2022-2023学年湖北省宜昌市英杰学校高二下学期期末考试数学试题（PDF版含解析）

2022-2023学年湖北省宜昌市英杰学校高二下学期期末考试
数学试卷
第 I 卷（选择题）
一、单选题（本大题共 8 小题，共 40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1. 已知等比数列 中， 4 = 2，则 1 2 7 =( )
A. 8 B. 14 C. 128 D. 256
2. 已知函数 = 3 2 ′ 1 ，则 ′ 1 的值为 ( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 2
3. 若随机变量 X~B(10,0.6),则 D(2X-1)=（ ）
A. 4.8 B. 2.4 C. 9.6 D. 8.6
4. 已知(2 1)2024 = 0 + 1 + 2 2 + + 20242024 ，则 1 + 2 + 3 + + 2024 =( )
A. 1 B. 0 C. 32024 D. 1
5. 记 ， ， ， 为 1，2，3，4的任意一种排列，则使得( + )( + )为偶数的排列种数为( )
A. 8 B. 12 C. 16 D. 18
6. (1 )(2 + )8 的展开式中
3 5的系数为 ( )
A. 672 B. 112 C. 672 D. 112
7. 曲线 ( ) = ln 在点(1,0)处的切线 与抛物线 = 2 相切，则 =( )
A. 13 B.
1 1
4 C. 2 D.
2
3
8. 已知有编号为 1，2，3的三个盒子，其中 1号盒子内装有两个 1号球，一个 2号球和一个 3号球; 2
号盒子内装有两个 1号球，一个 3号球; 3 号盒子内装有三个 2号球，两个 3号球.若第一次先从 1号盒
子内随机抽取一个球，将取出的球放入与球同编号的盒子中，第二次从该盒子中任取一个球，则在两
次取球编号不同的条件下( )
A. 第二次取到 1号球的概率最大 B. 第二次取到 2号球的概率最大
C. 第二次取到 3号球的概率最大 D. 第二次取到 1，2，3号球的概率都相同
二、多选题（本大题共 4 小题，共 20 分。在每小题有多项符合题目要求）
9. 3已知随机变量 的分布列如表，若 ( ≤ 0) = 4，则( )
1 0 1
1
2
A. = 14 B. =
1 1 1
4 C. ( ) = 4 D. ( ) = 4
10. 已知数列{ }的前 项和 满足 = 2 + 11 + ( , ∈ , ∈ )，则下列说法正确的是 ( )
A. = 0 是{ }为等差数列的充要条件
B. { }可能为等比数列
C. 若 > 0， ∈ ，则{ }为递增数列
D. 若 = 1，则 中， 5， 6最大
11. 以下几种说法正确的是( )
A. 回归分析中，决定系数 2的值越大，说明残差平方和越大
B. 对于相关系数 ，| |越接近 1，相关程度越大，| |越接近 0，相关程度越小
C. 由一组样本数据( 1, 1), ( 2, 2), , ( , )得到的回归直线方程为 = + ，那么直线 = +
必经过点( , )
D. 2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合
12. 定义域为 的函数 ( )的导数为 ′( )，若 (1) = 1，且 0 < ′( ) < ( )，则 ( )
A. ( 12 ) >
1
2 B. (2) < 2
C. 2 ( 12 ) > (
1
4 ) D. (
1 2
2 ) (2) <
第 II 卷（非选择题）
三、填空题（本大题共 4 小题，共 20 分）
13. 函数 ( ) = 4 2 1 在[ 1,0)上的最小值为 ．
1 14. 在 的展开式中第 4项和第 5项的二项式系数最大，则 = ．
15. 设等比数列{ }的前 项和为 8 ，若 = 6，则
16
4
= ．
4
16. 已知数列{ }的前 项和为 ，且 = 2 + ， ∈ ，则 = ； 10的值为 ．
四、解答题（本大题共 6 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. (本小题 10.0分)
已知等差数列{ }满足 1 = 2， 3 = 8，数列{ }的前 项和 满足 3 = 2 2．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式;
(2)求数列{ }的前 项和 .
18. (本小题 12.0分)
已知函数 ( ) = 3 3 2 + 6( > 0)．
(1)若 = 1 是 ( )的极值点，求 ;
(2)当 > 2 时， ( ) > 0 在区间[ 1,1]上恒成立，求 的取值范围．
19. (本小题 12.0分)
世界卫生组织建议成人每周进行 2.5至 5小时的中等强度运动.已知 社区有 20%的居民每周运动总时
间超过 5小时， 社区有 30%的居民每周运动总时间超过 5小时， 社区有 50%的居民每周运动总时间
超过 5小时，且 ， ， 三个社区的居民人数之比为 3: 3: 4．
(1)从这三个社区中随机各选取 1名居民，求至少有 1名居民每周运动总时间超过 5小时的概率;
(2)从这三个社区中随机抽取 1名居民，求该居民每周运动总时间超过 5小时的概率;
(3)假设这三个社区每名居民每周运动总时间为随机变量 (单位：小时)，且 ∽ (4, 2)，现从这三个社
区中随机选取 1名居民，求该居民每周运动总时间为 3至 5小时的概率．
20. (本小题 12.0分)
设数列 的前 项和为 , 1 = 3.数列 + 3 为等比数列，且 1, 3, 4 2 1成等差数列．
(1)求数列 的通项公式；
(2) ≤ ( 1)

