堂小结
1、用公式法解一元二次方程为什么要先算b2-4ac的值？怎样由b2-4ac的值判定一元二次方程根的情况
（五）思考与拓展
已知关于x的方程： x2-(m-2)x+m2=0。
(1) 有两个不相等的实数根，求m的范围；
(2) 有两个相等的实数根，求m的值；
(3) 无实数根，求m的范围．
[解] b2-4ac=[-(m-2)]2-4× ×m2=-4m+4，
(1) 因为原方程有两个不相等的实数根，所以-4m+4>0，即m<1。
(2) 因为原方程有两个相等的实数根，所以-4m+4=0，即m=1。
(3) 因为原方程无实数根，所以-4m+4<0，即m>1。
布置作业
P45课本习题2.3中A组第1、2题
教学后记：
第9课时 一元二次方程根与系数的关系
教学目标：
知识与技能：掌握一元二次方程根与系数的关系，会运用关系定理求已知一元二次方程的两根之和及两根之积，并会解一些简单的问题。
过程与方法：经历一元二次方程根与系数关 ( http: / / www.21cnjy.com )系的探究过程，培养学生的观察思考、归纳概括能力，在运用关系解决问题的过程中，培养学生解决问题能力，渗透整体的数学思想，求简思想。
情感态度：通过学生自己探究，发现根与系数的关系，增强学习的信心，培养科学探究精神。
教学重点：根与系数关系及运用
教学难点：定理的发现及运用。
教学过程：
探究规律
先填空，再找规律：
一元二次方程 + .
-2x=0
+3x-4=0
-5x-6=0
5+4x-1=0
思考：观察表中+与.的值，它们与前面的一元二次方程的各项系数之间有什么关系？从中你能发现什么规律？
设计意图:通过学生计算一些特殊的一元二次方程的两根之和与两根之积，启发学生从中发现存在的一般规律，渗透特殊到一般的思考方法。
得出定理并证明（韦达定理）
若一元二次方程a+bx+c=0（a≠0）的两根为、，则
+= - . =
特殊的：若一元二次方程+px+q=0的两根为、，则
+=-p . =q
证明此处略（师生合作完成）
归纳：当△≥0时，一元二次方程的根与系数之间具有如下关系：
两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根的积等于常数项与二次项系数的比。
运用定理解决问题
求下列方程的两根之和与两根之积.
（1）23x+1=0 (2) -3x+20=10 (3) 7-5=x+8 (4)2=3x
(5)-(k+1)x+2k-1=0(x是未知数，k是常数)
设计意图：让学生初步学会运用根与系数的关系来求两根和与两根积，比较简便，（4）、（5）的设计加深学生对根与系数关系的本质理解。
注意：先将方程化成a+bx+c=0的形式，再找关系。
已知关于x的方程+3x+q=0 的一个根为-3， 求它的另一个根及q的值。
若一元二次方程-4 x+2=0的两根是、，求下列各式的值：
（1）+ （2）+
设计意图：进一步巩固根与系数的关系，体会“整体代入”思想在解题中的运用，可起到简便运算的作用。
若一元二次方程+ax+2=0的两根满足：+=12，求a的值。
设计意图：它是例2的一个变式，目的是考察 ( http: / / www.21cnjy.com )学生灵活运用知识解决问题能力，让学生感受到根与系数的关系在解题中的运用，同时也考察学生思维的严密性，根据情况可再进一步变式，如两根互为相反数；两根的倒数和等于2等。
课堂练习 P48 练习1、2
课堂小结：
让学生谈谈本节课的收获与体会：知识？方法？思想？等，可适当引导和点拨。
作业布置 P48 习题2.4 A组1、2、3
课堂板书（略）
教后反思
第10课时 一元二次方程的应用（一）
教学目标
1、让学生在经历运用一元二次方程解决一些代数问题的过程中体会一元二次方程的应用价值。
2、在应用一元二次方程的过程中，提高学生的分析问题、解决问题的能力。
重点难点
重点：建立一元二次方程模型解决一些代数问题。
难点：把一些代数问题化归为解一元二次方程的问题。
教学过程
（一）复习引入
