整式的乘除与因式分解[上学期]
文档属性
| 名称 | 整式的乘除与因式分解[上学期] |  | |
| 格式 | rar | ||
| 文件大小 | 139.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教版（新课程标准） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2008-10-28 10:49:00 | ||
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文档简介
§15．1 整式的加减
课时安排
2课时
本节包括整式与整式的加减，分两课时完成．整式属于概念课，教学时要力图概念形成的过程，可以首先给学生感性材料，让他们观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，最后进行抽象、概括．对单项式与多项式概念的处理采取逐步引入，层层加深的方法，这符合学生的认知规律，使学生能顺利接受，同时也培养了学生良好的思维习惯．整式的加减是在理解整式概念的基础上进行的初步运算，它的实质就是去括号、合并同类项，在理解算理的前提下，通过适当的训练，让学生掌握整式加减的一般步骤．
概念课，需要由特殊到一般，由具体到抽象，教学中力求向学生渗透数学知识来源于生活，又服务于生活的辩证关系．通过初步的符号表示与字母运算，进一步培养学生的数学推理能力．
§15．1．1 整式的加减(一)
教学目标
（一）教学知识点
1．单项式、单项式的次数．
2．多项式、多项式的次数．
（二）能力训练要求
1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．
2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念．
（三）情感与价值观要求
通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．
教学重点: 单项式及多项式的有关概念．
教学方法
讲授与自主探索相结合的方法．
在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念．
[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
一．明确和巩固单项式的有关概念
（出示投影）
．与a+b+c、ch、这三个代数式比较有没有特别之处呢？请分组讨论．
学生活动:发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．
还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
它是不是一个特殊的代数式呢？
[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
总结:
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
二．明确和巩固多项式的有关概念
师：生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
[生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.14r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．给出概念：
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
三．随堂练习
1．课本P162练习
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．
Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
2．预习“整式的加减”．
板书设计
§15．1．2 整式的加减(二)
教学目标 ①在具体情境中认识同类项，理解同类项的概念，会判断同类项．②使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并能熟练地合并同类项．③掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号、添括号．④学生能在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算．⑤经历观察、类比、思考、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识与合作精神．
教学重点 合并同类项．
教学难点 合并同类项．
教学过程（师生活动） 设计理念
创设情境，提出问题 问题1：在第二章中曾经解决过的一个问题，某校前年、去年、今年购买的计算机台数分别是x，2x，4x，那么这个学校这三年购买的计算机台数是7x，即x＋2x＋4x＝7x。教师要求学生仔细观察，从中能够得到什么结论 学生观察后进行交流． 从学生生活中的实例出发，创设情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来．
大胆猜测，归纳提升 1．探索同类项概念 问题2：一个多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5，并问学生： (1)这个多项式中含有哪些项 (2)各项的系数又是多少 (3)哪些项可以合并成一项 为什么 学生独立思考，小组交流后全班讨论．在教师的启发下，学生经过小组讨论发现：除了-3与5，还有3x2y与5x2y，-4xy2与2xy2可以分别合并．学生自己给同类项命名：把这些可以合并的项叫做同类项． 教师迫问：它们具有什么共同特征 通过讨论，学生总结：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项． 2．建立同类项概念 游戏：一个学生任意说出一个单项式，另一个同学说出它的同类项． 学生接受同类项的定义并不难，做到判断无误却非易事．需要通过练习，反复强调同类项的两条判断标准，使学生通过甄别、比较、逐步达到判断准确，合并熟练的程度．游戏目的是让全体学生能够真正参与到课堂教学中来，让学生在较为轻松的情境中学会同类项概念，识别同类项．
深入探究 1．想一想 (1)从学生的回答中任意挑选几个同类项，组成多项式．如，问：x+2x+3x＝ 你是怎样得出结论的 (2)你知道2x2-4x2＝ -3xy3+5xy3= 说说你们的方法，并互相交流． 让学生先独立完成，再组织交流． 2．挑战自我 (1)x+2x+2x2-4x2-3xy3+5xy3＝ (2)x-4x2+5xy3+2x-3xy3+2x2＝ (3)求多项式x-4x2+5xy3与2x-3xy3+2x2的和； (4)求多项式x-4x2+5xy3+2x与3xy3-2x2的差． 3．得出结论： (1)把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项． 从学生自己的回答中选择一些式子组成多项式，通过现察思考自己总结出合并同类项的法则，增强学生参与的兴趣． 在探索过程中，提醒学生注章合并同类项运用乘法的三个运算律时，要注意符号问题，即要移动任意一项必须连同项的符号一起移动．在解决挑战自我的(3)、(4)时，列式后第一步是去括号，注意括号内符号的变化．第二步是合并同类项．
巩固新知 (2)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，再合并同类项． 例1 教科书第165页例1(实际应用问题) 例2教科书第166页例2 补充：求2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy-2y+1的值，其中x=-，y=-1． 学生独立思考后交流各自解决方法． 学生自己得出结论：解决这类问题先化简再求值更加简单． 合并同类项时，为避免发生漏项的错误，在解决问题时重视解题的步骤，先标出同类项，然后再根据法则，合并各组同类项， 例2及其补充题鼓励学生先独立完成，再交流不同的方法，以使学生体会合并同类项的作用．
比一比 规定时间内完成教科书第166页练习，看谁做得既快又对．
课外练习 1．必做题：教科书第167页习题15．1第3、4、5、6、7、8题． 2.课本第168页习题15．1第9、10题
设计思想
学生对新知识的学习不应该只是通过教师单纯地讲解与学生机械地模仿，而是应该通过学生参与数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而使学生更好地理解知识，掌握必要的技能，坚定学好数学的愿望与信心． 本节课妁教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，从学生生活中的实例出发，让学生自己去观察家里的橱柜摆设，创设问题情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来，让学生对生活中的“同类项”和“合并同类项”有了直观的认识．在学习过程中，让学生自己经历探索与交流的活动，自主地得到同类项的概念；利用分配律观察并归纳出合并同类项的法则，这样他们所学到的知识是真正属于自己的，而不是别人强加给他们的． 在教学活动中，教师鼓励学生自主探索与合作交流．学生通过这样的数学活动，不仅主动地获取知识，而且在活动过程中产生了积极的学习情感。
§15．2 整式的乘法
课时安排
4课时
整式的乘法包括四大块内容：一是同底数幂的乘法；二是幂的乘方；三是积的乘方；四是整式的乘方，它包括单项式与单项式的乘积、单项式与多项式的乘积、多项式与多项式的乘积．其中四是一、二、三的综合应用．整式乘法是学生在掌握数的乘法、数乘运算法则的基础上进行字母、整式运算，它是思维的进一步深化，是对特殊──一般──特殊的认知规律的进一步理解．
本节内容按4课时完成，探究呈步步深入状态，学法有类似之处，所以教学时，以问题形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，使学生在学习过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，体验创新的乐趣．
本节教学的重点应放在正确理解“运算法则”上，教学中应给学生足够的时间，进行探索、归纳、发现、总结，从而理解运算法则，以至灵活运用法则解决问题，而不是包办代替，直接给出运算法则，让学生死记硬背，机械应用．通过本节学习，要使学生在对知识的再创造和再发现的活动中培养创新精神和探索能力．
§15．2．1 同底数幂的乘法
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．
（三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
（出示投影片）
提出问题：
（出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]1012×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1012×103=×（10×10×10）==1015．
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
Ⅱ．导入新课
1．做一做
出示投影片：
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
出示投影片
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an=·==am+n
于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
3．例题讲解
出示投影片
学生活动:板演
Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习：计算
Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
板书设计
§15．2．3 单项式与单项式相乘,
单项式与多项式相乘
教学目标 ①探索并了解单项式与单顷式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算，②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
教学难点 单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学过程（师生活动） 设计理念
复习引新 1．知识回顾： 回忆幂的运算性质： am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (am)n＝amn(m，n都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (ab)n＝anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．
创设情境引入新课 问题 光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗 地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米． 问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢 学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决： (3×105)×(5×102) ＝(3×5)×(105×102) ＝15×107(为什么 ) 在此处再问学生更加规范的书写是什么 应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米。 请学生回顾，我们是如何解决问题的． 从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
探究新知 1.问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗 学生独立思考，小组交流． 学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律． ac5·bc2 ＝(a·c5)·(b·c2) ＝(a·b)·(c5·c2) ＝abc5＋2＝abc7 2．试一试： 类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－4b2c) ac5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法 学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．算一算例1教科书第173页例4例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米 4．辩一辩 教科书第174页练习2 从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题． 在例题教学中应该先让学生现察有哪些运算，如何利用运算性质和法则，分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
深入探究 1．师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识． 2．试一试 计算：2a2·(3a2－5b) (根据乘法分配律，不难算出结果吧！) 3．想一想 从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘 学生发言，互相补充后得出结论： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 4．做一做 教科书第174页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号) 这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论。 因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论。 学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
课外巩固 1．必做题：教科书第177页习题15．2第3、4、6题 2．备选题： (1)若(－5am＋1b2n－1)(2anbm)＝－lOa4b4，则m－n的值为( ) (2)计算：(a3b)2(a2b)3 (3)计算：(3a2b)2＋(－2ab)(－4a3b) (4)计算：(－xy)·(xy2－2y＋y)
设计思想
单项式的乘法用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法．因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位．所以在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教学过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系．在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力．因为整式是在数的运算的基础上发展起来的，所以在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，格新知识转化为已经学过的知识．无论是单项式乘以单项式4(转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行。
§15．2．4 多项式与多项式相乘
教学目标 ①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点 多项式与多项式相乘．
教学难点 多项式与多项式相乘．
教学过程（师生活动） 设计理念
复习引新 1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法． 2．练一练：教科书第175页练习1、2 我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系 学生独立思考后交换各自的解法： 方法一：这块花园现在长(a＋b)米，宽(m＋n)米，因而面积为(a＋b)(m＋n)米2． 方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为： am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am＋an＋bm＋bn)米2． (a＋b)(m＋n)和(am＋an十bm十bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a＋b)(m十n)＝am＋an＋bm＋bn 用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积 用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣． 借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a＋b)(m＋n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn，让学生对这个结论有直现感受．
探究新知 引导学生观察等式的左边(a＋b)(m＋n)是两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法． 进一步引导学生，如果我们把(m＋n)看成一个整体，那么两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做． 1．做一做 (a＋b)(m＋n) ＝a(m＋n)＋b(m＋n) ＝am＋an＋bm＋bn 2．讲一讲 让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．试一试 例1 教科书第176页例6 教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号． 例2 先化简，再求值： (a－3b)2＋(3a＋b)2－(a＋5b)2＋(a－5b)2，其中a＝－8，b＝－6 4．练一练 教科书第177页练习1 把(m＋n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m＋n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了。
深入探索 1．试一试 例3 计算：(x＋2)(x－3) 2．想一想 问：结果中的x2，－6是怎样得到的 学生口答． 继续完成教科书第l77页练习2 问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗 (1)学生交流各自的发现． (2)结合教科书第177页练习第3题图，直观认识规律，并完成此题． 3．练一练 (1)计算(口答)； ①(x＋2)(x＋3)； ②(x－1)(x＋2)； ③(x＋2)(x－2)； ④(x－5)(x－6)； ⑤(x＋5)(x＋5)； ⑥(x－5)(x－5)； (2)口答：教科书第178页习题15．2第12题． 让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所 蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣。
小结
设计思想
本章在第一节课提出“怎样用不同的方法表示扩大后的绿地面积，用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”的问题，当时提出这个问题的目的是为了激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣，在学习了整式的加减与单项式与单项式、多项式与单项式的乘法后，与之呼应，又提出了当时悬而未决的问题“用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”教学中充分利用直观的几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，让学生从图形中可以看到(a＋b)(m＋n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn，先对多项式乘以多项式的方法有直观感受，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一．然后在性质推导中把(m十n)看成一个单项式，渗透很重要的思想和方法：整体思想．在教学过程中；学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．
15．3．1 平方差公式
教学目标 ①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点 平方差公式的推导及应用．
教学难点 用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学准备 卡片及多媒体课件
教学过程（师生活动） 设计理念
引入 同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题： 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗 (1)(x＋1)(x－1)＝ (2)(m＋2)(m－2)＝ (3)(2x＋1)(2x－1)＝ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括． (1)平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么 让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．
举例 再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报． (2)这里是对前边进行的运算的讨论，为下一步运用公式进行简单计算打下基础。
验证 我们再来计算(a＋b)(a－b)＝ 公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示．
概括 平方差公式及其形式特征． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因。
应用 教科书第180页例1 运用平方差公式计算： (1)(3x＋2)(3x－2) (2)(6＋2a)(2a－b) (3)(－x＋2y)(－x－2y) 填表：(a＋b)(a－b)aba2－b2最后结果(3x＋2)(3x－2)2(3x)2－22(b＋2a)(2a－b)(x+2y)(-x－2y) 对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算． (1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解。
教科 教科书书第180页例2 计算： (1)102×98 (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5) 此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的． (1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．
巩固 教科书第181页练习1、2 练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成。 让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感。
解释 你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗 多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示． 此处将教科书的图15.3－1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式。
小结 谈一谈：你这一节课有什么收获
作业 1．必做题：教科书第184页习题15．3第一大题 作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则.
