2022-2023学年度（下）阶段性考试（三）
高2021级数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把答案直接填涂在答题卷上）
1. 已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用已知条件可得出的取值范围.
【详解】因为集合，，且，则.
故选：B.
2. 复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】B
【解析】
【分析】利用复数的四则运算以及几何意义即可求解.
【详解】解：，
则复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点的坐标为：，
位于第二象限.
故选：B.
【点睛】本题考查了复数的四则运算以及复数的几何意义，属于基础题.
3. 圆的圆心极坐标是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先将极坐标方程化为直角坐标方程，再求出圆心，然后将圆心坐标化为极坐标即可.
【详解】由，得，
，得，
所以圆心为，
所以圆心极坐标为
故选：B.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】A
【解析】
【分析】利用充分条件和必要条件的定义判断.
【详解】当时，因为在上递增，所以，
又在R上递减，所以，故充分性成立；
当时，因为在R上递减，所以，
但x，y的正负不定，所以与不一定有意义，则大小关系不确定，
故必要性不成立，
故选：A
5. 设m，n为两条不同的直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
【答案】C
【解析】
【分析】
在正方体中通过线面关系，可举出A,B,C的反例说明不正确，由线面垂直的性质
可判断C正确．
【详解】
对于A选项，当为面，为面时，取m为直线BC，n为直线，此时满足，但不满足，故A不正确；
对于B选项，当为面，为面时，取m为直线AB，n为直线，此时满足，但不满足，故B不正确；
对于D选项，当为面，为面时，取m为直线，n为直线AB，此时满足，但不满足，故D不正确；
对于C选项，由则，又，由线面垂直的性质定理可得，故C正确.
故选：C．
【点睛】判断线面关系正误时，通常可以利用正方体这个模型进行判断，很直观.
6. 霍兰德职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估.某大学随机抽取100名学生进行霍兰德职业能力测试问卷测试，测试结果发现这100名学生的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（ ）
A. B. 75 C. D. 80
【答案】A
【解析】
【分析】由频率分布直方图，求出，的频率为0.4，，的频率为0.4，由此能估计这100名同学的得分的中位数．
【详解】解：由频率分布直方图，得：
，的频率为，
，的频率为，
估计这100名同学的得分的中位数为：．
故选：A．
【点睛】本题考查中位数的求法，考查频率分布直方图的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
7. 用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】计算和时左边式子，再作差即可判断.
详解】依题意当时左边，
当时左边，
所以
，
故从递推到时，不等式左边需添加的项为.
故选：C
8. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】先记，化简整理，由函数解析式，判定奇偶性，再判断时，，进而可得出结果.
【详解】记，
则，
因此函数是偶函数；故排除BC；
当时，，，因此；排除D；
故选：A.
【点睛】本题主要考查判定函数图像的识别，熟记函数的性质即可，属于常考题型.
9. 已知集合表示的平面区是域为，若在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】作出不等式组对应的平面区域，求出对应的面积，再求出区域内和圆重合部分的面积，代入几何概型计算公式，即可得到答案．
【详解】作出不等式组对应的平面区域如图，则对应的区域为，
由，解得，
由，解得 ，，
直线与轴交点坐标为，则的面积，
由图知：点的坐标满足不等式区域面积，
则由几何概型的概率公式得点的坐标满足不等式的概率为，
故选：．
10. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：依题意|PF2|=|F1F2|，可知三角形PF2F1是一个等腰三角形，F2在直线PF1的投影是其中点，由勾股定理知，可知|PF1|="2" =4b根据双曲定义可知4b-2c=2a，整理得c=2b-a，代入c2=a2+b2整理得3b2-4ab=0，求得 = ∴双曲线渐进线方程为y=±x，即4x±3y=0故选C
考点：本题主要考查了直线与双曲线的位置关系的运用．
点评：解决该试题的关键是利用题设条件和双曲线性质在三角形中寻找等量关系，得出a与b之间的等量关系，可知答案．
11. 已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用棱锥的体积，求的长度，由，，利用余弦定理求，可得外接圆的半径，利用勾股定理可得球半径，即可求解.
