2022-2023学年高一下学期期中质量检测
数学试题
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，且与共线，则（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量平行的坐标公式求解即可
【详解】因为与共线，故，解得
故选：C
2. 若（其中为虚数单位），则在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】
【分析】先利用复数的除法得到，进而得到，再利用复数的几何意义求解.
【详解】解：因为，
所以，
则，
故在复平面上所对应的点在第四象限，
故选：D
3. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意作出图形，利用向量线性运算即可得到答案.
【详解】由题意作出图形,如图,则
，
故选：A.
4. 《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．今有圆亭，被一过上底圆周上一点且垂直于底面的平面所截，截面交圆亭下底于，若尺，劣弧上的点到弦的距离的最大值为6寸，圆亭母线长为10寸，则该圆亭的体积约为（1尺寸，）（ ）
A. 3528立方寸 B. 4410立方寸 C. 3.528立方寸 D. 4.41立方寸
【答案】A
【解析】
【分析】设圆台上底半径为，下底半径为，利用勾股定理求出底面圆半径，再利用勾股定理求出高，再根据圆台的体积公式即可得解.
【详解】解：设圆台上底半径为，下底半径为，
则，所以（寸），（寸），
设圆台的高为，（寸），
所以圆台的体积为：（立方寸）．
故选：A．
5. 在中，是的外心 ，若，则（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 6
【答案】C
【解析】
【分析】取中点H，连接，由已知及正弦定理可求，，再根据平面向量的数量积运算求解即可．
【详解】如图，取中点H，连接，
则，，所以，
在中，，，由正弦定理得，
所以，
所以，
故选：C．
6. 一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（ ）
A. B. 1 C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据圆锥体积与其内切球体积之比求得圆锥底面半径与内切球半径的关系，结合轴截面中三角形的相似，列出比例式，即可求得答案.
【详解】设圆锥体积为，底面半径为R，其内切球体积为，半径为r，
由题意可得,则①，
又∽可得，即，
两边平方得②，
将①代入②化简整理得，
则，
故选：B
7. 在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】方法一：作出图形，设，则.利用余弦定理和基本不等式即可求解. 方法二：根据平面向量的运算可得，
，两式联立，结合基本不等式即可求解.
【详解】方法一：如图，设，则.在中，
由余弦定理得①.
在中，由余弦定理得②.
由①②可得：.
在中，由余弦定理得，当且仅当时等号成立，解得，即的最大值为.
方法二：由题可得，，
所以①.
又因，所以②，
由①②得，
由①得，
则，所以，
当且仅当时，等号成立.所以.
故选：.
8. 如图，在直三棱柱中，，，，点P在棱上，且P靠近B点，当时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据几何关系利用勾股定理可以求出，进而可以求出结果.
【详解】在中，由余弦定理可得，
解得，
，
由得：，
解得：或，又因为，且P靠近B点，所以．
由正弦定理可得，外接圆半径，
三棱锥P-ABC的外接球半径R满足：，
∴外接球表面积，
故选：D．
二 多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9. 下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则
C. 若非零向量，，，满足，则
D. 若，则且
【答案】ABC
【解析】
【分析】A选项，当且方向相同，才有，故A错误，D正确；B选项可以举出反例，C选项利用向量的数量积推导出，故C错误.
【详解】A选项，，但向量方向可能不同，故A错误；
若，则满足，，但可能不平行，故B错误；
若，即，因为，，均为非零向量，所以，故不一定成立，C错误；
若，则且，D正确.
故选：ABC
10. 设复数z在复平面内对应的点为Z，i为虚数单位，则下列说法正确的是（ ）
A. 若，则z的虚部为－2i
B. 若|z|＝1，则z＝±1或z＝±i
C. 若点Z坐标为（－1，3），且z是关于x的实系数方程x2＋px＋q＝0的一个根，则p＋q＝12
D. 若，则点Z的集合所构成的图形的面积为π
【答案】CD
【解析】
【分析】A选项：根据虚部的概念判断即可；
B选项：根据模的公式判断即可；
C选项：根据的坐标得到，然后代入中得到，解方程即可；
D选项：设，根据得到，然后根据几何图形求面积即可.