设计思想
在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用．自主探究、单一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习．
课题：15．3．2 完全平方公式
教学目标 ①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
教学重点 (a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．
教学难点 公式的结构特征及教科书P184例5．
教学准备 投影仪；多媒体课件；小黑板．边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．
教学过程（师生活动） 设计理念
引入 同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题： 。在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力。
探究 计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗 (1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝_____ (2)(m＋2)2＝_____ (3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝_____ (4)(m－2)2＝_____ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括． 举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报。 (2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算。
验证 我们再来计算(a＋b)2，(a－b)2． 公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例—归纳—猜想—验证一用数学符号表示．
概括 完全平方公式及其形式特征． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因。 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2 (3)对公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一。
应用 教科书第182页例3 运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2 (2)(y－)2 引导学生用如下的填空形式完成例3：解：(1)∵(4m＋n)2是____与____和的平方， 可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率。 (1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解． (2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误．
教科 教科书第183页例4 运用完全平方公式计算： (1)1022 (2)992 此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性． 运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题。
解释 (1)现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义： (2)你能根据下图(教科书第182页图15．3—3)说明(a－b)2＝a2－2ab十b2吗 第(1)小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快 第(2)小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2。 (1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．(2)此处将教科书的图15．3－2改为由学生自主拼图得到公式，是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法，利用这个拼图游戏，可进一步促使学生关注几何与代数的联系，增进学生的认知和对公式的记忆 (3)教科书的图15.3－3比较难读懂，可引导学生合作交流得出代数恒等式。
思考 (a＋b)2与(－a－b)2相等吗 (a－b)2与(b－a)2相等吗 (a－b)2与a2－b2相等吗 为什么 组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
拓展 教科书第184，页例5 运用乘法公式计算， (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3) (2)(a＋b＋c)2 讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1．然后给出例5的题目，让学生思考该选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a、b对照，其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式。 在解此例的过程中，应注意边辨析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点。 (1)“添括号法则”采用自学的方法得出，可培养学生一定的自学能力。 (2)有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式，在此可通过解题思路的分析，注意公式中字母的广泛意义，并渗透换元的思想。其中第二小题的结果特征明显，可作为一个新的乘法公式。
小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪一些认识 它与平方差公式有什么区别和联系 梳理知识，形成体系。
作业 1. 必做题：教科书第185页习题15．3第二大题的(1)、(3)、(4)、(5)；第三大题的(2)；第四大题． 书本上有关完全平方公式的习题量较多，层次也比较明显，
设计思想
本节课是在学习了《平方差公式》之后进行的，学习的方法与上节课类似，但本课时中的内容多，难点也较多；所以对课堂教学的组织要求就更高．所以在设计活动时，我紧紧围绕着“完全平方公式如何得到和应用”这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出丁不同的要求，使知识层层深入，环环紧扣．
课题：15．4 整式的除法
教学目标 ①经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．②了解同底数幂的除法的运算性质，能解决一些实际问题，提高应用能力．③感受数学法则、公式的简洁美与和谐美．
教学重点 同底数幂的除法法则．
教学难点 同底数幂的除法法则的推导．
教学准备 卡片及多媒体课件．
教学过程（师生活动） 设计理念
情境引入 教科书第187页问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片 你是怎么计算的 该问题提出后，教师可以采取由学生个人独立思考完成，小组内交流，继而全班交流的方法，鼓励学生勇于利用已学知识解决实际问题，善于将陌生问题转化为熟悉问题．这里还应鼓励算法的多样化，同时强调算理的叙述。 教科书从实际问题引入同底数幂的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习同底数幂的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系
探究新知 根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律 (1)55÷53＝5( )； (2)107÷lO5＝10( )； (3)a6÷a3＝a( )． 教师可以鼓励学生自己发现底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述． 同底数幂的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底敷幂的除法运算性质，井能运用乘除互逆的关系加以说明.
归纳法则 一般地，我们有am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
讨论 为什么这里规定a≠0
应用新知 例1计算： (1)x8÷x2； (2)a4÷a； (3)(ab)5÷(ab)2； (4)(x+y)6÷(x+y)4． 对本例可以采用学生口述每一步计算的过程以及依据，同时教师板书的形式完成．口述和板书都应注意强调幂的意义，不停留于套用的层面，可再现法则的推导。计算过程的详尽可使学生进一步体会算理，并更深刻地理解法则。 在熟悉公式基本应用的同时，还要引导学生正确理解公式中字母的广泛意义，进一步体会底数a的含义，即它既可以是单独的一个数，也可以是含有字母的整式，故在此补充了第(4)小题；
巩固新知 ①你问我答：自主编题，同桌互答 ②教科书第189页练习1及练习2的(1)、(3)、(4)．采用“比一比，赛一赛”的形式进行． 抓住初中学生好胜的心理，调节课堂节奏．
再探新知 分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论 (1)32÷32＝( )；(2)103÷103＝( )；(3)am÷am＝( )(d≠0)．规定：a0＝1(a≠0)．即任何不等于0的数的0次幂都等于1．法则扩展：一般地，我们有am÷an＝am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 使学生明确：零指数的出现是对原有正整数指数概念的扩展，它的意义：a0＝1(a≠0)，并不是由同底数幂的除法得出的，而是为了使同底数摹的除法法则在被除式的指数和除式的指数相等的情况下也能适用所作出的规定．
解决问题 1．教科书第189页练习3 可由四位学生板演，尽可能把机会留给学习困难的学生． 2．请举一个应用同底数幂除法解决实际问题的例子． (1)练习3的难度不大，由学习困难的学生来展示自己本节课的所学成果.
