高一（下）第二次单元检测数学试卷
总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王瑞 审题人：高玉敏 马萧萧
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 下列命题中成立的是（ ）
A. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C. 一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D. 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
【答案】A
【解析】
【分析】依据直棱柱、棱锥、正棱锥的概念来判断.
【详解】对A，以三棱柱为例，如图，若侧面和侧面为矩形，则.
又平面ABC，所以 面，
又棱柱侧棱互相平行，故其他侧棱也与底面垂直.
所以此三棱柱为直三棱柱，故A正确；
对B，如图所示的八面体满足每个面都是三角形，但它不是棱锥，故B不正确；
对C，如图所示的三棱锥中有，满足侧面是全等的等腰三角形，
但它不是正三棱锥，故C不正确；
对D，各个侧面都是矩形且上下底面也是矩形的棱柱才是长方体，故D不正确.
故选：A
2. 已知复数满足，则（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由复数的运算法则计算即可.
【详解】由可得：.
故选：B
3. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，由已知周长求得和，代入圆台的侧面积公式，即可求解.
【详解】设圆台的上底面半径为，下底面半径为，
可得，可得，
又由圆台的高为1丈，可得圆台的母线长为，
所以圆台的侧面积为.
故选：B.
4. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】过点作的平行线交于，即可得到则，再根据平面向量线性运算法则计算可得；
【详解】解：如图过点作的平行线交于，
则是的中点，
且
，
又，所以，即，
又
故选：B．
5. 在中，已知，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
【答案】C
【解析】
【分析】利用三角函数诱导公式和正弦定理余弦定理化简题给条件即可得到，进而得到为等腰三角形.
【详解】因为，，
所以，
所以由正弦定理和余弦定理得，
化简得，所以，所以为等腰三角形.
故选：C
6. 一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线；
③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线.
其中正确结论的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
【答案】B
【解析】
【分析】作出直观图，根据直线共面的判定与性质逐个判断即可.
【详解】根据展开图，复原几何体，如下图所示：
对②，因为F，M，N，Q分别为，，，的中点，所以，又，则，故F，N，A，B四点共面，故直线与直线是共面直线，①错误；
对②，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，②正确；
对③，N，Q重合，故直线与直线共面，③正确；
对④，E在过F，N，A，B四点的平面外，故直线与直线是异面直线，④正确；
综上有②③④正确.
故选：B
7. 鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且米，则文星塔高为（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
【答案】B
【解析】
【分析】设建筑物的高为，用表示、、，利用结合余弦定理求出的值，即可得解.
【详解】如下图所示：
设建筑物的高为，则，，，
由余弦定理可得，
，
因为，故，
即，可得.
故选：B.
8. 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算出正方体的体积，四棱锥的体积，根据祖暅原理可得图一中几何体体积，从而得结论．
【详解】棱锥，
由祖暅原理图二中牟合方盖外部的体积等于棱锥
所以图1中几何体体积为，
所以牟合方盖体积为．
故选：C．
二、多选题（每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量在上的投影向量为
【答案】BD
【解析】
【分析】根据向量的坐标运算，以及向量模、夹角公式和投影向量的计算方法，逐项判定，即可求解.
【详解】因为向量，，可得，
所以，所以A错误；
由，所以B正确；
由向量的夹角公式，可得，所以C错误；
由向量在上的投影向量为，故D正确．
故选：BD.
10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
【答案】ABC
【解析】
【分析】举例说明判断ABC；利用线面垂直的性质判断D.
【详解】对于A，在长方体中，
平面为平面分别为直线，
显然满足，而，此时不成立，A不正确；
对于B，在长方体中，
平面，平面分别为平面为直线，
显然满足，而，此时不成立，B不正确；
对于C，在长方体中，
平面，平面分别为平面为直线，
显然满足，而，此时不成立，C不正确；
对于D，因为，由线面垂直的性质知，，D正确.
故选：ABC.
11. 已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（ ）
A B. C. 0 D.
【答案】AB
【解析】
【分析】设，然后分别将表示为的形式，再根据向量数量积的定义以及的取值范围求解出可取值.
【详解】设，
因为，所以，
又因为，
所以，
所以，
所以，
又因为，所以，
故选：AB.