【详解】A选项：因为，所以的虚部为-2，故A错；
B选项：设，则可以得到，即，有好多种情况，例如，，，此时，故B错；
C选项：若的坐标为，则，又是关于的实系数方程的一个根，所以，所以，解得，，故C正确；
D选项：设，则，即，所以的集合所构成的图形为环形，如下所示：
所以面积为，故D正确.
故选：CD.
11. 在中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则满足条件的有且仅有一个
C. 若，则是直角三角形
D. 若，，则外接圆面积的最小值为
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于A，利用三角形大边对大角及正弦定理的边角变换可证得命题正确；
对于B，结合图像，利用直角三角形中正弦的定义可求得，比较与边会发现存在两个满足条件的；
对于C，利用余弦定理的推论化简，即可证得命题正确；
对于D，先由余弦定理及基本不等式求得的取值范围，再由正弦定理求得外接圆半径的取值范围，，从而求得外接圆面积的最小值
【详解】对于A，因为，所以由三角形大边对大角得，
又由正弦定理知，故，即，故A正确；
对于B，如图，在中，，即，
以为圆心，为半径作圆，会发现该圆与有两个交点，即存在两个满足条件的，故B错误；
对于C，因为，由余弦定理得，整理得，所以是直角三角形，故C正确；
对于D，因为，，
所以，即，
故，即，
所以外接圆面积，即外接圆面积的最小值为，故D正确.
故选：ACD.
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C. 点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
【答案】BC
【解析】
【分析】对于A，由∠ABC为锐角，可得且两向量不共线；对于B，设边上的中点为，证明在边的中线上即可；对于C，由，得，设的中点为，的中点为，可知三点共线，且，从而可判断；对于D，证明是的角平分线，是的角平分线，即可判断.
【详解】对于A，由，
得，
因为∠ABC为锐角，故且不共线，
所以，解得且，故A错误；
对于B，设边上的中点为，则，
因为，所以，
所以，又点为公共端点，所以三点共线，
即点在边的中线上，
同理可得点也在两边的中线上，
所以点O为△ABC的重心，故B正确；
对于C，因为，所以，
如图，设的中点为，的中点为，
则，所以，
又点为公共端点，所以三点共线，且，
所以，
又，
所以，即，故C正确；
对于D，由，
可得，即，
又因，所以，
所以是的角平分线，
由，
可得，即，
又，所以，
所以是的角平分线，
所以点O是且△ABC的内心，故D错误.
故选：BC.
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，向量在上的投影向量的坐标是_____________．
【答案】
【解析】
【分析】直接根据投影向量的公式计算即可.
【详解】，，
向量在上的投影向量的坐标为.
故答案为：.
14. 如图所示，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面图形的周长是__________.
【答案】
【解析】
【分析】根据给定条件，结合斜二测画法规则还原平面四边形，再计算边长作答.
【详解】在等腰梯形中，，，则，
由斜二测画法规则知，四边形的顶点A与原点O重合，点B，D分别在x轴、y轴上，
，且，如图，
显然四边形为直角梯形，于是得，
所以四边形的周长为.
故答案为：
15. 如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为__________．
【答案】
【解析】
【分析】根据旋转体的定义，得到图中阴影部分绕旋转一周，可得旋转体为一个圆锥挖去一个球，结合圆锥和球的体积公式，即可求解.
【详解】连接，则，
设，因为，所以，
在中，，解得，
在中，因为，可得，
设直角绕旋转一周得到的圆锥的体积为，半圆绕旋转一周得到球的体积为，图中阴影部分绕旋转一周，可得旋转体为一个圆锥挖去一个球，
所以图中阴影部分绕直线旋转一周所得旋转体的体积为：
.
故答案为：.
