第二章 2.2基本不等式 第2课时 课件(共21张PPT)

(共21张PPT)
第二章一元二次函数、方程、不等式
2.2 基本不等式第2课时
人教版（2019A)
教学目标
新知导入
问题导入
两个数学最值模型：
“积定和最小，和定积最大”
一正，二定，三相等.
找出定值
（二定）
凑配式子
判断符号
(一正)
应用
基本不等式
a=b能否成立
(三相等)
新知探究
解：∵x-2>0, ,∴ .
当且仅当 即x=4时“=”成立.
∴当x=4时， 取最小值6.
新知探究
⑵已知a>0,b>0,且5a=20-4b,求ab的最大值.
【分析】①找和的定值:发现5a+4b=20为定值
②凑配式子:
③判断符号: 由a>0,b>0,得5a>0,4b>0.
④基本不等式:
⑤判断等号成立： 由5a+4b=20,5a=4b，解得a=2,b= .
解：∵a>0,b>0,5a=20-4b,∴5a>0,4b>0,5a+4b=20.
∴ ,
当且仅当a=2,b= 时，取“=”.
所以ab的最大值为5.
新知探究
新知探究
新知探究
拓展3：已知a>0,b>0,2ab=4a+b,则ab的最小值为 ，a+b的最小值为 .
分析：a>0,b>0,2ab=4a+b ，即变形为拓展2，可求ab的最小值为4.又∵ ，当且仅当 即a= ,b=3时，等号成立.
解：∵a>0,b>0,2ab=4a+b ，∴ ，∴ab≥4,当且仅当a=1,b=4时等号成立，则ab的最小值为4.
又∵ ，当且仅当 即a= ,b=3
时，等号成立.则a+b的最小值为 .
新知探究
方法总结
常数代换法适用于求解条件最值问题,应用此种方法求解最值的基本步骤为:
(1)根据已知条件或其变形确定定值(常数);
(2)把确定的定值(常数)变形为1;
(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除,进而构造和或积的形式;
(4)利用基本不等式求解最值.
初试身手
⑶函数 的最小值为 .
9
9
新知探究
例2 (1)如图,用篱笆围成一个面积为100m2的矩形菜园,问这个矩形的长、宽各为多少时，所用篱笆最短，最短的篱笆是多少？
A
D
B
C
检验等号成立的条件是否满足实际需要
解：如图设BC=x ，CD=y ，
则xy=100，篱笆的长为2(x+y)m.
当且仅当x=y时，等号成立
此时x=y=10.
因此，这个矩形的长、宽都为10m时，所用的篱笆最短，最短的篱笆是40m.
新知探究
例2 ⑵如图，用一段长为36m的篱笆围成一个矩形菜园，问这个矩形菜园的长和宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
A
D
B
C
解：如图设BC=x ，CD=y ，
当且仅当x=y时，等号成立,
检验等号成立的条件是否满足实际需要
则 2(x + y)= 36 , x + y =18
矩形菜园的面积为xy m2
得 xy ≤ 81
即x=y=9
因此，这个矩形的长、宽都为9m时，菜园子面积最大，最大面积是81m2.
新知探究
例3 某工厂要建造一个长方体形无盖贮水池，其容积为4800m3，深为3m。如果池底每平方米的造价为150元，池壁每平方米的造价为120元，怎样设计水池能使总造价最低？最低总造价是多少？
分析：水池呈长方体形，它的高是3m，底面的长与宽没有确定。如果底面的长与宽确定了，水池总造价也就确定了。因此应当考察底面的长与宽取什么值时水池总造价最低.
3m
新知探究
解：设底面的长为xm,宽为ym,水池的总造价为z元
根据题意，得
=240000+720（x+y)
由容积为4800m3可得 3xy=4800,xy=1600
3m
由基本不等式可得
240000+720（x+y)≥240000+720×2 =297600，当且仅当x=y=40时，等号成立.
所以，将水池的地面设计成边长为40m的正方形时总造价最低，最低总造价是297600元.
点评：应用题，先弄清题意（审题） 建立数学模型（列式） 再用所掌握的数学知识解决问题（求解） 最后要回应题意下结论（作答）.
新知探究
P48 练习
1.用24cm长的铁丝折成一个面积最大的矩形，应当怎样折？
2.用一段长为30m的篱笆围成一个边靠墙的矩形菜园，当这个矩形的边长为多少时，菜园的面积最大？最大面积是多少？
3.做一个体积为32m3，高为2m的长方体纸盒，当底面边长取多少时，用纸最少？
4.已知一个矩形的周长为36cm,矩形绕它的一条边旋转形成一个圆柱.当矩形的边长为多少时，旋转形成的圆柱的侧面积最大？
新知探究
提示：
1.连续对折相等的四段，形成一个正方形，此时面积最大.
2.设矩形靠墙的边长为xm,则与墙相对的边长为(30-2x)m,则菜园的面积
S=x(30-2x)=2x(15-x)≤ ,当且仅当x=7.5时等号成立,最大面积为112.5m2.
3.设长方体的长为a,宽为b,则2ab=32,即ab=16.而长方体纸盒的表面积S=2×2a+2×2b+2ab=4(a+b)+32≥4 2 +32=64,当且仅当a=b=4时等号成立，即底面边长为4m时，用纸最少.
4.设矩形的一边长为xcm,则另一边长为（18-x)cm,则绕一边旋转成的圆柱的侧面积S= （cm3),当且仅当x=9时
等号成立，则边长为9cm时，圆柱侧面积最大.
课堂总结
1.利用基本不等式求最值：（三板斧）
（1）积定和最小，和定积最大；（配凑：和定、积定）
（2）“1”的代换；（①乘以1的代换；②常数1的代换）
（3）和积互化（求什么项的范围就保留什么项）
2.用不等式解应用题.
找出定值
（二定）
凑配式子
判断符号
(一正)
应用
基本不等式
a=b能否成立
(三相等)
先弄清题意（审题） 建立数学模型（列式） 再用所掌握的数学知识解决问题（求解） 最后要回应题意下结论（作答）.
作业布置
3
18
3
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！