【详解】因为，，
由可得
又
因为平面，该棱锥的体积为1，
所以，
设外接圆的半径为，则，，
所以球的半径
球的表面积，故选D.
【点睛】本题主要考查了三棱锥外接球的问题，余弦定理，球的表面积，三棱锥的体积，属于中档题.
12. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ）
A B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先用参变分离转化为在的恒成立问题，再利用导函数研究的最小值，结合函数同构法得到，结合函数单调性，得到最小值，进而求出a的取值范围.
【详解】由题在上恒成立，即在上恒成立；设，则有；令，得，即.由于在上是增函数，则存在，使得，即，此时.由于当时，，在上是减函数；当时，，在上是增函数，所以当时，，则有，故，
故选：B.
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卷上.）
13. 已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
【答案】
【解析】
【分析】依题意可得，根据空间向量基本定理计算可得.
【详解】因为，，且，
所以，即，即，解得.
故答案为：
14. 成都某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人，为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，已知从高三年级学生中抽取15人，则为__________．
【答案】75
【解析】
【分析】根据分层抽样的定义结合题意列方程求解即可
【详解】由题意得，即，
解得，
故答案为：75
15. 抛物线：的焦点为，准线为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，过线段的中点作，垂足为，为坐标原点，则________.
【答案】2
【解析】
【分析】设，，， 根据梯形中位线得到，线段的垂直平分线方程为，令，得的长，再计算出得到答案.
【详解】由抛物线：得焦点，准线方程为：，
设，，
所以，
过，两点分别作，垂直于，
由梯形中位线得
，
因为直线的斜率存在且不为0，设为，
则线段的垂直平分线方程为，
令，得，
即，
，得
所以得
所以得，
所以．
故答案为.
【点睛】本题考查抛物线的几何性质，点差法表示垂直平分线，属于中档题.
16. 已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为______.
【答案】
【解析】
【分析】变形得到，设，，讨论得到方程有唯一根或无解时不成立，有两解时，直线，与的交点恰有三个，计算得到答案.
【详解】令，变形得：，
令，得，，故，
当，，在上单调递增；
当，，在上单调递减，
且，故在时有最大值.
当有唯一根或无解时，原方程最多两解，不符题意；
当有两根时，或，规定，要使原方程有三个解，则直线，与的交点恰有三个，
即转化为的两根，，
则，解得.
故答案为：.
【点睛】本题考查了函数的零点问题，意在考查学生的计算能力和转化能力，综合应用能力.
三、解答题（本大题共 6小题，第17—21题各12分，第22题10 分，共 70 分.请把答案写在题卡上.）
17. 设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
（1）求的单调区间；
（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.
【答案】（1）单调递增区间是和，单调递减区间是
（2）4
【解析】
【分析】（1）求导后，根据求出，再利用导数可求出单调区间；
（2）根据（1）中函数的单调性求出最值，结合已知的最值列式可求出结果.
【小问1详解】
，由已知得，
得，解得．
于是，
由，得或，由，得，
可知是函数的极大值点，符合题意，
所以的单调递增区间是和，单调递减区间是.
【小问2详解】
由（1）知，
因为在区间上是单调递减函数，在上是单调递增函数，
又，
所以的最大值为，解得.
18. 某地区2014年至2020年农村居民家庭纯收入y（单位：万元）的数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t的线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，
【答案】（1）；
（2）6.8万元.
【解析】
【分析】（1）根据表中数据求得，进而求得，写出回归直线方程；
（2）根据（1）的回归直线方程，将t=9代入求解.
【小问1详解】
解：，
，
所以，
，
，
所以回归直线方程为：；
【小问2详解】
因为2022年对应的年份为9，当时，
即该地区2022年农村居民家庭人均纯收入为6.8万元.
19. 已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E，M分别是，中点，点F在棱上移动.
（1）证明：无论点F在上如何移动，都有平面平面；
（2）当直线与平面所成的角最大时，确定点F的位置.
【答案】（1）证明见解析；（2）F为的中点.
【解析】
【分析】（1）连接，可知得出和，即可证明平面，从而得出平面平面；
（2）以，，所在直线分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，利用向量法可求解.
