达州市 2023 年普通高中二年级春季期末监测
数学试题（理科）
注意事项：
1.答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案
标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题
时，将答案写在答题卡上，写在本试卷无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
一、选择题：本题共 12 小题，每小题 5分，共 60 分．在每小题给出的四个选项
中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合 A {0，1，2}， B {x | (x 1)(x 2)≤ 0}，则 A B
A． B．[ 2， 1] C．[ 2， 2] D．{ 2， 1， 0， 1， 2}
2．复数 z 2 bi(b R，b 0) ，则 z z 的虚部是
A bi B b2． ． C．0 D． b2
3．某地区高三学生参加体检，现随机抽取了部分学生的身高，得到下列频数分布表：
身高范围(单位：cm) [145,155) [155,165) [165,175) [175,185) [185,195]
学生人数 5 40 40 10 5
根据表格，估计该地区高三学生的平均身高是
A．165 B．167 C．170 D． 173
π 4
4．已知 cos(x ) ，则 sin 2x
4 5
7 8 9 16
A． B． C． D．
25 25 25 25
5． (1 2x+ x2 )3 的展开式中， x3的系数为
A． 20 B． 20 C． 15 D． 15
6．某市 2023 年中考体育考试要求考生必须在篮球、足球、排球这三个项目中选择一个项目
考试．如果这三个项目该市一初三寝室的四名同学都有人选，则这四名同学所有可能选
择的方案数为
A．72 B．36 C．18 D． 24
x2 27 y．已知 F1 ， F2 分别是双曲线C ： 1(a 0，b 0) 的左、右焦点，直线 x c 与
a2 b2
C 的一个交点为 P ， | PF1 | 3 | PF2 |，则C 的离心率为
A． 5 B．2 C． 2 D． 3
高二数学（理）试卷第 1页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}
8．桌上放着 4 张卡片，每张卡片的一面写着一个大写或小写字母，另一面写着一个 0 到 9
的整数数字，小明只能看到卡片的一面.下面的 4 张卡片，要判断命题“卡片的一面是大
写字母，这张卡片的另一面是奇数”为真，小明至少翻开的卡片是
a B 3 6
① ② ③ ④
A．①② B．②③ C．②④ D．③④
9．已知△ABC 中，角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c ．若 BA AC 4 ，△ABC 的
b2ccos Acos C bc2 cos Bcos A
面积为 2 3 ，则
a(sin A cos A)
A． 3 1 B． 3 1 C． 4 3 4 D． 4 3 4
10．在棱长为 1 的正方体 ABCD A1B1C1D1 中，点 P 满足CP CD CC1 ， [0，1]，
[0，1] B P π．在满足条件的 P 中随机取一点， 1 与 AD 所成角小于等于 的概率为4
1 2 π
A． B． C． D．
2 3 3 4
2 2
11 x y．椭圆 1(a 0, b 0, a b) 任意两条相互垂直的切线的交点轨迹为圆：
a2 b2
x2 y2 a2 b2 ，这个圆称为椭圆的蒙日圆．在圆 (x 4)2 (y 3)2 r 2(r 0) 上总
y2
存在点 P ，使得过点 P 能作椭圆 x2 1的两条相互垂直的切线，则 r 的取值范围是
3
A． (1， 9) B．[1， 9] C． (3， 7) D．[3， 7]
k cos(b x)
12．设 an 表示集合{1， 2， 3， ，n}的子集个数，bn log a
i
2 n ， fk (x) ，
i 1 ai
其中 k N *．给出下列命题：
7 π
①当 k=1时， ( ，0) 是函数 f1(2x )的一个对称中心；8 4
f (2x π π π②当 k=1时，函数 1 )在[ ， ]上单调递增；4 4 4
f (x) [ 3 3③函数 2 的值域是 ，] ；8 4
④对任意的实数 x ，任意的正整数 k ， fk (x) 1恒成立．
其中是真命题的为
A．①③ B．②④ C．①③④ D．②③④
高二数学（理）试卷第 2页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}
二、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20 分．
13．已知向量a，b满足a = (3， 1)，b = (1，k)，(a b) a ，则 k = ．
14．曲线 y x3 ln(x 1)在点 (2， 8)处的切线方程是 ．
15．某玩具厂计划设计一款玩具，准备将一个棱长为 4cm的正四面体（所有棱长都相等的
三棱锥）密封在一个圆柱形容器内，并且这个正四面体在该圆柱形容器内可以任意转动，
则该圆柱形容器内壁高的最小值为 cm．
16．已知 x1， x2 是函数 f (x) | log2 x | m(m R) 的两个零点，且 x1 x2 2x1 ，记
a 2( x1 4)( x2 1) b (x 1)2( x1 4)， 2 ， c (x1 4)
2( x2 1) ，用“<”把 a ，b ， c 连接起
来 ．
