长寿区2023年春期高中期末质量监测
高二年级数学 参考答案（B卷）
选择题
1-5 DCBAD 6-10 CBACD
填空题
12. 18 24 13. 14. 15. -19
解答题
16.解：（1）由，-1 ............... 7分
（2）因为，所以
解得-5 ...................15分
解：（1）由题意知：，解得...........7分
，解得...........15分
解（1）选出的2人中恰有1名男生的概率是
..........................7分
（2）X的值可取0,1,2，则
,,
X的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
................15分
解：（1）由
函数的周期为. ..............7分
（2）函数的图象向右平移得：
即
故函数的值域为...................15分
(
G
)
20.(1)取PC的中点为G，连接FG,BG,则
因为F,G分别是PD,PC的中点，所以
(
O
)又因为点E是AB的中点，所以
即四边形BEFG是平行四边形
由
故证得EF∥平面PBC. ..............5分
取AC与BD的交点为点O,连接PO,则
因为PB=PD,点O是BD的中点，所以
又因为四边形ABCD是菱形，所以
由，,得
又因为,故证得平面PBD⊥平面PAC. ........10分
又由（2）知：
所以
以点O为原点，OA,OB,OP分别为x轴，y轴，z轴建立空间向量坐标系.
，
设平面PAB的法向量为，则
取，得
同理可得，平面PBC的法向量为
所以二面角A-PB-C的二面角的余弦值为. ........15分长寿区 2023 年春期高中期末质量监测
高二年级数学 参考答案（B 卷）
一、选择题
1-5 DCBAD 6-10 CBACD
二、填空题
11. 3,5 12. 18 24 13.（ 1,1） 14. 2 2 15. -19
三、解答题
a
16.解：（1）由 // b得 ， x -1 ............... 7 分
2 2
（2）因为a b (x 2,2)，所以 a b (x 2) 2 13
解得 x 1或x -5 ...................15 分
17. 解：（1）由题意知： k 1，解得 k 1...........7 分
2
（2） 4k 16 0，解得 2 k 2 ...........15 分
18. 解（1）选出的 2 人中恰有 1名男生的概率是
C1C1P 3 2 6 3 2 ..........................7 分C5 10 5
（2）X 的值可取 0,1,2，则
C 2 1 C1C1P(X 0) 2 P(X 1) 3 2 6 3 C
2 3
2 , , P(X 2)
3
C5 10 C
2 2
5 10 5 C5 10
X 的分布列如下：
X 0 1 2
P 0.1 0.6 0.3
................15 分
19. 解：（1）由 f (x) 3 sin( 2x) 2sin x cos x 3 cos 2x 2sin x cos x
2
3 cos 2x sin 2x 2sin(2x )
3
高二年级数学（答案） 第 1页 （共 3 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
函数 f (x)的周期为 . ..............7 分
（2）函数 f (x) 的图象向右平移 得： g(x) 2sin 2x
6
x [ ] 2x [ ， , ] 3即 sin 2x 1
6 2 3 2
故函数 g(x)的值域为[ 3,2]...................15 分
20.(1)取 PC 的中点为 G，连接 FG,BG,则
1
因为 F,G 分别是 PD,PC 的中点，所以 FG // CD
2
又因为点 E 是 AB 的中点，所以 FG//BE G
即四边形 BEFG 是平行四边形 O
由 EF // BG,BG 平面PBC,EF 平面PBC
故证得 EF∥平面 PBC. ..............5 分
(2) 取 AC 与 BD 的交点为点 O,连接 PO,则
因为 PB=PD,点 O 是 BD 的中点，所以 PO BD
又因为四边形 ABCD 是菱形，所以 AC BD
由 AC BD， PO BD，PO AC O ,得 BD 平面PAC
又因为 BD 平面PBD ,故证得平面 PBD⊥平面 PAC. ........10 分
(3) PA PC PO AC 又由（2）知： PO BD
所以 PO 平面ABCD
以点 O 为原点，OA,OB,OP 分别为 x 轴，y 轴，z 轴建立空间向量坐标系.
在等边 ABD中，AO 3,OB 1，
在直角三角形 PAO中，AO 3,PA 5, PO 2
设平面 PAB 的法向量为 n (x1, y1, z1)，则
高二年级数学（答案） 第 2页 （共 3 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
A( 3 ,0,0), B (0,1,0), P (0,0, 2 )
AB ( 3 ,1,0), PB (0,1, 2 )
n AB 3x y 0
1 1 3x 2 z
n PB y
1 1
1 2 z1 0
取 x
2 3
1 , y 2, z
2 3
1 1 2，得 n ( ,2, 2)3 3
2 3
同理可得，平面 PBC 的法向量为u ( ,2, 2)3
4
4 2
cos n,u n u 7 34 | n | | u | 4 2 11
3
7
所以二面角 A-PB-C 的二面角的余弦值为 ........15 分11 .