【详解】（1）证明：连接，
∵底面为菱形，，∴为正三角形，
∵E是的中点，∴，又，∴，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
∵平面，∴平面平面.
（2）由（1）知，，，两两垂直，故以，，所在直线分别为x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，，，
∴，，.
设，则..
设平面的法向量为，
则，
令，则，，∴.
设直线与平面所成的角为，
当时，最大，此时F为的中点.
【点睛】关键点睛：本题考查点的存在性问题，解题的关键是建立合适的空间直角坐标系，利用向量关系建立与线面角的关系，从而通过数量关系进行说明.
20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l交C于P Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
【答案】（1）；（2）存在，定点.
【解析】
【分析】
（1）根据题意，列出方程组，即可求得a，c的值，根据a，b，c的关系，即可求得b的值，即可求得答案；
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，与椭圆联立，根据韦达定理，可得的表达式，代入所求，化简整理，即可得结果；当直线l与x轴重合时，可求得P，Q坐标，可得的表达式，经检验符合题意，综合即可得答案.
【详解】（1）由题意得：，解得，又，
所以椭圆C的方程为：.
（2）当直线l不与x轴重合时，可设直线l的方程为：，，
联立直线与曲线方程，整理得：，
则，，
假设存在定点，使得为定值，
则
=.
当且仅当，即时，(为定值)，这时，
当直线l与x轴重合时，
此时，，，，
，
当时，(为定值)，满足题意.
所以存在定点使得对于经过点任意一条直线l均有(恒为定值).
【点睛】解题的步骤为（1）设直线，（2）与曲线联立，得到关于x（y）的一元二次方程，（3）根据韦达定理，求得（）的表达式，（4）代入所求，化简整理，即可得答案，考查分析理解，计算求值的能力，属中档题.
21. 已知函数，.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若时，都有，求实数a的取值范围；
（3）若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
【答案】（1）当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
（2）
（3）证明详见解析
【解析】
【分析】（1）首先求得导函数的解析式，然后讨论a的取值即可确定函数的单调性；
（2）分离参数a，构造出新函数，得到最小值，即可得到a的范围；
（3）利用同构关系将原问题转化为极值点偏移的问题，构造对称差函数分别证明左右两侧的不等式即可.
【小问1详解】
解：因为，定义域为，.
①当时，令，解得
即当时，，单调递增，
当时，，单调递减；
②当时，在单调递增；
③当时令，解得，
即当时，，单调递减，
当时，，单调递增；
综上：当时，在单调递增，在单调递减；
当时，在单调递增；
当时，在单调递减，在单调递增.
【小问2详解】
若时，都有，
即，恒成立.
令，则，，
令，所以，
当时，
，单调递增，，
所以，在单调递减，
所以=，所以
【小问3详解】
原式可整理为，
令，原式为，
由（1）知，在单调递增，在单调递减，
则为两根，其中，不妨令，
要证，
即证，，
只需证，
令，，，
令，则，，单调递增，
，，单调递减.
又，
故
，所以恒成立，
即成立，
所以，原式得证.
【点睛】本题主要考查利用导数研究函数的单调性，利用导数研究极值点偏移问题，等价转化的数学思想同构的数学思想等知识，属于中等题.常用方法有如下四种，
方法一：等价转化是处理导数问题的常见方法，其中利用的对称差函数，构造函数的思想，这些都是导数问题必备的知识和技能.
方法二：等价转化是常见的数学思想，构造对称差函数是最基本的极值点偏移问题的处理策略.
方法三：比值代换是一种将双变量问题化为单变量问题的有效途径，然后构造函数利用函数的单调性证明题中的不等式即可.
方法四：构造函数之后想办法出现关于的式子，这是本方法证明不等式的关键思想所在.
22. 在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线的直角坐标方程；
（2）点，直线与曲线交于，，求的值.
【答案】（1）（2）
【解析】
【分析】（1）直接利用转换关系，极坐标方程与直角坐标方程进行转化.
（2）借助直线参数方程中的几何意义，利用一元二次方程根与系数的关系的应用求出结果.
【详解】解：（1）∵曲线的极坐标方程为，
即.
∴曲线的直角坐标方程为，即.
