河北省五个一名校联盟2022-2023学年高一下学期6月联考
数学试卷 答案
（满分：150分，测试时间：120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量,则下列选项中与共线的单位向量是
A．； B． C． D．
【解析】： B
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则正确的
高中部产生20个样本 初中部产生20个样本
不同级部每个学生被抽取的可能性不相同 可以从两个级部各抽取30个样本
【解析】：A
3. 已知为虚数单位，若复数,则下列四个选项正确的是
A．复数 B．若是复数的共轭复数，则
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点位于第一象限
【解析】：，所以B正确
4．已知的周长为，面积为，，则边的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
【解析】：由题知a＋b＋c＝20，bc sin 60°＝10.所以bc＝40.
a2＝b2＋c2－2bc cos 60°＝(b＋c)2－3bc＝(20－a)2－120.所以a＝7.即BC边的长为7.
所以C正确.
5．已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为
A． B． C． D．
【解析】，
，
，由于
向量与向量的夹角为.故选：D
6．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户
都挂花灯．右图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面
的正六棱柱组成，正六棱台的上下两个底面边长分别为20cm和40cm，正六棱台
与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积约为
A． B．
C． D．
【解析】；由题意花灯的体积等于上面的正六棱台体积与下面的正六棱柱体积的和，正六棱台的上下两个底面积分别为
,
所以花灯的体积
，故选C．
7．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则
A.该圆锥的体积为2 B.该圆锥的侧面积为
C. D.过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为
【解析】:C
8.已知，，且，令，则
A． B． C． D．
【解析】：由，所以，故，所以，
所以．故选B．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设，为复数，则下列命题中一定成立的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
【解析】：对于项，取，时，，但虚数不能比较大小，故项错误；对于项，由，得．又，，所以，故项正确；
对于项，因为，所以，故项正确；
对于项，取，，满足，但是，故项错误．故选：BC．
10．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、92、94、95、100．则下列说法正确的有
A．这10个分数的中位数为90
B．这10个分数的第60百分位数为91
C．这10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小
【解析】； A正确；
又，所以第60百分位数是第6个数90与第7个数92的平均数，即，所以B正确；
对于C选项：方法1：平均数相对于中位数总在“拖尾”的一则，所以C错误；
方法2：这10个数的均值为分，中位数为，所以中位数是第5个数90与第6个数90的平均数90，所以C错误；
对于D选项：方法1：去掉70和100后余下的85、86、88、90、90、92、94、95这8个数的大小分布更均匀，平均分为90，所以D正确；
方法2：这10个数的方差为
，去掉70和100后，平均数为，方差为，90>89, ，所以D正确．
故选ABD．
11．已知，函数，下列选项正确的有
A．若的最小正周期,则
B．当时，函数的图象向右平移后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间只有一个零点，则的取值范围是
【解析】:由，得，所以A正确；
当时，，所以函数的图象向右平移个单位长度后得，所以B错误；
若在上单调增，则，解得，，又，只有当时，成立，所以C正确；
若在只有一个零点，则，解得，所以D正确．
故选ACD.
12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．与所成角的余弦值是
【答案】BCD
【解析】如图一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的两个侧面的交线CE、DE
则在梯形BDEF中，可知，
设，则
根据立体图可得，，
显然
即CE、DE不垂直，A不正确；
该“十字贯穿体”的表面积是由4个正方形和16个与梯形BDEF全等的梯形组成
则表面积，B正确；
如图两个正四棱柱的重叠部分为多面体，取的中点I
则多面体可以分成8个全等三棱锥，则
该“十字贯穿体”的体积即为，C正确；
与所成角的余弦值是，D正确；故选：BCD．
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知向量，，若，则________．
【解析】：．
14. 若复数满足（为实数），则的最大值为__________．
【解析】:2
15．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为________；若点是线段上的动点，则的最小值为_________．(第一空2分，第二空3分)
【解析】：设中点为O，则，所以O为四棱锥外接球的球心，为该球半径，所以其表面积为；如图，将 PAC绕AC翻折到与 DAC所在面重合，连接PB，交AC于点Q，此时最小，最小值为
16．已知三角形的内角的对边分别是，若，为锐角，则的最小值为 ．
【解析】：，
,
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17. （10分）已知复数，，其中是虚数单位，
(Ⅰ)若为纯虚数，求的值；
(Ⅱ)若，求的取值范围.