1、回顾：你已经学过了用什么样的方程解应用题？“列方程解应用题”你有什么经验？让学生自己总结，因人而异，教师可以加以引导归纳。
2、填空：
（1）当x= 时，代数式3x-5与3-2x的值互为相反数。
（2）当x= ，y= 时，代数式2x+y的值为6，代数式3x-y的值为9。
（3）一元二次方程ax2 ( http: / / www.21cnjy.com )＋bx＋c＝0（a≠0），当b2-4ac 0时，方程有两个不相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程有两个相等的实数根；当b2-4ac 0时，方程没有实数根。
（二）创设情境
前面我们已经体会到方程是刻画现实世界数量关系的工具，现在通过学习一元二次方程的应用能使我们更进一步感受到方程的作用，数学的价值 。
（三）讲解例题
　　1、看课本P.49， 动脑筋。
说明和建议：（1）让学生明确解这尖题的步骤是：首先用方程表示题中的数量关系（即列出方程），然后将方程整理成一般形式并求解，最后作答。
（2）对于基础较好学生可让他们自己探索解题方法，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验，教师加以适当的总结。
2、课本P49例1
为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每瓶零售价由100元降为81元。求平均每次降价的百分比。
3课本P50例题2
注意：（1）利用“复习引入”中的内容让学生明确，当b2-4ac=0时，一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，有两个相等的实数根。
(1)解这类题,首先要将方程整理成关 ( http: / / www.21cnjy.com )于x2的一般形式,从而正确地确定x的二次项系数、一次项系数及常数项a，b，c (此题是用t表示)，然后把问题化归为解一个（此题是关于t的）一元二次方程。
P50 “议一议” 运用一元二次方程模型解决实际问题的步骤有哪些？
实际问题—→建立一元二次方程模型—→解一元二次方程—→一元二次方程的根—检验→实际问题的解。
（四）应用新知
课本P50，练习第1，2题
（五）课堂小结
1、用一元二次方程解一些代数问题的基本步骤是什么？
2、在本节课的解题中要注意一些什么问题？
3、“百分率问题”，一般列式 a(1+x)2=b 或a(1-x)2=b 的形式。
（六）思考与拓展
将进货单价为40元的商品按50元售出时 ( http: / / www.21cnjy.com )，能卖出500个，已知这种商品每个涨价1元，其销售量就减少10个，若这种商品涨价x元，则可赚得y元的利润。
（1）写出x与y之间的关系式；
（2）为了赚得8000元利润，售价应定为多少元，这时应进货多少个？
[解]（1）商品的单 ( http: / / www.21cnjy.com )价为50+x元，每个的利润是（50+x）-40元，销售量是50-10x个，则依题意得y=[（50+x）-40]（500-10x），即y=-10x2+1000x+5000。
（2）依题意，得-10x2+400x+5000=8000。
整理，得x2-40x+300=0。
解得x1=10, x2=30。
所以商品的单价右定为50+10=60（元）或50+30=80（元）
当商品和单价为60 ( http: / / www.21cnjy.com )元时，其进货量只能是500-10×10=400（个）；当商品每个单价为80元时，其进货量只能是500-10×30=200（个）
布置作业
P53习题2.5 A组第1，2题，选做B组第1题 。
教学后记：
第11课时 一元二次方程的应用（二）
教学目标
1、会建立一元二次方程的模型解决实际问题，并能根据具体问题的实际意义，对方程解的合理性作出解释。
2、让学生进一步感受一元二次方程的应用价值，提高学生的数学应用意识。
重点难重
重点：应用一元二次方程解决实际问题。
难点：从实际问题中建立一元二次方程的模型
