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北师大版八年级上册
单元复习
第一章 勾股定理
教学fagxniuweqiiiang 目标
2002年世界数学家大会在我国北京召开，右图是本届数学家大会的会标：
会标中央的图案是赵爽弦图，它与“勾股定理”有关，数学家华罗庚曾建议用“勾股定理”的图来作为与“外星人”联系的信号.
活动一：梳理知识
新知导入
活动二 验证勾股定理
∴
∴
∴
活动三：学以致用
题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。
1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 。
2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 。
25
7或25
1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( )
A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，5
2、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．
题型二 勾股定理的逆应用
A
题型三 最短路线问题
如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是
.
题型四 主要数学思想-------方程思想
如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.
题型五 勾股定理与面积
直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为
活动四：综合运用
堂堂清测验
1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( )
A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,7 D.8,39,40
A
2、如图，一场暴雨过后，垂直于地
面的一棵树在距地面3 m处折断，树
尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，
这棵大树在折断前的高度为（ ）
A.7 m B.10 m C.8 m D.12 m
C
当堂检测
3、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由。
课堂总结
1、勾股定理及勾股定理的逆定理。
2、勾股定理的运用。
板书设计
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北师大版八年级数学上册教学设计
课题 第一章勾股定理复习 单元 1 学科 数学 年级 八
教材分析 在前面学生已经掌握了三角形的基本性质，研究了三角形的边满足相等的条件下等腰、等边三角形的相关知识，还研究了当三角形一个角是90°时，即直角三角形相关性质。对于直角三角形三边之间的性质将在本章研究。本章主要内容是勾股定理及勾股定理逆定理，勾股定理揭示了直角三角形三边的数量关系，是直角三角形非常重要的性质，它可以用来解决许多直角三角形的计算问题，是解直角三角形重要工具之一，勾股定理搭建了代数与几何的重要桥梁。同时对于本章渗透数学文化有着横好的载体，相关素材对于培养学生的民族自豪感，开展学科德育教育有积极的意义和作用。
核心素养分析 在教学过程中力求实现以教师为主导，学生为主体，知识为载体的教学模式。培养学生的“思维能力、动手能力、探究能力”为重点的教学思想。尽量为学生创设“做数学，玩数学”的情景，让学生从“学会”上升到“会学”，真正让学生称为学习的主人。通过整理复习，体验数学思维的严谨性，发展形象思维。
学习目标 1．对直角三角形的特殊性质全面进行总结。2．让学生回顾本章的知识，同时重温这些知识尤其是勾股定理的获得和验证的过程，在勾股定理及其逆定理应用过程中，体会各种数学思想方法的应用。
重点 利用勾股定理及逆定理，进行计算和解决实际问题.
难点 利用建模思想构建直角三角形，利用勾股定理及逆定理，解决实际问题.
教学过程
教学环节 教师活动 学生活动 设计意图
导入新课 创设情境，导入新课展示两幅图片，第一幅图片为2002年在我国北京召开的第24届国际数学家大会的场景，值得一提的是这次大会的会徽，为著名的赵爽弦图。第二幅图片为我国著名数学家华罗庚教授提议的向宇宙发射的勾股定理的图形，用来与外星人联系。我国著名数学家华罗庚曾经说过：“把勾股定理送到外星球，与外星人进行数学交流”。 学生观看图片，民族自豪感油然而生。 这样的导入富有科学特色和浓郁的数学气息，激起学生强烈的兴趣和求知欲。