三、解答题：共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第 17～21
题为必考题，每个试题考生都必须作答．第 22、23 题为选考题，考生根据
要求作答．
(一)必考题：共 60 分．
17．(12 分)
已知等差数列{an}前五项和为 15，等比数列{bn}的前三项积为 8，且 a1 b1 1．
(1)求{an}和{bn}的通项公式；
(2)设 cn =anbn ，求数列{cn}的前 n 项和 Sn ．
18．(12 分)
某地区新高考要求语文、数学和英语是考生的必考科目，考生还要从物理、化学、生物、
历史、地理和政治六个科目中选取三个科目作为选考科目．现从该地区已选科的学生中随机
选出 200 人，对其选科情况进行统计，选考物理的人占 60%，选考政治的人占 75%，物理
和政治都选的有 80 人．
(1)完成选考物理和政治的人数的 2 2 列联表，并判断是否可以在犯错误概率不超过
0.1%的前提下，认为考生选考物理与选考政治有关？
选考政治的人数 没选考政治的人数 合 计
选考物理的人数
没选考物理的人数
合 计
(2)在该地区已选科的考生中随机选出 3 人，这 3 人中物理和政治都选了的考生的人数
为 X ，视频率为概率，求 X 的分布列和数学期望．
附 参考数据和公式：
P(K 2 ≥ k0) 0.15 0.10 0.05 0.025 0.010 0.005 0.001
k0 2.072 2.706 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828
2
K 2 = n(ad bc) ，其中n=a b c d ．
(a b)(c d )(a c)(b d )
高二数学（理）试卷第 3页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}
19．(12 分)
已知四棱锥 P ABCD 的底面 ABCD 是边长为 2 的菱形，
P
且 BAD π ， PA=PC ， PD AD ， E 为 PB 中点．
3
(1)求证： AC DE ； E
PB 2
D C
(2)若 与底面 ABCD所成角的正弦值为 ，
2
A B
求二面角 P AE D 的余弦值．
20．(12 分)
2
已知抛物线 E ： y 2 px( p 0) 上任意一点 M 到焦点 F 的距离比 M 到 y 轴的距离
大 1．
(1)求 E 的标准方程；
(2) l1 l2 F ，l1 l2 ，l1交 E 于 A，C 两点，l2 交 E 于 B，D 两点．求四边形 ABCD
的面积的最小值．
21．(12 分)
已知函数 f (x) 2ln x ax(a R) ， g(x) xf (x)．
(1)求函数 f (x) 的单调区间；
(2) 2若函数 g(x) 存在极大值点 x0 ，且 g(x0 ) e ，求 a 的取值范围．
（二）选考题：共 10 分．请考生在第 22、23 题中任选一题作答，如果多做，则
按所做的第一题计分．
22．[选修 4-4：坐标系与参数方程](10 分)
在平面直角坐标系 xOy 中，曲线C 的方程为 (x 3)2 y2 4 ，直线 l 过点 P(3 ， 1) 且
倾斜角为 ．以坐标原点O为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系．
(1)写出直线 l的参数方程(用 P 点坐标与 表示)和曲线C 的极坐标方程；
1 1
(2)设直线 l与曲线C 交于 A， B 两点，求 的最小值．
PA PB
23．[选修 4-5：不等式选讲](10 分)
已知函数 f (x)=2 x 1 2x 1 ，函数 f (x) 的最小值为 k ．
(1)求 k 的值；
(2)已知 a，b，c 均为正数，且3a+2b+c=k a2 +b2 +c2，求 的最小值．
高二数学（理）试卷第 4页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}2023 年春达州市普通高中二年级期末质量监测
理科数学参考答案及评分参考
评分说明：
1．本解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解答与本解答不同，可根据试题的主要考查内
容比照评分参考制定相应的评分细则。
2．对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，
可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如果后继部分的解答
有较严重的错误，就不再得分。
3．解答右端所注分数，表示该生正确做到这一步应该得的累加分数。
4．只给整数分数。选择题不给中间分。
一．选择题：1．A 2．C 3．B 4．A 5．B 6．B
7．C 8．C 9．D 10．D 11．D 12．C
二．填空题：13． 7 14．13x y 18 0 15．2 6 16． c a b
三．解答题：
17．解：(1)由等差数列{an}前五项和为 15，得a1+a2 +a3 +a4 +a5 =5a3 =15 ，所以 a3 =3．……………1 分
又 a1=1，所以{an}公差为 1，……………………………………………………………………………2 分
所以 an=n． ………………………………………………………………………………………………3 分
由等比数列{bn}的前三项积为 8，得b b b b
3
1 2 3 2 =8，得b2 =2 ． ……………………………………4 分
又b1 1，所以{bn}公比为 2，……………………………………………………………………………5 分
