18.1.2 平行四边形的判定 教案 课时 1

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第18章《平行四边形》教案
18.1.2平行四边形的判定
第1课时
教学目标：
理解并掌握平行四边形的判定定理．
重点：
理解并掌握平行四边形的判定定理，并能熟练应用．
难点：
根据条件灵活运用平行四边形的判定定理进行推理．
教学流程：
一、导入新课
想一想：平行四边形都有哪些性质呢？
答案：
边：平行四边形的对边平行且相等.
角：平行四边形的对角相等，邻角互补.
对角线：平行四边形的对角线互相平分.
二、新课讲解
思考：平行四边形的性质定理的逆命题成立吗？
探究1：性质1：平行四边形的对边相等.
逆命题：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AB=CD，AD=BC．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接BD．
∵AB=CD，AD=BC，
且BD＝DB，
∴△ABD≌△CDB．
∴∠1=∠2，∠3=∠4．
∴AB∥DC，AD∥BC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理1：两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵AB=CD，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究2：性质2：平行四边形的对角相等.
逆命题：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，∠A=∠C，∠B=∠D．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：在四边形ABCD中，
有∠A+∠B+∠C+∠D=360°．
∵∠A=∠C，∠B=∠D，
∴∠A+∠B=180°，
∠B+∠C=180°．
∴AD∥BC，AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理2：两组对角分别相等的四边形是平行四边形.
符号语言：∵∠A=∠C，∠B=∠D ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究3：性质3：平行四边形的对角线互相平分.
逆命题：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
已知：如图，在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，且OA=OC，OB=OD．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵OA=OC，OB=OD，∠AOD=∠COB，
∴△AOD≌△COB．
∴∠OAD=∠OCB．
∴AD∥BC．
同理AB∥DC．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理3：对角线互相平分的四边形是平行四边形.
符号语言：
∵ OA=OC，OB=OD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
探究4：思考：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形吗？
已知：如图，在四边形ABCD中，AB//CD， AB=CD ．
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：连接AC．
∵AB//CD，
∴∠1=∠2，
又∵AB=CD，AC=CA，
∴△ABC≌△CDA．
∴BC=DA，
∵AB=CD，BC=DA．
∴四边形ABCD是平行四边形．
归纳：判定定理4：一组对边平行且相等的四边形是平行四边形.
符号语言：∵ AB//CD，AB=CD ，
∴四边形ABCD是平行四边形.
归纳：平行四边形的判定方法
边：
1.两组对边分别平行的四边形是平行四边形；
2.两组对边分别相等的四边形是平行四边形；
3.一组对边平行且相等的四边形是平行四边形；
角：
4.两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
对角线：
5.对角线互相平分的四边形是平行四边形．
例1:如图，AB=DC=EF，AD=BC，DE=CF．
求证：AB∥EF．
证明：∵AB=DC，AD=BC，
∴四边形ABCD是平行四边形．
∴AB∥DC．
又∵DC=EF，DE=CF，
∴四边形DCFE也是平行四边形．
∴DC∥EF．
∴AB∥EF．
例2:已知：如图，平行四边形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，E、F是AC上的两点，并且AE=CF.
求证：四边形BFDE是平行四边形。
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA－AE=OC－CF，
即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形。
追问1：想一想，还有其它的证法吗？
追问2：若点E，F 分别在AC 两侧的延长线上，其他条件不变，结论还成立吗？
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴OA=OC，OB=OD.
∵AE=CF，
∴OA+AE=OC+CF，
即OE=OF.
∴四边形BFDE是平行四边形.
例3:如图,在□ABCD中,E,F分别是AB,CD的中点．
求证：四边形EBFD是平行四边形．
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD, BE∥DF，
又∵BE=AB, DF= CD，
∴BE=DF，
∴四边形EBFD是平行四边形.
三、巩固提升
1．在四边形ABCD中，AB＝5cm，BC＝6 cm，那么当AD＝______，CD＝______时，四边形ABCD是平行四边形．
答案：5cm，6cm
2．若∠A，∠B，∠C，∠D为四边形ABCD的四个内角，下列给出的是这四个内角的比值，其中能使四边形ABCD是平行四边形的是(　 　)
A．2∶3∶2∶3 B．2∶3∶3∶2 C．1∶2∶3∶4 D．2∶2∶3∶3
答案：A
3．小玲的爸爸在钉制平行四边形框架时，采用了一种方法：如图，将两根木条AC，BD的中点重叠，并用钉子固定，则四边形ABCD就是平行四边形，这种方法的依据是(　 　)
A．对角线互相平分的四边形是平行四边形
B．两组对角分别相等的四边形是平行四边形
C．两组对边分别相等的四边形是平行四边形
D．两组对边分别平行的四边形是平行四边形
答案：A
4.如图，在四边形ABCD中, AD∥BC, AE⊥AD交BD于点E，CF⊥BC交BD于点F，且AE＝CF.
求证：四边形ABCD是平行四边形．
证明：∵AD∥BC，
∴∠ADE＝∠CBF，
∵AE⊥AD，CF⊥BC，
∴∠EAD＝∠FCB＝90°，
又∵AE＝CF，
∴△ADE≌△CBF(AAS)，
∴AD＝BC，
∴四边形ABCD是平行四边形.
5.如图，AB，CD相交于点O，AC∥DB，AO＝BO，E，F分别是OC，OD的中点．
求证：四边形AFBE是平行四边形．
证明：∵AC∥DB，
∴∠CAB＝∠DBA，
又∵AO＝BO，∠AOC＝∠BOD，
∴△AOC≌△BOD(ASA)，
∴CO＝DO，
∵E，F分别为OC，OD的中点，
∴OE＝OF，
∴四边形AFBE 是平行四边形.
四、课堂小结
今天我们学习了哪些知识？
我们都学习了哪些平行四边形的判定方法？
五、布置作业
教材P47页练习第2、4题．