2022-2023学年浙江省名校联盟高二下学期期末联考数学试题（PDF版含解析）

2022-2023 学年浙江省丽水市名校联盟高二下学期期末联考数学试题
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 在空间直角坐标系中，点 (2,3,4)关于平面 对称的点的坐标为 ( )
A. (2,3,4) B. ( 2,3,4) C. (2, 3,4) D. ( 2, 3,4)
2. 直线 + 1 = 0 与圆( 2)2 + 2 = 4 的位置关系是 ( )
A. 相离 B. 相交 C. 相切 D. 无法确定
2
3. 与双曲线 2 = 1 有公共焦点，且长轴长为 6的椭圆的标准方程为 ( )4
2 2 2 2 2 2 2 2A. + B. C. D.9 4 = 1 4 + 9 = 1 9 + 6 = 1 6 + 9 = 1
4. 在数列 中， 1 = 2， 2 = 4，2 = 1 + +1( ∈ , ≥ 2)，则 4 =( )
A. 6 B. 7 C. 8 D. 9
5. 正项等比数列{ }的公比为 ，前 项和为 ，则“ > 1”是“ 2021 + 2023 > 2 2022”的 ( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
6. 已知长方体 1 1 1 1，其中 1 = 2， = = 3， 为底面 上的动点， ⊥
1 于 ，且 = ，设直线 1 与平面 所成的角为 ，则 的最大值为 ( )
A. 4 B.

2 C.

6 D.

3
7. 已知抛物线 2 = 4 ，过焦点 作直线与抛物线交于点 ， (点 在 轴下方)，点 1与点 关于 轴对
称.若直线 的斜率为 1，则直线 1 的斜率为 ( )
A. 3 B. 3 C. 2 D.3 2 2
8. 数列 1 前 项和为 ，已知 1 = 3，且对任意正整数 、 ，都有 + = ，若 < 恒成立
则实数 的最小值为 ( )
A. 1 B. 22 3 C.
3
2 D. 2
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 已知等差数列{ }的前 项和为 ， 1 > 0， 5 = 0，则 ( )
A. 3 + 7 = 0 B. 2 8 < 0
C. 10 = 0 D. 当且仅当 = 4 时， 取最大值
10. 设直线 : = + 1( ∈ )与圆 : 2 + 2 = 5，则下列结论正确的为 ( )
A. 直线 与圆 一定相交
B. 直线 一定将圆 平分
C. 当 = 1 时， 被圆 截得的弦长为3 2
2
D. 被圆 截得的最短弦长为 4
2
11. 设 为双曲线 ： 2 上一动点， 、 分别为上、下焦点， 为原点，则下列结论正确的3 = 1 1 2
是 ( )
A. 若点 (0,8)，则| |最小值为 7
B. 若过点 的直线交 于 、 两点( 、 与 均不重合)，则
1
= 3
C. 若点 (8,1)， 在双曲线 的上支，则| 2| + | |最小值为 2 + 65
D. 过 1的直线 交 于 、 不同两点，若| | = 7，则 有 4条
12. 如图，在棱长为 1的正方体 ABCD 1 1 1 1中，下列选项正确的是 ( )
A. 异面直线 1
1
1与 1 所成的角为 60° B. 三棱锥 1 1 1 的体积为6
C. 直线 1 ⊥平面 1 1 D. 二面角 1 CD 的大小为 30°
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 已知两条直线 1：( + 1) + 2 2 = 0和 2： + 1 = 0，其中 ∈ .若 1// 2，则直线 1与 2
之间的距离为 ．
14. 若圆 ： 2 + 2 = 2 > 0 与圆 ： 2 + 2 4 4 + 6 = 0 相交，则 的取值范围是 ．
2 2
15. : + 已知椭圆 2 2 = 1 > > 0 的左、右焦点分别为 1， 2，过 2作 轴的垂线，交椭圆于点 ，
若直线 31的斜率为4，则椭圆 的离心率为 ．
16. 足球起源于中国古代的蹴鞠游戏.“蹴”有用脚蹴、踢的含义，“鞠”最早是外包皮革、内饰米糠
的球，因而“就鞠”就是指古人以脚蹴、踢皮球的活动.已知某“鞠”的表面上有四个点 ， ， ， ，
满足 = 2， ⊥平面 ， ⊥ ，若三棱锥 的体积为 2，则制作该“鞠”的外包皮革面
积的最小值为 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10分)
已知圆 的圆心为 ( 1,4)，且与 轴相切．
(1)求 的方程;
(2)设直线 : + + = 0 与 交于 ， 两点，从条件 ①∠ = 120 ; ②| | = 4 3中选择一个作为
已知，求 的值．
18. (本小题 12分)
已知数列{ }是公比大于 0的等比数列， 1 + 2 = 12，其前 4项的和为 120．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)记 = 2 +
1
， ∈
，求数列{ 2 2 }前 项和 ．
19. (本小题 12分)
2
已知椭圆 ： + 2 = 1，直线 交椭圆 于 ， 两点．2
(1)若直线 的方程为 = ，求线段 的长；
(2) + = 1为椭圆 的左顶点，记直线 ， ， 的斜率分别为 1， 2， ，若 1 2 ，试问直线 是否
过定点，若是，求出定点坐标，若不是，请说明理由．
20. (本小题 12分)