布置作业 1．必做题：教科书第193页习题15．4第—大题(1)、(2)、(3)；2．选做题：教科书第193页习题15．4第七大题 每节课后的练习坚持分层的原则，可以更好地调动各个层次学生的学习热情，使他们乐于完成．
设计思想
回顾整节课的设计，我主要着力于以下三个方面： 1．关于教材处理：为了给学生尽可能多地提供参与活动的机会，在本节课中我主要做了这些努力： (1)通过“你是怎么算的”“探究新知”两个活动，吸引学生参与活动； (2)通过“你问我答”“再探新知”两个活动，鼓励学生主动参与活动； (3)通过“解决问题…‘填写评价表”两个活动，促进学生参与活动． 2．关于教与学方法的选择：我在设计中始终关注：如何认真组织，让学生在丰富的活动中探索、交流与创新，因此我选择了“引导一发现教学法”，具体做法如下： (1)应用乘除互逆、类比分数的思想，引导学生独立思考、小组协作，完成对同底数幂相除法则的自主建构，突出代数推理能力的养成， (2)加强应用性，通过“情境引入”“解决问题”两个环节，密切同底数幂除法与现实生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，突出解决实际问题的能、力的培养．
课题：15．4．2 整式的除法
教学目标 ①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点 整式除法的运算法则及其运用．
教学难点 整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．
教学准备 卡片及多媒体课件．
教学过程（师生活动） 设计理念
情境引入 教科书第189页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗 重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型． 教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性．
探究新知 (1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么 (2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗 8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2． (3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗 教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述． 单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行。探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．
归纳法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
应用新知 (1)28x4y2÷7x3y； (2)-5a5b3c÷15a4b． 首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则。 单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意。
巩固新知 教科书第191页练习1及练习2．学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
再探新知 计算下列各式： (1)(am+bm)÷m； (2)(a2+ab)÷a； (3)(4x2y+2xy2)÷2xy． ①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗 在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同． 教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题．教学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑。
归纳法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 你能把这句话写成公式的形式吗 能够运用自己的语言叙述如何进行运算，用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．
解决问题 教科书第192页例3 计算 (1)(12a3-6a2+3a)÷3a； (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)； (3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x 幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性． 通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力．
巩固新知 教科书第192页练习利用投影仅反馈学生解题过程． 本课课堂容量较大，可利用多媒体提高效率．
布置作业 1．必做题：教科书第193页习题15．4第一大题(4)；第二大题；第三大题；第四大题；第五大题；第六大题． 2．选做题：教科书第193页习题15．4第八大题 3．备选题：下列计算是否正确 如不正确，应怎样改正 易错题、改错题可以培养运算能力，加深对法则的理解．(1)-4ab2÷2ab＝2b(2)(14a3-2a2+a)÷a＝14a2-2a
设计思想
《数学课程标准》强调：要让学生经历知识的形成与应用的过程．通过课堂学习，我们不应只关心学生记住了多少性质，背出了几个公式，更应关注的是学生是否参与了知识的发现、形成过程，并从中体验成功的喜悦，掌握学习策略，发展能力．所以本节课我采用“自主探究性学习”．“自主探究性学习”是以学生自主探究为主的教学方式，在实践中我认为这样一些内容可以采用此教学方式： 1．规律的发现2．方法的寻找3．开放性的问题4．知识的形成过程．本课的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，继而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构(熟悉分数的约分和幂的意义)基础上，建构整式的除法法则．同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率．
§15．5 因式分解
课时安排
3课时
学习因式分解有承上启示的作用，它可以复习整式的四则运算，又为以后学习分式打下良好的基础．学好它既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力．
因式分解与整式乘法是相反方向的变化，所以要求学生掌握两种常用的因式分解方法──提取公因式法和公式法．提公因式法重点在于找对公因式，理解公因式的实质：它可以是单项式，也可以是多项式，然后进行因式分解；公式法是逆用平方差公式和完全平方公式，所以要引导学生理清公式结构特征，恰当利用公式进行因式分解．十字相乘法也是因式分解的一种重要方法，学生有了学习提公因式法和公式法的基础，教材将它安排在观察与猜想中，供学生了解，学有余力的同学掌握最好．
通过学习因式分解，可以进一步培养学生的逆向思维能力，渗透化归的思想方法．
§15．5．1 提公因式法
教学目标
（一）教学知识点
1．因式公解、公因式．
2．用提公因式法分解因式．
（二）能力训练要求
1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．
2．了解公因式概念和提取公因式的方法．
3．会用提取公因式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
教学重点:用提公因式法分解因式．
教学难点:何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
教学方法:导发现法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（出示投影片）
（1）20×（-3）2+60×（-3）
（2）1012-992
（3）572+2×57×43+432
（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）
[师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．
Ⅱ．导入新课
1．分析讨论，探究新知．
出示投影片
把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x2+x=_________
（2）x2-1=_________
（3）am+bm+cm=__________
[生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
（1）x2+x=x（x+1）
（2）x2-1=（x+1）（x-1）
（3）am+bm+cm=m（a+b+c）
[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．
再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
[生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．
于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题教学，运用新知．
[例1]把8a3b2-12ab3c分解因式．
[例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
[例3]把3x3-6xy+x分解因式．
[例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．
[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）
总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P194练习1、2、3．
四．课时小结
[师]今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧．
各项有“公”先提“公”，
首项有负常提负．
某项提出莫漏1．
括号里面分到“底”．
Ⅴ．课后作业
课本P198～P199习题15．5─1、4．（1），６题．
课题： 15．5 因式分解(2)
教学目标 ①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生钓观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．③进—步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点 运用公式法进行因式分解．
教学难点 观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备 要求学生对平方差公式和完全平方公式准确理解．
教学过程（师生活动） 设计理念
问题思考(探究)引入 问题：1．什么叫因式分解 2．你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗 这两个多项式有什么共同的特点 对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点． 特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即：(+b)(a-b)＝a2-b2反过来就是： a2-b2＝(a+b)(a-b) 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．例1 分解因式：(1)4x2-9 (2)x2-0.O1y2 (3)(x+p)2-(x+q)2 分析：注意引导学生观祭这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解． 能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2－( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(3)题中应是多项式了． 例2分解因式 (1)x4-y4 (2)a3b-ab 分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解． (2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解． 学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用． 问题1使学生回忆因式分解的概念． 问题2使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行固式分解．利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是两个“东西”的平方差．这里的“东西”可以是具体的数、单项式或多项式，所以在分析时可应用形式化的符号：如( )、△、□以避免出现类似4x2-9=(4x+3)(4x-3)这样的错误．平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识． 练习题要培养学，生的观察能力和审题习惯．
巩固练习 做教科书第19&页的练习． 第1题是4个小题的题组，对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理： 第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯。 注意要将因式分解进行到不能再分解为止． 用完全平方公式分解因式类似用平方差公式分解因式，所以学生易于接受．教学方法以学生自主探究为主，教师适当引导和指导的方式进行，这样有利于学生自己获取知识能力的提高．
问题探究·研究性学习 问题：你能将多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解吗 这两个多项式有什么特点 建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来． 可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．然后交流各自的体会． 练习：教科书第200页的练习题． 把多项式向公式的方向变形和转化．第2小题注意，渗透换整体和换元的思想．
小结与作业
小结提高 1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征． 2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤. 对这些问题进行回顾和小结能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力．
