河北省“五个一”名校联盟 2024 届高二年级联考数学答案
一、单选题
1 5 6 8
二、多选题
9、 10、 11、 12、
三、填空题
2 1
13、4 ± 2 14、√3 15、 或2 16、
3 2
四、解答题
17、（1）证明：因为数列{ }的前 n 项和为 = 2
2 + 5 ，
当 ≥ 2时， 1 = 2( 1)
2 + 5( 1)，
所以 = 1 = 2
2 + 5 2( 1)2 5( 1) = 4 + 3， 2 分
当 = 1时， 1 = 1 = 2 + 5 = 7，所以满足 1 = 7，
所以数列{ }的通项公式为 = 4 + 3， ∈
， 3 分
所以 +1 = 4( + 1) + 3 4 3 = 4， ∈
，
所以{ }是首项为 7，公差为 4 的等差数列. 4 分
+1 1 1
（2）因为 = 16 +1，所以 = ，所以数列{ }是以8为首项， 为公比的等比数列， 16 16
1
所以 = 8 ( ) 1 = 27 4 ； 5 分 16
所以 = 2
7 4 = (7 4 ) 2， 6 分
要使对一切正整数 n 都有 = + 成立．
即4 + 3 = (7 4 ) 2 + ，即4 + 3 = 4 2 + 7 2 + ，
4 = 4 2
所以{ 9 分
3 = 7 2 +
1
= 1
解得{ 2 ，所以则当 = , = 10时，对一切正整数 n 都有 = 2
+ 成
= 10
立. 10 分
18、（1）由正弦定理可知：(2 ) = 2 分
所以2 = + = 3 分
高二年级五校联考数学答案 第1页 （共 6 页）
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1
又 ∈ (0， )，所以 > 0，所以 = . 4 分
2
因为 ∈ (0， )，所以 = . 5 分
3
1 √3 1 1（2） √
3
= = = ，所以 = ① 8 分 2 2 2 2 2
而 2 = 2 + 2 2 60° = 2 + 2 ≥ 2 9 分
所以 2 ≥ ，当且仅当 = 时等号成立 ② 10 分
4
由①②两式可知， ≥ 11 分
3
3 3 3
所以 √ √ √ = ≥ ，即 面积的最小值为 . 12 分 4 3 3
19、（1）由已知可得 ∥ ，且 = = 1，
所以四边形 为平行四边形，
又因为 = = 1，所以平行四边形 为菱形
所以 ⊥ 2 分
在圆锥 中，因为 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 ⊥ 3 分
因为 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ． 4 分
又因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ． 5 分
（2）取 中点 ，易知 ⊥平面 ， = √ 2 2
√3
= ，
2
以 为原点， ， ， 所在直线分别为 轴、 轴、 轴，建立如图所示的空间直角坐标
系， 6 分
3 1
则 (0, 1,0)， (0,1,0)， (0,0,3)， √ ( , , 0)， 7 分
2 2
高二年级五校联考数学答案 第2页 （共 6 页）
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因为 = 2 ，所以
2
=
2 2
= (0, 1,3) = (0, , 2)，
3 3 3
1
所以 (0, , 2)， 8 分
3
所以
4 3 3
= (0, , 2)， √ = ( , , 0)．
3 2 2
设平面 的一个法向量为 = ( , , )．
4
= 0, + 2 = 0,3
因为{ 所以{ ，
= 0, √3 3 + = 0.
2 2
令 y = 3，则 = 3√3， = 2，所以 = ( 3√3, 3, 2)， 10 分
易知平面 即平面 ，所以平面 的一个法向量为 = (1,0,0)， 11 分
设平面 与平面 的夹角为 ，
| | 3√3 3√30
则 = | , | = = = ，
| || | √27+9+4×1 20
3 30
所以平面 与平面 的夹角的余弦值为 √ ． 12 分
20
20、（1）定义域：（0，+∞），
1 +1 2 ( +1) +1 ( 1)( 1)
′( ) = + 2 = 2 = 2 1 分
1° < 0时 1 < 0，
令 ′( ) > 0 ，解得0 < < 1；令 ′( ) > 0 ，解得 > 1；
所以 ( ) 在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减； 2 分
2° > 0时
1 1
①当 > 1时，即0 < < 1时，令 ′( ) > 0，解得0 < < 1 或 > ；
1
令 ′( ) < 0，解得1 < < ；
1 1
所以 ( )在(0,1)上单调递增，（1， ）上单调递减，（ ，+∞）上单调递增； 3 分
1
②当 = 1时，即 = 1时，
′( ) > 0 恒成立，所以 ( )在（0，+∞）上单调递增； 4 分
高二年级五校联考数学答案 第3页 （共 6 页）
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1 1
③当 < 1时，即 > 1 时，令 ′( ) > 0，解得0 < < 或 > 1 ；
1
令 ′( ) < 0，解得 < < 1；
1 1
所以 ( )在(0, )上单调递增， ( , 1)上单调递减，（1，+∞）上单调递增. 5 分
综上所述：当 < 0时， ( ) 在（0，1）上单调递增，在（1，+∞）上单调递减；
1 1
当0 < < 1时， ( )在(0,1)上单调递增，（1， ）上单调递减，（ ，+∞）上单调递增；
当 = 1时， ( )在（0，+∞）上单调递增；
1 1
当 > 1 时， ( )在(0, )上单调递增， ( , 1)上单调递减，（1，+∞）上单调递增.