已知数列{ }中， 1 = 1， +1 = 1+3
(1) { 1求证：数列 }是等差数列；
(2)求数列{ }的通项公式；

(3)设数列{ } 2 满足： = ，求{ }的前 项和 ．
21. (本小题 12分)
如图，在三棱柱 中， = 2 = 4, ∠ = 3 , 为 的中点，△ 为等边三角形，直线
与平面 所成角大小为4．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求平面 与平面 夹角的余弦值．
22. (本小题 12分)
2 2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的焦距为 2 5，坐标原点 到直线 的距离是
3 13，其中 ，
13
(0, ) ( 3的坐标分别为 ， 2 , 0)．
(1)求双曲线 的方程；
(2)是否存在过点 的直线 与双曲线 交于 ， 两点，使得△ 构成以 为顶点的等腰三角形？若存
在，求出所有直线 的方程；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查关于坐标平面对称的点的坐标求法，属于基础题．
空间直角坐标系中，点 ( , , )关于平面 对称的点的坐标为( , , )，由此即可得到答案．
【解答】
解：空间直角坐标系中，
点 (2,3,4)关于平面 对称的点的坐标为(2, 3,4)．
故选 C．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线和圆的位置关系的判断，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．
由题意可得圆的圆心坐标为(2,0)，半径 = 2，求出圆心到直线的距离，将此距离和圆的半径作对比，即可
得出结论．
【解答】
解：由题意可得，圆( 2)2 + 2 = 4 的圆心坐标为(2,0)，半径 = 2，
(2,0) + 1 = 0 = |2+0 1| = 2圆心 到直线 的距离为 < ，2 2
故该直线与圆相交．
故选 B．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了求椭圆的标准方程、椭圆的焦点、双曲线的焦点，属于基础题．
易知双曲线
2 2 2
2 = 1 的焦点坐标为( 5, 0), ( 5, 0)，焦点在 轴上，设所求的椭圆的标准方程为4 2 + 2 =
1 > > 0 ，由条件得 = 5, = 3，再由 2 = 2 + 2，求得 的值，即可求解．
【解答】
2
解：易知双曲线 2 = 1 的焦点坐标为( 5, 0), ( 5, 0)，焦点在 轴上，4
2 2
则设所求的椭圆的标准方程为
2 + 2 = 1 > > 0 ，半焦距为 ，
则其焦点坐标为( 5, 0), ( 5, 0)，所以 = 5，
又长轴长为 6，故 2 = 6，解得 = 3，
则 2 = 2 2 = 9 5 = 4，
2 2
故所求的椭圆的标准方程为
9 +