【点睛】关键点点睛：图形中向量的数量积问题，通过找基底并将未知的待计算的向量表示为基底的形式去计算能很大程度上简化计算；本例中利用基底表示出，然后再进行计算.
12. 已知直三棱柱中，，，是中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B. 无论点在上怎么运动，都有
C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D. 当点在上运动时，直线与所成角可以是
【答案】AB
【解析】
【分析】构造线面角，由已知线段的等量关系求的值即可判断是否正确；利用线面垂直的性质，可证明，即可判断是否正确；由重心的性质有可知是否正确；由直线的平行关系构造线线角为，结合动点分析角度范围，即可判断是否正确．
【详解】解：直三棱柱中，，，
对于：当点运动到的中点是，取为中点，连接，，如下所示：
即平面，
所以直线与平面所成的角的正切值，，
因为，，
所以，故正确；
对于：连接，与交于点，并连接，
如下图所示：
由题意知，为正方形，即有面，
所以，又，
所以面，面，故，
同理可证：，又，
所以面，
又面，即有，故正确；
对于：点运动到的中点时，即在中，均为中线，
所以为中线的交点，即为的重心，
所以根据重心的性质有，故错误；
对于：由于，直线与直线所成的角为与所成的角，即，
结合下图分析知，点在上运动时，
当在或上是，最大为，
当在的中点时，最小为，
所以不可能是，故错误．
故选：．
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________．
【答案】4
【解析】
【分析】根据斜二测画法确定原图形，求解即可.
【详解】由图象知：，，
，为的中点，
的面积.
故答案为：4.
14. 在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______．
【答案】.
【解析】
分析】根据空间向量夹角公式进行求解即可.
【详解】建立如图所示的空间直角坐标系，设该正方体的棱长为，
则有，，，，
，，
设异面直线与所成角为，
所以，
故答案为：.
15. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．
【答案】##1.5
【解析】
【分析】根据水的体积与棱柱体积的关系得出结论．
【详解】棱柱的体积公式是，其中是q底面积，是高．
在图2中，水面是中截面，水面以上部分是一个三棱柱，所以这个三棱柱的底面积是原来三棱柱底面的，从而这个小三棱柱的体积是大棱柱体积的（高一样），所以水的体积是大三棱柱体积的，那么图1中水面的高度是棱柱高的，即为．
故答案为：．
16. 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】当三棱锥体积最大时，分析得出点C的位置，再根据球的性质，在直角三角形中解出球的半径，从而求得球的表面积.
【详解】解：取的中点，连接，
设的外接圆的圆心为，的外接圆的圆心为，
因为是边长为2的等边三角形，
所以面积确定，
要使三棱锥体积最大，
即要使点到平面的距离最大，
只有当平面平面时，体积最大，
即点到边的距离最大，三棱锥的体积最大，
因为，且，
外接圆的半径为，
又为的外心，在的中垂线上，且,
,
当点满足时，共线，点到边的距离最大，三棱锥的体积最大.
此时三棱锥的高即为的长，
此时外接圆的圆心在上，
根据球的性质可知，，，
故四边形为矩形，
故，
在中，球的半径平方为，
所以球的表面积为.
【点睛】本题考查了锥体与球体的位置关系，解题的关键是要确定锥体上各点、线、面与球体之间的关系，同时还要对球体的性质有清晰的认识.
四、解答题（共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零．
（1）求；
（2）若（，，为虚数单位），求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据复数根的求解即可得，进而可求，
（2）利用复数的乘法运算以及复数相等的充要条件即可列方程求解.
【小问1详解】
由，即，
可得，解得，
因为的虚部大于零，所以
【小问2详解】
由（1）知，因为，所以
则
解得，，
所以．
18. 已知，向量，.
（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解；
（2）根据题意可得，结合向量的坐标运算求解.
【小问1详解】
设点C的坐标为，
因为，，，可得，
则，
若四边形OACB为平行四边形，可得，
则，解得，
故点C的坐标为.
【小问2详解】
设点P的坐标为，
由（1）可知：，则，
若点P为线段AB靠近点B的三等分点，则，
则，解得，
故点P的坐标为.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，点G是的重心，且，求的面积.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由正弦定理边化角，利用辅助角公式求解即可；
（2）由点G是的重心，求出边，然后由三角形的面积公式求解即可.