布置作业 1、必做题：教科书第200页习题15．5第2、3题，第4题的第2小题，第5题，第9题； ③90000
设计思想
本节课是因式分解的第一节课，主要是研究用平方差公式和完全平方公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法，教学设计有如下的特点： 1. 由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础．课题的引入简单而紧扣主题． 2．在对因式分解的概念有较深刻理解的基础上，学习应用平方差公式和完全平方公式时，应把重点放在帮助学生观察和分析这两个公式的特点上来，弄清他们的特点是能否正确分解的关键，所以设计中突出体现了对公式的形式化的理解，教师应把公式中的字母看成一个“东西”，这个“东西”就是一个整体，体现着换元的思想，教学中要应用不同的符号体现这个思想． 3．多项式的因式分解方法多，技巧性也较强，本书只介绍最基本的因式分解方法，但对因式分解的思考方向和步骤有较强的统一性，一般是先提公因式再用公式法或其他的方法，对这些方法的综合应用是教学的难点之一，在教学中要注意渗透这些认识和处理问题的策略． 4．本课考虑到应用完全平方公式和平方差教学的相似性，所以把这两个公式放在一节课来学习，对学生来说增加了难度，实际教学中要充分认识到这一点，可视学生的实际情况安排教学内容，但对于完全平方公式要以学生的自主学习为主，教师要把精力放到适当的指导和总体方向的把握上来．
思考：
先填空，再看看列出的式子有什么特点．
（1）边长为x的正方形的周长为_________；
（2）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为_______千米．
（3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；
（4）设n表示一个数，则它的相反数是________．
都是数字或字母的积的代数式叫做单项式．
单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）温度由t℃下降5℃后是________℃；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要________元．
（3）如图（1），三角尺的面积为（取3.14）_________；
（4）图（2）是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_________米2．
几个单项式的和叫做多项式．
多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项．
多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数．
计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
[例1]计算：
（1）x2·x5 （2）a·a6
（3）2×24×23 （4）xm·x3m+1
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
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1
课时安排
2课时
本节包括整式与整式的加减，分两课时完成．整式属于概念课，教学时要力图概念形成的过程，可以首先给学生感性材料，让他们观察、分析、比较，找出材料中个体的共同点，最后进行抽象、概括．对单项式与多项式概念的处理采取逐步引入，层层加深的方法，这符合学生的认知规律，使学生能顺利接受，同时也培养了学生良好的思维习惯．整式的加减是在理解整式概念的基础上进行的初步运算，它的实质就是去括号、合并同类项，在理解算理的前提下，通过适当的训练，让学生掌握整式加减的一般步骤．
概念课，需要由特殊到一般，由具体到抽象，教学中力求向学生渗透数学知识来源于生活，又服务于生活的辩证关系．通过初步的符号表示与字母运算，进一步培养学生的数学推理能力．
§15．1．1 整式的加减(一)
教学目标
（一）教学知识点
1．单项式、单项式的次数．
2．多项式、多项式的次数．
（二）能力训练要求
1．能从具体情景中抽象出数量关系和变化规律，让学生经历具体问题的探索过程，培养符号感．
2．理解单项式、多项式及其次数概念，进而理解整式概念．
（三）情感与价值观要求
通过丰富多彩的现实情景，让学生经历从具体问题中抽象出数量关系，在解决问题中了解数学的价值，发展“用数学”的信心．
教学重点: 单项式及多项式的有关概念．
教学方法
讲授与自主探索相结合的方法．
在学生自主探索现实情景中用字母表示数的问题，认识代数式作用的基础上，教师进行启发式讲解，使学生掌握整式的有关概念．
[师]代数式可以简明地表示数量和数量的关系．今天我们就来学习和代数式有关的整式．
一．明确和巩固单项式的有关概念
（出示投影）
．与a+b+c、ch、这三个代数式比较有没有特别之处呢？请分组讨论．
学生活动:发现这五个式子都是数与字母或字母与字母的积，而a+b+c、ch、中还有和与商的运算符号．
还可以发现这五个代数式中字母指数各不相同，字母的个数也不尽相同．
它是不是一个特殊的代数式呢？
[师]请同学们阅读课本P160～P161单项式有关概念．
总结:
根据这些定义判断4x、vt、6a2、a3、-n、a+b+c、ch、这些代数式中，哪些是单项式？是单项式的，写出它的系数和次数．
二．明确和巩固多项式的有关概念
师：生活中不仅仅有单项式，像a+b+c，它不是单项式，和单项式有什么联系呢？
[生]（1）t-5．（2）3x+5y+2z．
（3）三角尺的面积应是直角三角形的面积减去圆的面积，即ab-3.14r2．
（4）建筑面积等于四个矩形的面积之和．而右边两个已知矩形面积分别为3×2、4×3，所以它们的面积和是18．于是得这所住宅的建筑面积是x2+2x+18．
我们可以观察下列代数式：
a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18．发现它们都是由单项式的和组成的式子．给出概念：
根据定义，我们不难得出a+b+c、t-5、3x+5y+2z、ab-3.14r2、x2+2x+18都是多项式．请分别指出它们的项和次数．
这节课，通过探究我们得到单项式和多项式的有关概念，它们可以反映变化的世界．同时，我们也体会到符号的魅力所在．我们把单项式与多项式统称为整式．
三．随堂练习
1．课本P162练习
Ⅳ．课时小结
通过探究，我们了解了整式的概念．理解并掌握单项式、多项式的有关概念是本节的重点，特别是它们的次数．在现实情景中进一步理解了用字母表示数的意义，发展符号感．
Ⅴ．课后作业
1．课本P165～P166习题15．1─1、5、8、9题．
2．预习“整式的加减”．
板书设计
§15．1．2 整式的加减(二)
教学目标 ①在具体情境中认识同类项，理解同类项的概念，会判断同类项．②使学生在理解同类项概念的基础上，掌握合并同类项的方法，并能熟练地合并同类项．③掌握添括号的法则，能正确地进行同类项的合并和去括号、添括号．④学生能在准确判断、正确合并同类项的基础上，进行整式的加减运算．⑤经历观察、类比、思考、探索、交流和反思等数学活动，培养学生的创新意识与合作精神．
教学重点 合并同类项．
教学难点 合并同类项．
教学过程（师生活动） 设计理念
创设情境，提出问题 问题1：在第二章中曾经解决过的一个问题，某校前年、去年、今年购买的计算机台数分别是x，2x，4x，那么这个学校这三年购买的计算机台数是7x，即x＋2x＋4x＝7x。教师要求学生仔细观察，从中能够得到什么结论 学生观察后进行交流． 从学生生活中的实例出发，创设情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来．
大胆猜测，归纳提升 1．探索同类项概念 问题2：一个多项式3x2y-4xy2-3+5x2y+2xy2+5，并问学生： (1)这个多项式中含有哪些项 (2)各项的系数又是多少 (3)哪些项可以合并成一项 为什么 学生独立思考，小组交流后全班讨论．在教师的启发下，学生经过小组讨论发现：除了-3与5，还有3x2y与5x2y，-4xy2与2xy2可以分别合并．学生自己给同类项命名：把这些可以合并的项叫做同类项． 教师迫问：它们具有什么共同特征 通过讨论，学生总结：所含字母相同，并且相同字母的指数也分别相等的项叫做同类项． 2．建立同类项概念 游戏：一个学生任意说出一个单项式，另一个同学说出它的同类项． 学生接受同类项的定义并不难，做到判断无误却非易事．需要通过练习，反复强调同类项的两条判断标准，使学生通过甄别、比较、逐步达到判断准确，合并熟练的程度．游戏目的是让全体学生能够真正参与到课堂教学中来，让学生在较为轻松的情境中学会同类项概念，识别同类项．
深入探究 1．想一想 (1)从学生的回答中任意挑选几个同类项，组成多项式．如，问：x+2x+3x＝ 你是怎样得出结论的 (2)你知道2x2-4x2＝ -3xy3+5xy3= 说说你们的方法，并互相交流． 让学生先独立完成，再组织交流． 2．挑战自我 (1)x+2x+2x2-4x2-3xy3+5xy3＝ (2)x-4x2+5xy3+2x-3xy3+2x2＝ (3)求多项式x-4x2+5xy3与2x-3xy3+2x2的和； (4)求多项式x-4x2+5xy3+2x与3xy3-2x2的差． 3．得出结论： (1)把多项式中的同类项合并成一项，即把它们的系数相加作为新的系数，而字母部分不变，叫做合并同类项． 从学生自己的回答中选择一些式子组成多项式，通过现察思考自己总结出合并同类项的法则，增强学生参与的兴趣． 在探索过程中，提醒学生注章合并同类项运用乘法的三个运算律时，要注意符号问题，即要移动任意一项必须连同项的符号一起移动．在解决挑战自我的(3)、(4)时，列式后第一步是去括号，注意括号内符号的变化．第二步是合并同类项．
巩固新知 (2)几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加减号连接；然后去括号，再合并同类项． 例1 教科书第165页例1(实际应用问题) 例2教科书第166页例2 补充：求2x2-3xy+y2-2xy-2x2+5xy-2y+1的值，其中x=-，y=-1． 学生独立思考后交流各自解决方法． 学生自己得出结论：解决这类问题先化简再求值更加简单． 合并同类项时，为避免发生漏项的错误，在解决问题时重视解题的步骤，先标出同类项，然后再根据法则，合并各组同类项， 例2及其补充题鼓励学生先独立完成，再交流不同的方法，以使学生体会合并同类项的作用．
比一比 规定时间内完成教科书第166页练习，看谁做得既快又对．
课外练习 1．必做题：教科书第167页习题15．1第3、4、5、6、7、8题． 2.课本第168页习题15．1第9、10题
设计思想
学生对新知识的学习不应该只是通过教师单纯地讲解与学生机械地模仿，而是应该通过学生参与数学活动，让学生经历知识的形成与应用的过程，从而使学生更好地理解知识，掌握必要的技能，坚定学好数学的愿望与信心． 本节课妁教学设计是以人教版教材和课程标准为依据，从学生生活中的实例出发，让学生自己去观察家里的橱柜摆设，创设问题情境，在激起学生学习的兴趣的同时也把生活中的分类思想引到数学中来，让学生对生活中的“同类项”和“合并同类项”有了直观的认识．在学习过程中，让学生自己经历探索与交流的活动，自主地得到同类项的概念；利用分配律观察并归纳出合并同类项的法则，这样他们所学到的知识是真正属于自己的，而不是别人强加给他们的． 在教学活动中，教师鼓励学生自主探索与合作交流．学生通过这样的数学活动，不仅主动地获取知识，而且在活动过程中产生了积极的学习情感。
§15．2 整式的乘法
课时安排
4课时
整式的乘法包括四大块内容：一是同底数幂的乘法；二是幂的乘方；三是积的乘方；四是整式的乘方，它包括单项式与单项式的乘积、单项式与多项式的乘积、多项式与多项式的乘积．其中四是一、二、三的综合应用．整式乘法是学生在掌握数的乘法、数乘运算法则的基础上进行字母、整式运算，它是思维的进一步深化，是对特殊──一般──特殊的认知规律的进一步理解．
本节内容按4课时完成，探究呈步步深入状态，学法有类似之处，所以教学时，以问题形式，引导学生先独立地进行思考、探索，再通过交流、讨论，发现法则，使学生的学习过程成为再发现、再创造的过程，体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，使学生在学习过程中掌握学习与研究的方法，养成良好的学习习惯，从而学会学习，学会思考，学会合作，体验创新的乐趣．
本节教学的重点应放在正确理解“运算法则”上，教学中应给学生足够的时间，进行探索、归纳、发现、总结，从而理解运算法则，以至灵活运用法则解决问题，而不是包办代替，直接给出运算法则，让学生死记硬背，机械应用．通过本节学习，要使学生在对知识的再创造和再发现的活动中培养创新精神和探索能力．
§15．2．1 同底数幂的乘法
教学目标
（一）教学知识点
1．理解同底数幂的乘法法则．
2．运用同底数幂的乘法法则解决一些实际问题．
（二）能力训练要求
1．在进一步体会幂的意义时，发展推理能力和有条理的表达能力．
2．通过“同底数幂的乘法法则”的推导和应用，使学生初步理解特殊──一般──特殊的认知规律．
（三）情感与价值观要求
体味科学的思想方法，接受数学文化的熏陶，激发学生探索创新的精神．
教学重点:正确理解同底数幂的乘法法则．
教学难点:正确理解和应用同底数幂的乘法法则．
教学方法
透思探究教学法：利用学生已有的知识、经验对所学内容进行自主探究、发现，在对新知识的再创造和再发现的活动中培养学生的探索创新精神与创新能力．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
复习an的意义：
an表示n个a相乘，我们把这种运算叫做乘方．乘方的结果叫幂；a叫做底数，n是指数．
（出示投影片）
提出问题：
（出示投影片）
问题：一种电子计算机每秒可进行1012次运算，它工作103秒可进行多少次运算？
[师]1012×103如何计算呢？
[生]根据乘方的意义可知
1012×103=×（10×10×10）==1015．
[师]很好，通过观察大家可以发现1012、103这两个因数是同底数幂的形式，所以我们把像1012×103的运算叫做同底数幂的乘法．根据实际需要，我们有必要研究和学习这样的运算──同底数幂的乘法．
Ⅱ．导入新课
1．做一做
出示投影片：
（让学生自主探索，在启发性设问的引导下发现规律，并用自己的语言叙述）．
[生]我们可以发现下列规律：
（一）这三个式子都是底数相同的幂相乘．
（二）相乘结果的底数与原来底数相同，指数是原来两个幂的指数的和．
2．议一议
出示投影片
[师生共析]
am·an表示同底数幂的乘法．根据幂的意义可得：
am·an=·==am+n
于是有am·an=am+n（m、n都是正整数），用语言来描述此法则即为：
“同底数幂相乘，底数不变，指数相加”．
3．例题讲解
出示投影片
学生活动:板演
Ⅲ．随堂练习
1．课本P166练习：计算
Ⅳ．课时小结
[师]这节课我们学习了同底数幂的乘法的运算性质，请同学们谈一下有何新的收获和体会呢？
Ⅴ．课后作业
1．课本P175习题15．2─1．（1）、（2），2．（1）、8．
板书设计
§15．2．3 单项式与单项式相乘,
单项式与多项式相乘