4 = 1．
故选 A．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，等差数列的判定，等差数列的通项公式，属于基础题．
根据递推关系 2 = + ( ∈ 1 +1 , ≥ 2)，得出数列 是等差数列，由此求解即可．
【解答】
解：由题意，因为 2 = 1 + ( ∈ +1 , ≥ 2)，
所以 +1 = 1( ∈ , ≥ 2)，
所以数列 是等差数列，
其首项为 1 = 2，公差为 = 2 1 = 2．
故 4 = 1 + 3 = 8．
故选 C．
5.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了充分必要条件的判断，等比数列的性质，属于基础题．
利用等比数列的性质即可推导出 2021 + 2023 2 2022 = ( 2023 2022) ( 2022 2021) = 2023 2022 =
2022( 1)，再根据充分必要条件的定义求解判断即可．
【解答】
解：∵数列{ }为正项等比数列，且公比为 ，前 项和为 ，
, = 1
∴ = 1· 1； =
1
1, ≥ 2
，
∵ 2021 + 2023 2 2022 = ( 2023 2022) ( 2022 2021) = 2023 2022 = 2022( 1)，
又∵数列{ }为正项等比数列，
∴ 2022 > 0，
当 > 1时， 2022( 1) > 0，则 2021 + 2023 2 2022 > 0，即 2021 + 2023 > 2 2022，
∴充分性成立；
当 2021 + 2023 > 2 2022时，即 2021 + 2023 2 2022 > 0，
∴ 1 > 0，解得 > 1，
∴必要性成立，
则“ > 1”是“ 2021 + 2023 > 2 2022”的充要条件．
故选 C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与平面所成的角，属于基础题，
设 = = ，由 1 ⊥平面 得∠ 1 即为直线 1 与平面 所成的角，则∠ 1 = ，根据三
角形全等，结合 + 求出 的取值范围，即可得到 的范围，进而即可求出 的最大值．
【解答】
解：不妨设 = = ，0 < < 6，
在长方体 1 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，又 平面 ，
所以 1 ⊥ ，且∠ 1 即为直线 1 与平面 所成的角，则∠ 1 = ，
因为 ⊥ 1 ， = ，
所以直线 1 与∠ 1 的平分线所在直线共面，则 点的轨迹是一条线段，
所以 1 = 2 + 2，
在 △ 1与 △ 1中， 1 = 1 ， = ，
所以 △ 1 ≌ △ 1，则 1 = 2，
又 1 = 3 + 3 + 2 = 2 2，则 = 1 1 = 2，
所以 = 2 + 2，
则 + = + 2 + 2 = 6，解得 6，3
则 tan = 1 2 1
= 3，
又 ∈ 0, 6 2 ，所以当 = 时，tan 取得最大值为3 3，此时 取得最大值为3，
所以 的最大值为3．
故选 D．
7.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系的应用，属中档题．
得出直线 的方程，与抛物线方程联立，利用韦达定理即可求得直线 1 的斜率．
【解答】
解：抛物线 2 = 4 的焦点 (1,0)，
设 ( 1, 1)， ( 2, 2)， 1( 1, 1).
则可得直线 的方程为 = 1，
= 1,
联立方程 2 2 = 4 , 得 6 + 1 = 0， > 0．
则有 1 + 2 = 6， 1 2 = 1，
= 2 ( 1) = 2+ 直线 1 的斜率
1
2 1 2 1
= 1+ 2 2 = 2
( + )2 4 2
，
1 2 1 2
故直线 1 的斜率为
2．
2
故选 C．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查数列的递推关系，等比数列的求和公式，不等式恒成立问题，属于中档题．
由题意，得数列{ }
1
是公比为3的等比数列，求 ，再由 < 恒成立即可求得实数 的最小值．
【解答】
解：当 时， ，即 ，
故数列 是等比数列，公比 ，
那么 ，
若 恒成立，即 ，
而数列 是单调递增，当 时， ，所以 ，
故 的最小值为 ，
故选： ．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查等差数列的通项公式，前 项和公式，考查等差数列的性质，属于中档题．
2 = + = 0 > 0 = 0 < 0 = 10 1+ 由 5 3 7 ，可判断 ；根据 1 ， 5 ，可得公差 ，可判断 ；由 1010 2 = 5 5 +
6 = 5 6 < 0,可判断 ；由已知等差数列前 4项为正值，第五项为 0，第六项以后均小于 0，即可判断 ．
【解答】
解：设等差数列{ }的公差为 ，
对于 ，在等差数列{ }中，2 5 = 3 + 7 = 0，故 A 正确；
对于 ，∵ 1 > 0， 5 = 0，∴ < 0，
则等差数列{ }是递减数列，
则 2 = 5 3 = 3 > 0, 8 = 5 + 3 = 3 < 0，
所以 2 8 < 0，故 B 正确；
= 10 1+ 对于 ， 1010 2 = 5 5 + 6 = 5 6 = 5 5 + = 5 < 0，故 C 错误；
对于 ，由已知，等差数列{ }的前 4项为正值，第五项为 0，第六项以后均小于 0，
所以当且仅当 = 4 或 = 5 时， 取最大值，故 D 错误．
故选： ．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，考查点到直线的距离公式以及圆中的弦长，属于中档题．
根据已知可得，直线 恒过定点(0,1)，圆 的圆心为(0,0)，半径为 5，然后逐项判断即可．
【解答】
解：直线 : = + 1( ∈ )，圆 : 2 + 2 = 5，圆的圆心 0,0 ，半径为 5．
对于 选项，直线 恒过定点(0,1)，且该定点在圆内，则直线 与圆 一定相交， 选项正确；
对于 选项，若直线 将圆 平分，则直线 过圆心 ，但无论 为何值，直线 都不过圆心 ， 选项不正确；
对于 选项，当 = 1 时，直线 的方程为 + 1 = 0，圆心 到直线 的距离为 = 2，2
所以，直线 被圆 截得的弦长为 2 5 ( 2 )2 = 3 2， 选项错误；2
1
对于 选项，圆心 到直线 的距离为 = 1
2
，
+1
所以，直线 被圆 截得的弦长为 2 5 2 4， 选项正确．
故选 AD．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了双曲线的性质和定义，双曲线中的定值问题，直线与双曲线的位置关系及应用，是中档题．