若 ≤ ，求 的最小值．
21. (本小题 12.0分)
湘潭是伟人故里，生态宜居之城，市民幸福感与日倶增．某机构为了解市民对幸福感满意度，随机抽
取了 120位市民进行调查，其结果如下：回答“满意”的“工薪族”人数是 40人，回答“不满意”的
“工薪族”人数是 30人，回答“满意”的“非工薪族”人数是 40人，回答“不满意”的“非工薪族”
人数是 10人．
(1)请根据以上数据填写下面 2 × 2列联表，并依据 = 0.01的独立性检验，分析能否认为市民对于幸
福感满意度与是否为工薪族有关联？
满意 不满意 合计
工薪族
非工薪族
合计
(2)用上述调查所得到的满意度频率估计概率，机构欲随机抽取部分市民做进一步调查．规定：抽样的
次数不超过 ( ∈ )，若随机抽取的市民属于不满意群体，则抽样结束；若随机抽取的市民属于满意
群体，则继续抽样，直到抽到不满意市民或抽样次数达到 时，抽样结束．记此时抽样次数为 ．
①若 = 5，求 5的分布列和数学期望；
②请写出 的数学期望的表达式(不需证明)，根据你的理解说明 的数学期望的实际意义．
附：
0.050 0.010 0.005
0 3.841 6.635 7.879
( )2
参考公式： 2 = ( + )( + )( + )( + )，其中 = + + + ．
22. (本小题 12.0分)
设函数 ( ) = ln + 1 + ( , ∈ )．
(1)讨论 ( )的单调性;
(2)若函数 ( )有两个零点 1， 2，求证： 1 + 2 + 2 > 2 1 2．
答案和解析
1.【答案】
【解析】已知等比数列 中， 4 = 2，则 1 2 7 = 47 = 128．
2.【答案】
【解析】因为 = 3 2 ′ 1 ，所以 ′ = 3 2 2 ′ 1 ，
所以 ′ 1 = 3 2 ′ 1 ，解得 ′ 1 = 1．故选 B．
3.【答案】C
【解析】因为 X~B(10,0.6),所以 D(X)=10×0.6×0.4=2.4,所以 D(2X-1)=4D(X)=4×2.4= 9.6.故选 C.
4.【答案】
【解析】令 = 0，得 20240 = ( 1) = 1.令 = 1，得 0 + 1 + 2 + + 2024 = 1，
所以 1 + 2 + 3 + + 2024 = 0．
5.【答案】
【解析】因为只有(1 + 3) × (2 + 4)为偶数，所以使得( + )( + )为偶数的排列种数为
1 22 2 22 = 8.故选 A．
6.【答案】
【解析】因为(2 + )8的展开式的通项为 = (2 )8

