重庆市永川重点学校2022-2023学年高二下学期期末考试数学模拟试题（三）（含答案）

重庆市永川重点学校高2024级高二下学期期末
数学模拟试题（三）
单项选择题（本大题8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。）
1.已知集合，，则( )
A. B. C. D.
2.已知命题：，，则( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
3.已知：，：，则是的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.设存在导数，且满足，则曲线在处的切线倾斜角为( )
A. B. C. D.
5.已知随机变量，，，，且，又，则实数( )
A. B. C. D.
6.若，则( )
A. B. C. D.
7.如图，一圆形信号灯分成四块灯带区域，现有种不同的颜色供灯带使用，要求在每块灯带里选择种颜色，且相邻的块灯带选择不同的颜色，则不同的信号总数为( )
A. B.
C. D.
8.函数，当时，有恒成立，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的，全部选对得5分，部分选对得2分，选错或不选得0分。）
9. 函数的导函数的图象如图所示，以下命题错误的是( )
A. 是函数的极值点
B. 是函数的最小值点
C. 在区间上单调递增
D. 在处切线的斜率小于零
10.对具有相关关系的两个变量和进行回归分析时，经过随机抽样获得成对的样本数据，则下列说法正确的是( )
A. 若两变量，具有线性相关关系，则回归直线至少经过一个样本点
B. 若变量，的线性相关系数的绝对值越接近，则两个变量与的线性相关程度越强
C. 用残差平方和来比较两个模型的拟合效果时，残差平方和越小，模型的拟合效果越好
D. 用来刻画回归模型的拟合效果时，若所有样本点都落在一条斜率为非零的直线上，则的值为
11.我校以大课程观为理论基础，以关键能力和核心素养的课程化为突破口，深入探索普通高中创新人才培养的校本化课程体系本学期共开设了八大类校本课程，具体为学课拓展、体艺特长、实践创新、生涯找划、国际视野、公民素养、大学先修、项目课程八大类，假期里决定继续开设这八大类课程，每天开设一类且不重复，连续开设八天，则( )
A. 某学生从中选类，共有种选法
B. 课程“”、“”排在不相邻两天，共有种排法
C. 课程中“”、“”、“”排在相邻三天，且“”只能排在“”与“”的中间，共有种排法
D. 课程“”不排在第一天，课程“”不排在最后一天，共有种排法
12.已知函数，下列说法正确的是( )
A. 在处的切线方程为 B. 函数的单调递减区间为
C. 的极小值为 D. 方程有个不同的解
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13.已知是函数的极小值点，则______．
14.伟大出自平凡，英雄来自人民．在疫情防控一线，北京某大学学生会自发从学生会名男生和名女生骨干成员中选出人作为队长率领他们加入武汉社区服务队，用表示事件“抽到的名队长性别相同”，表示事件“抽到的名队长都是男生”，则 ．
15.已知函数是定义在上的奇函数，且，则 ，当时，则等于 ．
16.定义函数，其中表示不超过的最大整数，例如：，，当时，的值域为记集合中元素的个数为，则的值为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.）
17.（满分10分）设集合，．
当时，求，．
若，求的取值范围．
18. （满分12分）设函数．
求的单调区间与极小值：
求在上的值域．
19. （满分12分）在信息时代的今天，随着手机的发展，“微信”越来越成为人们交流的一种方法，某机构对“使用微信交流”的态度进行调查，随机抽取了人，他们年龄的频数分布及对“使用微信交流”赞成的人数如下表：注：年龄单位：岁
年龄
频数
赞成人数
若以“年龄岁为分界点”，由以上统计数据完成下面的列联表，并通过计算判断是否在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”？
年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 合计
赞成
不赞成
合计
若从年龄在，调查的人中各随机选取人进行追踪调查，求选中的人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为人的概率．
参考公式：，其中．
20.（满分12分）技术对社会和国家十分重要．从战略地位来看，业界一般将其定义为继蒸汽机革命、电气革命和计算机革命后的第四次工业革命．为了解行业发展状况，某调研机构统计了某公司五年时间里在通信技术上的研发投入亿元与收益亿元的数据，结果如下：
研发投入亿元
收益亿元
利用相关系数说明是否可以用线性回归模型拟合与的关系当时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；
求关于的线性回归方程．
参考数据：，，．
参考公式：相关系数，线性回归方程中，，，其中，为样本平均值．
21.（满分12分）某学校组织“一带一路”知识竞赛，有，两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择一类并从中随机抽取一个问题回答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分；类问题中的每个问题回答正确得分，否则得分．
已知小明能正确回答类问题的概率为，能正确回答类问题的概率为，且能正确回答问题的概率与回答次序无关．
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，求的分布列；
为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由．
22. （满分12分）设函数，．
当时，求的单调区间；
当时，恒成立，求的取值范围；
求证：当时，．
参考答案
1-8.
9. 10. 11. 12.
13. 14. 15. 16.
12.解：由题意知函数定义域为，则， ，因为，，所以在处的切线方程为，故A正确；
由，得，则，又，所以的单调递减区间为，，故B错误；由，得，所以在上单调递增，在上单调递减，
所以的极小值为，故C正确；方程，即，，
构造函数，，则，当时，，则在上单调递减，当时，，则在上单调递增，当，当，，
如图所示，
所以函数在上有两个零点，综上可知方程有个不同的解，即方程有个不同的解，故D正确．故选：．
16.解：由题意可得
在各区间中的元素个数是：，，，，，，，时，，，故答案为：．
17.解：集合，．
把代入中得：，即，
，．
集合，，，
当时，，解得，满足题意，
当时，，解得．
综上，的取值范围是．
18.解：，令，得，
若，则，从而在上单调递减
若，则，从而在上单调递增．
则的单调递增区间为，单调递减区间为，
故的极小值为．
因为，，且，
所以在上，，．
故在上的值域为．
19.解：根据频数分布表，填写列联表如下：
年龄不低于岁的人数 年龄低于岁的人数 合计
赞成
不赞成
合计
，
则能在犯错误的概率不超过的前提下认为“使用微信交流的态度与人的年龄有关”；
年龄中有人，不赞成的记为，，；赞成的记为，，
年龄中有人，不赞成的记为，，，，赞成记为，
则从年龄，中各取人共有种可能，结果如下：
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，，
，，，，；
恰好有人使用微信交流的共有种可能，
结果如下：，，，，
，，，，，，；
所以从年龄在，调查的人中，各随机选取一人进行追踪调查，
选中的人中赞成“使用微信交流”的人数恰好为一人的概率为．
解：由表中数据可得，，
，又，，
．
与两个变量高度相关，可以用线性回归模型拟合．
由表中数据可得，
则，，
故关于的线性回归方程为．
21.解：由已知可得，的所有可能取值为，，，
则，
，
所以的分布列为：


由可知小明先回答类问题累计得分的期望为，
若小明先回答类问题，记为小明的累计得分，
则的所有可能取值为，，，
，
，
，
则的期望为，
因为，所以为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答类问题．
22.解：当时，则，；
令，得；
当时，，在上单调递减；
当时，，在上单调递增；
即时，的单调减区间为，单调增区间为；
；
恒成立，等价于恒成立；
设，，；
当时，；
在上单调递减；
时，；；
的取值范围为；
证明：当时，等价于；
设，，；
由知，时，恒成立；
；
；
在上单调递增；
时，；
因此当时，．