高一数学必修二《1.1.6棱柱棱锥、棱台和球的表面积2》教案

教学重点：球的体积公式和表面积公式及其应用
教学难点：球的体积公式和表面积公式及其应用
教学过程：
创设情景，引入新课：
提出问题：球既没有底面，也无法像在柱体、锥体和台体那样展开成平面图形，那么怎样来求球的表面积与体积呢？引导学生进行思考。
设疑引课：球的大小是与球的半径有关，如何用球半径来表示球的体积和面积？激发学生推导球的体积和面积公式。
二、探究新知：
1．探究球的体积公式
回顾祖暅原理：夹在两个平行平面之间的两个几何体,被平行于这两个平面的任意平面所截,如果截面的面积都相等,那么这两个几何体的体积一定相等。
构造新的几何体,结合祖暅原理推导球的体积公式(见P32页)
2. 探究球的表面积公式：
设球的半径为，我们把球面任意分割为一些“小球面片”，它们的面积分别用表示，则球的表面积:
以这些“小球面片”为底，球心为顶点的“小锥体”的体积和等于球的体积，这些“小锥体”可近似地看成棱锥，“小锥体”的底面积可近似地等于“小棱锥”的底面积，球的半径近似地等于小棱锥的高，因此，第个小棱锥的体积，当“小锥体”的底面非常小时，“小锥体”的底面几乎是“平的”，于是球的体积: ，
又∵，且
∴可得，
又∵，∴，
∴即为球的表面积公式
三、例题示范,巩固新知：
例1已知过球面上三点的截面和球心的距离为球半径的一半，且，求球的表面积
解：设截面圆心为，连结，设球半径为，
则，
在中，，
∴，∴，
∴．
例2．半球内有一个内接正方体，正方体的一个面在半球的底面圆内，若正方体棱长为，求球的表面积和体积
解：作轴截面如图所示，
，，
设球半径为，
则
∴，
∴，．
例3．表面积为的球，其内接正四棱柱的高是，求这个正四棱柱的表面积
解：设球半径为，正四棱柱底面边长为，
则作轴截面如图，，，
又∵，∴，
∴，∴，
∴．
例4. 如图,圆柱的底面直径与高都等于球的直径.
求证：(1) 球的体积等于圆柱体积的；
球的表面积等于圆柱的侧面积。
四、练习反馈,理解加深：
补充练习：
1．三个球的半径之比为，那么最大的球的体积是其余两个球的体积和的 倍；
2.若球的大圆面积扩大为原来的倍，则球的体积比原来增加 倍；
3.把半径分别为3，4，5的三个铁球，熔成一个大球，则大球半径是 ；
4.正方体全面积是，它的外接球的体积是 ，内切球的体积是 ．
答案：1. 3 2. 7 3. 6 4. ，
5?球O1、O2、分别与正方体的各面、各条棱相切，正方体的各顶点都在球O3的表面上，求三个球的表面积之比．
分析：球的表面积之比事实上就是半径之比的平方，故只需找到球半径之间的关系即可．
解：设正方体棱长为a，则三个球的半径依次为、，
∴ 三个球的表面积之比是．
小结归纳 ：
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球的体积公式：
证明:(1) 设球的半径为R,则圆柱的底面半径为R,高为2R.
因为 EMBED Equation.KSEE3 \* MERGEFORMAT
所以,
(2) 因为 ,,
所以,.