教学目标 ①探索并了解单项式与单顷式、单项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算，②让学生主动参与到探索过程中去，逐步形成独立思考、主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望与能力．
教学重点 单项式与单项式、单项式与多项式相乘的法则．
教学难点 单项式与多项式相乘去括号法则的应用．
教学过程（师生活动） 设计理念
复习引新 1．知识回顾： 回忆幂的运算性质： am·an＝am＋n(m，n都是正整数) 即同底数幂相乘，底数不变，指数相加． (am)n＝amn(m，n都是正整数) 即幂的乘方，底数不变，指数相乘． (ab)n＝anbn(n为正整数)即积的乘方，等于把积的每一个因式分别乘方，再把所得的幂相乘． 幂的三个运算性质是学习单项式与单项式、单项式与多项式乘法的基础，所以先组织学生对上述内容做复习．
创设情境引入新课 问题 光的速度约为3×105千米/秒，太阳光照射到地球上需要的时间大约是5×102秒，你知道地球与太阳的距离约是多少千米吗 地球与太阳的距离约为(3×105)×(5×102)千米． 问题是(3×105)×(5×102)等于多少呢 学生提出运用乘法交换律和结合律可以解决： (3×105)×(5×102) ＝(3×5)×(105×102) ＝15×107(为什么 ) 在此处再问学生更加规范的书写是什么 应该是地球与太阳的距离约为1.5×108千米。 请学生回顾，我们是如何解决问题的． 从实际的问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索，在自己的实践中获得知识，从而构建新的知识体系．
探究新知 1.问题：如果将上式中的数字改为字母，即ac5·bc2，你会算吗 学生独立思考，小组交流． 学生分析：跟刚才的解决过程类似，可以将ac5和bc2分别看成a·c5和b·c2，再利用乘法交换律和结合律． ac5·bc2 ＝(a·c5)·(b·c2) ＝(a·b)·(c5·c2) ＝abc5＋2＝abc7 2．试一试： 类似地，请你试着计算：(1)2c5·5c2；(2)(－5a2b3)·(－4b2c) ac5和bc2，2c5和5c2，(－5a2b3)和(－4b2c)都是单项式，通过刚才的尝试，谁能告诉大家怎样进行单项式乘法 学生小结：单项式与单项式相乘，把它们的系数、相同字母分别相乘，对于只在一个单项式里含有的字母，则连同它的指数作为积的一个因式．3．算一算例1教科书第173页例4例2 小民的步长为a米，他量得家里的卧室长15步，宽14步，这间卧室的面积有多少平方米 4．辩一辩 教科书第174页练习2 从特殊到一般，从具体到抽象，在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则．在教学过程中注意运用类比的方法来解决实际问题． 在例题教学中应该先让学生现察有哪些运算，如何利用运算性质和法则，分析后再动手做，同时让学生说一说每一步的依据．提醒学生在单项式的运算中应该先确定符号．
深入探究 1．师生共同研究教科书第174页的问题，对单项式与多项式相乘的方法能有感性认识． 2．试一试 计算：2a2·(3a2－5b) (根据乘法分配律，不难算出结果吧！) 3．想一想 从上面解决的两个问题中，谁能总结一下，怎样将单项式和多项式相乘 学生发言，互相补充后得出结论： 单项式与多项式相乘，就是用单项式去乘多项式的每一项，再把所得的积相加． 4．做一做 教科书第174页例5(在学习过程中提醒学生注意符号问题，多项式的每一项都包括它前面的符号) 这个实际问题来源于学生的生活实际，所以在教学中通过师生共同探讨，再结合分配律学生不难得到结论。 因为整式的运算是在数的运算的基础上发展起来的，所以在解决问题时让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，自己尝试得出结论。 学生在计算过程中，容易出现符号问题，要特别提醒学生注意．
课外巩固 1．必做题：教科书第177页习题15．2第3、4、6题 2．备选题： (1)若(－5am＋1b2n－1)(2anbm)＝－lOa4b4，则m－n的值为( ) (2)计算：(a3b)2(a2b)3 (3)计算：(3a2b)2＋(－2ab)(－4a3b) (4)计算：(－xy)·(xy2－2y＋y)
设计思想
单项式的乘法用到了有理数的乘法、幂的运算性质，而后续的多项式与单项式的乘法，都要转化为单项式乘法．因此，单项式乘法将起到承前启后的作用，在整式乘法中占有独特地位．所以在教学中先对所学知识进行回顾，再从实际问题导入，让学生自己动手试一试，主动探索；在教学过程中引导学生参照引例解决方法，教师先不给出单项式与单项式相乘的运算法则，而是让学生先独立思考，再相互交流，然后由学生自己小结出如何进行单项式的乘法，在探索新知的过程中让学生体会从特殊到一般，从具体到抽象的认识过程．在这一过程中，要注意留给学生探索与交流的空间，让学生在自己的实践中获得单项式与单项式相乘的运算法则，从而构建新的知识体系．在此基础上要求学生用语言叙述这个性质，这有利于提高学生数学语言的表述能力．因为整式是在数的运算的基础上发展起来的，所以在学习单项式与多项式的乘法时，让学生类比数的运算律，将单项式乘以多项式转化为单项式的乘法，格新知识转化为已经学过的知识．无论是单项式乘以单项式4(转化”为有理数的乘法与同底数幂的乘法，还是多项式乘以多项式“转化”为单项式的乘法，学生都从中体会到学习新知识的方法，即学习一种新的知识、方法；通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行。
§15．2．4 多项式与多项式相乘
教学目标 ①探索并了解多项式与多项式相乘的法则，并运用它们进行运算．②让学生主动参与到一些探索过程中去，逐步形成独立思考，主动探索的习惯，培养思维的批判性、严密性和初步解决问题的愿望和能力．
教学重点 多项式与多项式相乘．
教学难点 多项式与多项式相乘．
教学过程（师生活动） 设计理念
复习引新 1．前面这节课我们研究了单项式与单项式、单项式与多项式相乘的方法，请同学回忆方法． 2．练一练：教科书第175页练习1、2 我们再来看一看第一节课悬而未决的问题：为了扩大绿地面积，要把街心花园的一块长a米，宽m米的长方形绿地增长b米，加宽n米(课件展示街心花园实景，而后抽象成数学图形，并用不同的色彩表示出原有部分及其新增部分)．提出问题：你能用几种方法表示扩大后绿地的面积 不同的表示方法之间有什么关系 学生独立思考后交换各自的解法： 方法一：这块花园现在长(a＋b)米，宽(m＋n)米，因而面积为(a＋b)(m＋n)米2． 方法二：这块花园现在是由四小块组成，它们的面积分别为： am米2、an米2、bm米2、bn米2，故这块绿地的面积为(am＋an＋bm＋bn)米2． (a＋b)(m＋n)和(am＋an十bm十bn)表示同一块绿地的面积，所以有(a＋b)(m十n)＝am＋an＋bm＋bn 用不同的方法怎样表示扩大后的绿地面积 用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 这个问题激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣． 借助几何图形的直观，使学生从图形中可以看到(a＋b)(m＋n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn，让学生对这个结论有直现感受．
探究新知 引导学生观察等式的左边(a＋b)(m＋n)是两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘，我们从刚才问题的解决过程中发现了多项式与多项式相乘的方法． 进一步引导学生，如果我们把(m＋n)看成一个整体，那么两个多项式(a＋b)与(m＋n)相乘的问题就转化为单项式与多项式相乘，这是一个我们已经解决的问题，请同学们试着做一做． 1．做一做 (a＋b)(m＋n) ＝a(m＋n)＋b(m＋n) ＝am＋an＋bm＋bn 2．讲一讲 让学生试着总结多项式与多项式相乘的法则：多项式与多项式相乘，先用一个多项式的每一项乘另一个多项式的每一项，再把所得的积相加． 3．试一试 例1 教科书第176页例6 教学中要强调多项式与多项式相乘的基本法则，提醒学生注意多项式的每一项都应该带上他前面的正负号。多项式是单项式的和，每一项都包括前面的符号，在计算时一定要注意确定积中各项的符号． 例2 先化简，再求值： (a－3b)2＋(3a＋b)2－(a＋5b)2＋(a－5b)2，其中a＝－8，b＝－6 4．练一练 教科书第177页练习1 把(m＋n)看成一个单项式，因学生过去接触不多，可能不易理解．实际上，这是一个很重要的思想和方法．学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．在此，如果学生真正理解了把(m＋n)看成一个单项式，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了。
深入探索 1．试一试 例3 计算：(x＋2)(x－3) 2．想一想 问：结果中的x2，－6是怎样得到的 学生口答． 继续完成教科书第l77页练习2 问：从刚才解决问题的过程中你们有什么发现吗 (1)学生交流各自的发现． (2)结合教科书第177页练习第3题图，直观认识规律，并完成此题． 3．练一练 (1)计算(口答)； ①(x＋2)(x＋3)； ②(x－1)(x＋2)； ③(x＋2)(x－2)； ④(x－5)(x－6)； ⑤(x＋5)(x＋5)； ⑥(x－5)(x－5)； (2)口答：教科书第178页习题15．2第12题． 让学生通过“试一试”、“想一想”，结合直观图形，自己尝试发现规律，激发学生对问题中所 蕴藏的一些数学规律进行探索的兴趣。
小结
设计思想
本章在第一节课提出“怎样用不同的方法表示扩大后的绿地面积，用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”的问题，当时提出这个问题的目的是为了激起学生的求知欲望，引起学生对多项式乘法学习的兴趣，在学习了整式的加减与单项式与单项式、多项式与单项式的乘法后，与之呼应，又提出了当时悬而未决的问题“用不同的方法得到的代数式为什么是相等的呢 ”教学中充分利用直观的几何图形，采用给出几何图形的方式来验证运算法则及公式的正确性，让学生从图形中可以看到(a＋b)(m＋n)是一个长方形的面积，而这个长方形又可以分割成四小块，它们的面积和是am＋an＋bm＋bn，因此，(a＋b)(m＋n)＝am＋an＋bm＋bn，先对多项式乘以多项式的方法有直观感受，这充分体现了代数与几何之间的内在联系和统一．然后在性质推导中把(m十n)看成一个单项式，渗透很重要的思想和方法：整体思想．在教学过程中；学生发现多项式与多项式相乘的法则，第一步是“转化”为多项式与单项式相乘，第二步则是“转化”为单项式乘法，那么，两次运用单项式与多项式相乘的法则，就得出多项式相乘的法则了．从而让学生进一步体会“转化”的思想方法：学习一种新的知识、方法，通常的做法是把它归结为已知的数学知识、方法，从而使学习能够进行．
15．3．1 平方差公式
教学目标 ①经历探索平方差公式的过程，进一步发展学生的符号感和推理能力、归纳能力．②会推导平方差公式并掌握公式的结构特征，能运用公式进行简单的计算．③了解平方差公式的几何背景，体会数形结合的思想方法．
教学重点 平方差公式的推导及应用．
教学难点 用公式的结构特征判断题目能否使用公式．
教学准备 卡片及多媒体课件
教学过程（师生活动） 设计理念
引入 同学们，前面我们刚刚学习了整式的乘法，知道了一般情形下两个多项式相乘的法则．今天我们要继续学习某些特殊情形下的多项式相乘．下面请同学们应用你所学的知识，自己来探究下面的问题： 探究：计算下列多项式的积，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗 (1)(x＋1)(x－1)＝ (2)(m＋2)(m－2)＝ (3)(2x＋1)(2x－1)＝ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括． (1)平方差公式是多项式乘法运算中一个重要的公式，在教学中，首先应让学生思考：你能发现什么 让学生经历观察(每个算式和结果的特点)、比较(不同算式之间的异同)、归纳(可能具有的规律)、提出猜想的过程，学生在发现规律后，还应通过符号运算对规律进行证明．
举例 再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报． (2)这里是对前边进行的运算的讨论，为下一步运用公式进行简单计算打下基础。
验证 我们再来计算(a＋b)(a－b)＝ 公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例—归纳—猜想—验证—用数学符号表示．
概括 平方差公式及其形式特征． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明这些特点的原因。
应用 教科书第180页例1 运用平方差公式计算： (1)(3x＋2)(3x－2) (2)(6＋2a)(2a－b) (3)(－x＋2y)(－x－2y) 填表：(a＋b)(a－b)aba2－b2最后结果(3x＋2)(3x－2)2(3x)2－22(b＋2a)(2a－b)(x+2y)(-x－2y) 对本例的前面两个小题可以采用学生独立完成，然后抢答的形式完成；第三小题可采用小组讨论的形式，要求学生在给出表格所提示的解法之后，思考别的解法：提取后一个因式里的负号，将2y看作“a”，将x看作“b”，然后运用平方差公式计算． (1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解：即它们既可以是数，也可以是含字母的整式．(2)在具体计算时，当有一个二项式两项都负时，往往不易判明a、b，如第三小题，此时可以通过小组合作交流，放手让学生去思考、讨论，有助于学生思维互补、有条理地思考和表达，更有助于学生合作精神的培养．(3)例1第(3)小题引导学生多角度思考问题，可以加深对公式的理解。
教科 教科书书第180页例2 计算： (1)102×98 (2)(y＋2)(y－2)－(y－1)(y＋5) 此处仍先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，允许他们算法的多样化，然后通过比较，优化算法，达到简便计算的目的． (1)运用平方差公式进行数的简便运算的关键是根据数的形式特征，把相乘的两数化成两数和与两数差的乘积形式，教学时可让学生自己寻找相乘两数的形式特征．
巩固 教科书第181页练习1、2 练习1口答完成；练习2采用大组竞赛的形式进行，其中(1)(4)由两个大组完成，(2)(3)由另两个大组完成。 让学生通过巩固练习，达成本节课的基本学习目标，并通过丰富的活动形式，激发学习兴趣，培养竞争意识和集体荣誉感。
解释 你能根据下面的两个图形解释平方差公式吗 多媒体动画演示图形的变换过程，体会过程中不变的量，并能用代数恒等式表示． 此处将教科书的图15.3－1分解为两个图形，是考虑到学生数与形结合的思想方法掌握的不够熟练；利用两个图形可以清楚变化的过程，便于联想代数的形式。
小结 谈一谈：你这一节课有什么收获
作业 1．必做题：教科书第184页习题15．3第一大题 作业分层处理有较大的弹性，体现作业的巩固性和发展性原则.
