江苏省南京师范大学附属中学江宁分校2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

2022-2023学年
高二下学期期末考试
一．选择题（共8小题，每题5分，共40分）
1．已知集合，，则　　
A． B． C． D．
2．设，，则“”是“复数为纯虚数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，，1，2，3，4，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为　　
A． B． C． D．
4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则　　
A．10 B．20 C．30 D．5或40
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
6．已知直线与圆交于、两点，为坐标原点，，则实数的值为　　
A． B． C． D．
7．已知为矩形所在平面内一点，，，，，则　　
A． B．或0 C．0 D．5
8．已知函数在区间，上单调，且在区间，内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
二．多选题（共4小题，每题5分，共20分）
9．在研究某品牌汽车的使用年限（单位：年）与残值（单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：
2 4 6 8 10
17 16 14 13 11
利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是　　
A．与的样本相关系数
B．回归直线必过点
C．
D．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元
10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件： “”，事件 “为奇数”，事件 “”，则下列结论正确的是　　
A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立
11．已知，，，则下列结论正确的是　　
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3
12．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则　　
A．为奇函数 B．
C． D．
三．填空题（共4小题，每题5分，共20分）
13．的展开式中的常数项为　　．
14．幂函数满足：任意有，且（2），请写出符合上述条件的一个函数　　．
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为 　　．
16．已知，均为锐角，且，则的最大值是　　．
四．解答题（共6小题，共70分）
17．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值．
18．记为数列的前项和．
（1）从下面两个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①数列是等差数列；②
（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．
19．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如表：
成绩（分 ， ， ， ， ， ，
人数 2 4 22 40 28 4
（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．
①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分．
20．如图，是直角梯形，，，，，又，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
21．从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，，
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求．
22．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为．
（1）求、的方程；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交于、．
（ⅰ）设直线、的斜率分别为、，求的值；
（ⅱ）记、的面积分别是、，求的最小值．
2022-2023学年高二下学期期末考试
参考答案与试题解析
一．选择题（共8小题）
1．已知集合，，则　　
A． B． C． D．
【解答】解：，，，
，，，．
故选：．
2．设，，则“”是“复数为纯虚数”的　　
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
【解答】解：若，则，，