设 ( , )，利用两点距离公式，结合二次函数的最值即可判断 ；利用双曲线 的对称性，结合过两点的斜
率公式即可判断 ；利用双曲线的定义，结合三点共线即可判断 ；利用双曲线的性质，结合通径长即可判
断 ．
【解答】
2解：双曲线 ： 2 = 1，则 = 1， = 3， 1(0,2)、 2(0, 2)，3
设 ( , )，则 2 = 3 2 3，
则| | = 2 + ( 8)2 = 3 2 3+ ( 8)2 = 4( 2)2 + 45 3 5，当且仅当 = 2时取等号，
所以| |最小值为 3 5，故 A 错误；
由双曲线 的对称性可知， 、 两点关于原点 对称，
2
设 ( 0, 0)，则 ( 0, 0)， 2
0
0 3 = 1，
0 + 0 2 02 2 2 1则 0 · = · + = 2 2 = 3 2 3 3 2 3 = 3，故 B 正确；0 0 0 0
由双曲线的定义得，| 2| = 2 + | 1| = 2 + | 1|，
则| 2| + | | = 2 + | 2 21| + | | 2 + | 1| = 2 + 0 8 + 2 1 = 2 + 65，当且仅当 1， ，
三点共线，且 在线段 1 上时，取等号，
则| 2| + | |最小值为 2 + 65，故 C 正确；
由双曲线 ： 2
2 2
= 1，可得通径长为2 = 6 < 7，且 2 = 2 < 7，3
所以当| | = 7 时，直线 有 4条，故 D 正确．
故选 BCD．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查求异面直线所成的角，用等体积法求棱锥的体积，直线和平面垂直的判定定理的应用，属于
中档题．
根据棱柱的结构特征，逐一分析选项，即可得出答案．
【解答】
解：由于 1 和 1 平行且相等，故异面直线 1 1与 1 所成的角的大小即为 1 1与 1 所成的角，故
∠ 1 1(或其补角)为所求，
再由正方体的性质可得△ 1 1为等边三角形，故∠ 1 1 = 60°，
即异面直线 1 1与 所成的角为6001 ，A 正确；
三棱锥 1 1
1
1 的体积即 1 1 1 = 3 △ 1 1 1 =
1
1 3 × (
1
2 × 1 × 1) × 1 =
1
6，B 正确；
由正方体的性质可得， 1在上底面 1 1 1 1内的射影为 1 1，且 1 1 ⊥ 1 1，
而由正方体的性质可得 1 1 ⊥ 1，而 1 1 ∩ 1 = 1，且 1 1， 1 平面 1 1，
故 A 1 1 ⊥平面 1 1，而 1 平面 1 1，故 1 ⊥ 1 1，
同理可证， 1 ⊥ 1，
而 1和 1 1是平面 1 1 内的两条相交直线，
根据直线和平面垂直的判定定理，可得 1 ⊥平面 1 1 ，C 正确；
由正方体的性质可知二面角 1 的平面角为∠ 1，大小为 45°，D 错误；
故选： ．
13.【答案】3 5
5
【解析】
【分析】
本题考查直线平行的充要条件，两平行线间的距离，考查运算能力和数学思维能力，属于基础题．
首先利用直线平行求出 的值，再利用两平行线间的距离公式求出距离．
【解答】
解：由 1的方程，和 1// 2 知 2斜率存在，故 ≠ 0,
若 1//
+1 1
2，则 2 = ,即
2 + 2 = 0.
解得 = 2或 = 1,
当 = 1 时， 1与 2重合，不符合题意．
当 = 2时， 1： 2 + 2 = 0 和 2： 2 1 = 0，
| 1 2| 3 5
所以直线 1与 之间的距离 = =2 ．12+ 2 2 5
故答案为3 5．
5
14.【答案】 2, 3 2
【解析】
【分析】
本题考查圆与圆的位置关系，考查学生的计算能力，属于基础题．
由已知可得到圆 的圆心坐标与半径，再由两个圆相交，可得| 2| < 2 2 < + 2，求解得答案．
【解答】
解：由圆 ： 2 + 2 4 4 + 6 = 0，得 2 2 + 2 2 = 2，
则两圆圆心距为 2 0 2 + 2 0 2 = 2 2，
∵圆 ： 2 + 2 = 2 > 0 与圆 ： 2 + 2 4 4 + 6 = 0 相交，
∴ | 2| < 2 2 < + 2，
解得 2 < < 3 2，
∴ 的取值范围是 2, 3 2 ．
故答案为 2, 3 2 ．
15. 1【答案】2
【解析】
【分析】
本题考查求椭圆的离心率，属于基础题．
【解答】
2 2
解：由题知， 点坐标为 , ，则 2 = =
= 3，故 2
2 + 3 2 2 = 0
1 2 2 4
1
∴ 2 2 + 3 2 = 0, ∴ = 2 .
16.【答案】16
【解析】
【分析】
本题考查三棱锥的外接球问题，属于中档题．
【解答】
解：如图所示，取 1的中点 ，过 作 // ，且 = 2 = 1，
因为 ⊥平面 ，所以 ⊥平面 ．
因为 ⊥ ，所以 = = ，所以 = = = ，所以 是三棱锥 外接球的球心，
为球的半径．
1 1
因为 = 3 2 = 2，所以 = 6．
因为 2 = 2 + 2 ≥ 2 = 12，所以球的半径 = = 2 + ( 1 22 ) ≥ 1 + ( 3)
2 = 2，
当且仅当 = = 6时，等号成立，此时 = 2 3，所以 min = 2，故所求表面积的最小值为 4 2 = 16 ．
17.【答案】解：(1)因为圆心坐标为 ( 1,4)，且圆与 轴相切，
所以圆心到 轴的距离等于半径，则半径 = 4，
所以圆 的方程为：( + 1)2 + ( 4)2 = 16；
(2)若选条件 ①，∠ = 120 ，
设圆心到直线 的距离为 ，
由∠ = 120 ，得 = cos60 = 2，
|3+ |
由点到直线的距离公式得， = 2 = 2，
解得 = 3 ± 2 2．
若选条件 ②，| | = 4 3，
设圆心到直线 的距离为 1，
因为| | = 4 3，则 = 2 ( | |1 2 )
2 = 2，
= |3+ |由点到直线的距离公式得， 1 2 = 2，
解得 = 3 ± 2 2．
【解析】本题考查求圆的标准方程、点到直线的距离公式，圆的弦长问题，属于中档题．
(1)由题意可得圆心到 轴的距离等于半径，得半径 = 4，然后可得圆的标准方程；
(2)若选条件 ①，设圆心到直线 的距离为 ，由∠ = 120 ，可得 ，再由点到直线的距离公式即可求
的值；若选条件 ②，设圆心到直线 的距离为 ，由勾股定可得 1，再由点到直线的距离公式可求 的值．
18.【答案】解：(1)设等比数列{ }的公比为 ， > 0，
+ = 1(1
2) 4
由题意得 1 2 1 = 12
1(1 )， 1 = 120，
两式相除得 1 + 2 = 10，即 2 = 9，
又 > 0，解得 = 3， 1 = 3，
所以 = 3 × 3 1 = 3 ；
(2)由(1)得 1 2 1 = 2 + = 3 + 3 ，
2 = (32 + 1 )2 (34 + 1 ) = (34 + 2·3 + 1 ) (34 + 1则 2 3 32 32 32 ) = 2 3 ，