+1 8 = 828 8 ，所以(1 )(2 + )
8的展开
式中 3 5的系数为 5823 4248 = 672．故选 A．
7.【答案】
( ) = 1【解析】由 ′ ，则 ′(1) = 1，
因为 (1) = 0，切线 的方程为 = 1，
= 2
联立方程 = 1 ,
消去 后整理为 2 + 1 = 0，
有 = 1 4 (1 ) = 4 2 4 + 1 = (2 1)2 = 0 = 1，得 2．故选 C．
8.【答案】
1 1 1
【解析】两次取球编号不同的条件下，第二次取到 1号球的概率 1 = 4 × 2 = 8 ;
1 1 1 1 1
两次取球编号不同的条件下，第二次取到 2号球的概率 2 = 2 × 4 + 4 × 2 = 4 ;
1 1 1 1 3
两次取球编号不同的条件下，第二次取到 3号球的概率 3 = 2 × 4 + 4 × 4 = 16．
故两次取球编号不同的条件下，第二次取到 2号球的概率最大．
9.【答案】
【解析】由题意得：
( ≤ 0) = 1 32+ = 4
1 ，
2+ + = 1
1 1
解得 = 4， = 4，故 AB 均正确；
( ) = 1 × 12 + 0 ×
1
4 + 1 ×
1
4 =
1
4，故 C 正确；
( ) = ( 1 + 1 )2 × 1 + (0 + 1 )24 2 4 ×
1
4+ (1 +
1 2 1 11
4 ) × 4 = 16，故 D 错误．故选： ．
10.【答案】
【解析】 = 2 + 11 + ， 1 = 1 = + + 11;
当 ≥ 2时， = 1 = 2 + 11 + ( 1)2 11( 1) = 2 + 11 ，
当 = 0 时， 1 = + 11，满足通项公式 = 2 + 11 ，数列为等差数列;
当{ }为等差数列时， 1 = 2 + 11 = 11 + + ， = 0，故 A 正确;
当 = = 0 时， = 11，是等比数列，B 正确;
2 = 3 + 11，取 = 2 ，则 2 = 1，C 错误;
当 = 1时，从第二项开始，数列递减，且 = 2 + 12，故 6 = 0，故 5， 6最大，D 正确．故选：
11.【答案】
【解析】在回归分析中，决定系数 2越大，残差平方和越小，回归效果就越好，A 错误；
在回归分析中，相关指数的绝对值越接近于 1，相关程度就越大，B 正确；
回归直线 = + 必经过样本中心点 , ，C 正确；
2是用来判断两个分类变量是否有关系的随机变量，只对于两个分类变量适合，D 正确．故选 BCD．
12.【答案】
【解析】因为 0 < ′( ) < ( )， (1) = 1，
所以 ′( ) ( ) < 0，
′
设 ( ) = ( ) ，则 ( ) =
( ) ( )
′ < 0
，
( ) = ( )所以 在 上是单调递减函数，
(1) (1) 1 1 1 1
则 21 > = ( ) > >
2
，所以 2 1 2，故 A 正确; 2
(2) < (1) = 1 2 ，所以 (2) < ，无法得到 (2) < 2，故 B 错误;
( 12) (
1
4) 1
1 > ，所以 (
1 ) < ( 1 14 ) < 2 ( )，故 C 正确;
2
1
4 4 2 2
( 1 ) > 1由(2) 1 2知无法判断 (2) < 2，即有可能 (2) 2，此时，由于 2 1，则 ( ) (2) > ，故 D 错误． 2 2
故选 AC．
13.【答案】3
’( ) = 8 + 1 = 8
3+1
【解析】 2 2 ，令 ’( ) = 0 ，得 =
1
2，
当 1 ≤ < 12 时， ’( ) < 0;
1
当 2 < < 0时， ′( ) > 0，
( ) [ 1, 1在 2 )
1
上单调递减，在 ( 2 , 0)
1
上单调递增，所以 ( )的最小值为 ( 2 ) = 3.
14.【答案】7
【解析】若展开式中第 4项与第 5项二项式系数最大，即 3 = 4 ，则 = 7．故答案为：7．
15.【答案】156
【解析】法一：设等比数列{ }的公比为 ，显然 ≠ 1.
8 1 8因为 =
4
1 4 = 1 + = 6，所以
4 = 5，
4
16 = 1
16
所以 1 4 = (1 +
4)(1 + 8) = 6 × (1 + 52) = 156．
4
法二：设 4 = ，则 8 = 6 .因为{ }为等比数列，所以 4， 8 4， 12 8， 16 12仍成等

