2023 年春达州市普通高中二年级期末质量监测
文科数学参考答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再得分。
3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题不给中间分。
一．选择题：1．A 2．C 3．B 4．A 5．B 6．A
7．D 8．C 9．C 10．C 11．D 12．B
12．【提示】∵ an 3an 1 2 an 1 ，∴ an 1 3an 1 2 an 1 1 ．∵ an 0，∴ ( an 1)( an 1)
(3 an 1 1)( an 1 1) ，∴ an 1与 an 1 1同号，即所有 an 1都同号．∴当 a1 e时，
an 1 0 ．∴ an an 1 3an 1 2 an 1 an 1 2 an 1 ( an 1 1) 0 ，即 an an 1，∴A 错误．
1 1 3a 1 1 3a 1 1 3a
由 an 3a 2 a a
n n 1 n
n 1 n 1 得 n 1 ．∴ | an 2 a3 n 1
|
3 3
an 1 a n
| a a
| a a | n 1 n
|
n 1 n ，即 3 | an 2 an 1 | | an 1 a | ，∴1 3a nn 1 1 3an 3
B 正确．
B a 1 a 1 S 2 22由 解答知，当 1 时， 2 ， 2 ，∴C 错误．
若0 a 41 ≤ ，则 D 错误．9
注:此题可用特殊值法分别排除 ACD 选项.
二．填空题：13． 1 14． 4 15． 2 6 16． ( ， 2]
三．解答题：
17．解：(1)∵0 A π ，0 B π ，0 C π ， A 4 B C π ， cos A ，
5
∴ sin A 3 ．………………………………………………………………………………………………1 分
5
∴ sin B sin 2A 2sin Acos A 24 ，cos B cos 2A 2cos 2 A 1 7 ．……………………4 分
25 25
所以 cosC cos(B 44 A) sin Bsin A cos Bcos A ．………………………………………6 分
125
a b 5b
(2)由正弦定理得 3 24 ，∴ a ①．………………………………………………………………8 分8
5 25
高二数学（文）答案 第 1页（共 3 页）
{#{QQABJYCUggAIABIAAQACQwUQCEAQkgCCAKgGAEAQsEIByQFABAA=}#}
又 sinC 1 cos
2C 1 ( 44 )2 117 ABC 468 1 ，△ 的面积为 ，∴ ab 117 468 ，即
125 125 25 2 125 25
ab 40 ②．………………………………………………………………………………………………10 分
由①②得，a 5 ，b 8，即 a b 13．……………………………………………………………12 分
18．解：(1)由题意可得选考物理和政治的人数的情况的 2 2列联表：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
………………2 分
没选考物理的人数 70 10 80
合计 150 50 200
K 2 k 200 (80 10 40 70)
2
的观测值 11.11 10.828 ．………………………………………4 分
120 80 150 50
所以可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为选择物理与选择政治有关．……………………6 分
(2)选出的两人可能为甲乙、甲丙、甲 A、甲 B、乙丙、乙 A、乙 B、丙 A、丙 B、AB 共 10 种，这两
人中选考物理和政治的各一人的有甲 A、甲 B、乙 A、乙 B、丙 A、丙 B 共 6 种． ………………9 分
设事件M 表示“两人中选考物理和政治的各一人”，则
P(M ) 6 3 ．
10 5
3
所以这两人中选考物理和政治的各一人的概率为 ．…………………………………………………12 分
5
19．(1)证明： 底面 ABCD是菱形，∴ AD=DC．
又 PA=PC，PD=PD，∴△PDA≌△PDC．
PD AD，∴PD DC ．……………………………………2 分 P
∵ AD DC D， AD 面ABCD，CD 面ABCD
∴ PD 面ABCD．…………………………………………………3 分
∵ AC 面ABCD，∴ PD AC E．………………………………4 分
∵底面 ABCD是菱形，∴ AC BD． D C
∵ PD BD D，∴ AC 面PBD．……………………………5 分
E为 PB中点，DE 面PBD A B，
所以 AC DE． …………………………………………………………………………………………6 分
(2)解：连接 BD，由(1)知 PD 平面ABCD． ………………………………………………………7 分
∵底面 ABCD是边长为 2 的菱形，∴ AD AB 2 ． ………………………………………………8 分
π
∵ BAD ， E为 PB中点， PD=2，∴三棱锥 P ADE的体积
3
VP ADE V