所以 = 2(3 + 32 + + 3 ) = 2 ×
3 1 3 +1
1 3 = 3 3．
【解析】本题考查等比数列的通项公式和前 项和公式，是中档题．
(1)设数列{ }的公比为 ， > 0，代入前 项和公式，列出方程组，求解可得通项公式；
(2)先求出 ，可得{ 2 2 }，再求和可得结论．
=
19.【答案】解：(1)联立直线 与椭圆方程 2 2 ，解得 =± 6，
2 + = 1 3
又点 ， 在直线 ： = 上，
不妨设 ( 6 , 6 )， ( 6 , 63 3 3 3 )，
2 2
则 = 6 6 6 6 4 3，3 3 + 3 3 = 3
故线段 长为4 3
3 ;
(2)直线 过定点(0,0)，理由如下：
设直线 ： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= +
联立直线 与椭圆方程 2 + 2 2 = 2 ,
消去 得，(2 2 + 1) 2 + 4 + 2 2 2 = 0，
则 = 16 2 2 4(2 2 + 1)(2 2 2) = 8(2 2 + 1 2) > 0，
2
1 + =
4 , = 2 22 2 1 2 2 ，2 +1 2 +1
易知 ( 2, 0)，
= 1 = 1+ = 2+ 则 1 ， 21+ 2 1+ 2 2+ 2，
+ = 1+ 故 2
+
1 2 1+ 2
+ 2+ 2
2 1 2 + 2 ( 1 + 2) + ( = 1
+ 2) + 2 2
1 2 + 2( 1 + 2) + 2
2
2 · 2 22 2 +1 + 2 ·
4 4
= 2
2 +1+ ·2 2 +1+2 2
2 2 2 4
2 2 +1 + 2·2 2 +1+2
= 2 2 ， 2 2 2 +2 2
由 + = 1 2 2 1，得 21 2 2 ，化简得 ， 2 2 +2 2 = 2 = 0
故 ( 2 ) = 0，则 = 2 或 = 0，
①当 = 2 时，直线 ： = + 2 = ( + 2)，过定点 ( 2, 0)，与已知不符，舍去；
②当 = 0 时，直线 ： = ，过定点(0,0)， = 8(2 2 + 1 2) = 16 2 + 8 > 0，符合题意．
故直线 过定点(0,0)．
【解析】本题主要考查了椭圆的弦长，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的定点问题，属于中档题．
(1)由已知联立直线方程与椭圆方程，得 =± 6，可得 点坐标，进而即可求解；3
(2)设直线 ： = + ， ( 1, 1)， ( 2, 2)，联立直线方程与椭圆方程，由斜率公式，结合根与系数的
关系即可求解．