【解析】(Ⅰ) …………5分
(Ⅱ)由，.
因此 …………10分
18.（12分） 为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求图中的值；
(Ⅱ)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(Ⅲ)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
【解析】
(Ⅰ)由，解得； ...........3分
(Ⅱ)，
故本次防疫知识测试成绩的平均分为； ............................................8分
(Ⅲ)设受嘉奖的学生分数不低于分，
因为，对应的频率分别为0.15，0.1，
所以，解得，
故受嘉奖的学生分数不低于分． ............................................12分
（12分）如图是函数的部分图象，
已知，其中分别为函数图象的最高和最低点.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求．
【解析】(Ⅰ)设，函数的最小正周期为T，则，则，
故， ………………4分
解得(负值舍去)，所以，
所以； ……………6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)得，
，
得，
即，
所以， …………………9分
又因，则，所以，所以. ……12分
20．（12分）如图，直三棱柱中，，，分别是，的中点．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，直线与平面所成的角为，
求三棱锥的体积．
【解析】(Ⅰ)证明：取中点，分别连结，，
因为为的中点，所以，，因为三棱柱为直棱柱，
所以平面，
所以平面，因为平面，所以，
又为的中点，则，且，所以，
因为，平面，，所以平面，
因为平面，所以．..........................6分
(Ⅱ)由(Ⅰ)知为与平面所成的角，所以，
由，得． ..........................8分 . .....................................12分
21．（12分）在中，角，，所对的边分别为，，，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若，求．
【解析】(Ⅰ)中，因为，
结合余弦定理，得，化简可得，
所以． ...........4分
(Ⅱ)由，
可得，即，即，......................8分
又，所以，， ............................................10分
所以．.........................................................12分
(
图1 图2
)22. （12分）如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，，将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：平面平面；
(Ⅲ)线段上是否存在点，使得平面？说明理由 ．
【解析】：(Ⅰ)取线段的中点，连接，．
因为在△中，，分别为，的中点，所以 ，．
因为 ，分别为，的中点，所以 ，，
所以 ，，所以 四边形为平行四边形，所以 ．
因为 平面， 平面，所以 平面．…………4分
(Ⅱ)因为在△中，，分别为，的中点，所以 ．
所以，又为的中点，所以 ．
因为平面平面，且平面，
所以 平面，所以 ．
在△中，，易知 ，
所以 ，所以 平面，
所以 平面平面． …………8分
(Ⅲ)线段上不存在点，使得平面．
否则，假设线段上存在点，使得平面，
连接 ，，则必有 ，且．
在△中，由为的中点，，得为的中点．
在△中，因为，所以，
这显然与，矛盾！
所以线段上不存在点，使得平面． ………..................12分河北省五个一名校联盟2022-2023学年高一下学期6月联考
数学试卷
（满分：150分，测试时间：120分钟）
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知向量,则下列选项中与共线的单位向量是
A．； B． C． D．
2．某学校为了解学生参加体育运动的情况，用比例分配的分层随机抽样作抽样调查，拟从初中部和高中部两层共抽取60名学生，已知该校初中部和高中部分别有400和200名学生，则正确的