16. 在中，，，依次为边BC上的点，且，设、、…、、，则的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】在中，由正弦定理得；在中，由正弦定理得；进而求得，然后依次求出，相乘即可得到结果.
【详解】由题意知，，
在中，由正弦定理得；
在中，由正弦定理得；
所以；
同理：；；；；
又，所以，
所以=，
在中，由正弦定理得，则；
所以原式.
故答案为：.
四 解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）
（1）求|z|：
（2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）将复数根代入方程中，根据复数相等即可求解，
（2）根据i的周期性以及复数的除法运算法则化简得，结合复数的结合意义即可列不等式求解.
【小问1详解】
由题知
∴
即
，
【小问2详解】
∴
18. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积为，求a．
【答案】（1）
（2）．
【解析】
【分析】（1）由结合正弦定理的边化角公式得出A；
（2）由面积公式得出，再由余弦定理得出.
小问1详解】
由得，
又，所以．
由正弦定理得，
又，所以，
即．又A为△ABC内角，所以．
【小问2详解】
由得，，
解得．
又根据余弦定理得，
所以．
19. 如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为．
（1）用，表示；
（2）若点E是边的中点，直线交于F点，求．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用几何图形，对向量做加减线性运算即可；
（2）根据E，F，B三点共线，得，再设，通过平面向量基本定理求出，再根据向量的数量积即可求出答案.
【小问1详解】
；
【小问2详解】
E，F，B三点共线，
存在实数使，
设，
，解得，
，
由，向量，的夹角为得，
.
20. 已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.
（1）求三棱柱的高；
（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比.
【答案】（1）10或5（2） 或
【解析】
【分析】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，根据相似比有，再根据正三棱柱的侧面积为120，有，两式联立求解.
（2）根据面积之比等于相似比的平方，结合（1）的结论求解.
【详解】（1）设正三棱柱的高为 ，底面边长为 ，如图所示:
则
解得
又因为正三棱柱侧面积为120.
所以
所以
解得 或
所以三棱柱的高是10或5.
（2）因为面积之比等于相似比的平方，
所以棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比：或 .
【点睛】本题主要考查空间几何体中的截面以及相似比、侧面积等问题，还考查了平面与空间的转化求解问题的能力，属于中档题.
21. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
（1）求c；
（2）求的取值范围．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由得出，再利用正弦定理，两角和的正弦公式及诱导公式，将转化为，即可求出答案；
（2）利用正弦定理，将转化为，再根据三角形内角和得出，代入，根据两角差的正弦公式及辅助角公式得出，再由为锐角三角形得出角的范围，即可的取值范围．
【小问1详解】
解：，
，即，
，
又，
，
，
，
，
，即，
，解得．
【小问2详解】
解：由正弦定理得，，
，，
，
， ，
则
，
为锐角三角形，
，
，
，
，
即．
22. 某高档小区有一个池塘，其形状直角，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．
（1）若在内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造连廊供居民观赏，如图②，使得为正三角形，求连廊长的最小值．
【答案】（1）百米；（2）百米．
【解析】
【分析】
（1）先在三角形PBC中利用已知条件求出PC的长度，再在三角形PAC中利用余弦定理求出PA的长度，即可求解；
（2）设出等腰三角形的边长以及角CEF，则可求出CF的长度，进而可得AF的长度，再利用角的关系求出角ADF的大小，然后在三角形ADF中利用正弦定理化简出a的表达式，再利用三角函数的最值即可求出a的最小值，进而可以求解．
【详解】解：（1）因为P是等腰三角形PBC的顶点，且，
又，所以，，又因为，所以，
则在三角形PAC中，由余弦定理可得：
，解得，
所以连廊百米；
（2）设正三角形DEF的边长为a，，
则，，且，所以，
在三角形ADF中，由正弦定理可得：
，即，
即，化简可得，
所以（其中为锐角，且），
即边长的最小值为百米，
所以三角形DEF连廊长的最小值为百米．
【点评】方法点睛：在求三角形边长以及最值的问题时，常常设出角度，将长度表示成角度的三角函数，利用三角函数的值域求最值.2022-2023学年高一下学期期中质量检测