设计思想
在教学设计时，我以新课标理念为指导思想，以多媒体教学课件为辅助教学手段，突出对平方差公式的推导和应用．自主探究、单一反三、语言叙述、推导验证、几何解释、应用巩固等活动都是根据学生的认知特点和所学知识的特征，让学生经历数学知识的形成与应用过程，以促进学生有效学习．
课题：15．3．2 完全平方公式
教学目标 ①经历探索完全平方公式的过程，使学生感受从一般到特殊的研究方法，进一步发展符号感和推理能力．②会推导完全平方公式，能说出公式的结构特征，并能运用公式进行简单计算．③了解公式的几何背景，进一步培养学生用数形结合的方法解决问题的能力．
教学重点 (a±b)2＝a2±2ab＋b2的推导及应用．
教学难点 公式的结构特征及教科书P184例5．
教学准备 投影仪；多媒体课件；小黑板．边长为a、b的两种正方形卡片每小组一张；长为a、宽为b的长方形卡片每小组一张．
教学过程（师生活动） 设计理念
引入 同学们，前一节课我们已经探究了一种特殊形式的多项式乘法，学会了平方差公式的一些简单应用．今天我们在这个基础上要继续学习另一种特殊形式的多项式乘法．下面请同学们像上一节课一样，自己来探究下面的问题： 。在推导公式的过程中，要重视学生对运算依据的理解与叙述，强调推理，培养他们的代数推理能力、用数学语言进行表达的能力。
探究 计算下列各式，你能发现它们的运算形式与结果有什么规律吗 (1)(p＋1)2＝(p＋1)(p＋1)＝_____ (2)(m＋2)2＝_____ (3)(p－1)2＝(p－1)(p－1)＝_____ (4)(m－2)2＝_____ 引导学生用自己的语言叙述所发现的规律，允许学生之间互相补充，教师不急于概括． 举例：再举几个这样的运算例子．让学生独立思考，每人在组内举一个例子(可口述或书写)，然后由其中一个小组的代表来汇报。 (2)这里是对前边进行的运算的讨论，目的是让学生通过观察、归纳，鼓励他们发现这个公式的一些特点，如公式左右边的特征，便于进一步应用公式计算。
验证 我们再来计算(a＋b)2，(a－b)2． 公式的推导既是对上述特例的概括，更是从特殊到一般的归纳证明，在此应注意向学生渗透数学的思想方法：特例—归纳—猜想—验证一用数学符号表示．
概括 完全平方公式及其形式特征． 教师可以在前面的基础上继续鼓励学生发现这个公式的一些特点：如公式左、右边的结构，并尝试说明产生这些特点的原因。 还可以引导学生将(a－b)2的结果用(a＋b)2来解释：(a－b)2＝[a＋(－b)]2＝a2＋2a(－b)＋(－b)2＝a2－2ab＋b2 (3)对公式(a－b)2＝a2－2ab＋b2的多角度解释，是为了加深学生对公式中字母a、b的广泛意义的理解，并再次让学生体会加、减法的互相转化与统一。
应用 教科书第182页例3 运用完全平方公式计算： (1)(4m＋n)2 (2)(y－)2 引导学生用如下的填空形式完成例3：解：(1)∵(4m＋n)2是____与____和的平方， 可由学生口答完成，教师多媒体展示结果，提高课堂效率。 (1)正确理解公式中字母的广泛含义，是正确运用这一公式的关键．设计本环节，旨在通过将算式中的各项与公式里的a、b进行对照，进一步体会字母a、b的含义，加深对字母含义广泛性的理解． (2)在具体计算时，当二项式的项不再是单独的数或字母时，或者项是小数时，往往容易出现运算错误．
教科 教科书第183页例4 运用完全平方公式计算： (1)1022 (2)992 此处可先让学生独立思考，然后自主发言，口述解题思路，可先不给出题目中“运用完全平方公式计算”的要求，允许他们算法的多样化，但要求明白每种算法的局限和优越性． 运用完全平方公式进行数的简便运算的目的是进一步巩固完全平方公式，体会符号运算对解决问题的作用，教学时可让学生自己独立解决此问题。
解释 (1)现有下图所示三种规格的卡片各若干张，请你根据二次三项式a2＋2ab＋b2，选取相应种类和数量的卡片，尝试拼成一个正方形，并讨论该正方形的代数意义： (2)你能根据下图(教科书第182页图15．3—3)说明(a－b)2＝a2－2ab十b2吗 第(1)小题由小组合作共同完成拼图游戏，比一比哪个小组快 第(2)小题借助多媒体课件，直观演示面积的变化，帮助学生联想代数恒等式：(a－b)2＝a2－b2－2b(a－b)＝a2－2ab＋b2。 (1)重视公式的几何背景，可以帮助学生运用几何直观理解、解决有关代数问题．(2)此处将教科书的图15．3－2改为由学生自主拼图得到公式，是因为前一节课学生已初次接触了这样的数与形结合解释公式的思想方法，利用这个拼图游戏，可进一步促使学生关注几何与代数的联系，增进学生的认知和对公式的记忆 (3)教科书的图15.3－3比较难读懂，可引导学生合作交流得出代数恒等式。
思考 (a＋b)2与(－a－b)2相等吗 (a－b)2与(b－a)2相等吗 (a－b)2与a2－b2相等吗 为什么 组织学生进行讨论，通过自主推导，互相合作交流，共同解决难题．
拓展 教科书第184，页例5 运用乘法公式计算， (1)(x＋2y－3)(x－2y＋3) (2)(a＋b＋c)2 讲解此例之前可先让学生自学教科书第183页的“添括号法则”并完成教科书第184页练习1．然后给出例5的题目，让学生思考该选择哪个公式．第(1)小题的解决关键是要引导学生比较两个因式的各项符号，分别找出符号相同及相反的项，学会运用整体思想，将其与公式中的字母a、b对照，其中－2y＋3＝－(2y－3)，故应运用平方差公式．第(2)小题可将任意两项之和看作一个整体，然后运用完全平方公式。 在解此例的过程中，应注意边辨析各项的符号特征，边对照两个公式的结构特征，教师应完整详细地书写解题过程，帮助学生理解这一公式的拓展应用，突破难点。 (1)“添括号法则”采用自学的方法得出，可培养学生一定的自学能力。 (2)有些整式相乘需要先作适当变形，然后再用公式，在此可通过解题思路的分析，注意公式中字母的广泛意义，并渗透换元的思想。其中第二小题的结果特征明显，可作为一个新的乘法公式。
小结 谈一谈：你对完全平方公式有了哪一些认识 它与平方差公式有什么区别和联系 梳理知识，形成体系。
作业 1. 必做题：教科书第185页习题15．3第二大题的(1)、(3)、(4)、(5)；第三大题的(2)；第四大题． 书本上有关完全平方公式的习题量较多，层次也比较明显，
设计思想
本节课是在学习了《平方差公式》之后进行的，学习的方法与上节课类似，但本课时中的内容多，难点也较多；所以对课堂教学的组织要求就更高．所以在设计活动时，我紧紧围绕着“完全平方公式如何得到和应用”这一中心问题展开，并根据活动情况不断地变换问题，以问题为核心调动学生参与活动的兴趣与积极性，在每一个教学环节都对学生提出丁不同的要求，使知识层层深入，环环紧扣．
课题：15．4 整式的除法
教学目标 ①经历探索同底数幂的除法的运算性质的过程，进一步体会幂的意义，发展推理能力和有条理的表达能力．②了解同底数幂的除法的运算性质，能解决一些实际问题，提高应用能力．③感受数学法则、公式的简洁美与和谐美．
教学重点 同底数幂的除法法则．
教学难点 同底数幂的除法法则的推导．
教学准备 卡片及多媒体课件．
教学过程（师生活动） 设计理念
情境引入 教科书第187页问题：一种数码照片的文件大小是28K，一个存储量为26M(1M＝210K)的移动存储器能存储多少张这样的数码照片 你是怎么计算的 该问题提出后，教师可以采取由学生个人独立思考完成，小组内交流，继而全班交流的方法，鼓励学生勇于利用已学知识解决实际问题，善于将陌生问题转化为熟悉问题．这里还应鼓励算法的多样化，同时强调算理的叙述。 教科书从实际问题引入同底数幂的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习同底数幂的除法运算的必要性，了解数学与现实世界的联系
探究新知 根据除法的意义填空，看看计算结果有什么规律 (1)55÷53＝5( )； (2)107÷lO5＝10( )； (3)a6÷a3＝a( )． 教师可以鼓励学生自己发现底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述． 同底数幂的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行．使学生在引例的基础上，继续通过对具体的特例的计算，归纳出同底敷幂的除法运算性质，井能运用乘除互逆的关系加以说明.
