2022-2023 学年度武昌区高二年级期末质量检测
数学试卷
考试时间：2023 年 6 月 28 日 满分：150 分 考试用时：120 分钟
★祝考试顺利★
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动用橡皮擦干净后，再选涂其
他答案标号。回答非选择题时，用签字笔或钢笔将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题:本题共 8 个小题，每小题 5 分共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求
的。
数学试卷 第 1 页，共 4 页
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a = e0.02 1，b = 2(e0.018.已知 1)，c = sin0.01+ tan0.01则（ ）
A. a b c B. a c b C. a c b D. b c a
二、选择题:本题共 4 个小题，每小题 5 分，共 20分在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全
部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分
10.已知平面向量 a = (1，3)，b = ( 2，1)，则（ ）
( ) 1A. a = 10 B. 2a b ⊥b C. a与b夹角为锐角 D. a 在b上的投影为 b
5
三、填空题:本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分
数学试卷 第 2 页，共 4 页
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16.已知函数 f (x) = xe2x 1，x 0时，f (x) mx + ln x ，则实数 m 的范围是 .
四、解答题:本题共 6 小题，共 70 分解答应写出文字说明，证明过程及演算步骤
19.已知数列 an 的首项 a =1，且满足 an 1 + an = 3 2
n .
1
n
(1) 求证: an 2 是等比数列;
(2) 求数列 an 的前项和 S n
20.中国茶文化博大精深,饮茶深受大众喜爱,茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关。某数学建模小组为了获
得茶水温度 y℃关于时间 xmin 的回归方程模型，通过实验收集在 25℃室温，用同一温度的水冲泡的条件下，
茶水温度随时间变化的数据，并对数据做初步处理得到下面的散点图及一些统计量的值.
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数学试卷 第 4 页，共 4 页
{#{QQABDYIQogAoAAAAAAACQwVgCEAQkgGCCAgGwEAYsEIBiBFABAA=}#}武昌区 2022-2023 学年度高二年级期末质量检测
数学参考答案及评分细则
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 A B C B D D B A ABD ACD AC ACD
1．解析：选 A
2．解析：选 B
3．解析：设 年后该地的GDP会翻两番，则(1 + 6.5%) = 4，
× .
∴ = log . 4 = ≈ ≈ 22.故选 C. . .
4．解析：设圆锥的母线为 ，底面半径为 R .圆锥的侧面展开图为扇形，该扇形的半径为 ，
弧长为2 ，由已知可得， = 2 ，所以 = 2 .所以，圆锥的表面积 = + =
√ √
3 = ，所以 = = ，所以，这个圆锥的底面直径为2 = .故选 B.
5．解析：圆 : + = 4的圆心为O(0,0) ，半径 = 2，若直线 = + 与圆 交于 A，B
两点，且△ 为等边三角形，则圆心 到直线 = + 的距离 = √3，
| |
又由点到直线的距离公式可得 = √3，解得 = ±√6，故选 D.
√
6．解析：第一种策略：设每次购买这种物品的数量均为 ,则平均价格为 = ，
故 A 不正确；第二种策略：设每次购买这种物品所花的钱为 ，第一次能购得该物品的数量
为 ， 第二次能购得该物品的数量为 ，则平均价格为 = = ，B 错误；
( ) ( )
= = > 0 ，所以 > ，故选 D.
( ) ( )
7．解析： = sin + 2 + + 2 = sin + 2 cos + 2
= √2sin 2 + ，当2 ≤ 2 + ≤ 2 + , k ∈ Z，得 ≤ ≤ + ，k ∈
，则函数单调递增区间为 , + ，k ∈ Z，故选 B.
8．解析：因为a b e0.02
2
2e0.01 1 e0.01 1 0，所以 a b．
x 1
设 f (x) 2 e 1 sin x tan x，则 ( ) = 2ex cos x 2 ， cos x
2sin x
令 ( ) = ( )，则 g (x) 2ex sin x 3 ． cos x
π
2sin x 2sin 6 8 3
当 ∈ 0, 时，2e > 2，sin > 0， 2，
cos3 x πcos3 9
6
1 / 8
{#{QQABDYIQogAoAAAAAAACQwVgCEAQkgGCCAgGwEAYsEIBiBFABAA=}#}
所以 ( ) > 0，所以当 ∈ 0, 时， ( ) > (0) = 0，所以 ( )在 ∈ 0, 上单调递增，
从而 ( ) > (0) = 0，因此 (0.01) > 0，即 > ．综上可得 > > ．故选 A.