【小问1详解】
因为，由正弦定理得：
，
所以.
所以，
因为，所以，所以，
即，又，所以，
所以，所以.
【小问2详解】
因为点G是的重心，所以，
所以，
即，解得：或（舍）.
则.
20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．
（1）证明：平面EFG；
（2）若，，求点C到平面EFG的距离．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）依题意可得，，即可得到平面，再由为平行四边形得到，从而得到平面，即可得到平面平面，即可得证；
（2）取的中点，连接，，依题意可得，利用勾股定理逆定理可得，同理可得、，从而得到平面，平面，求出，，设到平面的距离为，由，利用等体积法求出，由为中点，即、到平面的距离相等，从而得解；
【小问1详解】
证明：因为E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点，
所以，，
又平面，平面，所以平面，
又因为底面为平行四边形，所以，则，
又平面，平面，所以平面，
因为，平面，所以平面平面，
又平面，所以平面，
【小问2详解】
解：取的中点，连接，，
则且，
所以，
因为，，所以，即，
同理可得、，
又，平面，所以平面，
，平面，所以平面，
所以平面，平面，所以，
因为，，
所以，，，
设到平面的距离为，又，
所以，则，
又因为为中点，所以、到平面的距离相等，
所以到平面的距离为；
21. 如图所示，在海岛上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东方向，俯角为的处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西方向，俯角为的处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛的距离？
【答案】（1）千米时
（2）千米
【解析】
【分析】（1）先、中确定、的长，进而求得，，最后利用勾股定理求得，用里程除以时间即为船的速度．
（2）利用锐角三角函数求出，，利用两角差的正弦公式求得的值，进而利用正弦定理求得．
【小问1详解】
解：（1）在中，，，．
在中，，
．
在中，，
．
则船的航行速度为（千米时）．
【小问2详解】
解：在中，，，，
所以，
在中，，
所以
．
由正弦定理得．
．
故此时船距岛有千米．
22. 如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为．
（1）当时，求证：平面平面；
（2）若为的中点，当时，求二面角的正切值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】(1) 当时，可证得平面，从而证得平面平面；
(2) 取的中点，连接，证得为二面角的平面角，过作于点，过作与点，证得为二面角的平面角，解三角形得结果.
【小问1详解】
当时，平面平面．
在直角梯形中，，所以，所以，
因为平面平面，平面，所以平面，
因为平面，所以平面平面．
【小问2详解】
取的中点，连接，因为，所以．
因为为的中点，连接，则为的中位线，所以．
因为，所以，
所以为二面角的平面角，即．
因为，所以平面．
因为平面，所以平面平面．
因为平面平面，所以过作，交于点，则平面．
平面，，过作与点，连结，．
所以．所以为二面角的平面角．
在中，，，．
在中，．
在中，，
所以，故二面角的正切值为．高一（下）第二次单元检测数学试卷
总分：150分 考试时间：120分钟 命题人：王瑞 审题人：高玉敏 马萧萧
一、单选题（每小题5分，共40分）
1. 下列命题中成立的是（ ）
A. 有两个相邻侧面是矩形的棱柱是直棱柱
B. 各个面都是三角形的多面体一定是棱锥
C. 一个棱锥的侧面是全等的等腰三角形，那它一定是正棱锥
D. 各个侧面都是矩形的棱柱是长方体
2. 已知复数满足，则（ ）
A B. C. D.
3. 《九章算术》是中国古代人民智慧的结晶，其卷五“商功”中有如下描述：“今有圆亭，下周三丈，上周二丈，高一丈”，译文为“有一个圆台形状的建筑物，下底面周长为三丈，上底面周长为二丈，高为一丈”，则该圆台的侧面积（单位：平方丈）为（ ）
A. B. C. D.
4. 在平行四边形ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，DE交AF于H，记，分别为，，则=（ ）
A. B.
C. D.
5. 在中，已知，那么一定是（ ）
A. 等腰直角三角形 B. 直角三角形
C. 等腰三角形 D. 等边三角形
6. 一个正四棱锥的平面展开图如图所示，其中E，F，M，N，Q分别为，，，，的中点，关于该正四棱锥，现有下列四个结论：
①直线与直线是异面直线；②直线与直线是异面直线；
③直线与直线MN共面；④直线与直线是异面直线.