1 1 1 1 1 3 3
B ADE VP ABD S△ABD PD 2 2 2 ．………………12 分2 2 3 6 2 2 3
20．解：(1)∵ A(9， 6) 是 y2 2px(p 0) 上的点，
∴62 2 9 p，解得 p 2 ．……………………………………………………………………………2 分
E y2所以 的标准方程为 4x．…………………………………………………………………………4 分
(2)设 B(x1，y1)．
高二数学（文）答案 第 2页（共 3 页）
{#{QQABJYCUggAIABIAAQACQwUQCEAQkgCCAKgGAEAQsEIByQFABAA=}#}
| AF | 5 x p∵ ，∴ 0 x0 1 5，∴ x0 4，∴ y0 4． ………………………………………6 分2
E y2 4 4∵ ： 4x的焦点为 F (1， 0) ，∴直线 AF 的斜率 k ，直线 AF 即 AB的方程为 y (x 1) ，
3 3
AB 3即 的方程为 x y 1．……………………………………………………………………………8 分
4
将 x 3 y 1代入 y2 4x 2并化简得 y 3y 4 0 ．………………………………………………9 分
4
∴ 4 y1 3 ，∴ y1 1． ……………………………………………………………………………10 分
| AF | | y |
所以 0 4．…………………………………………………………………………………12 分
| BF | | y1 |
1 1
21 x 2 x 2 x．解：(1)由 f (x) axe ，g(x) f (x) x x 得，g(x) axe x x ，∴ g (x) (x 1)(ae 1) .
2 2
………………………………………………………………………………………………………………1 分
当 a e x时，由 ae 1 0得， x ln a 1， g (x)≥0， g(x) 单调递增，没有极大值．……2 分
当0 a e 时， ln a 1．若 x 1，或 x ln a，则 g (x) 0，g(x) 单调递增；若 1 x ln a，
则 g (x) 0，g(x)
a 1 3
单调递减．因 g ( 1) 0 ，所以 x 1是 g(x) 的极大值点．∴ g( 1) ，
e 2 2
解得 a e，舍．…………………………………………………………………………………………4 分
当 e≤ a≤0 x时，ae 1 0 ．若 x 1，则 g (x) 0，g(x) 单调递增；若 x 1，则 g (x) 0，
g(x) 单调递减．因 g ( 1) 0
a 1 3
，所以 x 1是 g(x) 的极大值点．∴ g( 1) ，解得
e 2 2
a e．
所以 a e．………………………………………………………………………………………………6 分
(2)由 f (x) axe x 得 f (x) a(x 1)e x．
当 a 0时， f (x)=0 ， f (x)+1≥0 在[ 2，2]上恒成立．……………………………………………7 分
当 a 0时，若 2≤ x 1， f (x) 0 ， f (x) 单调递减；若 1 x≤2 ， f (x) 0， f (x) 单调
递增．∵ f ( 1) 0 ，∴ f (x) a amin f ( 1) ，∴1 ≥0 ，解得0
当 a 0 时，若 2≤ x 1， f (x) 0， f (x) 单调递增；若 1 x≤2 ， f (x) 0 ， f (x) 单调
f ( 2a 2) 0 f (2)=2ae2 0 2 2 1递减．∵ 2 ， ，∴ f (x)min 2ae ，∴ 2ae +1≥0 ，解得 2 ≤ a<0．e 2e
……………………………………………………………………………………………………………11 分
1
终上所述， a的取值范围是[ 2 ，e] ． ……………………………………………………………12 分2e
x 3 t cos ，
22．解：(1)由 l过点 P(3 ， 1)且倾斜角为 ，得 l的参数方程为 (t为参数)．…………2 分
y 1 t sin
C 2 2 2 2 2 2 2的方程 (x 3) y 4 可化为 x y 6x 5 0，将 x y = ， x cos 代入这个方程
得C 2的极坐标方程为 6 cos 5 0 ． …………………………………………………………5 分
高二数学（文）答案 第 3页（共 3 页）
{#{QQABJYCUggAIABIAAQACQwUQCEAQkgCCAKgGAEAQsEIByQFABAA=}#}
x 3 t cos ，
(2) l 2 2 2将直线 的参数方程 代入 (x 3) y 4 ，整理得 t +2t sin 3 0 ．……6 分
y 1 t sin
设方程 A，B两点对应的参数分别为 t1， t2 ，则 t1+t2 = 2sin ， t1t2 3．……………………7 分
1 1 PA + PB | t1 t2 | (t
2 2
= = 1
t2 ) 4t1t2 4sin 12 2 3
∴ ≥ ，等号在 0 时
PA PB PA PB | t1t2 | | t1t2 | 3 3
成立． ………………………………………………………………………………………………………9 分
1 1 2 3
