假期作业三 函数及其性质 2022-20233学年度高一数学暑假作业（含解析）

假期作业三 函数及其性质
一、单选题
1．已知函数，若，不等式恒成立，则正实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数是定义在上的奇函数，且，则（ ）
A． B．2 C．0 D．5
3．设，，，则（ ）
A． B．
C． D．
4．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
5．已知，则（ ）
A． B．
C． D．
6．下列函数中，在区间上单调递增的是（ ）
A． B．
C． D．
7．定义在上的函数，已知是它的导函数，且恒有成立，则有（ ）
A． B．
C． D．
8．下列四个函数中的某个函数在区间上的大致图象如图所示，则该函数是（ ）

A． B． C． D．
9．已知命题：任意，使为真命题，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
10．在中，内角，，，．若对于任意实数，不等式恒成立，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
11．已知函数则（ ）
A． B． C． D．2
12．函数是定义域为的奇函数，在上单调递增，且.则不等式的解集为（ ）
A． B．
C． D．
13．已知集合，，则（ ）
A． B．
C． D．
14．函数的图象大致是（ ）
A． B． C． D．
15．下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
16．已知集合,，则__________．
17．已知函数是定义在R上的偶函数，当时，，则函数在R上的表达式为______．
18．函数的最小值为________．
19．定义域为的函数满足，当时， 当时，恒成立，则实数t的取值范围是______．
20．已知函数，且，则______．
三、解答题
21．函数的定义域为集合A，函数的定义域为集合B，
(1)求和；
(2)若集合，且，求实数P的取值范围．
22．已知向量，且函数．
(1)求函数图象的对称轴和对称中心；
(2)把函数的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象，若关于的不等式在上恒成立，求实数的取值范围．
23．设是R上的奇函数，，当时，.
(1)的值；
(2)当时，的图象与x轴所围成图形的面积.
24．对于定义域为的函数，如果同时满足以下三个条件：①对任意的，总有；②；③若，，，都有≥成立，则称函数为理想函数.
(1)判断函数()是否为理想函数，并予以证明；
(2)若函数为理想函数且，求的值；
(3)已知函数为理想函数，若，使得，求的值.
25．给定函数，若点是的两条互相垂直的切线的交点，则称点为函数的“正交点”.记函数所有“正交点”所组成的集合为.
(1)若，判断集合是否为空集，并说明理由；
(2)若，证明：的所有“正交点”在一条定直线上，并求出该直线；
(3)若，记图像上的所有点组成的集合为，且，求实数的取值范围.
试卷第1页，共3页
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参考答案：
1．B
【分析】分析出函数为奇函数，利用导数分析可知函数在上为增函数，由可得出，令，求出函数在上的最大值，即可得出实数的取值范围.
【详解】因为，其中，则，且不恒为零，
所以，函数在上为增函数，
又因为，故函数为奇函数，
由可得，
所以，，所以，，
令，因为，当且仅当时，等号成立，
所以，.
故选：B.
2．D
【分析】由题意可得函数的周期为6，然后利用周期和，可求得结果.
【详解】因为是定义在上的奇函数，所以，
因为，所以，
所以，
所以的周期为6，
所以
，
故选：D
3．B
【分析】根据题意，由，得，先构造函数，利用导数分析其单调性，得到，再构造函数，，利用导数分析其单调性，得到，即可得到，最后构造函数，利用导数分析其单调性，得到，进而得到，进而求解即可.
【详解】由，得，
令，
则，
所以在上单调递减，
所以，
即，
令，，
则，
当时，，函数单调递减；
当时，，函数单调递增，
所以，
即，
所以.
由，得，
，
设，
所以，
所以函数在上单调递减，
所以，
所以时，，
所以，即，
所以，
所以.
故选：B.
【点睛】方法点睛：比较大小问题，常常根据：
（1）结合函数性质进行比较；
（2）利用特殊值进行估计，再进行间接比较；
（3）根据结构特征构造函数，利用导数分析单调性，进而判断大小.
4．B
【分析】先得到函数的奇偶性，排除AC，再比较出，排除B，得到正确答案.
【详解】由题知，的定义域为，因为，
∴是奇函数，排除A，C，
因为，排除D.