其中正确结论的个数为（ ）
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
7. 鄂州十景之一“二宝塔”中的文星塔位于文星路与南浦路交汇处，至今四百六十多年的历史，该塔为八角五层楼阁式砖木混合结构塔.现在在塔底共线三点、、处分别测塔顶的仰角为、、，且米，则文星塔高为（ ）
A. 米 B. 米
C. 米 D. 米
8. 刘徽构造的几何模型“牟合方盖”中说：“取立方棋八枚，皆令立方一寸，积之为立方二寸．规之为圆，径二寸，高二寸，又复横规之，则其形有似牟合方盖矣．”牟合方盖是一个正方体被两个圆柱从纵横两侧面作内切圆柱体时的两圆柱体的公共部分，计算其体积的方法是将原来的“牟合方盖”平均分为八份，取它的八分之一（如图一）．记正方形OABC的边长为r，设，过P点作平面PQRS平行于平面OABC．，由勾股定理有，故此正方形PQRS面积是．如果将图一的几何体放在棱长为r的正方体内（如图二），不难证明图二中与图一等高处阴影部分的面积等于．（如图三）设此棱锥顶点到平行于底面的截面的高度为h，不难发现对于任何高度h，此截面面积必为，根据祖暅原理计算牟合方盖体积（ ）
注：祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”、意思是两个同高的立体图形，如在等高处的截面积相等，则体积相等．
A. B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 已知平面向量，，则下列说法正确的是（ ）
A. B.
C. D. 向量在上的投影向量为
10. 设是不同的直线，是不同的平面，则下列命题不正确的是（ ）
A. ，则
B. ，则
C. ，则
D. ，则
11. 已知是边长为1的等边三角形，点D是边AC上，且，点E是BC边上任意一点（包含B，C点），则的取值可能是（ ）
A B. C. 0 D.
12. 已知直三棱柱中，，，是中点，为的中点.点是上的动点，则下列说法正确的是（ ）
A. 当点运动到中点时，直线与平面所成的角的正切值为
B. 无论点在上怎么运动，都有
C. 当点运动到中点时，才有与相交于一点，记为，且
D. 当点在上运动时，直线与所成角可以是
三、填空题（每小题5分，共20分）
13. 如图，是斜二测画法画出的水平放置的的直观图，是的中点，且轴，轴，，，则的面积是________．
14. 在正方体中，点，分别在棱，上，且，则异面直线与所成角的余弦值为______．
15. 如图1，一个正三棱柱容器，底面边长为1，高为2，内装水若干，将容器放倒，把一个侧面作为底面，如图2，这是水面恰好是中截面，则图1中容器水面的高度是______．
16. 已知是边长为2的等边三角形，，当三棱锥体积最大时，其外接球的表面积为__________．
四、解答题（共70分，第17题10分，其它每题12分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17. 已知复数是方程的一个复数根，且的虚部大于零．
（1）求；
（2）若（，，为虚数单位），求．
18. 已知，向量，.
（1）如图，若四边形OACB为平行四边形，求点C的坐标；
（2）若点P为线段AB的靠近点B的三等分点，求点P的坐标.
19. 在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
（1）求角A的大小；
（2）若，点G是的重心，且，求的面积.
20. 如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD为平行四边形，E、F、G分别是棱AB、AP、PD的中点．
（1）证明：平面EFG；
（2）若，，求点C到平面EFG的距离．
21. 如图所示，在海岛上有一座海拔0.5千米的山，山顶设有一个观察站（观察站高度忽略不计），已知在某时刻观测员测得一轮船在岛北偏东方向，俯角为的处，若10分钟后，又测得该船在海岛北偏西方向，俯角为的处．
（1）求船的航行速度是每小时多少千米？
（2）若又经过一段时间后，船到达海岛的正西方向的处，问此时船距岛的距离？
22. 如图，在直角梯形中，，，，沿对角线将折至的位置，记二面角的平面角为．
（1）当时，求证：平面平面；
（2）若为的中点，当时，求二面角的正切值．