比数列.因为 8 4 = 5，所以 12 8 = 25 ， 16 12 = 125 ，所以
16
4 16
= 156 ，即 = 156．4
16.【答案】 2 + 1
2036
【解析】由 = 2 + ， ∈ ，
得当 = 1 时，
1 = 1 = 2 1 + 1，所以 1 = 1；
当 ≥ 2时， 1 = 2 1 + 1，
两式相减，得 = 2 + 2 1 + 1，
即 = 2 1 1，即 1 = 2( 1 1)，
且 1 1 = 2，
所以{ 1}是以 2为首项，2为公比的等比数列，
所以 1 = 2 × 2 1，即 = 2 + 1，
所以 10 = 1 + 2 + … + 10
= (2 + 22 + … + 210) + 10
．
17.【答案】(1)因为{ }为等差数列，且满足 1 = 2， 3 = 8，
则 = 3 13 1 = 3，所以 = 3 1．
又数列{ }满足 3 = 2 2，则 = 1时，3 1 = 2 1 2 1 = 2．
≥ 2时，3 1 = 2 1 2，两式相减可得 3 = 2 2 1，即 = 2 1( ≥ 2)，
所以{ }是以 2为首项， 2为公比的等比数列，所以 = ( 2) ．
(2)由(1)可得 = (3 1) ( 2) ，
所以 = 2 × ( 2) + 5 × ( 2)2 + 8 × ( 2)3 + + (3 4) × ( 2) 1 + (3 1) × ( 2) ，
2 = 2 × ( 2)2 + 5 × ( 2)3 + 8 × ( 2)4 + + (3 4) × ( 2) + (3 1) × ( 2) +1，
两式相减可得 3 = 2 × ( 2) + 3 × [( 2)2 + ( 2)3 + + ( 2) ] (3 1) × ( 2) +1，.
2
3 = 4 + 3 × ( 2) ×[1 ( 2)
1]
所以 (3 1) × ( 2) +1 = 3 ( 2) +1 1 ( 2) ，
所以 +1 = ( 2) ．
18.【答案】(1)因为 ( ) = 3 3 2 + 6，所以 ′( ) = 3 2 6 ．
因为 = 1 是 ( )的极值点，所以 ′(1) = 3 6 = 0，解得 = 2．
当 = 2 时， ′( ) = 6 2 6 = 6 ( 1)．
令 ′( ) > 0，得 ∈ ( ∞,0) ∪ (1, + ∞);令 ′( ) < 0，得 ∈ (0,1)．
所以 ( )在( ∞,0)，(1, + ∞)上单调递增，在(0,1)上单调递减，
故 = 1 是 ( )的极小值点．
综上， = 2．
(2)因为 ( ) = 3 3 2 + 6，所以 ′( ) = 3 2 6 ．
令 ′( ) < 0 2 2，得 0 < < ，令 ′( ) > 0，得 < 0 或 > ，
2 2
所以 ( )的单调递减区间为(0, )，单调递增区间为( ∞,0)，( , + ∞).
2
当 > 2 时，0 < < 1，
所以 ( )在( 1,0) 2 2上单调递增，在(0, )上单调递减，在( , 1)上单调递增．
( 1) = + 3 > 0
因为 ( ) > 0 在区间[ 1,1]上恒成立，所以 ( 2 ) =
4
2 + 6 > 0
解得 6 < < 3.又因为 > 2，所以 2 < < 3，故 的取值范围是(2,3)．3
19.【答案】(1)设从 ， ， 三个社区中各选取的 1名居民的每周运动总时间超过 5小时分别为事件 ， ，
，
( ) = 1则 5， ( ) =
3
10， ( ) =
1
2．
设选取的 3名居民中至少有 1名居民每周运动总时间超过 5小时为事件 ，则事件 的对立事件为选取的 3
名居民每周运动总时间都没有超过 5小时，
所以 ( ) = 1 ( ) = 1 (1 15 )(1
3
10 )(1
1 ) = 182 25，
18
故选取的 3名居民中至少有 1名居民每周运动总时间超过 5小时的概率为25．
(2)设 ， ， 三个社区的居民人数分别为 3 ，3 ，4 ，
则 社区每周运动总时间超过 5小时的人数为 3 × 20% = 0.6 ，
社区每周运动总时间超过 5小时的人数为 3 × 30% = 0.9 ，
社区每周运动总时间超过 5小时的人数为 4 × 50% = 2 ，
0.6 +0.9 +2
所以 = 3 +3 +4 = 0.35，
故从这 3个社区中随机抽取 1名居民且每周运动总时间超过 5小时的概率 = 0.35．
(3)因为 ∽ (4, 2)，所以 ( > 4) = 0.5．
因为 ( > 5) = 0.35，所以 (4 < < 5) = 0.5 0.35 = 0.15，
所以 (3 < < 5) = 2 (4 < < 5) = 0.3．
20.【答案】(1)由题意得：
设数列 + 3 的公比为 ( ≠ 0)，由 1 = 3，得 1 + 3 = 6，
所以 + 3 = 6 × 1，即 = 6 × 1 3，
因为 1, 3, 4 2 1成等差数列
所以 2 3 = 1 + 2 34 2 1，即 12 × 6 = 6 × 6，解得 = 2，或 = 0(舍去)
所以 = 6 × 2 1 3．
(2)由 = 6 × 2 1 3，当 ≥ 2时， 1 = 6 × 2 2 3，
两式相减得， = 3 × 2 1，对 = 1也成立，
所以 = 3 × 2 1，
= ( 1)