故 的最小值为 ．………………………………………………………………………10 分
PA PB 3
23．解：(1) f (x)=2 x 1 2x 1 = 2x 2 2x 1 ≥ (2x 2) (2x 1) 3 ，当且仅当 (x 1)(2x 1)
≤0 1，即 ≤ x≤1时取等号． ………………………………………………………………………4 分
2
所以 k=3．…………………………………………………………………………………………………5 分
(2)由3a+2b+c=k ，得3a+2b+c=3， …………………………………………………………………6 分
2 2 2 2 2 2
由柯西不等式有 (a +b +c )(3 2 1 )≥(3a+2b+c)2 9 a2 +b2 +c2 9，得 ≥ ，当且仅当
14
a b c 9 3 3
，且3a+2b+c=3，即 a= ，b= ，c= 时取等号． ………………………………9 分
3 2 1 14 7 14
2
所以 a +b2 +c2 9的最小值为 ． ………………………………………………………………………10 分
14
高二数学（文）答案 第 4页（共 3 页）
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数学试题（文科）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题
时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {0，1，2}， B {x | (x 1)(x 2)≤ 0}，则 A B
A． B．[ 2， 1] C．[ 2， 2] D．{ 2， 1， 0， 1， 2}
2．复数 z 2 bi(b R，b 0) ，则 z z 的虚部是
A．bi B． b2 C．0 D． b2
3．某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：
身高范围(单位：cm) [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195]
学生人数 5 40 40 10 5
根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是
A．165 B．167 C．170 D． 173
4．已知 cos(x π ) 4 ，则 sin 2x
4 5
7 8 9 16
A． B． C． D．
25 25 25 25
5． f (x) 是定义域为R 的奇函数， f (x 4) f (x) ， f (1)=3，则 f (43)=
A．3 B． 3 C．6 D． 0
x2 y2
6．已知双曲线 1(a 0, b 0)的离心率为2 ，则它的渐近线方程为
a2 b2
2
A． y= 3x B． y= 2x C． y= x D． y= x
2
1
a ln 1 b e8 c sin 17．设 ， ， ，则
8 8
A．b a c B． c a b C． c b a D．b c a
高二数学（文）试卷第 1页（共 4 页）
{#{QQABJYCUggAIABIAAQACQwUQCEAQkgCCAKgGAEAQsEIByQFABAA=}#}
8．已知1，a1，a2 ，a3 成等差数列( a1，a2 ，a3 都是正数)，若其中的3项按一定的顺序成
等比数列，则这样的等比数列个数为
A．3 B． 4 C．5 D．6
9．已知棱长为 2 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 满足CP CD CC1 ，其中
[0，1]， [0，1]．当 B1P∥平面 A1BD 时， B1P 的最小值为
A．1 B． 2 C． 3 D． 2
π
10．如图，函数 f (x) sin( x )( 0， | | ) 的图象交坐标轴于点 B ，C ，D ，直
2
y
线 BC 与曲线 y f (x)
1
的另一交点为 A．若C( ， 0) ， A
2
△ABD 的重心为G(1， 0) ，则 C D
O x
A．函数 f (x) 在[3,4]上单调递减
B．直线 x 4 B是函数 f (x) 图象的一条对称轴
C． cos BAD 7
14
D．将 y cos 2 x 1的图象向左平移 个单位长度，得到 f (x) 的图象
3 4
11 x
2 y2
．椭圆 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：
a2 b2
1(a 0, b 0, a b)
x2 y2 a2 b2 ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆 (x 4)2 (y 3)2 r 2(r 0) 上总
y2
存在点 P ，使得过点 P 能作椭圆 x2 1的两条相互垂直的切线，则 r 的取值范围是
3
A． (1， 9) B．[1， 9] C． (3， 7) D．[3， 7]
12．设 Sn 是正项数列{an}的前 n 项和， an 3an 1 2 an 1 (n N*) ，则
A．如果 a1 e，那么 an an 1
B． 3 | an 2 an 1 | | an 1 an |