教学过程
（一）复习引入
1、复习列方程解应用题的一般步骤：
（1）审题：仔细阅读题目，分析题意，明确题目要求，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）设未知数：用字母（如x）表示题中的未知数，通常是求什么量，就设这个量为x；
（3）列方程：根据题中已知量和未知量之间的关系列出方程；
（4）解方程：求出所给方程的解；
（5）检验：既要检验所求方程的解是否满足所列出的方程，又要检验它是否能使实际问题有意义；
（6）作答：根据题意，选择合理的答案。
2、说一说，矩形的面积与它的两邻边长有什么关系？
（二）讲解例题
1、展示课本P51 “动脑筋” ，按下列步骤讲解：
（1）引导学生审题，弄清已知数、未知数以及它们之间的关系；
（2）确定本题的等量关系是：盒子的底面积=盒子的底面长 ×盒子的底面宽；
（3）引导学生根据题意设未知数；
（4）引导学生根据等量关系列方程；
（5）引导学生求出所列方程的解；
（6）检验所求方程的解合理性；
（7）根据题意作答；
（8）按课本P51格式写出解答过程。
注意：设未知数和作答时都不要漏写单位，多项式时要加括号再写单位。
2、展示课本P51例3，让学和仿照“动脑筋 ( http: / / www.21cnjy.com )”解答此题，然后看书上的解答，交换批改，并交流解题经验。在检验所求方程解的合理性时，教师要特别注意用图形引导学生思考，作出正确判断。
注意：要将题目转化 将道路平移。
（三）应用新知
课本P52，练习1。
（四）课堂小结
1、用“（1）审、（2）设、（3）列 ( http: / / www.21cnjy.com )、（4）解、（5）验、（6）答”六个字概括列方程解应用题的六步，使学和生对方程解应用题的步骤更熟悉。
2、在运用一元二次方程解实际问题时，一定要注意检查求得的方程的解是否符合实际情况。
（五）思考与拓展
在一个长为50米，宽30米的矩形空地 ( http: / / www.21cnjy.com )上建造一个花园，要求修筑同样宽的道路，使余下的部分种植花草，且使花草的总面积是整块空地面积的 ，请你画出设计图，并计算路宽。
说明与建议：（1）让学生分成几个小组共同设计，然后每个小组派一人上台演示自己小组所设计的方案，教师给出相应评价。
（2）下面提供两种设计方案：
方案一 如图1-3，阴影部分是宽为x米的两条垂条直的
道路，则依题意有（50-x）(30-x)= ×30×50。
整理得x2-80x+375=0
解得x1=5＜30，x2=75＞30
依题意只能取x1=5（米）
方案二 如图1-4阴影部分是宽为x米的道路，则依题意
有（50-2x）（30-2x）= ×30×50，
整理得4x2-160x+375=0
解得x1=2.5＜30，x2=37.5＞30
依题意只能取x1=2.5(米)。
布置作业
P53课本习题2.5 A组第3题，选做B组第5题。
教学后记：
第12课时 一元二次方程的应用（三）
教学目标
1、会熟练地列出一元二次方程解应用题，并能根据具体问题的实际意义，检验结果是否合理。
2、在组织学生自主探索、相互交流、协作学习的过程中，培养学生敢于探索、勇于克服困难的精神和意志，在探索中获得成功的体验。
重点难点
重点：会熟练地列出一元二次方程解应用题。
难点：将实际问抽象为一元二次方程的模型
教学过程
（一）复习引入
提问：1、列方程解应用题的基本步骤是什么？
2、利用一元二次方程解决实际问题时，特别要注意什么？
（二）探究新知
课本P52 例题4 的解答进行探究学习，然后各组之间相互交流，教师加以适当引导归纳，得出正确结论。
（三）应用新知
课本P53练习2
（四）讲解例题
例 某商店从厂 ( http: / / www.21cnjy.com )家以每件21元的价格购进一批商品，若每件的售价为a元，则可卖出350-10a件，物价局规定商品的利润不能超过进价的20%，商店计划要赚400元，则每件商品的售价为多少元？
[解]依题意得（a-21）(350-10a)=400