讲授新课 活动一：梳理知识活动二：验证勾股定理1、利用图1验证2、利用图2验证3、利用图3验证活动三：学以致用题型一 直角三角形中已知两边，求第三边。1、已知：一个直角三角形的两直角边长分别是3cm和4cm,第三边长的平方为 25 。2、已知：一个直角三角形的两边长分别是3cm和4cm, 第三边长的平方为 7或25 。题型二 勾股定理的逆应用 1、下列各组数中，以它们为边的三角形不是直角三角形的是( A )A．1.5，2，3 B. 8，15，17 C．6，8，10 D. 3，4，52、如图，在四边形ABCD中，∠C=90°，AB=13，BC=4，CD=3，AD=12，求证：AD⊥BD．证明：∴∴AD⊥BD.题型三 最短路线问题如图，有一个长方体的长、宽、高分别是6、4、4，在底面A处有一只蚂蚁，它想吃到长方体上面与A相对的B点处的食物，需要爬行的最短路程是. ( .. / Local Settings / Temp / 360zip$Temp / 360$0 / 长方体.gsp ) 题型四 主要数学思想-------方程思想如图，已知长方形ABC中AB=8 cm,BC=10 cm,在边CD上取一点E，将△ADE折叠使点D恰好落在BC边上的点F，求CE的长.解：由折叠可知AD=AF=10cm 在Rt△ABF中,∴BF=6,FC=4设CE为Xcm，DE=EF=8-x 在Rt△EFC中求出X=3答CE长3cm.题型五 勾股定理与面积直线l上有三个正方形a、b、c，若a和c的面积分别为5和11，则b的面积为 . 解：由于△ABC≌△CDF(利用一线三直角学生自己证明为何全等）∴AB=CDb=CF=CD+DF=5+11=16活动四：综合运用1、如图所示,ΔABC中,已知AB=AC,D是AC上的一点,CD=9,BC=15,BD=12. (1)求证ΔBCD是直角三角形;(2)求ΔABC的面积.证明:(1)∵CD=9,BD=12,∴CD2+BD2=81+144=225.∵BC=15,∴BC2=225.∴CD2+BD2=BC2.∴ΔBCD是直角三角形,且∠BDC=90°(勾股定理的逆定理).解:(2)设AD=x,则AC=x+9,∵AB=AC,∴AB=x+9,∵∠BDC=90°,∴∠ADB=90°,∴AB2=AD2+BD2(勾股定理),即(x+9)2=x2+122,解得x=3.5ΔABC的面积=(3.5+9)×12÷2=752.如图(1)所示,ΔABC是等腰直角三角形,AB=AC,D是斜边BC的中点,E,F分别是AB,AC边上的点,且DE⊥DF,若BE=12,CF=5.求线段EF的长.解:连接AD,如图(2)所示.∵∠BAC=90°,AB=AC,又∵AD为ΔABC的中线,∴AD=DC=DB,AD⊥BC,且∠BAD=∠C=45°.∵∠EDA+∠ADF=90°,又∵∠CDF+∠ADF=90°,∴∠EDA=∠CDF.所以ΔAED≌ΔCFD(ASA).∴AE=FC=5,同理AF=BE=12,在RtΔAEF中,根据勾股定理得:EF2=AE2+AF2=52+122=132,∴EF=13. 小组内展示自己总结的知识框图。相互交流完善知识框图.学生用求面积的方法验证勾股定理3、学生对不同题型独立解答。对有困难的学生教师适当点拨回顾七年级下册三角形全等的证明，用的一线三直角。综合运用有点难度，教师给出提示学生可以小组合作完成。 利用思维导图，构建知识网状结构图。设计三个图形利用求面积的方法验证勾股定理，加深学生对勾股定理的理解和掌握。也达到数形的完美结合。学以致用，设计不同题型，都是围绕勾股定理展开的，在实际生活中,勾股定理有着广泛的应用.在运用的过程中,要注意是运用勾股定理还是运用勾股定理的逆定理.在解决问题的过程中,寻找和构造垂直关系就成为解题的关键所在。第2题题考查了等腰直角三角形的性质及勾股定理等知识.通过此题,我们可以了解:当已知的线段和所求的线段不在同一三角形中时,应通过适当的转化把它们放在同一直角三角形中求解.
课堂练习 堂堂清测验1、以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是( A )A.8,15,17 B.4,5,6 C.5,8,7 D.8,39,402、如图，一场暴雨过后，垂直于地面的一棵树在距地面3 m处折断，树尖B恰好碰到地面，经测量AB=4 m，这棵大树在折断前的高度为（ C ）A.7 m B.10 m C.8 m D.12 m3、如图，正方形网格中的△ABC，若小方格边长为1，请你根据所学的知识（1）求△ABC的面积.（2）判断△ABC是什么形状？并说明理由.解：（1）△ABC的面积=8×4-（2×3+1×8+6×4） =32-19=13是直角三角形。AB=2+3=13 BC=6+4=52AC=1+8=65.AB+BC=AC∴△ABC是直角三角形。 学生练习 围了本节课的重点和难点设计过关练习，难易适中，照顾全体学生，使每一位学生都体会到成功的喜悦。
课堂小结 勾股定理及勾股定理的逆定理。勾股定理的运用。 学生发言 用数学-说数学的有机统一。
板书 第一章勾股定理复习梳理知识验证勾股定理勾股定理的运用四、综合运用 突出本节课教学重点，为教学目标服务。
已知两边求第三边
最短路线问题
勾股定理与方程
勾股定理与面积
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