则复数为纯虚数，
反之若复数为纯虚数，则，，此时，
故“”是“复数为纯虚数”充要条件．
故选：．
3．甲、乙两人玩猜数字游戏，先由甲心中想一个数字，记为，再由乙猜甲刚才所想的数字，把乙猜的数字记为，其中，，1，2，3，4，，若，就称甲乙“心有灵犀”．现任意找两人玩这个游戏，则他们“心有灵犀”的概率为　　
A． B． C． D．
【解答】解：由题意知本题是一个古典概型，
试验包含的所有事件是任意找两人玩这个游戏，共有种猜字结果，
其中满足的有如下情形：
①若，则，1；②若，则，1，2；
③若，则，2，3；④若，则，3，4；
⑤若，则，4，5；⑥若，则，5，
总共16种，
他们“心有灵犀”的概率为．
故选：．
4．已知公差的等差数列满足，且，，成等比数列，若正整数，满足，则　　
A．10 B．20 C．30 D．5或40
【解答】解：由题知，
为等差数列，，
，解得，
从而，
故选：．
5．在《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的三棱锥称之为鳖臑．已知在鳖臑中，平面，，则该鳖臑的外接球的表面积为　　
A． B． C． D．
【解答】解：设的中点为，如图所示，
由，且为直角三角形，可得，
由，，两两垂直，可知为和的斜边，
故点到点，，，的距离相等，
故点为鳖臑的外接球的球心，
设鳖臑的外接球的半径与内切球的半径分别为，，
由，可得，解得，
由等体积法可得，，
即，解得，
故该鳖臑的外接球与内切球的表面积之和为．
故选：．
6．已知直线与圆交于、两点，为坐标原点，，则实数的值为　　
A． B． C． D．
【解答】解：直线与圆交于、两点，为坐标原点，，
，
为等边三角形，
故到直线的距离为：，
故选：．
7．已知为矩形所在平面内一点，，，，，则　　
A． B．或0 C．0 D．5
【解答】解：为矩形所在平面内一点，，，
，
，，
，
，
，
，
故选：．
8．已知函数在区间，上单调，且在区间，内恰好取得一次最大值2，则的取值范围是　　
A．， B．， C．， D．，
【解答】解：函数；
在区间，上单调，
可得
即，即；
且，
解得：，
，
当时，可得：，
在区间，内恰好取得一次最大值2，图象过原点，
，
解得：；
综上可得：，
故选：．
二．多选题（共4小题）
9．在研究某品牌汽车的使用年限（单位：年）与残值（单位：万元）之间的关系时，根据调研数据得到如下的对应值表：
2 4 6 8 10
17 16 14 13 11
利用最小二乘法，得到回归直线方程为，下列说法正确的是　　
A．与的样本相关系数
B．回归直线必过点
C．
D．预测该品牌汽车使用20年后，残值约为2万元
【解答】解：随的增大呈递减的趋势，所以与为负相关关系，所以与的样本相关系数，错误；
因为，，回归直线必过点，所以，得，、正确；
当时，（万元），错误．
故选：．
10．抛掷一红一绿两枚质地均匀的骰子，记下骰子朝上面的点数．用表示红色骰子的点数，用表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果．定义事件： “”，事件 “为奇数”，事件 “”，则下列结论正确的是　　
A．与互斥 B．与对立 C． D．与相互独立
【解答】解：定义事件： “”，事件 “为奇数”，事件 “”，
对于，事件： “”包含的基本事件有：，，，，，，
事件 “为奇数”，包含的基本事件有：
，，，，，，
与不能同时发生，是互斥事件，故正确；
对于，与不能同时发生，能同时不发生，不是对立事件，故错误；
对于，的所有可能结果如下表：
1 2 3 4 5 6
1
2
3
4
5
6
（C），，，故错误；
对于，（A），（C），，
（A）（C），与相互独立，故正确．
故选：．
11．已知，，，则下列结论正确的是　　
A．的最大值为 B．的最大值为1
C．的最小值为 D．的最小值为3
【解答】解：，，．
对于，当且仅当时取等号，故正确；
对于，当时，显然错误；
对于，当且仅当时取等号，故正确；
对于，，
但是当时，不符合题意，故等号不成立，故错误．
故选：．
9．已知函数，的定义域均为，是奇函数，且，，则　　
A．为奇函数 B．
C． D．
【解答】解：因为，所以，又，则有，
因为是奇函数，所以，
可得，即有，
所以，
所以是周期为4的周期函数，
故也是周期为4的周期函数，
因为，所以，所以为偶函数，故错误；
由是奇函数，则（1），所以（3），
又（2）（4）（2），
所以（1）（2）（3）（5），所以选项错误；
由（1），得，所以选项正确；
因为（2）（5）（1），
（1）（3）（4）（6）（4）（2），
所以（1）（2）（3），
所以（1）（2）（3），所以选项正确．
故选：．
三．填空题（共4小题）
13．的展开式中的常数项为　　．
【解答】解：展开式的通项为
令得
所以展开式的常数项为
故答案为
14．幂函数满足：任意有，且（2），请写出符合上述条件的一个函数　　．
【解答】解：取，则定义域为，且，
，（2），满足（2）．
故答案为：（答案不唯一）．
15．已知双曲线的左，右焦点分别为，，为双曲线的右支上一点，点关于原点的对称点为，满足，且，则双曲线的离心率为 　　．
【解答】解：根据题意及对称性易知：四边形为平行四边形，
，又，
由余弦定理易得，，
，
将代入双曲线中，可得，