故选：B.
5．B
【分析】由题意分析函数的单调性，可得，，，即可得答案.
【详解】因为函数在上单调递增且,
所以，所以，
函数在上单调递增，所以，
函数在上单调递增，所以，
所以.
故选：B.
6．C
【分析】利用基本初等函数的单调性，结合复合函数的单调性判断ABC，举反例排除D即可.
【详解】对于A，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故A错误；
对于B，因为在上单调递增，在上单调递减，
所以在上单调递减，故B错误；
对于C，因为在上单调递减，在上单调递减，
所以在上单调递增，故C正确；
对于D，因为，，
显然在上不单调，D错误.
故选：C.
7．C
【分析】根据，构造函数，利用其单调性比较.
【详解】解：令，
则，
因为，
所以，
则在上单调递减.
所以，
故，，
故选：C
8．B
【分析】利用题给函数在上先正值后负值的变化情况排除选项A；利用题给图象可知函数是奇函数排除选项C；利用当时题给函数值为负值排除D；而选项B均符合以上要求.
【详解】当时，，.排除A；
由偶函数定义可得为偶函数，由题给图象可知函数是奇函数，排除C；
当时，.排除D；
为奇函数，且当时，，
当时，.B均符合题给特征.
故选：B.
9．C
【分析】设，由题意可得任意，恒成立，结合二次函数性质列不等式求的取值范围.
【详解】设，则，
原命题等价于：任意，使为真命题，
所以，其中
设， 则
函数，的最大值为与中的较大者，
所以，
∴，解得，
故选：C.
10．D
【分析】根据题意原不等式可转化为，恒成立，由的取值范围即可求出的最小值，即可解出答案.
【详解】因为对于任意实数，不等式恒成立，
所以，即,等价于恒成立，
又，即，即，，，
所以，解得.
故选：D
11．C
【分析】根据分段函数的解析式，即可根据自变量的范围代入求值.
【详解】,,
故，
故选：C
12．D
【分析】根据题意画出函数的草图，再由奇函数化简不等式为，结合图象即可选出答案.
【详解】由于是定义域为的奇函数，所以，
又在上单调递增，且，
所以的大致图象如图所示．

由可得，，
由于在分母位置，所以，
当时，只需，由图象可知；
当时，只需，由图象可知；
综上，不等式的解集为．
故选：D
13．C
【分析】分别求出集合和，根据交集和并集的定义，即可得出答案．
【详解】因为，
所以，即，
由得，
所以，，
故选：C．
14．A
【分析】先利用导数求出函数的单调区间，再根据时，函数值的符号，利用排除法即可得解.
【详解】，
当或时，，当时，，
所以函数在上单调递减，在上单调递增，故排除B；
当时，，
所以，故排除CD.
在A中：单调性满足，当时满足，令即有两个正根，且时，当或时，以上性质图象均满足，故A正确.
故选：A.
15．C
【分析】根据常见函数的奇偶性与单调性，及函数奇偶性的定义判断即可.
【详解】为非奇非偶函数，故A错误；
为非奇非偶函数，故B错误；
在其定义域内既是奇函数又是增函数，故C正确；
记，其定义域为，，
则为偶函数，故D错误.
故选：C.
16．
【分析】求出定义域和值域得到，从而得到交集.
【详解】因为，，
所以．
故答案为：
17．
【分析】利用偶函数定义可求解.
【详解】当时，，故，
所以，所以
故答案为：
18．2
【分析】(方法1：单调性法)：求得函数的单调性，从而可得最小值；
(方法2：换元法)：令，结合二次函数的性质求出最小值．
【详解】(方法1：单调性法)：显然函数的定义域为，
因为函数与在定义域上均是增函数，
故在上是增函数，
所以当时， ，即函数的最小值为2．
(方法2：换元法)：令，则，
所以原函数转化为，
易知在时，函数单调递增，
所以当时， ，
故函数的最小值为2．
故答案为：2．
19．
【分析】先求出上的值域，根据可以求出上的的值域，然后只需，解不等式即可.
【详解】时，，
则当，，
而，则，由
于是当时，
因此当时，．
而当时，恒成立，
等价于，即，
由得，即，
由可得，
于是.