归纳法则 一般地，我们有am÷an=am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m>n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减．
讨论 为什么这里规定a≠0
应用新知 例1计算： (1)x8÷x2； (2)a4÷a； (3)(ab)5÷(ab)2； (4)(x+y)6÷(x+y)4． 对本例可以采用学生口述每一步计算的过程以及依据，同时教师板书的形式完成．口述和板书都应注意强调幂的意义，不停留于套用的层面，可再现法则的推导。计算过程的详尽可使学生进一步体会算理，并更深刻地理解法则。 在熟悉公式基本应用的同时，还要引导学生正确理解公式中字母的广泛意义，进一步体会底数a的含义，即它既可以是单独的一个数，也可以是含有字母的整式，故在此补充了第(4)小题；
巩固新知 ①你问我答：自主编题，同桌互答 ②教科书第189页练习1及练习2的(1)、(3)、(4)．采用“比一比，赛一赛”的形式进行． 抓住初中学生好胜的心理，调节课堂节奏．
再探新知 分别根据除法的意义填空，你能得出什么结论 (1)32÷32＝( )；(2)103÷103＝( )；(3)am÷am＝( )(d≠0)．规定：a0＝1(a≠0)．即任何不等于0的数的0次幂都等于1．法则扩展：一般地，我们有am÷an＝am-n(a≠0，m，n都是正整数，并且m≥n)．即同底数幂相除，底数不变，指数相减． 使学生明确：零指数的出现是对原有正整数指数概念的扩展，它的意义：a0＝1(a≠0)，并不是由同底数幂的除法得出的，而是为了使同底数摹的除法法则在被除式的指数和除式的指数相等的情况下也能适用所作出的规定．
解决问题 1．教科书第189页练习3 可由四位学生板演，尽可能把机会留给学习困难的学生． 2．请举一个应用同底数幂除法解决实际问题的例子． (1)练习3的难度不大，由学习困难的学生来展示自己本节课的所学成果.
布置作业 1．必做题：教科书第193页习题15．4第—大题(1)、(2)、(3)；2．选做题：教科书第193页习题15．4第七大题 每节课后的练习坚持分层的原则，可以更好地调动各个层次学生的学习热情，使他们乐于完成．
设计思想
回顾整节课的设计，我主要着力于以下三个方面： 1．关于教材处理：为了给学生尽可能多地提供参与活动的机会，在本节课中我主要做了这些努力： (1)通过“你是怎么算的”“探究新知”两个活动，吸引学生参与活动； (2)通过“你问我答”“再探新知”两个活动，鼓励学生主动参与活动； (3)通过“解决问题…‘填写评价表”两个活动，促进学生参与活动． 2．关于教与学方法的选择：我在设计中始终关注：如何认真组织，让学生在丰富的活动中探索、交流与创新，因此我选择了“引导一发现教学法”，具体做法如下： (1)应用乘除互逆、类比分数的思想，引导学生独立思考、小组协作，完成对同底数幂相除法则的自主建构，突出代数推理能力的养成， (2)加强应用性，通过“情境引入”“解决问题”两个环节，密切同底数幂除法与现实生活及其他学科的联系，发展数学应用意识，突出解决实际问题的能、力的培养．
课题：15．4．2 整式的除法
教学目标 ①经历探索整式除法运算法则的过程，会进行简单的整式除法运算(只要求单项式除以单项式、多项式除以单项式，并且结果都是整式)，培养学生独立思考、集体协作的能力．②理解整式除法的算理，发展有条理的思考及表达能力．
教学重点 整式除法的运算法则及其运用．
教学难点 整式除法的运算法则的推导和理解，尤其是单项式除以单项式的运算法则．
教学准备 卡片及多媒体课件．
教学过程（师生活动） 设计理念
情境引入 教科书第189页问题：木星的质量约为1.90×1024吨，地球的质量约为5.98×1021吨，你知道木星的质量约为地球质量的多少倍吗 重点研究算式(1.90×1024)÷(5.98×1021)怎样进行计算，目的是给出下面两个单项式相除的模型． 教科书从实际问题引入单项式的除法运算，学生在探索这个问题的过程中，将自然地体会到学习单项式的除法运算的必要性．
探究新知 (1)计算(1.90×1024)÷(5.98×1021)，说说你计算的根据是什么 (2)你能利用(1)中的方法计算下列各式吗 8a3÷2a； 6x3y÷3xy； 12a3b2x3÷3ab2． (3)你能根据(2)说说单项式除以单项式的运算法则吗 教师可以鼓励学生自己发现系数、同底数幂的底数和指数发生的变化，并运用自己的语言进行描述． 单项式的除法法则的推导，应按从具体到一般的步骤进行。探究活动的安排，是使学生通过对具体的特例的计算，归纳出单项式的除法运算性质，并能运用乘除互逆的关系加以说明，也可类比分数的约分进行．
归纳法则 单项式相除，把系数与同底数幂分别相除作为商的因式，对于只在被除式里含有的字母，则连同它的指数作为商的一个因式．
应用新知 (1)28x4y2÷7x3y； (2)-5a5b3c÷15a4b． 首先指明28x4y2与7x3y分别是被除式与除式，在这儿省去了括号．对本例可以采用学生口述，教师板书的形式完成．口述和板书都应注意展示法则的应用，计算过程要详尽，使学生尽快熟悉法则。 单项式除以单项式，既要对系数进行运算，又要对相同字母进行指数运算，同时对只在一个单项式里含有的幂要加以注意。
巩固新知 教科书第191页练习1及练习2．学生自己尝试完成计算题，同桌交流．
再探新知 计算下列各式： (1)(am+bm)÷m； (2)(a2+ab)÷a； (3)(4x2y+2xy2)÷2xy． ①说说你是怎样计算的 ②还有什么发现吗 在学生独立解决问题之后，及时引导学生反思自己的思维过程，并对自己计算所得的结果进行观察，总结出计算的一般方法和结果的项数特征：商式与被除式的项数相同． 教科书提供了一些多项式除以单项式的题目，鼓励学生利用已经学习过的内容独立解决这些问题．教学中仍应提倡算法多样化，让学生说明每一步的理由，并鼓励学生间的交流．学生可以类比数的除法把除以单项式看成是乘以这个单项式的倒数，也可以利用逆运算进行考虑。
归纳法则 多项式除以单项式，先把这个多项式的每一项除以这个单项式，再把所得的商相加． 你能把这句话写成公式的形式吗 能够运用自己的语言叙述如何进行运算，用字母概括法则是使算法一般化，可深化和发展对数的认识．
解决问题 教科书第192页例3 计算 (1)(12a3-6a2+3a)÷3a； (2)(21x4y3-35x3y2+7x2y2)÷(-7x2y)； (3)[(x+y)2-y(2x+y)-8x]÷2x 幂的运算性质是整式除法的关键，符号仍是运算中的重要问题．在此可由学生口答，要求学生说出式子每步变形的依据，并要求学生养成检验的习惯，利用乘除互为逆运算，检验商式的正确性． 通过例题的剖析和解决，培养学生耐心细致、严谨的数学思维品质，训练学生形成一定的计算能力．
巩固新知 教科书第192页练习利用投影仅反馈学生解题过程． 本课课堂容量较大，可利用多媒体提高效率．
布置作业 1．必做题：教科书第193页习题15．4第一大题(4)；第二大题；第三大题；第四大题；第五大题；第六大题． 2．选做题：教科书第193页习题15．4第八大题 3．备选题：下列计算是否正确 如不正确，应怎样改正 易错题、改错题可以培养运算能力，加深对法则的理解．(1)-4ab2÷2ab＝2b(2)(14a3-2a2+a)÷a＝14a2-2a
设计思想
《数学课程标准》强调：要让学生经历知识的形成与应用的过程．通过课堂学习，我们不应只关心学生记住了多少性质，背出了几个公式，更应关注的是学生是否参与了知识的发现、形成过程，并从中体验成功的喜悦，掌握学习策略，发展能力．所以本节课我采用“自主探究性学习”．“自主探究性学习”是以学生自主探究为主的教学方式，在实践中我认为这样一些内容可以采用此教学方式： 1．规律的发现2．方法的寻找3．开放性的问题4．知识的形成过程．本课的主要任务是完成单项式除以单项式法则的推导，继而将多项式除以单项式转化为单项式除以单项式，学生完全有能力通过探究，在原有的认知结构(熟悉分数的约分和幂的意义)基础上，建构整式的除法法则．同时，教师应重视引导，力求每个问题都是探索性的，引导他们自己发现，并且节奏紧凑，使学生的大脑一直处于兴奋状态，提高探究效率．
§15．5 因式分解
课时安排
3课时
学习因式分解有承上启示的作用，它可以复习整式的四则运算，又为以后学习分式打下良好的基础．学好它既可以培养学生的观察、注意、运算能力，又可以提高学生综合分析和解决问题的能力．
因式分解与整式乘法是相反方向的变化，所以要求学生掌握两种常用的因式分解方法──提取公因式法和公式法．提公因式法重点在于找对公因式，理解公因式的实质：它可以是单项式，也可以是多项式，然后进行因式分解；公式法是逆用平方差公式和完全平方公式，所以要引导学生理清公式结构特征，恰当利用公式进行因式分解．十字相乘法也是因式分解的一种重要方法，学生有了学习提公因式法和公式法的基础，教材将它安排在观察与猜想中，供学生了解，学有余力的同学掌握最好．
通过学习因式分解，可以进一步培养学生的逆向思维能力，渗透化归的思想方法．
§15．5．1 提公因式法
教学目标
（一）教学知识点
1．因式公解、公因式．
2．用提公因式法分解因式．
（二）能力训练要求
1．使学生了解因式分解的概念，以及因式分解与整式乘法的关系．
2．了解公因式概念和提取公因式的方法．
3．会用提取公因式法分解因式．
（三）情感与价值观要求
在探索提公因式法分解因式的过程中学会逆向思维，渗透化归的思想方法．
教学重点:用提公因式法分解因式．
教学难点:何确定公因式以及提出公因式后的另外一个因式．
教学方法:导发现法．
教学过程
Ⅰ．提出问题，创设情境
[师]请同学们完成下列计算，看谁算得又准又快．（出示投影片）
（1）20×（-3）2+60×（-3）
（2）1012-992
（3）572+2×57×43+432
（学生在运算与交流中积累解题经验，复习乘法公式）