C 2．如果 a1 1，那么 Sn n
D． S
4n
n 9
高二数学（文）试卷第 2页（共 4 页）
{#{QQABJYCUggAIABIAAQACQwUQCEAQkgCCAKgGAEAQsEIByQFABAA=}#}
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．平面向量a ，b 满足a = ( 1， 2)，b = (2， 3) ，则a (a b) ．
x≤ 2，
14 ．如果 x ， y 满足 y≥ 1，，则 2y x 的最小值为 ．
x y≥0
15．某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为 4cm的正四面体（所有棱长都相等的
三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，
则该圆柱形容器内壁高的最小值为 cm．
16 A x．已知 是曲线 y e 上的点，B 是曲线 y ln x 上的点，| AB |≥a 恒成立，则实数a 的
取值范围是 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据
要求作答．
(一)必考题：共 60 分．
17．(12 分)
在△ABC 中，角 A ， B ，C 的对边分别为 a ，b ， c ， B 2A， cos A 4 ．
5
(1)求 cos B 和 cosC 的值；
(2)若△ABC 468的面积为 ，求 a b 的值．
25
18．(12 分)
某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、
历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机
选出 200 人，对其选科情况进行统计，选考物理的占 60%，选考政治的占 75%，物理和政
治都选的有 80 人．
(1)完成选考物理和政治的人数的 2 2 列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过
0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合 计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合 计
(2) 若甲、乙、丙三人选考的是物理、化学和生物，A，B 两人选考的是历史、地理和
政治，从这 5 人中随机选出 2 人，求这两人中选考物理和政治的各一人的概率.
附 参考数据和公式：
P(K 2 ≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
K 2 = n(ad bc)
2
，其中n=a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
高二数学（文）试卷第 3页（共 4 页）
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19．(12 分)
已知四棱锥 P ABCD ，底面 ABCD 是边长为 2 的菱形， P
π
且 BAD ， PA=PC ， PD AD ， E 为 PB 中点．
3
E
(1)证明： AC DE ；
(2)若 PD=2，求三棱锥 P ADE
D C
的体积．
A B
20．(12 分)
已知 A(x0，y0 )(y
2
0 0) 是抛物线 E ： y 2 px( p 0) 上的点．当 x0 9 时， y0 6 ．
(1)求 E 的标准方程；
| AF |
(2) F 是 E 的焦点，直线 AF 与 E 的另一交点为 B ， | AF | 5，求 的值．
| BF |
21．(12 分)
已知函数 f (x) axe x(a R) ．
(1)若 | a |≤e 1 2 3，函数 g(x) f (x) x x 的极大值为 ，求 a 的值；
2 2
(2)若 f (x)+1≥0 在[ 2，2]上恒成立，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
2 2
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的方程为 (x 3) y 4，直线 l 过点 P(3 ， 1) 且
倾斜角为 ．以坐标原点O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线 l的参数方程(用 P 点坐标与 表示)和曲线C 的极坐标方程；
(2)设直线 l与曲线C 交于 A， B 1 1两点，求 的最小值．
PA PB
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f (x)=2 x 1 2x 1 ，函数 f (x) 的最小值为 k ．
(1)求 k 的值；
(2)已知 a，b，c 均为正数，且3a+2b+c=k a2 2，求 +b +c2 的最小值．
高二数学（文）试卷第 4页（共 4 页）
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