故答案为：
20．2024
【分析】根据已知条件构造函数，然后利用函数的奇偶性可求得结果.
【详解】构造具有奇偶性的函数，由，得，
构建函数，定义域为，
因为
所以函数是偶函数，所以，
所以，
从而，又，
因此.
故答案为：2024
21．(1)，
(2)
【分析】（1）解不等式求出，进而求和；
（2）根据可得满足的不等式，其解即为实数p的取值范围.
【详解】（1）对于集合A：由，解得或，∴，
对于集合B：由，解得，∴，
所以，，；
（2），
因为，所以，解得，，
所以，实数p的取值范围为：．
22．(1)对称轴为，对称中心为
(2)
【分析】（1）由二倍角的正弦公式和余弦公式、辅助角公式化简，再由三角函数的性质求解即可；
（2）由三角函数的平移、伸缩变换可求出，再由三角函数的性质求出在的最大值，可得，解不等式即可求出答案.
【详解】（1）因为向量，
所以
，
令，得；
令，得，
所以的图象的对称轴为，对称中心为；
（2）把的图象上所有点的横坐标变为原来的（纵坐标不变），得的图象，
再把得到的图象向左平移个单位长度，得到函数的图象．
令，
则．
当，即时，．
因为不等式在上恒成立，
所以，即，
解得或．
所以实数的取值范围为．
23．(1)
(2)4
【分析】（1）根据已知可得函数的周期为4，再由奇偶性与给定范围的表达式即可求解；
（2）由已知可得函数的图象关于直线x＝1对称，又当时，，且的图象关于原点成中心对称，再结合的图象求解即可．
【详解】（1）由，得，
所以是以4为周期的周期函数，又为奇函数，所以；
（2）由是奇函数且，
得，即．
故函数的图象关于直线x＝1对称．
又当时，，且的图象关于原点成中心对称，
则的图象如图所示．

当时，设的图象与x轴围成的图形面积为S，
则.
24．(1)不是，证明见解析
(2)
(3)或
【分析】（1）不妨取验证判断；
（2）由，，，都有成立，令求解，在由，令求解；
（3）根据（2），分析和矛盾求解.
【详解】（1）解：不妨取，则，，
与矛盾，
故该函数不是理想函数；
（2）由，，，都有成立，
知，
又，
所以，
综上，；
（3）由（2）知，当时，有与矛盾，
同理当时，有与矛盾
故，即为方程在区间上的根，易知或者.
25．(1)不存在，理由见解析
(2)证明见解析，
(3)
【分析】（1）假设存在，求出导函数，利用导数的几何意义推出矛盾，即可判断；
（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，求出切线方程，即可求出交点坐标，由切线互相垂直求出，即可得解；
（3）依题意不存在图像上的点，使得该点是“正交点”，先利用反证法证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点，假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，即可得到方程对无解，结合二次函数的性质计算可得.
【详解】（1）假设存在“正交点”，则存在两条相互垂直的切线，
设为和处的切线，
因为，所以，所以，
所以不存在“正交点”，所以.
（2）设“正交点”是在和处的切线的交点，
因为，所以，
所以在和处的切线方程为：，，
联立，解得，即，
因为两条切线互相垂直，所以，
所以，所以的所有“正交点”在一定直线上.
（3）因为，所以不存在图像上的点，使得该点是“正交点”.
先证明：对任意的实数，若图像上的点是“正交点”，则该点本身一定是切点.
反证法：假设该点不是切点，则存在切线，
它与函数图像交于点，所以，
化简得，因为，所以，
同理可得，所以，所以两条切线重合，矛盾！所以该点本身一定是切点.
假设，处切线互相垂直，不妨令是两条切线的交点，
则由前文可知，所以
，
因为，所以，
即，
设，
则有，
由题意可知图像上的点都不是“正交点”，也即不存在这样的点，
所以方程对无解.
设，其对称轴为，
所以当时，取得最小值，
要使得无解，只要，解得.
【点睛】关键点睛：本题解答的关键是理解定义，利用导数、反证法相关知识进行解答，以达到转化的目的.
答案第1页，共2页
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