整理得a2-56a+775=5
解得a1=25，a2=31
又因为21×（1+20%）=25.2
而a1=25＜25.2，a2=31＞25.2，
所以a =25
答：每件售价为25元
点评：（1）要掌握关系式：利润= ( http: / / www.21cnjy.com )销售价-进价，从而得出：“卖出商品的利润=卖出一件商品的利润×卖出的件数”这个等量关系。（2）要注意题目的限制条件。
（五）课堂小结
1、列方程解应用题的关键是准确分析题中各种显现和隐含的数量关系和等量关系。
2、列方程解应用题的实质是把实际问题转化为数学问题（解一元二次方程）求解。
（六）思考与拓展
如图1-2，一个长为10米的梯子斜靠在墙上 ( http: / / www.21cnjy.com )，梯子的顶端距地面的垂直距离为8米，（1）如果子的顶端下滑1米，那么底端也将滑动1米吗？（2）梯子顶端下滑多少距离正好等于底部下端距离。
[解]（1）设底端将滑动x米，
依题意，得72+（x+6）2=102
解得x1=-6- （不合题意，舍去），
x2= -6＞ -6=1（米）
-6＞ -6＞1
（2）设顶端下滑x米则底端正好滑动x米，
依题意，得（8-x）2+（6+x）2=102
解得x=2（米）
答：（略）
布置作业
P53课本习题2.5 A组第4题 ，选做B组第2题。
教学后记：
第11课时 小结与复习（一）
教学目标
1、理清本章的知识结构，培养学生归纳能力。
2、掌握本章的有关概念，一元二次方程的四种解法——因式分解法、直接开平方法、配方、公式法。
3、掌握本章的主要数学思想和方法。
4、掌握一元二次方程的判别式和根与系数的关系
重点难重
重点：一元二次方程解法。
难点：选用适当的方法解一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
1、回顾本章的主要数学思想和方法。
本章主要的数学思想是化归与转化 ( http: / / www.21cnjy.com )，即把需要解决或较难解决的问题，通过适当的方法，把它化归与转化为已经解决或较容易解决的问题，从而使问题得以解决。如一元二次方程，通过“降次”转化为两个一元二次方程，降次的基本方法是因式分解法或直接开平方法，为了能这么做，往往要抚配方，即要把含未知数的项放在一个完全平方式里，再求解。也可以用一元二次方程的求根公工直接求解。配方法是一种非常重要的方法，由于配方的过程要进行较繁琐的运算，在解一元二次方程时，实际运用较少，但它是推导一元二次方程求根公式的基础，而且在今后学习二次函数等内容时，还将多次用到，是中学数中的重要方法，应熟练掌握这种方法。
2、理清本章的知识结构图。
请同学们用知识结构图将所学的有关一元二次方程的知识连接起来。
整理知识结构图的要求应根据学生具体情况而定，提供下面三种建议，供选用：
方法一 由学和自己设计知识结构图，而后全班行交流，互相补充，逐步完善。
方法二 教师引导学生设计知识结构图，然后全班交流。
方法三 教师给出知识结构图框架，由学生填上具体内容（参考课本P.29的知识结构图）。
说明：在知识结构图和教学过程中，既要注复习知识、方法，又要注意培养学生的归纳总结能力。
（二）讲解例题
例1 选择题：
（1）mx2-3x+x2=0是关于x的一元二次方程的条件是　　　　　　　（　）
A m=1 B m≠-1 C m≠0 D m为任意实数
（2）用配方法解方程4 x2+4 x-15=0时将方程配方的结果是 （ ）
A（x+2）2=19 B（2 x+1）2=16
C（x+ ）2=4 D（x+1）2=4
答案：B C
评注：（1）先把方程化成关于x的一元二次方程的一般形式（m+1）x2-3x+2=0然后确定m+1≠0,即m≠-1。
（2）配方法虽然在解一元二次方程时很少用，但配方法是一种很重要的数学方法，不可忽视。
例2 选择适当的方法解下列方程：
（1）（x-1）2+2 x（x-1）=0 （2）9（x-3）2-4（x-2）2=0
（3）-2y2+3= y （4）x2+2 x-4=0