20. 【答案】解：(1)证明： 1 = 1， +1 = 1+3 ，
1 1
可得 = + 3， +1
{ 1可得数列 }是首项为 1，公差为 3的等差数列；
(2) (1) 1由 可得 = 1 + 3( 1) = 3 2，
1
则 = 3 2；

(3) = 2 = (3 2) 2
，

前 项和 = 1 2 + 4 22 + … + (3 2) 2 ，
2 = 1 22 + 4 23 + … + (3 2) 2 +1，
两式相减可得 2 = 2 + 3(2 + … + 2 ) (3 2) 2 +1
= 2 + 3 4(1 2
1)
1 2 (3 2) 2
+1，
化简可得 = 10 + (3 5) 2 +1．
【解析】(1)将递推式两边取倒数，由等差数列的定义即可得证；
(2)运用等差数列的通项公式，即可得到所求；

(3)求得 =
2
= (3 2) 2
，再由数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，计算可得所求和．

本题考查等差数列的定义和通项公式、等比数列的求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查变
形能力和运算能力，属于中档题．
21.【答案】解：(1)取 中点 ，连接 ，
因为 = 2 ， 为 的中点，所以 = ，
所以 ⊥ ，
因为 为等边三角形，所以 ⊥ ，
又因为 ∩ = ， , 平面 ，
所以 ⊥平面 ，
因为 平面 ，所以平面 ⊥平面 ，
因为平面 ∩平面 = ，
所以直线 在平面 的射影在直线 上，
所以直线 与平面 所成角为∠ ，则∠ = 4，
因为 = = 2，∠ = 3，所以△ 是正三角形，则 = 3, = 2，
因为△ 为等边三角形， = 2，则 = 3，
所以在 中，由 = = 3，∠ =