6 分
（2）由（1）知： > 0且 ≠ 1
1
且 ( ) = ( ) + (1) = 1 + ( + 1) + 1 = ( + 1) 7 分
即：解不等式 ( + 1) < 2 2 ；（ > 0且 ≠ 1 ）
2( 1)
等价于解不等式： < 0 9 分
+1
2( 1)
令 ( ) = ( > 0)，
+1
1 4 ( 1)2
′( ) = = > 0
( +1)2 ( +1)2
所以 ( )在(0， + ∞)单调递增 ， 11 分
且 (1) = 0，所以 ( ) < 0 = (1)，即不等式的解集为{ |0 < < 1}. 12 分
+2
21、（1）设 ( , )，则 ( , ) 1 分
2 2
2 +2
因为点 在抛物线 2 = 2 2上，即( ) = 2 × 2， 3 分
2 2
化简得 2 = 4 ，所以曲线 的方程为 2 = 4 . 4 分
（2）假设存在点 （ 1， 0）使 为正三角形.
高二年级五校联考数学答案 第4页 （共 6 页）
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10 当 垂直于 轴时，不符合题意（舍）； 5 分
20 当 不垂直于 轴时，
设直线 ： = + 1， 的中点为 ( , )，
2 = 4
联立{ 得： 2 4 4 = 0
= + 1
∴ = 16 2 + 16， 1 + 2 = 4 ， 1 2 = 4
6 分
∴ | | = √1 + 2√( + )2 4 = 4( 21 2 1 2 + 1) 7 分
1+ ∴ = 2 = 2 , = 2 2 + 1 8 分
2
∴ | | = √1 + ( )2|2 2 + 1 ( 1)| = √1 + 2|2 2 + 2| 9 分
√3
∵ 为正三角形∴ | | × = | |
2
√3
即：4( 2 + 1) × = √1 + 2|2 2 + 2| ∴ = ±√2 10 分
2
: 2 = ( 2 2 1)，令 = 1
0 = (2
2 + 2) + 2 = (2 2 + 4) = ±8√2 11 分
所以存在点 （ 1， ± 8√2）使 为正三角形. 12 分
22、解：（1）由题意，全市高中生航天创新知识竞赛成绩 近似服从正态分布 (73,37.5)，
则 = 73, = √37.5 ≈ 6.1，所以 = 66.9, + 2 = 85.2， 2 分
1 1
而 ( < < + 2 ) = ( < < + ) + ( 2 < < + 2 ) = 0.815，
2 2
3 分
所以该市 4 万名高中生中航天创新知识竞赛成绩位于区间(66.9,85.2)的人数约为
40000 × 0.815 = 32600(人)； 4 分
1 0.95
（2）由 ( > 85.2) = = 0.025可知，
2
任意抽取一人，等级为优秀的概率 = 0.025， 5 分
高二年级五校联考数学答案 第5页 （共 6 页）
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设抽取次数为 ，则 的分布列如下：
1 2 3 … 1
p ( 21 p) p (1 p) p … (1 )
2 (1 ) 1
7 分
故 ( ) = + (1 ) × 2 + (1 )2 × 3 + + (1 ) 2 × ( 1) + (1 ) 1 × ，
又(1 ) ( ) = (1 ) + (1 )2 × 2 + (1 )3 × 3 + + (1 ) 1 × (
1) + (1 ) × ， 8 分
两式相减得： ( ) = + (1 ) + (1 )2 + + (1 ) 2 + (1 ) 1 ，
1 (1 ) 1 (1 )
即 ( ) = 1 + (1 ) + (1 )2 + + (1 ) 2 + (1 ) 1 = = =
1 (1 )
1 0.975
， 10 分
0.025
1 0.975
而 ( ) = 在 ∈ +时递增， 0.025
结合0.9755 ≈ 0.881，0.9756 = 0.859，0.9757 = 0.838，0.9758 = 0.817知，
当 = 5时， ( ) = 4.76；当 = 6时， ( ) = 5.64；当 = 7时， ( ) = 6.48；
所以 的最大值为 6. 12 分
高二年级五校联考数学答案 第6页 （共 6 页）
{#{QQABKYiQogiIAAIAAAACUwEQCgMQkgACCAgGhAAYIEIBiRFABAA=}#}河北省五个一名校联盟2022-2023学年高二下学期6月联考