所以b n 1n 2 ．……………………………………………………………………………………………6 分
(2)cn=anbn=n 2
n 1
，………………………………………………………………………………………7 分
Sn=1 2
0 +2 21+3 22 + +n 2 n 1 ，…………………………………………………………………8 分
1 2 3
则 2Sn=1 2 +2 2 +3 2 + +n 2
n
， ………………………………………………………………9 分
作差得 Sn=1+2+2
2 + +2n 1 n 2n ，………………………………………………………………10 分
所以 S nn=(n 1) 2 1．…………………………………………………………………………………12 分
18．解：(1)由题意可得选考物理和政治的情况的 2 2列联表：
选考政治的人数 没选考政治的人数 合计
选考物理的人数 80 40 120
没选考物理的人数 70 10 80
………………2 分
合计 150 50 200
K 2 k 200 (80 10 40 70)
2
的观测值 11.11 10.828 ．………………………………………4 分
120 80 150 50
所以可以在犯错误概率不超过 0.1%的前提下，认为选择物理与选择政治有关．……………………6 分
高二数学（理）答案第 1页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}
2
(2)物理和政治都选的概率为 ， X 的取值可以是 0，1，2，3． ……………………………………8 分
5
X 2～B(3， ) ， X 的分布列为
5
X 0 1 2 3
27 54 36 8
P ………………………………………………10 分
125 125 125 125
X 的期望为 E(X ) 3 2 6 ．………………………………………………………………………12 分
5 5
19．解：(1) 底面 ABCD是菱形，∴ AD=DC．
又 PA=PC，PD=PD，∴△PDA≌△PDC． P z
PD AD，∴PD DC ． ……………………………………2 分
∵ AD DC D， AD 面ABCD，CD 面ABCD
∴ PD 面ABCD．…………………………………………………3 分 E
∵ AC 面ABCD，∴ PD AC ．………………………………4 分 D C
∵底面 ABCD是菱形，∴ AC BD． x O
∵ PD BD D，∴ AC 面PBD．……………………………5 分 A B y
E为 PB中点，DE 面PBD，
所以 AC DE．…………………………………………………………………………………………6 分
（2）连接 BD交 AC于O，连接OE．
因 ABCD 是边长为 2 的菱形， BAD ，所以 BD=2， AC=2 3 ．
3
PB ABCD 2 π∵因 与底面 所成角的正弦值为 ，PD 面ABCD，∴ PBD ，PD 2．…7 分
2 4
又 E为 PB中点，O为BD中点，则 PD∥OE，∴则OE 平面ABCD．以O为坐标原点，以OA，
OB，OE方向分别为 x轴， y轴， z轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系Oxyz．
则 A( 3，0，0)，D(0，-1，0) ， E(0，0，1)， P(0，-1，2) ．
∴ AE ( 3，0，1) ， AP ( 3， 1，2) ， AD ( 3， 1，0)．
设平面 PAE的一个法向量为m (x，y，z) ，
{m A E 0， { 3 x z 0，由 得 ，令 x=1，得m (1，3，3)． …………………10 分
m AP 0 3 x y 2 z 0
同理可得平面 AED的一个法向量为n (1，- 3，3)．……………………………………………11 分
m n 1
所以 cos m，n ， 因二面角 P AE D的平面角为锐角，所以二面角 P AE D的
m n 7
1
余弦值为 ． …………………………………………………………………………12 分
7
20 p．解：(1)由题意知 F ( ，0) ． ……………………………………………………………………………1 分2
设横坐标为 xM ，由M 到焦点 F 的距离比M 到 y轴的距离大 1，得
高二数学（理）答案第 2页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}
MF =x pM + xM +1，∴ p 2 ． ……………………………………………………………………3 分2
2
所以抛物线的标准方程为 y 4x． ……………………………………………………………………4 分
(2)由题意知 F (1，0) ，直线 l1，l2 斜率均存在且不为 0，设直线 l1的方程 y k (x 1) ，
将 y k (x 1) 代入 y2 4x得 k 2x2 (2k 2 4)x k 2 0 ．
4
设 A(x1，y1)，C(x2，y2 ) ，则 x1+x2 =2+ 2 ，x1x2 =1 ， ……………………………………………6 分k
∴ AC =x1+x +p 4+
4
2 2 ， ……………………………………………………………………………7 分k
l 1 2∵ 1 l2 ，∴ l2 的方程 y (x 1)，同理可得 BD 4+4k ． …………………………………9 分k
ABCD S 1 AC BD 1 (4+ 4 )(4+4k 2)=8(k 2+ 1 +2) ≥32 2 1四边形 的面积 2 2 ，当且仅当 k =2 2 k k k 2
