中小学教育资源及组卷应用平台
北师大版八年级数学上册教学设计
课题 勾股定理的运用 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 本节课是运用勾股定理解决简单的立体图形上的最短距离问题，进一步发展应用意识。既是七年级图形的展开与折叠知识的延续，需要把立体图形展开成平面图形后，利用两点之间线段最短在平面上找到最短距离，并运用勾股定理求出最短距离；又是从立体图形侧面中来又回到立体图形中去，也为九年级要学习的视图与投影埋下伏笔。
核心素养分析 培养学生解决实际问题的能力、空间想象能力，提高学生审题能力，养成良好的数学思维习惯。
学习目标 1、体会把立体图形转化为平面图形，解决“最短路径” 的问题。树立转化思想。2、会根据“勾股定理的逆定理”解决实际问题。3.利用数学中的“建模思想”构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
重点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题。
难点 探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆及理，并用其解决生活实际问题。
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 1,回顾思考 ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC是直角.三角形。如何判断一个三角形为直角三角形 （两条较边短的平方和是否等于较长边的平方）两点之间线段最短，直线外一点到这条直线可以画 无数条条线段，其中垂直线 最短。2.问题情境导入：蚂蚁爬行的最短距离。 知识回顾完成1-3题。回顾圆柱体的展开图 1.帮助学生温故知新；2.通过视觉激活学生思维，生成问题
讲授新课 问题情境在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？小组合作蚂蚁爬行的最短线路（１）中A→B的路线长为：AA’+d>AB（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;（４）中A→B的路线长为：AB.根据两点之间线段最短可判断（第4条）最短三、分析解决问题情境，寻找并计算最短距离。圆柱体测面展开是长方形，长方形的长=（ 底面周长），宽=（圆柱体的高）。利用勾股定理求AB的长度。如果告诉底面半径，AB=(兀r )如果告诉底面直径，AB=( 兀d )变式练习（1）如果A和B同侧，AB= 如果A点上移， AB= 如果B点沿上边缘移动，AB= 例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处吃食物，它爬行的最短路线长为多少？解：AC = 6 – 1 = 5 BC = 24 × = 12， 由勾股定理得 AB2= AC2+ BC2=169,∴AB=13(m) . 学生审题，小组合作蚂蚁爬行的最短线路。在计算最短距离时，一名学生分析思路，指明圆柱体上的数量和展开图上的数量之间一一对应关系，以及如何利用勾股定理进行计算 由有趣的实际问题引入，激发学生学习兴趣；启发学生把立体图形展开成平面图形，使学生体会数学上的转化思想。1.教师黑板画图，为学生在黑板上板书变式训练一做准备；2.通过先寻找“关键点”，再找到“最短距离”，最终在直角三角形内利用勾股计算最短距离这一过程，使学生再次领悟任何一个几何图形都是由基本元素“点”，“线”，“面”构成，回归几何的本质。
课堂练习 做一做（课本13页）解：（1）∵ ∴AD⊥AB（2）解：在AD和AB边分别任取一点E、F。测量AE、AF、EF,使AE、AF、EF均小于20cm,然后仿照（2）进行检验是否垂直。2.自学课本13页例题解：设直角三角形斜边AC=Xm , 依题意得： 解得x=5 答：滑道AC长5m.3.课本第15页第5题解：设水池深度为x尺，芦苇长（x+1） 依题意得： 解得X=12 12+1=13 答：水池深度 12尺。芦苇长13尺。4、如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？解：解：三角形ABC是直角三角形，理由；∵AD⊥CD,∴∵BD⊥CD,∴∵ ∵ ∴ 三角形ABC是直角三角形如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离（单位cm）解：最短线路AB AB=25cm答：最近距离25cm 学生练习作答，教师巡视。 该练习体现数学的多样性和灵活性，直接检验学生是否已经掌握刚才所学知识
课堂小结 应用勾股定理解决实际问题的一般思路1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。 方程思想是解决数学问题常用的重要思想，把几何知识抽象为代数，体现数型结合的思想。
板书 勾股定理的应用——最短距离问题立体图形 平面图形实际问题 数学问题 抓住数学转化思想，突出重点。
转化
数学思想
展开
转化
建模
21世纪教育网 www.21cnjy.com 精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
HYPERLINK "http://www.21cnjy.com/" 21世纪教育网(www.21cnjy.com)(共21张PPT)
勾股定理的应用
教学目标
学习目标
1.学会观察图形，勇于探索图形间的关系，培养学生的空间观念。
2.探索、发现事物中隐含的勾股定理及其逆定理，并用它们解决生活实际问题。
3.利用数学中的建模思想构造直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题。
回顾思考
1. ABC的三边长为AB＝26，AC＝10，BC＝24， 则 ABC的为 .三角形
直角
2.如何判断一个三角形为直角三角形的方法
是： .