数学试卷
（满分：150分，测试时间：120分钟）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.已知集合集合，则下列说法正确的是（ ）
2.已知，，则与夹角的余弦值为（ ）
3.已知双曲线与双曲线则两双曲线的（ ）
实轴长相等 虚轴长相等 离心率相等 焦距相等
4.已知且则下列各式一定成立的是（ ）
5.一条长椅上有6个座位，3个人坐. 要求3个空位中恰有2个空位相邻，则坐法的种数
为（ ）
6.某学校有男生600人，女生400人.为调查该校全体学生每天的运动时间，采用分层抽样的方法获取容量为的样本. 经过计算，样本中男生每天运动时间的平均值为80分钟，方差为10；女生每天运动时间的平均值为60分钟，方差为20. 结合数据，估计全校学生每天运动时间的方差为（ ）
7.过直线上一点向圆作两条切线，设两切线所成的最大角为，则=（ ）
8.设是定义在上的奇函数，且满足，. 数列满足
，则
二、多选题：本题共4小题. 在每小题所给的四个选项中，有多个选项符合题意. 全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.若，则下列说法正确的是（ ）
若事件相互独立，则事件也互斥
若事件相互独立，则事件不互斥
若事件互斥，则事件也相互独立
若事件互斥，则事件不相互独立
10.函数由关系式确定，则下列说法正确的是（ ）
函数的零点为
函数的定义域和值域均为
函数的图像是轴对称图形
若，则在定义域内满足恒成立
11.某通信工具在发送、接收信号时都会使用数字或是作为代码，且每次只发送一个数字.由于随机因素的干扰，发出的信号或有可能被错误地接收为或.已知发送信号时，接收成或的概率分别为和；发送信号时，接收成或的概率分别为和.
假设发送信号或的概率是等可能的，则（ ）
已知两次发送的信号均为1，则接收到的信号均为1的概率为
在单次发送信号中，接收到
在单次发送信号中，能正确接收的概率为0.95
在发送三次信号后，恰有两次接收到0的概率为
12.已知为等腰直角三角形，为斜边且长度是4. 为等边三角形，若二面角为直二面角，则下列说法正确的是（ ）
三棱锥的体积为
三棱锥外接球的表面积为
半径为的球可以被整体放入以三棱锥为模型做的容器中
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13.方程在复数集中的解为__________ .
14. .
15.已知函数的图像关于点对称，且在区间上单调，则 .
16.如图所示，斜率为的直线交椭圆于两点，交轴、轴分别于两点，且，则椭圆的离心率为 _______ .
四、解答题：本题共6小题. 第17题10分，第18题每小题12分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.已知数列的前项和为，数列满足，．
（1）证明:数列是等差数列；
（2）是否存在常数，使得对一切正整数都有成立？若存在，求出的值；若不存在，说明理由．
18.记的内角的对边分别为，且.
（1）求角的大小；
（2）设边上的高，求面积的最小值.
19.如图，圆锥的高为是底面圆的直径，为圆锥的母线，四边形是底面圆的内接等腰梯形，且，点在母线上，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
已知函数 (≠0）.
（1）讨论函数的单调性；
（2）若既有极大值又有极小值，且极大值和极小值的和为. 解不等式.
已知为抛物线上一点，，为的中点，设的轨迹为曲线.
（1）求曲线的方程；
（2）过点于点，点为直线上一动点. 问是否存在点使为正三角形？若存在，求出点坐标；若不存在，请说明理由.
航天事业是国家综合国力的重要标志，带动着一批新兴产业和新兴学科的发展．某市为了激发学生对航天科技的兴趣，点燃学生的航天梦，现组织该市全体学生参加航天创新知识竞赛，并随机抽取1000名学生作为样本，研究其竞赛成绩. 经统计分析该市高中生竞赛成绩近似地服从正态分布，其中近似为样本平均数，近似为样本方差，并已求得和.
（1）若该市有4万名高中生，试估计这些高中生中竞赛成绩位于区间的人数；
（2）若规定成绩在85.2以上的学生等级为优秀，现从全市高中生中任意抽取一个进行访谈，如果取到学生等级不是优秀，则继续抽取下一个，直至取到等级为优秀的学生为止，但抽取的总次数不超过. 如果抽取次数的期望值不超过6，求的最大值.
（附：，，，，，若，则，）