高二年级数学（答案） 第 3页 （共 3 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
长寿区 2023 年春期高中期末质量监测
三、解答题：（本大题共 5 个小题，共 75 分） 17．（本题满分 15 分）
高二年级数学 答题卡（B卷）
16．（本题满分 15 分）
考生姓名
学 校
贴条形码区域
准考证号
正确填涂示例：
错误填涂
注 意 事 项
1．答题前，先将自己的姓名、准考证号填写清楚，并认真核准条形码上的姓名、准考
证号。
2．客观题部分必须使用 2B铅笔填涂；主观题部分必须使用 0.5毫米的黑色签字笔书写，
字体工整、笔迹清楚。
3．请按照题号顺序在各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿
纸、试题卷上答题无效。
4．保持答题卡面清洁，不要折叠、不要弄破。
5．考试结束，由监考人员将答题卡收回。
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
一、选择题：（本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分）
1．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 5．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 9．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
2．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 6．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 10．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
3．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 7．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
4．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ] 8．[ A ] [ B ] [ C ] [ D ]
二、填空题：（本大题共 5个小题，每小题 5分，共 25分.）
11． ．
12． ．
13． ．
14． ．
15． ．
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
高二年级数学答题卡 第 1页（共 2 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
18．（本题满分 15 分） 19．（本题满分 15 分） 20．（本题满分 15 分）
请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！ 请在各题目的答题区域内作答，超出黑色矩形边框限定区域的答案无效！
高二年级数学答题卡 第 2页（共 2 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}长寿区2023年春期高中期末质量监测
高二年级数学 试题（B卷）
注意事项：
1．考试时间：120分钟，满分：150分。试题卷总页数：4页。
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。
3．需要填涂的地方，一律用2B铅笔涂满涂黑。需要书写的地方一律用0.5MM签字笔书写。
4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
一、选择题（本大题共10个小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.）
1．复数（1+i）（1﹣i）＝（ ）
A．0 B．1 C．2i D．2
2．某射击运动员连续射击10次，命中环数如下表：
命中球数 7 8 9 10
频数 2 3 4 1
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．4，4 B．3.5，4 C．8.5，9 D．9，9
下列函数是偶函数的是（ ）
A. B. C. D.
4．某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高二高三学生中选取200人进行调查，已知该校高一年级学生有1300人，高二年级学生有1200人，高三年级学生有1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ）
A．75人 B．65人 C．60人 D．50人
5．△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，则B＝（ ）
A．30° B．60° C．30°或150° D．60°或120°
6．对于任意实数若“”是“”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．袋子中有5个大小相同的球，其中红球2个，白球3个，依次从中不放回的取球，若在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是 ( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
8．的展开式中，的系数为 （ ）
A．-10 B．-5 C．5 D．10
9．已知D是△ABC的边BC上的点，且，则向量＝（ ）
A． B． C． D．
10．已知圆台上、下底面的直径分别为4和10，母线长为5，则该圆台的体积为（ ）
A． B． C．65π D．52π
二、填空题（本题共5小题，每小题5分，共25分.）
11．设集合A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x|2≤x≤5}，则A ∩B＝ ．
12．为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班40名学生进行了问卷调查，得到如表的2×2列联表：
爱运动 不爱运动 合计
男生 m 12 30
女生 8 20
合计 n 50
则m＝ ，n＝ ．
13．若函数，则函数恒过定点 ．
14．已知正实数满足，则的最小值等于 ．
15．已知y＝f（x）是定义域为R的奇函数，当时，，则
．
三、解答题（本题共5小题，每小题15分，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
16．已知向量.
（Ⅰ）若，求实数的值；
（Ⅱ）若，求实数的值．
17．已知函数.