4，得∠ =

4，
则∠ = 2，所以 ⊥ ，
因为 ⊥ ， = , , 面 ，
所以 CM ⊥平面 ，
因为 平面 ，
所以 ⊥ ，
因为 = 2，在 中， = = 2，∠ = 23 ，
所以 = 2 3，又 = 4，
所以 2 + 2 = 2，则 ⊥ ，
又因为 ∩ = , , 平面 ，
所以 ⊥平面 ；
(2)以 为坐标原点， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴， 所在直线为 轴建立如图所示的空间直角
坐标系，
则 0,0, 3 ， 0,1,0 ， 3, 0,0 ， 0, 1,0 ，
由于 是 的中点，易得 3, 2,0 ，
又由 = ，可得 2 3, 1,0 ，
所以 = (0, 1, 3)， = ( 2 3, 0,0)， = ( 3, 1,0)，
设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0 1 + 3 则 ，即 1 = 0 ,
1 = 0 2 3 1 = 0
令 1 = 3，得 1 = 0， 1 = 1，则 1 = (0, 3, 1)，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 0 2 + 3 2 = 0则 ，即 ,
2 = 0 3 2 + 2 = 0
令 2 = 3，得 2 = 1， 2 = 1，则 2 = (1, 3, 1)，

设平面 与平面 的夹角为 ，易知 0 < ≤ 2，
所以 cos = |cos , | = | 1 2| 4 2 51 2 | ，1|| |
= 2× 5 =2 5
故平面 与平面 夹角的余弦值为2 5．
5
【解析】本题考查线面垂直的判定，直线与平面所成角，平面与平面所成角的向量求法，属于中档题．
(1)取 中点 ，连接 ，先利用线面垂直的判定定理证得 ⊥平面 ，从而得到 在平面 的
射影在直线 上，得∠ = 4，进而证得 ⊥ ，再利用线面垂直的判定定理证得 CM ⊥平面 ，
则 ⊥ ，接着利用勾股定理的逆定理证得 ⊥ ，由此可得 ⊥平面 ；
(2)以 为坐标原点，建立空间直角坐标系，先求得所需各点坐标，再求得平面 与平面 的法向量，
从而利用向量夹角余弦的坐标表示即可求得平面 与平面 夹角的余弦值．
22.【答案】解：(1)由题知：2 = 2 5， = 5，
因为 ， 的坐标分别为(0, )，( 32 , 0)，
= 直线 的方程为 3 ，即 2 3 + 3 = 0，
2
原点 到直线 |3 | 3 13的距离 = = ，
4 2+9 13
解得 2 = 1， 2 = 2 2 = 5 1 = 4，
所以双曲线的方程为
2
4
2 = 1．
(2)由(1)知 点坐标为(0,1)，
设直线 为 = ( + 32 )， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
= ( + 32 )
由 得(1 4 2) 2 12 2 (9 2 2 + 4) = 0， 24 = 1
因直线 与双曲线有两个交点，所以 1 4 2 ≠ 0， = 16 28 2 > 0，即 2 7 2 77 < < 7 且 ≠±
1，
2
(9 2+4) 12 2
所以 1 2 = ， ，1 4 2 1 + 2 = 1 4 2
2
1 + 2 = ( 1 + 2 + 3) = (
12 3
，
1 4 2 + 3) = 1 4 2
要使得△ 成以 为顶点的等腰三角形，则| | = | |，
( 1+ 2 , 1+
2
取 中点 ，点 坐标为 22 2 ) (
6 3
，即 ，
1 4 2 , 2 8 2 )
3
1 1 = =
2 8 2 1 2 1
6 2 ，即 =
3 (2 8 )
2 ，解得 = 8或 = 2(舍)， 2×6
1 4 2
又当斜率为 0时也成立，
= 0 = 1所以直线 的方程为 或 8 +
3
16．
【解析】本题考查双曲线的方程，直线与双曲线的相交问题，解题中需要一定的计算能力，属于中档题．
(1)由题知，2 = 2 5，解得 ，写出直线 的方程，再由点到直线距离公式得原点 到直线 的距离 =
|3 | = 3 13，解得 22 13 ，
2，进而写出双曲线的方程．
4 +9
(2)由(1)知 点坐标为(0,1) 3，设直线 为 = ( + 2 )， ( 1, 1)， ( 2, 2)，联立直线 与双曲线的方程，由
韦达定理可得 1 2， 1 + 2， 1 + 2，要使得△ 成以 为顶点的等腰三角形，取 中点 ，写出点
1
坐标，由 = 解得 ，进而可得直线 的方程．