新疆维吾尔自治区巴音郭楞蒙古自治州和硕县和硕县高级中学2022-2023学年高二下学期6月期末数学试题（含解析）

绝密★启用前
2022-2023学年第二学期高二期末数学考试卷
考试时间：120分钟，满分150分：
注意事项：
1．答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2．请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、选择题（每题只有一个答案正确，共16小题，每题4分，共64分。）
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设是虚数单位，则（ ）
A． B． C． D．13
3．如果是实数，那么“”是“”的（ ）
A．充要条件 B．充分不必要条件 C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4．下列四个函数中，在上为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
5．（ ）
A． B． C． D．
6．已知与的夹角是，则等于（ ）
A．3 B． C． D．
7．已知命题，则（ ）
A． B．
C． D．
8．函数的零点个数为（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
9．设是定义在上的奇函数，且当时，，则（ ）
A． B． C． D．
10．以下数据为参加数学竞赛决赛的15人的成绩（单位：分）：78，70，72，86，88，79，80，81，94，84，56，98，83，90，91，则这15人成绩的第80百分位数是（ ）
A．90 B．90.5 C．91 D．91.5
11．某工厂甲、乙、丙三个车间生产了同一种产品，数量分别为120件，80件，60件．为了解它们的产品质量是否存在显著差异，用分层随机抽样方法抽取了一个容量为n的样本进行调查，其中从丙车间的产品中抽取了3件，则n等于（ ）
A．9 B．10 C．12 D．13
12．已知高为3的三棱柱的底面是边长为1的正三角形，如图所示，则三棱锥的体积为（ ）
A． B． C． D．
13．在中，若，则等于（ ）
A． B． C． D．
14．已知，下列命题正确的是（ ）
A．若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
15．已知非零向量不共线，且，若，则满足的关系式是（ ）
A． B． C． D．
16．根据有关资料，围棋状态空间复杂度的上限约为，而可观测宇宙中普通物质的原子总数约为．则下列各数中与最接近的是（参考数据：）（ ）
A． B． C． D．
第Ⅱ卷（非选择题）
二、填空题（共4小题，每题4分，共16分。）
17．函数的定义域为_________．
18．已知，若幂函数为奇函数，且在上递减，则_________．
19．不等式的解集为_________．
20．已知扇形的弧长是，面积是，则扇形的圆心角的弧度数是_________．
三、解答题（解答题应写出文字说明，证明过程或演算步骤，17题10分，其他题每小题12分，共70分）
21．已知函数．
（1）当时，求的最值；
（2）当时，判断在区间上的单调性，并用定义法证明你的结论．
22．先后抛掷两枚质地均匀的骰子．
（1）求点数之和为7的概率；
（2）求掷出两个4点的概率；
（3）求点数之和能被3整除的概率．
23．随着移动互联网的发展，与餐饮美食相关的手机app软件层出不穷．现从某市使用A和B两款订餐软件的商家中分别随机抽取100个商家，对它们的“平均送达时间”进行统计，得到频率分布直方图如下．
（1）试估计该市使用A款订餐软件的商家的“平均送达时间”的众数及平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）；
（2）如果以“平均送达时间”的平均数作为决策依据，从A和B两款订餐软件中选择一款订餐，你会选择哪款？
24．如图，在棱长为1的正方体中．
（1）求证：平面；
（2）求三棱锥体积．
（3）在对角线上是否存在点，满足平面成立，若存在，求出点的具体位置，若不存在，说明理由。
25．已知函数．
（1）求函数的最小正周期；
（2）求函数的值域和单调递增区间．
26．在中，内角的对边分别为，且。
（1）求角的大小；
（2）若，求的值。
2022-2023学年高二第二学期期末考试数学卷参考答案
1．B 2．A 3．C 4．A 5．C
6．解析：选B 由数量积的定义，得．
7．D
8．B 【解析】函数的零点，即令，根据此题可得，在平面直角坐标系中分别画出幂函数和指数函数的图像，可得交点只有一个，所以零点只有一个，故选B．
【考点定位】本小题表面上考查的是零点问题，实质上考查的是函数图象问题，该题涉及到的图像为幂函数和指数函数
9．解析：选A 因为是定义在上的奇函数，所以．
10．解析：选B 把成绩按从小到大的顺序排列为
56，70，72，78，79，80，81，83，84，86，88，90，91，94，98，
因为，所以这15人成绩的第80百分位数是．
11．解析：选D ∵，∴．
12．解析：选D 设三棱锥的高为，
则．
13．解析：选B 由正弦定理，得，所以．
14．解析：选D 当时，选项A、B、C均不正确；对于D项，，则．
15．解析：选A 由，得，即．又因为，非零向量不共线，
所以消去得，即．
16．解析：选D 由已知得，．
故与最接近的是．
17．
18． 【分析】由幂函数为奇函数，且在上递减，得到a是奇数，且，由此能求出a的值．
【详解】∵，
幂函数为奇函数，且在上递减，
∴是奇数，且，∴．故答案为：．
19．．
试题分析：本题是一个指数型函数式的大小比较，这种题目需要先把底数化为相同的形式，即底数化为2，根据函数是一个递增函数，写出指数之间的关系得到末知数的范围。
∵，∴，
∵，是一个递增函数；∴
故答案为：．
考点：指数函数的单调性和特殊性
20．解析：因为扇形的弧长为4，面积为2，
所以扇形的面积为，解得，则扇形的圆心角的弧度数为．
答案：4
21．解：（1）当时，，由于，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以的最小值是，
又，
故的最大值是35．
（2）当时，，由于，
所以在上单调递增
证明：取，则
由得
得，即
所以在上单调递增．
22．解：如图所示，从图中容易看出样本点与所描点一一对应，共36个，且每个样本点出现的可能性相等．
（1）记“点数之和为7”为事件，从图中可以看出，事件包含的样本点共有6个：．
故．
（2）记“掷出两个4点”为事件，从图中可以看出，事件包含的样本点只有1个，即．
故．
（3）记“点数之和能被3整除”为事件，则事件包含的样本点共12个：．
故．
23．解：（1）依题意，可得使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的众数为55，
平均数为．
（2）使用款订餐软件的商家中“平均送达时间”的平均数为，所以选款订餐软件．
24．【解】（1）∵面∴
又∵，
且是平面上的两条相交直线
∴平面
（2）
（3）存在，当为的中点时，平面
设的中点为，连接，由已知可得，且
四边形为平行四边形，得
∵平面平面
∴平面
25．解：（1）因为，所以，
所以函数的最小正周期．
（2）因为，
所以，即．
令，解得，
即函数的单调递增区间为．
26．解：（1）∵，
∴由正弦定理，得．
在中，，
即得，∴．
（2）∵，∴由正弦定理，得，
由余弦定理，
即，
解得，∴．