（2）将直线（为参数），令
转换为：（为参数），代入曲线，
得到：，
所以，（和为和对应的参数），
则
.
故的值为.
【点睛】本题考查考查直角坐标方程、极坐标方程、参数方程的互化，考查直线参数方程中的几何意义的运用，考查运算求解能力，考查函数与方程思想.属于中档题.2022-2023学年度（下）阶段性考试（三）
高2021级数学（理科）
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，请把答案直接填涂在答题卷上）
1 已知集合，，若，则（ ）
A. B. C. D.
2. 复数（i是虚数单位）在复平面内对应的点在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 圆的圆心极坐标是（ ）
A. B. C. D.
4. “”是“”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
5. 设m，n为两条不同直线，为两个不同的平面，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则 B. 若，则
C. 若，则 D. 若，则
6. 霍兰德职业能力测试问卷可以为大学生在择业方面提供参考，对人的能力兴趣等方面进行评估.某大学随机抽取100名学生进行霍兰德职业能力测试问卷测试，测试结果发现这100名学生的得分都在内，按得分分成5组：，，，，，得到如图所示的频率分布直方图，则这100名同学得分的中位数为（ ）
A. B. 75 C. D. 80
7. 用数学归纳法证明（，为正整数）的过程中，从递推到时，不等式左边需添加的项为（ ）
A. B.
C. D.
8. 函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
9. 已知集合表示的平面区是域为，若在区域内任取一点，则点的坐标满足不等式的概率为（ ）
A. B. C. D.
10. 设、分别为双曲线的左、右焦点.若在双曲线右支上存在点，满足，且到直线的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为
A. B. C. D.
11. 已知三棱锥的各顶点都在同一球面上，且平面，若该棱锥的体积为1，，，，则此球的表面积等于
A. B. C. D.
12. 已知函数在上是减函数，则a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分.请把答案填写在答题卷上.）
13. 已知两个空间向量，，且，则实数的值为__________．
14. 成都某学校高中部学生中，高一年级有700人，高二年级有500人，高三年级有300人，为了了解该校高中学生的健康状况，用分层抽样的方法从高中学生中抽取一个容量为的样本，已知从高三年级学生中抽取15人，则为__________．
15. 抛物线：的焦点为，准线为，直线与交于，两点，线段的垂直平分线交轴于点，过线段的中点作，垂足为，为坐标原点，则________.
16. 已知恰有三个不同零点，则a的取值范围为______.
三、解答题（本大题共 6小题，第17—21题各12分，第22题10 分，共 70 分.请把答案写在题卡上.）
17. 设是函数的一个极值点，曲线在处的切线斜率为8.
（1）求的单调区间；
（2）若在闭区间上的最大值为10，求的值.
18. 某地区2014年至2020年农村居民家庭纯收入y（单位：万元）的数据如下表：
年份 2014 2015 2016 2017 2018 2019 2020
年份代号t 1 2 3 4 5 6 7
人均纯收入y 2.9 3.3 3.6 4.4 4.8 5.2 5.9
（1）求y关于t线性回归方程；
（2）利用（1）中的回归方程，分析2014年至2020年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2022年农村居民家庭人均纯收入.
附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：，
19. 已知，如图四棱锥中，底面为菱形，，，平面，E，M分别是，中点，点F在棱上移动.
（1）证明：无论点F上如何移动，都有平面平面；
（2）当直线与平面所成的角最大时，确定点F的位置.
20. 已知椭圆C的中心在原点，焦点在x轴上，椭圆长轴两个端点间的距离与两个焦点之间的距离的差为，且椭圆的离心率为.
（1）求椭圆C的方程；
（2）过点作直线l交C于P Q两点，试问：在x轴上是否存在一个定点M，使为定值？若存在，求出这个定点M的坐标；若不存在，请说明理由.
21. 已知函数，.
（1）讨论f（x）的单调性；
（2）若时，都有，求实数a的取值范围；
（3）若有不相等的两个正实数，满足，证明：.
22. 在直角坐标系中，直线（为参数），以原点为极点，轴为正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为.
（1）求曲线直角坐标方程；
（2）点，直线与曲线交于，，求的值.