，又，且，
，
，
，又，
解得，
故答案为：．
16．已知，均为锐角，且，则的最大值是　　．
【解答】解：知，均为锐角，且，
则，
化简为：，
转化为：，
即，
则：，
所以：△，且两根，均大于0．即．
即：，
解得：．
由于：为锐角，
所以：，
则的最大值为．
故答案为：
四．解答题（共6小题）
17．如图，在平面直角坐标系中，锐角和钝角的顶点与原点重合，始边与轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于，两点，且．
（1）求的值；
（2）若点的横坐标为，求的值．
【解答】解：（1）由，知，
所以，，
所以．
（2）因为点的横坐标为，所以，，
所以，，
所以，，
所以．
18．记为数列的前项和．
（1）从下面三个条件中选一个，证明：数列是等差数列；
①数列是等差数列；②
（2）若数列为等差数列，且，，求数列的前项和．
【解答】（1）证明：选择条件①：，
，，
两式相减可得，
即，
，
两式相减可得，
化简可得，
，数列是等差数列．
选择条件②：设数列的首项为，公差为，
则，故．
当时，，
当时，，，
又当时，．
数列是等差数列．
（2）解：数列是等差数列，且公差，
．
．
故
．
19．为深入学习党的二十大精神，我校团委组织学生开展了“喜迎二十大，奋进新征程”知识竞赛活动，现从参加该活动的学生中随机抽取了100名，统计出他们竞赛成绩分布如表：
成绩（分 ， ， ， ， ， ，
人数 2 4 22 40 28 4
（1）求抽取的100名学生竞赛成绩的方差（同一组中数据用该组区间的中点值为代表）；
（2）以频率估计概率，发现我校参赛学生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均分，近似为样本方差，若，参赛学生可获得“参赛纪念证书？”；若，参赛学生可获得“参赛先锋证书”．
①若我校有3000名学生参加本次竞赛活动，试估计获得“参赛纪念证书”的学生人数（结果保留整数）；
②试判断竞赛成绩为96分的学生能否获得“参赛先锋证书”．
附：若，则，，；抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分．
【解答】解：（1）由题意，抽取的这100名学生竞赛成绩的平均分，
所以100名学生本次竞赛成绩方差为：
；
（2）①由于近似为样本成绩平均分，近似为样本成绩方差，
所以，，可知，，
由于竞赛成绩近似地服从正态分布，
因此竞赛学生可获得“参赛纪念证书”的概率为：
，
所以，
故估计获得“参赛纪念证书”的学生人数为2456；
②当时，即时，参赛学生可获得“参赛先锋证书”，
所以竞赛成绩为96分的学生能获得“参赛先峰证书”．
20．如图，是直角梯形，，，，，又，．
（1）求证：平面平面；
（2）求二面角的平面角的余弦值．
【解答】（1）证明：，，，
平面，（2分）
又平面，
平面平面．（5分）
（2）解法一：（几何法）
取的中点，则，连接，，
，
，，
从而平面
作，交的延长线于，连接，则由三垂线定理知，，
为二面角的平面角
在中，，
在中，
则．
解法二：（向量法）
在平面内，过作，建立空间直角坐标系（如图）（6分）
由题意有，，，，0，
，1，，，
设平面的一个法向量为，
则，，
，取，得（9分）
平面的法向量取为（10分）
设与所成的角为，则，（11分）
显然，二面角的平面角为锐角，
故二面角的平面角的余弦值为．（12分）
21．从甲、乙、丙等5人中随机地抽取三个人去做传球训练．训练规则是确定一人第一次将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，每次必须将球传出．
（1）记甲乙丙三人中被抽到的人数为随机变量，求的分布列；
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且第1次由甲将球传出，记次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，，
①直接写出，，的值；
②求与的关系式，并求．
【解答】解：（1）可能取值为1，2，3，
；；，
所以随机变量的分布列为
1 2 3
（2）若刚好抽到甲乙丙三个人相互做传球训练，且次传球后球在甲手中的概率为，，2，3，，
则有，，，
记表示事件“经过次传球后，球在甲手中”，
所以
，
即，
所以，且，
所以数列表示以为首项，为公比的等比数列，
所以所以，
即次传球后球在甲手中的概率是．
22．已知椭圆的离心率为，轴被抛物线截得的线段长与长轴长的比为．
（1）求、的方程；
（2）设与轴的交点为，过坐标原点的直线与相交于点、，直线、分别与相交于、．
（ⅰ）设直线、的斜率分别为、，求的值；
（ⅱ）记、的面积分别是、，求的最小值．
【解答】解：（1）解，可得，
所以，轴被抛物线截得的线段长为．
由已知可得，，解得．
所以椭圆的方程为，抛物线的方程为．
（2）由（1）知，．
设直线的方程为，，，，．
联立直线与抛物线的方程，
可得，
则．
又，，
所以．
联立直线与抛物线的方程，
可得，则．
同理：．
设，，，．
联立直线与椭圆的方程，
可得，
则，
同理可得，．
由图象知，，，，
所以，当且仅当时，取等号，
所以，的最小值为．