设 = ( 1)
6×2 1 3 1
， 3×2 1
= ( 1) 2 2 1
当 1为奇数时， = 2+ 2 1为递减数列，所以 2 < ≤ 1
当 1 3为偶数时， = 2 2 1为递增数列，所以2 ≤ < 2，
故 3 ∈ ( 2, 1] ∪ [ 2 , 2)，
( 1)

而 ，故 = 2， = 2，
所以 的最小值为 4．
【解析】本题考查等比数列的通项公式，等差数列的性质，数列的函数特征，数列的通项公式，属于中档
题．
(1)设数列 + 3 的公比为 ( ≠ 0)，根据题意得出， = 6 × 1 3，由 1, 3, 4 2 1成等差数列得出
2 3 = 1 + 4 2 1，代入，可求得 的值，即可求解．

(2) ( 1) 1利用数列的递推关系得出数列设 = 3 × 2 1，设

= = ( 1)
(2 2 1 )，分类讨论当 为奇
数时和当 为偶数时两种请况 的取值范围，即可求解．
21.【答案】(1)由题意可得，2 × 2列联表为：
满意 不满意 合计
工薪族 40 30 70
非工薪族 40 10 50
合计 80 40 120
120×(40×10 30×40)2 2 = 4880×40×70×50 = 7 ≈ 6.857 > 6.635，
根据 = 0.01的独立性检验，认为市民对幸福感的满意度与是否为工薪族有关，此推断犯错误的概率不大
于 0.01；
(2)①当 = 5时， 5的取值为 1，2，3，4，5．
由(1) 2 1可知市民的满意度和不满意度的概率分别为3和3，
所以 ( 5 = 1) =
1
3， ( 5 = 2) =
2
3 ×
1 2
3 = 9，
( 5 = 3) = (
2
3 )
2 × 13 =
4
27，
( = 4) = ( 2 )3 × 15 3 3 =
8
81，
( 2 4 165 = 5) = ( 3 ) = 81，
所以 5的分布列为：
5 1 2 3 4 5
1 2 4 8 16
3 9 27 81 81
1 2 4
所以 ( 5) = 1 × 3 + 2 × 9 + 3 × 27 + 4 ×
8 + 5 × 16 = 21181 81 81；
②由上可得 ( ) = 1 ×
1 2 1
3 + 2 × 3 × 3+ . . . + ( 1)(
2 ) 2 × 13 3 + × (
2 ) 13
= 13 [1 × (
2 )0 + 2 × ( 2 )13 3 + 3 × (
2 2
3 ) + . . . + ( 1)(
2 ) 2] + × ( 2 ) 13 3 ，
= 1 × ( 2令 3 )
0 + 2 × ( 23 )
1 + 3 × ( 2 23 ) + . . . + ( 1)(
2 2
3 ) ，①，
∴ 23 = 1 × (
2 1 2 2
3 ) + 2 × ( 3 ) + 3 × (
2 3
3 ) + . . . + ( 1)(
2 1
3 ) ，②，
① 1②得，3 = (
2
3 )
0 + ( 23 )
1 + ( 2 )2 + . . . + ( 2 ) 23 3 ( 1)(
2 1 2 1
3 ) = 3 ( + 2) × ( 3 ) ，