[解]（1）中主程左边有因式x- ( http: / / www.21cnjy.com )1，不能将方程程两边同除以x-1，而应选用因式分解的方法，把方程变形为（x-1）[（x-1）+2 x]=0，所以x1=1，x2=
（2）中程左边是平方差形式 ( http: / / www.21cnjy.com )，既可用平方差公式分解因的方法求解，又可用先移项得9（x-2）2=4(x-2)2，然后直接开平方得3（x-3）=±2（x-2），再求方程的解，解得x1= ，x2=5。
（3）中方程可化为4y2+y-6=0，△=12-4×4（-6）=97＞0，解得x1= ，x2=
（4）中方程是一元二次方程的一般 ( http: / / www.21cnjy.com )形式，且左边不易分解因式，因此可用公式法解此方程，解得x1=- + ，x2=- -
评注：1、公式法是解一元二次方程的一般方法，应掌握这种解一元二次方程的通法。
2、因式分解法、直接开平方法是解一元二次方程的特殊方法，要注意这两种方法适用的方程形式。
3、一般先看方程能否用因式分解法或直接开平方法求解，如不能用这两种方法再考虑用公式法解。
（三）巩固练习
1填空：
（1）（k-1）x2-kx+1=0是关于x的一元二次方程的条件是 。
（2）填写下表。
一元二次方程 一般形式 二次项数 一次项系数 常数项
3 x2-5=2 x
（x+1）2=4
πx 2=0
x（x + ）=0
答案：（1）k≠1。（2）见下表：
一元二次方程 一般形式 二次项系数 一次系数 常数项
3 x2-5=2 x 3 x2-2 x-5=0 3 -2 -5
（x+1）2=4 x 2+-3=0 1 2 -3
x 2=0 x 2=0 π 0 0
x（x+ ）=0 x 2+ x=0 1 0
2、选做课本复习题2 中B组第1，2题。
（四）课堂小结
1、一元二次方程的一般形式是什么？
2、解一元二次方程的四种方法所适用的方程的条件是什么？
3、怎么选择适当的法解一无二次方程？
（五）思考与拓展
1、已知方程mx2+mx+3m-x2+x+2=0,当m 时，为一元二次方程；当m 时，为一元一次方程。
答案：m≠1，m=1
2、选做课本复习题2的C组题。
布置作业
课本复习题2中A组第1、2、3、4题。选做题5、6、7
教学后记：
第12课时 小结与复习（二）
教学目标
1、熟练运用一元二次方程解实际问题。
2、通过将一些实际问题抽象 ( http: / / www.21cnjy.com )为方程模的过程，让学生形成良好的思维习惯，学会从数学的角度提出问题 ，理解问题，并能运用所学知识解决问题，体会数学的价值。
重点难重
重点：运用一元二次方程解实际问题。
难点：找出问题中的等量关系，列出一元二次方程。
教学过程
（一）复习引入
学生交流讨论下列问题。
1、运用一元二次方程解实际问题的一般步骤是什么？
2、运用一元二次方程解实际问题关键是什么？
3、运用一元二次方程解实际问题要注意什么？
（二）讲解例题
例1．某工厂生产一种产品，今年产量为 ( http: / / www.21cnjy.com )200件，计划通过技术改造，使今后两年的产量都比前一年增一个相同的百分数，这样三年的总产量达到1400件，求这个百分数。
分析：此题是增长率问题，运用复利公式：Q=a（1+x），通过列方程求出x的值。
[解]设这个百分数为x。则今后第一年的 ( http: / / www.21cnjy.com )产量为200（1+x）件，今后第二年的产量为200（1+x）2件，根据题意，得200+200（1+x）+200（1+x）2=1400
化简得x2+3x-4=0，
解得x1=1，x2=-4（不合题意，舍去）。
所以x1=1=100%
答：这个百分数为100%
评注：1、题中1400件是三年的总产量，不要误以为是今后第三年的产量。
2、运用一元二次方程解实际际问题时要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。
3、一般情况，增长率为百分数。
