二项式定理[下学期]

课件13张PPT。§1.3 二项式定理（第一课时）信宜市镇隆中学 高二级
周靖 2003年4月
学习目标:
(1). 理解二项式定理，会利用二项式定理
求二项展开式。
(2). 掌握二项展开式的通项公式，会应用通项公式求指定的某一项。
(3). 会正确区分二项式系数与项的系数，会求指定项的二项式系数和系数。
动脑筋问题1: ＋ ＋ ＋ ＋ … ＋ ＋…
＋ ＝?问题2：你能否判断(3 x2－ )10的展开式中是否包含常数项？ 二项式定理它研究的就是 (a＋b)n 的展开式的一般情形。探索(a＋b)2 ＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3(a＋b)4＝ (a＋b)3 (a＋b)
＝( a3＋3a2b＋3ab2＋b3 )(a＋b)
＝(a＋b)2 ＝ ( a ＋ b ) ( a ＋ b )a2ababb2＝a2＋2ab＋b2(a＋b)3＝( a＋b )( a＋b )( a＋b )＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3 a3a2bab2b3共有四项a3 :a2b:同理，ab2 有 = 个；b3 有 个；从三个因式中取 3个a，有 个； 可分二步：第⑴步从三个因式中任取一个b，有 种；第⑵步从剩下二个因式中取二个a ，有 种；故a2b 共有 = 个＝(a＋b)2 ＝ a2＋2ab＋b2 (a＋b)3＝a3＋3a2b＋3ab2＋b3＝ a3＋ a2b＋ ab2＋ b3 (a＋b)4＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) (a＋b)＝ a4＋ a3b＋ a2b2＋ ab3＋ b4一般，(a＋b)n＝(a＋b) (a＋b) (a＋b) …… (a＋b)＝ an＋ an-1b＋ an-2b2＋ an-3b3＋…＋ an-kbk＋…＋ bn该公式称为二项式理。1）每一项的系数（i=0，1，2，…，n）叫做该项的二项式系数。2）叫做二项展开式的通项，表示第k+1项，记作Tk+1。3）若取a=1，b=x则得一个重要公式：(1+x)n=1+ x+ x2+…+ xk +…+ xn 其右端的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，共有n+1项。其中例1、写出 (a＋b ) 5及(a＋b ) 6的二项展开式。二项式定理：(a＋b ) n ＝ C an＋C an-1b＋C an-2b2＋…＋C an-kbk＋…＋ C bn 通项公式（第k+1项）： Tk+1＝C an-kbk ；其中 C 称为第k+1项的二项式系数。答: (a＋b ) 5＝ a5＋5a4b＋10a3b2＋10a2b3＋5ab4＋b5例2、求 ( 1－x ) n 的展开式。解：在二项式定理中，取a＝1，b＝－x得 (1－x )n＝1＋ (－x ) ＋ (－x ) 2＋…＋ (－x ) k＋
… ＋ (－x ) n＝1－ x＋ x2＋…＋(－1)k xk＋…＋(－1)nxn例3、求(x－2)10的展开式中的第五项，并求出它的二项式系数。解：∵a＝x，b＝－2，n＝10根据通项公式Tk＋1＝ an－kbk 得T5＝ T4＋1＝ ·x10－4· (－2)4＝＝3320x6它的二项式系数是二项式定理：(a＋b ) n ＝ C an＋C an-1b＋C an-2b2＋…＋C an-kbk＋…＋ C bn 通项公式（第k+1项）： Tk+1＝C an-kbk ；其中 C 称为第k+1项的二项式系数。· x6 · 16＝210二项式定理：(a＋b ) n ＝ C an＋C an-1b＋C an-2b2＋…＋C an-kbk＋…＋ C bn 通项公式（第k+1项）： Tk+1＝C练习:
1 . 求(x－2)10的展开式中x6项的系数。an-kbk ；称为第k+1项的二项式系数。解:(x－2）10的展开式的通项是Tk＋1＝x10－k(－2)k＝(－1)k 2k由题意知10－k＝6∴ k＝4于是x6项的系数是(－1)4 24＝16×＝3360其中 Cx10－k练习:
小结二项式定理展开式中a与b是用“＋”连接的，即 (a＋b)n＝ an＋ an－1b＋…＋ an－kbk＋…＋ bn，在实际运用时注意正确选择a、b。（见例2） 通项公式Tk+1＝Can-kbk 是指第k＋1项，k+1项的二项式系数。其中 C 称为第（见例3）注意正确区分二项式系数与项的系数。（见例3）问题1： (1＋1)n ＝ ＋ ＋ ＋…＋ ＋…＋ 问题2：即解：令a＝ 1，b＝ 1，则根据二项式定理得作业P209 练习：
A—2， B—1解：根据二项式定理，取 a＝3x2，b＝－∴的通项公式是Tk＋1＝(3x2)10－k(－ )k＝ · 310－ k· x20－ 2k· (－1)k ·x－＝ (－1)k · 310－ k· · x20－ 由题意知20－ ＝0∴k＝∵k∈N ∴k无解∴的展开式中没有常数项.