江苏省淮安市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试题（含答案）

淮安市2022-2023学年高二下学期期末调研测试数学试卷 2023.6
总分：150分 时间：120分钟
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将答题卡交回。
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
2.已知直线的方向向量，平面的法向量，若，则（ ）
A. B. C. D.
3.从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛，所选3人中至少有1名女生的概率是（ ）
A. B. C. D.
4.若，，称是，的几何平均数，是，的调和平均数，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5.我国古代典籍《周易》用“卦”描述万物的变化.每一“重卦”由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“”，如图就是一重卦.在所有重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有2个阳爻且2个阳爻不相邻的概率是（ ）
A. B. C. D.
6.已知四棱锥的底面为正方形，平面，，点是的中点，则点到直线的距离是（ ）
A. B. C. D.
7.某中学举行夏季运动会，共有3类比赛9个项目：集体赛2项，田赛3项，径赛4项.要求参赛者每人至多报3项，且集体赛至少报1项，则每人有（ ）种报名方式
A.49 B.64 C.66 D.73
8.设，是一个随机试验中的两个事件，且，，，则（ ）
A. B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分。
9.若，则下列不等式中正确的有（ ）
A. B. C. D.
10.如图是某小卖部5天卖出热茶的杯数（单位：杯）与当天气温（单位：℃）的散点图，若去掉后，下列说法正确的有（ ）
A.决定系数变大 B.变量与的相关性变弱
C.相关系数的绝对值变大 D.当气温为11℃时，卖出热茶的杯数估计为35杯
11.有甲、乙、丙等5名同学聚会，下列说法正确的有（ ）
A.5名同学每两人握手1次，共握手20次
B.5名同学相互赠送祝福卡片，共需要卡片20张
C.5名同学围成一圈做游戏，有120种排法
D.5名同学站成一排拍照，甲、乙相邻，且丙不站正中间，有40种排法
12.在正四棱锥中，，，点满足，其中，，则下列结论正确的有（ ）
A.的最小值是
B.当时，三棱锥的体积为定值
C.当时，与所成角可能为
D.当时，与平面所成角正弦值的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13.随机变量，，则______.
14.在三棱柱中，点在线段上，且，若以为基底表示，则______.
15.已知，且，则的展开式中项的系数是______.（用数字作答）
16.已知随机变量的概率分布列如下表所示，当时，______.
0 1 2
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.（本小题满分10分）
已知的展开式中仅有第4项的二项式系数最大.
（1）求展开式的第2项；
（2）求展开式的奇数项系数之和.
18.（本小题满分12分）
某乡政府为提高当地农民收入，指导农民种植药材，取得较好的效果.以下是某农户近5年种植药材的平均收入的统计数据：
年份 2018 2019 2020 2021 2022
年份代码 1 2 3 4 5
平均收入（千元） 59 61 64 68 73
（1）根据表中数据，现有与两种模型可以拟合与之间的关系，请分别求出两种模型的回归方程；（结果保留一位小数）
（2）统计学中常通过比较残差的平方和来比较两个模型的拟合效果，请根据残差平方和说明上述两个方程哪一个拟合效果更好，并据此预测2023年该农户种植药材的平均收入.
参考数据及公式：，，其中.
，.
19.（本小题满分12分）
淮安西游乐园推出的西游主题毛绒公仔，具有造型逼真可爱、触感柔软等特点，深受学生喜爱.某调查机构在参观西游乐园的游客中随机抽取了200名学生，对是否有购买西游主题毛绒公仔的意愿进行调查，得到以下的列联表：
有购买意愿没有购买意愿合计男40女60合计50
（1）完成上述列联表，根据以上数据，判断是否有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关？
（2）某文创商店为了宣传推广西游主题毛绒公仔产品，设计了一个游戏：在三个外观大小都一样的袋子中，分别放大小相同的1个红球和3个蓝球，2个红球和2个蓝球，以及3个红球和1个蓝球.游客可以从三个袋子中任选一个，再从中任取2个球，若取出2个红球，则可以获赠一套西游主题毛绒公仔.现有3名同学参加该游戏，表示3名同学中获赠一套毛绒公仔的人数，求随机变量的概率分布及数学期望.
附：，其中.
0.050 0.010 0.001
3.841 6.635 10.828
20.（本小题满分12分）
如图，正方体的棱长为1，点是对角线上异于，的点，记.