（1）若函数在区间[1，4]上是单调递增函数，求实数的取值范围；
（2）若对一切实数都成立，求实数的取值范围．
18．某校高中数学兴趣小组有5名同学，其中3名男生2名女生，现从中选2人去参加一项活动．
（1）求选出的2人中，恰有1名男生的概率；
（2）用X表示选出的2人中男生的个数，求X的分布列．
若函数
（1）求函数的最小正周期；
（2）若将函数的图象向右平移个单位后得到函数的图象，当时，求的值域．
20．如图，四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为AB和PD的中点．
（1）求证：EF∥平面PBC；
（2）求证：平面PBD⊥平面PAC．
（3）若，求二面角的平面角的余弦值.长寿区 2023 年春期高中期末质量监测
高二年级数学 试题（B 卷）
注意事项：
1．考试时间：120 分钟，满分：150 分。试题卷总页数：4 页。
2．所有题目必须在答题卡上作答，在试题卷、草稿纸上答题无效。
3．需要填涂的地方，一律用 2B 铅笔涂满涂黑。需要书写的地方一律用 0.5MM 签字笔书写。
4．答题前，务必将自己的姓名、学校、准考证号填写在答题卡规定的位置上。
一、选择题（本大题共 10个小题，每小题 5分，共 50分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求.）
1．复数（1+i）（1﹣i）＝（ ）
A．0 B．1 C．2i D．2
2．某射击运动员连续射击 10次，命中环数如下表：
命中球数 7 8 9 10
频数 2 3 4 1
则这组数据的中位数和众数分别为（ ）
A．4，4 B．3.5，4 C．8.5，9 D．9，9
3. 下列函数是偶函数的是（ ）
A. y sin x B. y cos x C. y e x D. y ln x
4．某校为了了解同学们参加社会实践活动的意向，决定利用分层抽样的方法从高一、高
二高三学生中选取 200人进行调查，已知该校高一年级学生有 1300人，高二年级学生
有 1200人，高三年级学生有 1500人，则抽取的学生中，高三年级有（ ）
A．75人 B．65人 C．60人 D．50人
5 0．△ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，若 A 30 ,a 2,b 6，则 B＝
（ ）
A．30° B．60° C．30°或 150° D．60°或 120°
高二年级数学 第 1页 (共 4 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
6 a b．对于任意实数 a,b R,若“a b ”是“ e e ”的 （ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
7．袋子中有 5 个大小相同的球，其中红球 2个，白球 3 个，依次从中不放回的取球，若
在已知第一次取到白球的前提下，第二次取到红球的概率是 ( )
A．0.3 B．0.5 C．0.6 D．0.8
8． ( x 2)5 2的展开式中， x 的系数为 （ ）
A．-10 B．-5 C．5 D．10
9．已知 D是△ABC 的边 BC上的点，且 BC 3BD，则向量 AD＝（ ）
A． AB AC 1B． AB 1 2 1 AC C． AB AC D． AB AC
3 3 3 3
10．已知圆台上、下底面的直径分别为 4和 10，母线长为 5，则该圆台的体积为（ ）
145 116
A． B． C．65π D．52π
3 3
二、填空题（本题共 5 小题，每小题 5分，共 25 分.）
11．设集合 A＝{1，3，5，7，9}，B＝{x|2≤x≤5}，则 A ∩B＝ ．
12．为了解性别因素是否对某班学生爱运动有影响，对该班 40 名学生进行了问卷调查，
得到如表的 2×2列联表：
爱运动 不爱运动 合计
男生 m 12 30
女生 8 20
合计 n 50
则 m＝ ，n＝ ．
13．若函数 f (x) log (2 x)a 1，（a 0且a 0），则函数 f (x)恒过定点 ．
14．已知正实数 a,b满足 ab 1，则 a 2b的最小值等于 ．
高二年级数学 第 2页 (共 4 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
15．已知 y＝f（x）是定义域为 R的奇函数，当 x 0时， f (x) 2x3 2x a，则
f ( 2) ．
三、解答题（本题共 5 小题，每小题 15 分，共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或
演算步骤.）
16．已知向量 a (x, 2),b (2,4) .
（Ⅰ）若 a // b，求实数 x的值；
（Ⅱ）若 a b 13，求实数 的值．
17 2．已知函数 f (x) x 2kx 4 .
（1）若函数 f (x)在区间[1，4]上是单调递增函数，求实数 的取值范围；
（2）若 f (x) 0对一切实数 都成立，求实数 的取值范围．
18．某校高中数学兴趣小组有 5名同学，其中 3名男生 2名女生，现从中选 2 人去参加一
项活动．
（1）求选出的 2人中，恰有 1名男生的概率；
（2）用 X 表示选出的 2人中男生的个数，求 X 的分布列．
高二年级数学 第 3页 (共 4 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
19. 若函数 f (x) 3 sin( 2x) 2sin x cos x
2
（1）求函数 f (x)的最小正周期；
（ 2）若将函数 f (x) 的图象向右平移 个单位后得到函数 g(x) 的图象，当
6
x , 时，求 g(x)的值域．
6 2
20．如图，四棱锥 P﹣ABCD 的底面 ABCD为菱形，PB＝PD，E，F分别为 AB和 PD的
中点．
（1）求证：EF∥平面 PBC；
（2）求证：平面 PBD⊥平面 PAC．
（3）若 PA PC 5,AB 2, BAD 600，求二面角A PB C 的平面角的余弦值.
高二年级数学 第 4页 (共 4 页）
{#{QQABRYqQggAgAAJAAQACUwUACEEQkgECAAgGREAUoEABSBFABAA=}#}