数学试题
一 单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）
1. 已知，且与共线，则（ ）
A. 1 B. 3 C. 2 D.
2. 若（其中为虚数单位），则在复平面上所对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知为所在平面内一点，，则（ ）
A. B.
C. D.
4. 《九章算术》作为古代中国的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．《九章算术》中将圆台称为“圆亭”．今有圆亭，被一过上底圆周上一点且垂直于底面的平面所截，截面交圆亭下底于，若尺，劣弧上的点到弦的距离的最大值为6寸，圆亭母线长为10寸，则该圆亭的体积约为（1尺寸，）（ ）
A. 3528立方寸 B. 4410立方寸 C. 3.528立方寸 D. 4.41立方寸
5. 在中，是的外心 ，若，则（ ）
A. B. 3 C. 6 D. 6
6. 一圆锥的高为4，该圆锥体积与其内切球体积之比为，则其内切球的半径是（ ）
A. B. 1 C. D.
7. 在中，内角的对边分别为，已知，若点为边的中点，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 如图，在直三棱柱中，，，，点P在棱上，且P靠近B点，当时，三棱锥P-ABC的外接球的表面积为（ ）
A. B. C. D.
二 多选题（本题共4小题，每题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有错选的得0分）
9. 下列有关平面向量的命题中，不正确的是（ ）
A. 若，则
B. 已知，，则
C. 若非零向量，，，满足，则
D. 若，则且
11. 在中，角A，B，C所对的对边分别为a，b，c，下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，，，则满足条件的有且仅有一个
C. 若，则是直角三角形
D. 若，，则外接圆面积的最小值为
12. 下列结论正确的是（ ）
A. 若，∠ABC为锐角，则实数m的取值范围是
B. 点O在△ABC所在的平面内，若，则点O为△ABC的重心
C. 点O在△ABC所在的平面内，若，，分别表示△AOC，△ABC的面积，则
D. 点O在△ABC所在的平面内，满足且，则点O是且△ABC的外心
三 填空题（共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知，，向量在上的投影向量的坐标是_____________．
14. 如图所示，平面四边形的斜二测直观图是等腰梯形，，那么原平面图形的周长是__________.
15. 如图中，，在三角形内挖去一个半圆（圆心O在边BC上，半圆与AC、AB分别相切于点C，M，交BC于点N），则图中阴影部分绕直线BC旋转一周所得旋转体的体积为__________．
16. 在中，，，依次为边BC上的点，且，设、、…、、，则的值为__________．
四 解答题（本题共6小题，共70分，解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
17. 已知复数z=m＋2i是方程的根（i是虚数单位，m∈R）
（1）求|z|：
（2）设复数，（是z的共复数），且复数所对应的点在第三象限，求实数a的取值范围．
18. 已知△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量，，且．
（1）求A；
（2）若，△ABC的面积为，求a．
19. 如图，在中，设，，又，，向量，的夹角为．
（1）用，表示；
（2）若点E是边的中点，直线交于F点，求．
20. 已知正三棱锥，一个正三棱柱的一个底面的三个顶点在正三棱锥的三条侧棱上，另一底面在正三棱锥的底面上，若正三棱锥的高为15，底面边长为12，内接正三棱柱的侧面积为120.
（1）求三棱柱的高；
（2）求棱柱的上底面截棱锥所得的小棱锥与原棱锥的侧面积之比.
21. 在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，已知，．
（1）求c；
（2）求的取值范围．
22. 某高档小区有一个池塘，其形状直角，，百米，百米，现准备养一批观赏鱼供小区居民观赏．
（1）若在内部取一点P，建造APC连廊供居民观赏，如图①，使得点P是等腰三角形PBC的顶点，且，求连廊的长；
（2）若分别在AB，BC，CA上取点D，E，F，建造连廊供居民观赏，如图②，使得为正三角形，求连廊长的最小值．