（1）当为锐角时，求实数的取值范围；
（2）当二面角的大小为时，求点到平面的距离.
21.（本小题满分12分）
已知函数，.
（1）当时，求的解集；
（2）若的最大值为3，求的值.
22.（本小题满分12分）
投壶是从先秦延续至清末的中国传统礼仪和宴饮游戏.晋代在广泛开展投壶活动中，对投壶的壶也有所改进，即在壶口两旁增添两耳，因此在投壶的花式上就多了许多名目，如“贯耳（投入壶耳）”等.现有甲、乙两人进行投壶游戏，规定投入壶口一次得1分，投入壶耳一次得2分，其余情况不得分.已知甲投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为；乙投入壶口的概率为，投入壶耳的概率为.假设甲乙两人每次投壶是否投中相互独立.
（1）求甲投壶3次得分为3分的概率；
（2）求乙投壶多少次，得分为8分的概率最大.
数学参考答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。
1.A 2.C 3.D 4.B 5.B 6.D 7.C 8.C
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
9.AD 10.AC 11.BD 12.ABD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13. 14. 15.120 16.
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.解：因为的展开式中仅有第4项的二项式系数最大，
根据二项式系数的性质：左右对称且先增后减，所以展开式共有7项，则.……2分
（1）.……4分
（2）设
令得：①……6分
令，得：②……8分
由①②得，所以展开式的奇数项系数之和为365.……10分
18.解：（1）根据农户近5年种植药材的平均收入情况的统计数据可得：
，，
所以，，
则，.……3分
设，则，所以，
则，.
所以，两种模型的回归方程分别为，.……6分
（2）回归方程为时，将值代入可得估计值分别为58，61.5，65，68.5，72，则残差平方和为. ……8分
回归方程为时，将值代入可得估计值分别为59，60.8，63.8，68，73.4，则残差平方和为. ……10分
因为，所以回归方程拟合效果更好，应选择该方程进行拟合.
当时，，
故预测2023年该农户种植药材的平均收入为80千元，即8万元.……12分
19.解：（1）列联表如下：
有购买意愿 没有购买意愿 合计
男 90 40 130
女 60 10 70
合计 150 50 200
……2分
提出假设：购买西游主题毛绒公仔与学生的性别无关，根据列联表中的数据，可以求得
，……4分
因为当成立时，的概率大于1%，所以没有99%的把握认为购买西游主题毛绒公仔与学生的性别有关.……5分
（2）一次游戏中取出2个红球的概率，……7分
，1，2，3，，，，
，，
所以随机变量的概率分布为
0 1 2 3
……11分
所以.法二：.……12分
20.解：以为单位正交基底，建立空间直角坐标系.
则，，，.因为，.则.
则，.……2分
（1）由为锐角，则且.
则.又.所以.……4分
（2）设平面的法向量，则且，又，
，所以，.令，则，.
故平面的一个法向量.……6分
易知平面的一个法向量.因为二面角为，则，
所以，解得.因为，则.……9分
则平面的一个法向量，又，则向量，
所以点到平面的距离.……12分
21.解：（1）当时，，即.
当时，.当时，不等式无解.
当时，若，，若，.……3分
所以当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为；当时，不等式的解集为.……4分
（2）①当时，.
又，则，当且仅当取等号.
所以..……6分
若时，当时，.此时，
所以不满足题意，舍去.……8分
②当时，的对称轴为
当时，，.……10分
当时，在时增函数，，即（舍去）.
若.当时，，满足题意.
综上时，的最大值为3.……12分
22.解：（1）因为甲投入壶口概率为，投入壶耳概率为，所以甲未投中的概率为，
设事件为甲投壶3次得分为3分，则.……4分
（2）设乙投壶次时得分为8分的概率为，设投壶次中投入壶口次，投入壶耳次，
则，所以，则，……8分
所以，即，整理得，结合可得，所以乙投壶6次时，得分为8分的概率最大.……12分
法二：设乙投壶次时得分为8分的概率为，设投壶次中投入壶口次，投入壶耳次，
则，所以，
由可得且，所以，5，6，7，8.……8分
因为，当时，；
当时，；当时，；
当时，；当时，；
所以当时，取得最大值，即乙投壶6次时，得分为8分的概率最大. ……12分