即 k= 1时，等号成立．…………………………………………………………………………………11 分
所以四边形 ABCD的面积的最小值为 32．……………………………………………………………12 分
21 2 2 ax．解：(1) f (x) 2ln x ax ，知 x 0 ， f (x) a ．……………………………………1 分
x x
当 a≤0时， f (x) 0， f (x) 为单调递增函数． ……………………………………………………2 分
当 a 0 x 2时，若 (0， ) ，则 f (x) 0 f (x) 2 ， 为单调递增函数，若 x ( ，+ ) ，则 f (x) 0，f (x)
a a
为单调递减函数． …………………………………………………………………………………………4 分
综上所述，当 a≤0时， f (x) 的单调递增区间是 (0，+ )，无单调递减区间；当 a 0 时， f (x) 的单
2 2
调递增区间是 (0， ) ，单调递减区间是 ( ，+ ) ． ……………………………………………………5 分
a a
(2) g(x) xf (x)=2x ln x ax 2 ，∴ x 0 ， g'(x) 2(ln x ax 1) ． …………………………6 分
令 g'(x) 0，得 ln x=ax 1，结合 y ln x和 y ax 1函数图象知，当 a≤0时，存在 x0 使得
g'(x0 )=0 ，且 x (0，x0) ，则 g'(x) 0，g(x) 为单调递减函数，x (x0，+ ) 时，则 g'(x) 0，g(x)
为单调递增函数， x0 为极小值点，不符合题意． ……………………………………………………8 分
当 a 0时， y ln x在 x 1处的切线是 y x 1， y ax 1恒过 (0， 1) ，函数 g(x) 存在极大值
点 x0 ，即直线 y ax 1与曲线 y ln x有两个交点，其中 x0 为位于第一象限交点的横坐标，所以
0
1
．………………………………………………………………………9 分
x0
∵ ln x0 ax0 1
2 2
，∴ ax0 = ln x0 +1．由 g(x0 ) e ，得 2x0 ln x0 ax0 e
2 x ln x x e2，∴ 0 0 0 ．由
2
(x) x ln x x (1，+ ) (e2 )= e2 x e2 a= ln x0 1 ln e 1于 在 上单调递增，且 ，∴ 0 ，∴ x0 x0
3 1
．…………………………………………………………………………………………………10 分
x0 x0
高二数学（理）答案第 3页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}
h(x)= ln x 1(x e2) h'(x)= ln x构造 ，∵ 2 ，∴当 x (e
2，+ ) 时， h'(x)<0 ， h(x) 单调递减，故
x x
a 3 h(e2 ) 2 ．…………………………………………………………………………………………11 分e
3
所以实数 a的取值范围是 (0，2 ) ． ……………………………………………………………………12 分e
x 3 t cos ，
22．解：(1)由 l过点 P(3 ， 1)且倾斜角为 ，得 l的参数方程为 (t为参数)．…………2 分
y 1 t sin
C的方程 (x 3)2 y2 4 x2 y2可化为 6x 5 0，将 x2 y2 = 2 ， x cos 代入这个方程
得C 2的极坐标方程为 6 cos 5 0 ． …………………………………………………………5 分
x 3 t cos ，
(2) 2 2 2将直线 l的参数方程 代入 (x 3) y 4 ，整理得 t +2t sin 3 0 ．……6 分
y 1 t sin
设方程 A，B两点对应的参数分别为 t1， t2 ，则 t1+t2 = 2sin ， t1t2 3．……………………7 分
1 1 PA + PB | t t | (t t )2 4t t 4sin 2 12 2 3
∴ = = 1 2 1 2 1 2 ≥ ，等号在 0 时
PA PB PA PB | t1t2 | | t1t2 | 3 3
成立． ………………………………………………………………………………………………………9 分
1 1 2 3
故 的最小值为 ．………………………………………………………………………10 分
PA PB 3
23．解：(1) f (x)=2 x 1 2x 1 = 2x 2 2x 1 ≥ (2x 2) (2x 1) 3 ，当且仅当 (x 1)(2x 1)
1
≤0，即 ≤ x≤1时取等号． ………………………………………………………………………4 分
2
所以 k=3．…………………………………………………………………………………………………5 分
(2)由3a+2b+c=k ，得3a+2b+c=3， …………………………………………………………………6 分
(a2 +b2 2由柯西不等式有 +c )(32 22 12 )≥(3a+2b+c)2 9 9 2 2 2，得 a +b +c ≥ ，当且仅当
14
a b c
，且3a+2b+c=3，即 a= 9 ，b= 3 c= 3， 时取等号． ………………………………9 分
3 2 1 14 7 14
a2 +b2 +c2 9所以 的最小值为 ． ………………………………………………………………………10 分
14
高二数学（理）答案第 4页（共 4 页）
{#{QQABJYCUogigAgAAAQBCQwFgCkMQkhECAIgGwFAUsEIByAFABAA=}#}