例2 某商店经销一种销 ( http: / / www.21cnjy.com )售成本为每千克40元的水产品，根据市场分析，若按每千克50元销售，一个月能售出500千克；销售单价每涨1元，月销售量就减少10千克，针对这种水产品和销售情况，请解答以下问题：
（1）当销售单价为每千克55元时，计算月销售量和月销售利；
（2）设销售单价为每千克x元，月销售利润为y元，求y与x之间的关系式；
（3）商店想在月销售成本不超过10000元的情况下，使得月销售利润到达8000元，销售单价应定为多少？
（4）要使得月销售利润达到9000元销售单价应定为多少？
（5）有没有可能获取大于9000元的利润？
[解]（1）当销售单价定为每千克55元时，
月销售利润为：500-（55-50）×10=450（千克）
所以月销售利润为：（55-40）×450=6750（元）
（2）当销售单价为每千克x元时，月 ( http: / / www.21cnjy.com )销售量为：500-（x-50）× 10=1000-10 x（千克），而每千克的销售利润是x-40千克，所以月销售利润为y=（x-40）（1000-10 x），即y=-10 x2+1400 x-40000。
（3）要使月销利润达到8 ( http: / / www.21cnjy.com )000元，即y=8000，所以-10 x2+1400 x-40000=8000，即x2+4800=0,解得x1=60，x2=80。
当销售单价为每千克x元时，月销售量为：500-（60-50）×10=400（千克），月销售成本为：40×400=16000（元）。
当销售单价定为每千克60元时，月销售量为：500-（80-50）×10=200（千克），月销售成本为：40×200=8000（元）。
由于8000＜10000＜16000，而月销售成本不超过10000元，所以销售单价应定为每千克80元。
（4）要使月销售利润达到9000元 ( http: / / www.21cnjy.com )，即y=9000，所以-10x2+1400x-40000=9000，即x2-140x+4900=0，解得x1=x2=70，销售单价应定为每千克70元。
（5）要获取大于9000元的利润 ( http: / / www.21cnjy.com )，则y＞9000，所以-10x2+1400 x-40000＞9000，即x2-140 x+4900＜0，（x-70）2＜0无论x取何实数，此不等式都不成立。所以，没有可能获取大于9000元的利润。
评注（3）要注意“成本不超过10000元”这个限制条件，（5）仅供学有余力的同学思考。
（三）巩固练习
选做课本复习题2中B组第16题。
（四）课堂小结
运用一元二次方程解实问题的关键是：找出问题中的等量关系，以便引出方程，要注意检查求出的方程的解是否符合实际情况。
（五）思考拓展
一容器盛江满纯酒精63升，第一次倒 ( http: / / www.21cnjy.com )出若干升后加水充满，第二次倒出同样升数的酒精溶液，再加水充满，这时容器内的纯酒精为28升。求每次倒出酒精容液的升数。
分析：浓度问题，关键是利用基本关系式：浓度=
[解] 设每次倒出x升， ( http: / / www.21cnjy.com )第一次倒出后剩下的纯精为63-x升，加水充满后酒精溶液的浓度是 ，第二次倒出纯酒精 ·x升，第二次倒出后剩下纯酒精（63-x）- 升。
根据题意，得（63-x）- =28
即（63-x）（1- ） =28
63（1- ）2=28
所以1- =±
x1=21， x2=105（不合题意，舍去）
答；每次倒出酒精溶液21升。
评注：本题也可以看作是增长率问 ( http: / / www.21cnjy.com )题 ，因为每倒出相同体积的酒精溶液后，再用水充满，酒精溶液降低的浓度是相同的，此题 中每一次倒出相同体积的酒精溶液后，每次酒精降低的浓度均为由增长率问题可得出方程（1- ）2=
布置作业
课本复习题2中A组第7、8、9题 ，选做A组第12题 。
教学后记：