∴ ( ) = 3 2 × ( 2 ) 1 3 ，
当 趋向于正无穷大时 ( )趋向于 3，可以理解为平均每抽取 3个人，就会有一个不满意的市民．
【解析】本题考查独立性检验，离散型随机变量的分布列和数学期望，错位相减求和，是较难题．
(1)根据题意，补全列联表，根据公式计算出 2的值即可得到答案；
(2)①当 = 5时， 5的取值为 1，2，3，4，5，利用独立事件的乘法公式计算分别求出对应的概率，即可
得分布列与期望；
②结合①可得到 的数学期望，利用错位相减法化简即可．
22. (1) ′( ) = 1 1 =
2 1
【答案】
2 2 ( > 0)，
设 ( ) = 2 1( > 0)，
①当 0时， ( ) < 0， ′( ) < 0， ( )在(0, +∞)上单调递减；
②当 > 0 时，由 ( ) = 0 得 = 1+ 1+4 或 = 1 1+4 2 2 < 0，
记 = 1+ 1+4 ，2 = 0
则 ( ) = 2 1
1 1+ 4
= ( 0)( 2 ), ( > 0),
因 1 1+4 > 0，2
所以当 ∈ (0, 0)时， ( ) < 0, ′( ) < 0，
当 ∈ ( 0, + ∞)时， ( ) > 0, ′( ) > 0，
则 ( )在(0, 1+ 1+4 )上单调递减，在( 1+ 1+4 2 2 , + ∞)上单调递增，
综上，当 0时， ( )在(0, +∞)上单调递减；
当 > 0 时， ( )在(0, 1+ 1+4 )上单调递减，在2 (
1+ 1+4 上单调递增；
2 , + ∞)
1 1
(2)不妨设 1 < 2，由已知得 ( 1) = 0， ( 2) = 0，即 1 = ln 1 ， 2 = ln 2 ，1 2
( 2 1) = ln 2 ln 1 (
1

1
)，2 1
∴ = ln 2 ln 1 +
1
，2 1 2 1
要证 1 + 2 + 2 > 2
ln ln
1 2，即要证 1 + 2 + 2 > 2(
ln 2 ln 1 1
+ ) 1 2，只需证 1 + > 2
2 1
2
2 1 2 1 2

1
1 2，

只需证 2
2 12
> 2ln
2 2，即要证
1 > 2ln 2
1 2 1 1 2
，
1
2
设 = ，则 > 1，只需证
1
> 2 ，1
设 ( ) = 1 2ln ( > 1)，只需证 ( ) > 0，
1 2 2 2∵ ′( ) = 1 + 2 =
2 +1 ( 1)
，
2 = 2 > 0
∴ ( )在(1, +∞)上单调递增，
∴ ( ) > (1) = 0，得证．
【解析】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，属较难题．
2
(1)求出 ′( ) = 1 1 = 12 2 ( > 0)，分 0和 > 0 讨论函数 ( )的单调性；
(2)由 ( ) = 0和 ( ) = 0，得出 = 2 1 1

1 2 + ，要证 1 + 2 + 2 > 2 1
2 1 2
2转化为要证 > 2 ，2 1 2 1 1 2 1
2 1
令 = ，构造函数设 ( ) = 2 ( > 1)，利用导数研究函数的单调性可证得结论．1