较短的两边平方和等于最长边的平方
3.两点之间 最短.直线外一点到这条直线可以画 条线段，其中 最短。
线段
垂直线
无数条
新知导入
在一个圆柱石凳上，若小明在吃东西时留下了一点食物在B处，恰好一只在A处的蚂蚁捕捉到这一信息，于是它想从A 处爬向B处，你们想一想，蚂蚁怎么走最近？
B
A
新知讲解
蚂蚁A→B的路线
新知讲解
（１）中A→B的路线长为：AA’+d>AB
（２）中A→B的路线长为：AA’+A’B>AB;
（３）中A→B的路线长为：AO+OB>AB;
（４）中A→B的路线长为：AB.
根据两点之间线段最短可判断（４）最短
新知讲解
怎样计算最短线路AB？
B
A
A’
O
侧面展开图
A
B
A’
在Rt△AA’B中，利用勾股定理可得，
想：要求AB,必须知道什么条件
新知讲解
变式练习
（1） 如果AB同侧，
求最短距离。
AB的距离=圆柱的高
新知讲解
新知讲解
新知讲解
（2）A点上移或B点下移。求最短距离
新知讲解
（3）B点沿上边缘移动，
怎样求最短距离。
新知讲解
例1、 有一圆形油罐底面圆的周长为24m，高为6m，一只老鼠从距底面1m的A处爬行到对角B处
吃食物，它爬行的最短路线长为多少？
B
A
C
解：AC = 6 – 1 = 5 ，
BC = 24 /2= 12，
由勾股定理得
AB2= AC2+ BC2=169,
∴AB=13(m) .
课堂练习
李叔叔想要检测雕塑底座正面的边AD和边BC是否分别垂直于底边AB，但他随身只带了卷尺.
（1）你能替他想办法完成任务吗？
做一做（课本13页）
（2）李叔叔量得边AD长是30cm，边AB长是40cm，B，D之间的距离是50cm.边AD垂直于边AB吗？
（3）小明随身只有一个长度为20cm的刻度尺，他能有办法检验边AD是否垂直于边AB吗？边BC与边AB呢？
解：在AD和AB边分别任取一点E、F。测量AE、AF、EF,使AE、AF、EF均小于20cm,然后仿照（2）进行检验是否垂直。
解：∵ 即 ∴AD⊥AB
课堂练习
如图是一个滑梯示意图，若将滑道AC水平放置，
则刚好与AB一样长.已知滑梯的高度 CE=3m,
CD=1m,试求滑道AC的长.
自学课本13页例题
解：设直角三角形斜边AC=Xm , 依题意得：
解得x=5
答：滑道AC长5m.
课堂练习
在我国古代数学著作《九章算术》中记载了一道有趣的问题，这个问题的意思是：有一个水池，水面是一个边长为10尺的正方形，在水池的中央有一根新生的芦苇，它高出水面1尺，如果把这根芦苇垂直拉向岸边，它的顶端恰好到达岸边的水面，请问这个水池的深度和这根芦苇的长度各是多少？
课本第15页第5题
解：设水池深度为x尺，芦苇长（x+1） 依题意得：
解得X=12 12+1=13
答：水池深度 12尺，芦苇长13尺。
课堂练习
如图，在操场上竖直立着一根长为2米的测影竿（CD），早晨测得它的影长为4米（AD），中午测得它的影长为1米（BD），则A、B、C三点能否构成直角三角形？为什么？
解：三角形ABC是直角三角形，理由；
∵AD⊥CD,∴
∵BD⊥CD,∴
∵
∴ 三角形ABC是直角三角形
课堂练习
如图，台阶A处的蚂蚁要爬到B处搬运食物，它怎么走最近？并求出最近距离
AB=25
解：
课堂总结
应用勾股定理解决实际问题的一般思路：
1、在解决实际问题时，首先要画出适当的示意图，将实际问题抽象为数学问题，并构建直角三角形模型，再运用勾股定理解决实际问题。
2、在直角三角形中，只知道一边的长度，另外两边只知道它们的关系时，运用勾股定理列方程方法求解。
板书设计
勾股定理的应用——最短距离问题
(1)立体图形
转化
展开
平面图形
(2)实际问题
转化
建模
数学问题
作业布置
课本习题1.4（第14-15页）第1、2、3、4题。
谢谢
21世纪教育网（www.21cnjy.com)
中小学教育资源网站
兼职招聘：
https://www.21cnjy.com/recruitment/home/admin