高中部产生20个样本 初中部产生20个样本
不同级部每个学生被抽取的可能性不相同 可以从两个级部各抽取30个样本
3. 已知为虚数单位，若复数,则下列四个选项正确的是
A．复数 B．若是复数的共轭复数，则
C．复数的虚部为 D．复数在复平面内对应的点位于第一象限
4．已知的周长为，面积为，，则边的长为
A．5 B．6 C．7 D．8
5．已知平面向量满足，，，则向量与向量的夹角为
A． B． C． D．
6．元宵节是春节之后的第一个重要节日，元宵节又称灯节，很多地区家家户户都挂花灯．右图是小明为自家设计的一个花灯，该花灯由上面的正六棱台与下面的正六棱柱组成，正六棱台的上下两个底面边长分别为20cm和40cm，正六棱台与正六棱柱的高分别为10cm和60cm，则该花灯的体积约为
A． B．
C． D．
7．已知圆锥的顶点为，底面圆心为，为底面直径，，，点在底面圆周上，且二面角为，则
A.该圆锥的体积为2 B.该圆锥的侧面积为
C. D.过圆锥任意两条母线的截面中面积最大的为
8.已知，，且，
令，则
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．设，为复数，则下列命题中一定成立的是
A．如果，那么 B．如果，那么
C．如果，那么 D．如果，那么
10．小明在一次面试活动中，10位评委给他的打分分别为：70、85、86、88、90、90、92、94、95、100．则下列说法正确的有
A．这10个分数的中位数为90
B．这10个分数的第60百分位数为91
C．这10个分数的平均数大于中位数
D．去掉一个最低分和一个最高分后，平均分数会变大，而分数的方差会变小
11．已知，函数，下列选项正确的有
A．若的最小正周期,则
B．当时，函数的图象向右平移后得到的图象
C．若在区间上单调递增，则的取值范围是
D．若在区间只有一个零点，则的取值范围是
12．素描是使用单一色彩表现明暗变化的一种绘画方法，素描水平反映了绘画者的空间造型能力．“十字贯穿体”是学习素描时常用的几何体实物模型，如图是某同学绘制“十字贯穿体”的素描作品．“十字贯穿体”是由两个完全相同的正四棱柱“垂直贯穿”构成的多面体，其中一个四棱柱的每一条侧棱分别垂直于另一个四棱柱的每一条侧棱，两个四棱柱分别有两条相对的侧棱交于两点，另外两条相对的侧棱交于一点（该点为所在棱的中点）．若该同学绘制的“十字贯穿体”由两个底面边长为2，高为6的正四棱柱构成，则（ ）
A．一个正四棱柱的某个侧面与另一个正四棱柱的
两个侧面的交线互相垂直
B．该“十字贯穿体”的表面积是
C．该“十字贯穿体”的体积是
D．与所成角的余弦值是
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．把正确答案填在答题卡上．
13．已知向量，，若，则________．
14. 若复数满足（为实数），则的最大值为 ．
15．已知四棱锥的底面是边长为2的正方形，底面，，则四棱锥外接球表面积为 ；若点是线段上的动点，则的最小值为 ．(第一空2分，第二空3分)
已知三角形的内角的对边分别是，若，
为锐角，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程和演算步骤．
17．（本小题满分10分）
已知复数，，其中是虚数单位，．
(Ⅰ)若为纯虚数，求的值；
(Ⅱ) 若，求的取值范围．
18．（本小题满分12分）
为了调查疫情期间物理网课学习情况，某校组织了高一年级学生进行了物理测试．
根据测试成绩（总分100分），将所得数据按照，，，，，分成组，其频率分布直方图如图所示．
(Ⅰ)求图中的值；
(Ⅱ)试估计本次物理测试成绩的平均分；（同一组中的数据用该组区间的中点值作代表）
(Ⅲ)该校准备对本次物理测试成绩优异（将成绩从高到低排列，排在前的为优异）的学生进行嘉奖，则受嘉奖的学生分数不低于多少？
19．（本小题满分12分）
如图是函数的部分图象，已知,
其中分别为函数图象的最高和最低点.
(Ⅰ)求；
(Ⅱ)若，求．
20.（本小题满分12分）
如图，直三棱柱中，，，分别是，的中点．
(Ⅰ)证明：；
(Ⅱ)若，直线与平面所成的
角为，求三棱锥的体积．
21.（本小题满分12分）
在中，角，，所对的边分别为，，，．
(Ⅰ)求的值；
(Ⅱ)若，求．
22.（本小题满分12分）
如图1，在△中，，分别为，的中点，为的中点，，，将△沿折起到△的位置，使得平面平面，为的中点，如图2
(Ⅰ)求证：平面；
(Ⅱ)求证：平面平面；
(
图1
图2
)(Ⅲ)线段上是否存在点，使得平面？说明理由 ．
