第八章 成对数据的统计分析 解答题专项训练（含解析）

成对数据的统计分析 解答题专项训练
时间：60分钟 满分：60分
姓名：___________ 班级：_______ 学号：_______
1．(本题12分)小宋在铁人中学新址附近开了一家文具店，为经营需要，小宋对文具店中的某种水笔的单支售价及相应的日销售量进行了调查，单支售价元和日销售量支之间的数据如下表所示：
单支售价（元） 1.4 1.6 1.8 2 2.2
日销售量（支） 13 11 7 6 3
（1）根据表格中的数据，求出关于的线性回归方程；
（2）请由（1）所得的回归直线方程预测水笔日销售量为支时，单支售价应定为多少元？如果一支水笔的进价为元，为达到日利润（日销售量×单支售价-日销售量×单支进价）最大，在（1）的条件下应该如何定价？
（参考公式：回归直线方程中斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：
，为样本平均值，）
2．(本题12分)眼保健操是一种眼睛的保健体操，主要是通过按摩眼部穴位，调整眼及头部的血液循环，改善眼的疲劳，达到预防近视的效果，某学校为了调查推广眼保操对改善学生视力的效果，在高二2000名学生中随机抽取了100名学生进行视力检查，并得到如图所示频率分布直方图，一般认为：视力在以上的为标准视力.
做眼保健操 不做眼保健操
非标准视力 48
标准视力 14
（1）为了研究学生的视力与眼保健操是否有关系，对高二年级做眼保健操和不做眼保健操的学生进行调查，得到表中部分数据，请结合频率分布直方图，求出，，并回答在犯错的概率不超过的前提下，是否认为视力与做眼保健操有关系？
（2）若以该样本数据，来估计全年级学生的视力，从全年级标准视力的同学中，随机抽取4名同学，设4名同学中视力在以上的人数为，求的分布列和期望.
附：，其中.
3．(本题12分)某食品加工厂新研制出一种袋装食品（规格：/袋），下面是近六个月每袋出厂价格（单位：元）与销售量（单位：万袋）的对应关系表：
月份序号
每袋出厂价格
月销售量
并计算得，，.
(1)计算该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格、平均月销售量和平均月销售收入；
(2)求每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数（精确到）；
(3)若样本相关系数，则认为相关性很强；否则没有较强的相关性.你认为该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量是否有较强的相关性.
附：样本相关系数，.
4．(本题12分)中国共产党第二十次全国代表大会上的报告中提到，新时代十年我国经济实力实现历史性跃升，国内生产总值从54万亿元增长到114万亿元，我国经济总量稳居世界第二位.建立年份编号为解释变量，地区生产总值为响应变量的一元线性回归模型，现就2012-2016某市的地区生产总值统计如下：
年份 2012 2013 2014 2015 2016
年份编号 1 2 3 4 5
地区生产总值（亿元） 2.8 3.1 3.9 4.6 5.6
(1)求出回归方程，并计算2016年地区生产总值的残差；
(2)随着我国打赢了人类历史上规模最大的脱贫攻坚战，该市2017-2022的地区生产总值持续增长，现对这11年的数据有三种经验回归模型、、，它们的分别为0.976、0.880和0.985，请根据的数值选择最好的回归模型预测一下2023年该市的地区生产总值；
(3)若2012-2022该市的人口数（单位：百万）与年份编号的回归模型为，结合（2）问中的最佳模型，预测一下在2023年以后，该市人均地区生产总值的变化趋势．
参考公式：， ；
(本题12分 创设真实情境·科技成果)近年来，我国在智能芯片、核心算法、智能终端等关键领域均实现了重大突破，人工智能已成为引领我国新一轮科技革命和产业改革的战略性技术。伴随算法、算力和数据作为人工智能三要素的发展，生成式人工智能快速发展，内容生产方式迎来巨大变革，深刻影响我国社会发展。如何面对生成式人工智能技术的崛起，也成为今年两会上的热门话题。为调查某校大学生对生成式人工智能技术的了解情况，从全校男女大学生中随机抽取20n（n∈N*）人，统计得到如下列联表，经计算，有97.5%的把握但没有99%的把握认为该校大学生对生成式人工智能技术的了解与性别有关。
男生 女生 合计
了解 15n
不了解 10n
合计
求n的值；
对40n（n∈N*）人中不了解生成式人工智能技术的大学生采用按性别比例分配的分层抽样的方法抽取9人，再从这9人中随机抽取3人，求随机抽取的3人中女大学生至少有2人的概率；
P（K2≥k） 0.025 0.010 0.001
k 5.024 6.635 10.828
用样本估计总体，从全校男大学生中随机抽取4人，记其中了解生成式人工智能技术的人数为Y，求Y的分布列及数学期望。
附：
参考答案：
快对答案：
（1）；（2）单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
（1），；能；
（2）分布列如下，1。
0 1 2 3 4
(1)平均每袋出厂价格为11.4（元），平均月销售量为1.8（万袋），平均月销售收入为（万元） (2) (3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性
4. (1)，残差为0.18 (2)选用更好，17.773亿元
(3)逐年递增
5. (1) (2) 3人中女大学生至少有2人的概率为 (3) 分布列看解析, E(Y)=3
1．（1）；（2）单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
【分析】（1）计算，，代入公式即可的出结果.
（2）代入（1）时，可得，根据日利润，可得，进而由二次函数可得结果.
【详解】（1）因为，
，所以
所以，回归直线方程为．
（2）当时，，得，
假设日利润为，则：，
易知，即
根据二次函数的性质，可知当元时，有．
所以单支售价为1元时，销售量为18件；为使日利润最大，单支定价为1.5元．
2．（1），；能；（2）分布列见解析，1.
【分析】（1）根据数据计算，进而可以做出判断；
（2）利用二项分布直接列分布列，利用公式计算均值即可.
【详解】（1）标准视力的人数： .
非标准视力的人数： .
所以在犯错误概率不超过的条件下，能说明视力与做眼睛保健操有关
（2）视力在以上的同学中，视力在以上的同学所占比例为
所以
（，合计1分，其他各1分）
分布列是
0 1 2 3 4
所以
3．(1)平均每袋出厂价格为（元），平均月销售量为（万袋），平均月销售收入为（万元）
(2)
(3)该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性
【分析】（1）由表格中数据和参考数据进行计算即可；
（2）将样本相关系数公式转化为，利用表中数据和参考数据进行计算即可；
（3）将（2）中样本相关系数的绝对值与进行比较即可.
【详解】（1）该食品加工厂这六个月内这种袋装食品的平均每袋出厂价格为：
（元），
平均月销售量为（万袋），
平均月销售收入为（万元）.
（2）由已知，每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数为：
.
（3）由于每袋出厂价格与月销售量的样本相关系数，所以该食品加工厂制定的每袋食品的出厂价格与月销售量有较强的相关性.
4．(1)，残差为
(2)选用更好，17.773亿元
(3)逐年递增
【分析】（1）应用最小二乘法求回归直线方程即可；
（2）由相关指数的大小，结合其的实际意义确定较好模型，进而估计2023年该市的地区生产总值；
（3）由题设可得该市人均地区生产总值，利用单调性定义判断其在上的单调性即可.
【详解】（1）由数据，，，
而，，
所以，则，
综上，回归方程为，
当时，，故2016年地区生产总值残差为.
（2）根据相关指数越大拟合越好，由于，故模型较好，
因2023年对应，则亿元.
（3）由（2）及题设知：该市人均地区生产总值，
令，且，若，
所以，
而且，则，故，
所以在上递增，则在上递增，
所以该市人均地区生产总值逐年递增.
5.