[师]在上述运算中，大家或将数字分解成两个数的乘积，或者逆用乘法公式使运算变得简单易行，类似地，在式的变形中，有时也需要将一个多项式写成几个整式的乘积形式，这就是我们从今天开始要探究的内容──因式分解．
Ⅱ．导入新课
1．分析讨论，探究新知．
出示投影片
把下列多项式写成整式的乘积的形式
（1）x2+x=_________
（2）x2-1=_________
（3）am+bm+cm=__________
[生]根据整式乘法和逆向思维原理，可以做如下计算：
（1）x2+x=x（x+1）
（2）x2-1=（x+1）（x-1）
（3）am+bm+cm=m（a+b+c）
[师]像这种把一个多项式化成几个整式的积的形式的变形叫做把这个多项式因式分解，也叫把这个多项式分解因式．
可以看出因式分解是整式乘法的相反方向的变形，所以需要逆向思维．
再观察上面的第（1）题和第（3）题，你能发现什么特点．
[生]我发现（1）中各项都有一个公共的因式x，（2）中各项都有一个公共因式m，是不是可以叫这些公共因式为各自多项式的公因式呢？
因为ma+mb+mc=m（a+b+c）．
于是就把ma+mb+mc分解成两个因式乘积的形式，其中一个因式是各项的公因式m，另一个因式a+b+c是ma+mb+mc除以m所得的商，像这种分解因式的方法叫做提公因式法．
2．例题教学，运用新知．
[例1]把8a3b2-12ab3c分解因式．
[例2]把2a（b+c）-3（b+c）分解因式．
[例3]把3x3-6xy+x分解因式．
[例4]把-4a3+16a2-18a分解因式．
[例5]把6（x-2）+x（2-x）分解因式．
（让学生利用提公因式法的定义尝试独立完成，然后与同伴交流解题心得，教师深入到学生中去发现问题，并对有困难的学生进行适时的引导和启发，最后师生共同评析、总结）
总结：有时多项式的各项从表面上看没有公因式，但将其中一些项变形后，但可以发现公因式，然后再提取公因式．
Ⅲ．随堂练习
1．课本P194练习1、2、3．
四．课时小结
[师]今天我们学习了提公因式法分解因式．同学们在理解的基础上，可以用四句顺口溜来总结记忆用提公因式法分解因式的技巧．
各项有“公”先提“公”，
首项有负常提负．
某项提出莫漏1．
括号里面分到“底”．
Ⅴ．课后作业
课本P198～P199习题15．5─1、4．（1），６题．
课题： 15．5 因式分解(2)
教学目标 ①在掌握了解因式分解意义的基础上，会运用平方差公式和完全平方公式对比较简单的多项式进行因式分解．②在运用公式法进行因式分解的同时培养学生钓观察、比较和判断能力以及运算能力，用不同的方法分解因式可以提高综合运用知识的能力．③进—步体验“整体”的思想，培养“换元”的意识．
教学重点 运用公式法进行因式分解．
教学难点 观察多项式的特点，判断是否符合公式的特征和综合运用分解的方法，并完整地进行分解．
教学准备 要求学生对平方差公式和完全平方公式准确理解．
教学过程（师生活动） 设计理念
问题思考(探究)引入 问题：1．什么叫因式分解 2．你能将多项式x2-4与多项式y2-25分解因式吗 这两个多项式有什么共同的特点 对于问题1要强调因式分解是对多项式进行的一种变形，可引导比较它与整式乘法的关系． 对于问题2要求学生先进行思考，教师可视情况作适当的提示，在此基础上讨论这两个多项式有什么共同的特点． 特点：这两个多项式都可以写成两个数的平方差的形式，对于这种形式的多项式，可以利用平方差公式来分解因式． 即：(+b)(a-b)＝a2-b2反过来就是： a2-b2＝(a+b)(a-b) 要求学生具体说说这个公式的意义．教师用语句清楚地进行表述．例1 分解因式：(1)4x2-9 (2)x2-0.O1y2 (3)(x+p)2-(x+q)2 分析：注意引导学生观祭这3个多项式的项数，每个项可以看成是什么“东西”的平方，使之与平方差公式进行对照，确认公式中的字母在每个题目中对应的数或式后，再用平方差公式进行因式分解． 能否用平方差公式进行因式分解，取决于这个多项式是否符合平方差公式的特征，即两个数的平方差，所以要强调多项式是否可化为( )2－( )2的形式．括号里的“东西”是一个整体，它可以是具体的数或单项式或多项式，如(3)题中应是多项式了． 例2分解因式 (1)x4-y4 (2)a3b-ab 分析：(1)先把它写成平方差的形式，再分解因式，注意它的第2次分解． (2)现在不具备平方差的特征，引导继续观察特点，发现有公因式ab，应先提公因式，再进一步分解． 学生交流体会：因式分解要进行到不能再分解为止，提公因式法和应用公式法的综合应用． 问题1使学生回忆因式分解的概念． 问题2使学生感知到运用平方差公式可以把多项式进行固式分解．利用平方差公式分解因式要注意更多地去分析公式的特征：是两个“东西”的平方差．这里的“东西”可以是具体的数、单项式或多项式，所以在分析时可应用形式化的符号：如( )、△、□以避免出现类似4x2-9=(4x+3)(4x-3)这样的错误．平方差公式能否正确应用直接关系到下面的完全平方公式的学习，所以在分析时一定要到位，要抓住形式的特点，要让学生说说他们是怎样应用公式的．因式分解要进行到不能分解为止和分解方法的综合性，这是教学的难点，例题不要太难，重要的是使学生取得共识． 练习题要培养学，生的观察能力和审题习惯．
巩固练习 做教科书第19&页的练习． 第1题是4个小题的题组，对学生的观察能力和判断能力是一次很好的锻炼，要求学生讲出能否用公式的道理： 第2题是用提公因式法和应用平方差公式法进行因式分解的综合应用，要求学生养成先观察多项式的特点的习惯。 注意要将因式分解进行到不能再分解为止． 用完全平方公式分解因式类似用平方差公式分解因式，所以学生易于接受．教学方法以学生自主探究为主，教师适当引导和指导的方式进行，这样有利于学生自己获取知识能力的提高．
问题探究·研究性学习 问题：你能将多项式a2+2ab+b2和a2-2ab+b2因式分解吗 这两个多项式有什么特点 建议：由于受到前面用平方差公式分解因式的影响，学生对于这两个多项式因式分解比较容易想到用完全平方公式，学生容易接受，教师要把重点放在研究公式的特征上来． 可采用让学生自主讨论的方式进行教学，引导学生从多项式的项数、每项的特点、整个多项式的特点等几个方面进行研究．然后交流各自的体会． 练习：教科书第200页的练习题． 把多项式向公式的方向变形和转化．第2小题注意，渗透换整体和换元的思想．
小结与作业
小结提高 1．举一个例子说说应用平方差公式和完全平方公式分解因式的多项式应具有怎样的特征． 2．谈谈多项式因式分解的思考方向和分解的步骤. 对这些问题进行回顾和小结能从大的方面把握因式分解的方向和培养观察能力．
布置作业 1、必做题：教科书第200页习题15．5第2、3题，第4题的第2小题，第5题，第9题； ③90000
设计思想
本节课是因式分解的第一节课，主要是研究用平方差公式和完全平方公式以及用提公因式法对多项式进行因式分解的方法，教学设计有如下的特点： 1. 由于因式分解和整式的乘法是对多项式从相反的方向进行了恒等变形，因此提出的第1个问题帮助学生回忆因式分解的概念，为第2个问题的顺利解决奠定了基础．课题的引入简单而紧扣主题． 2．在对因式分解的概念有较深刻理解的基础上，学习应用平方差公式和完全平方公式时，应把重点放在帮助学生观察和分析这两个公式的特点上来，弄清他们的特点是能否正确分解的关键，所以设计中突出体现了对公式的形式化的理解，教师应把公式中的字母看成一个“东西”，这个“东西”就是一个整体，体现着换元的思想，教学中要应用不同的符号体现这个思想． 3．多项式的因式分解方法多，技巧性也较强，本书只介绍最基本的因式分解方法，但对因式分解的思考方向和步骤有较强的统一性，一般是先提公因式再用公式法或其他的方法，对这些方法的综合应用是教学的难点之一，在教学中要注意渗透这些认识和处理问题的策略． 4．本课考虑到应用完全平方公式和平方差教学的相似性，所以把这两个公式放在一节课来学习，对学生来说增加了难度，实际教学中要充分认识到这一点，可视学生的实际情况安排教学内容，但对于完全平方公式要以学生的自主学习为主，教师要把精力放到适当的指导和总体方向的把握上来．
思考：
先填空，再看看列出的式子有什么特点．
（1）边长为x的正方形的周长为_________；
（2）一辆汽车的速度是v千米/时，行驶t小时所走过的路程为_______千米．
（3）如图，正方体的表面积为_______，正方体的体积为________；
（4）设n表示一个数，则它的相反数是________．
都是数字或字母的积的代数式叫做单项式．
单独的一个数或一个字母也是单项式．
单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数．
一个单项式中，所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数．
思考：
先填空，再看看列出的代数式有什么特点．
（1）温度由t℃下降5℃后是________℃；
（2）买一个篮球需要x元，买一个排球需要y元，买一个足球需要z元，买3个篮球、5个排球、2个足球共需要________元．
（3）如图（1），三角尺的面积为（取3.14）_________；
（4）图（2）是一所住宅的建筑平面图，这所住宅的建筑面积是_________米2．
几个单项式的和叫做多项式．
多项式中每个单项式叫做多项式的项，其中不含字母的项叫常数项．
多项式中次数最高的项的次数即这个多项式的次数．
计算下列各式：
（1）25×22
（2）a3·a2
（3）5m·5n（m、n都是正整数）
am·an等于什么（m、n都是正整数）？为什么？
[例1]计算：
（1）x2·x5 （2）a·a6
（3）2×24×23 （4）xm·x3m+1
[例2]计算am·an·ap后，能找到什么规律？
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