9．解析：对于方程 x2 y2 cos 1(0 ≤ ≤ π)，
当 = 0时， cos = 1，方程为 + = 1表示圆心在原点，半径为1的圆；
当 0< < 时，0 < cos < 1，此时方程 + = 1表示焦点在 轴的椭圆；
当 = 时， cos = 0，此时方程 = 1，即 = ±1，表示两条直线；
当 < ≤ π时， 1 ≤ cos < 0，此时方程 + cos = 1表示焦点在 轴的双曲线.
综上可得符合依题意的有 A、B、D.故选 ABD.
10．解析：A 选项，| | = √1 + 3 = √10，A 正确；B 选项，2 = (2,6) ( 2,1) = (4,5)，
故 2 = (4,5) ( 2,1) = 8 + 5 = 3 ≠ 0，故2a b与 不垂直，B 错误；
( , ) ( , )
C √选项， , = = = = > 0，故 与 的夹角为锐角，C 正确；
| | √ ×√ √
|( , ) ( , )|
D 选项， 在 上的投影向量为 = = ，D 正确.故选 ACD. √ √
11．解析：记事件 D：选取的这个人患了流感，记事件 E：此人来自 A 地区，记事件 F：此
人来自 B 地区，记事件 G：此人来自 C 地区，则 = ∪ ∪ ，且 , , 彼此互斥，
由题意可得 ( ) = = 0.25， ( ) = = 0.35， ( ) = = 0.4，
( | ) = 0.06， ( | ) = 0.05， ( | ) = 0.04，
A.由全概率公式可得 ( ) = ( ) ( | ) + ( ) ( | ) + ( ) ( | ) = 0.25 ×
0.06 + 0.35 × 0.05 + 0.4 × 0.04 = 0.0485；A 正确；
B. ( ) = = 0.25， ( | ) = 0.06，选自 A 地区且患流感的概率为 0.0150；B 错误；
( ) ( ) ( | ) . × .
C.由条件概率公式可得 ( | ) = = = = ，C 正确.
( ) ( ) .
D.从这三个地区中任意选取一个人患流感的概率为 0.0485，任意选取 100 个人，患流感的人
数设为 X，则 ~ (100,0.0485)，即 ( ) = 100 × 0.0485 = 4.85；D 错误.故选 AC.
12．解析：对于 A，由异面直线的定义知 A 正确；
对于 B，要求四面体 体积的最大值，则 ⊥面 且 ⊥ ，
此时四面体 体积的最大值 = △ = × × 2 × 2 × 2 = ，故 B 不正确；
对于 C，在平面 内过 A作 BD的平行线 AE，且使得 = ，连接 ， ，
四边形 是一个矩形，∠ 是二面角 的一个平面角，且 ⊥面 AEC，
所以 ED 面 AEC，从而 = √ = √ = √7 6 = √13.
在△ 中，由余弦定理可知：cos ∠ = = = ,
× × ×
所以 CAE .故 C 正确；对于 C 选项，还可以用向量的方法求解.
3
对于 D，在平面 内，过点 A作 AE平行且等于 BD，则四边形 ABDE为正方形，根据对称
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性，过 A、B、C、D的球即为四棱锥 C-ABDE的外接球.由题意知△ 为正三角形，设正
方形 ABDE的中心为 ，△ 的外心为 ，球心为 O，则 OO1⊥平面 ABDE，OO2⊥平面 AEC,
从而有 R2=32+(2√3)2，解得 R2=21，所以球的表面积为 = 4 = 84 . 故 D 正确.
另解：因为二面角 的大小为 ， = = = 6， ⊥ ， ⊥ ，所以平面
与平面 ABD所成角的大小为 ， ⊥ , ⊥ .
取 的中点 ， 的中点 ， ， 为△ ，△ 的外心，
取 的中点 ，连接 ， ，则 ⊥ ， ⊥ ,
所以∠ 是二面角 的一个平面角，则∠ = ，
过 作平面 的垂线和过 作平面 ABD的垂线，交于点 ， 即为外接球球心，
所以 ⊥面 ， ⊥面 ， 连接 ， = = 3 ，
所以易证得：△ 与△ 全等，所以∠ = ∠ = ，
√
所以在直角三角形 ， 3 0° = = = = √3，
= = + = √3 + 18 = √21，
则过 、 、 、 四点的球的表面积为 = 4 = 84 .故 D 正确.故选 ACD.
13．解析：对于(1 ) ，其展开式的通式为 ( ) = ( 1) ，
则展开式中含 项的系数为( 1) + ( 1) + ( 1) = 135，答案为：135.
14．解析：甲、乙两班全部学生的平均体重为 = × 55 + × 60 = 57；
甲、乙两队全部学生的体重方差为 = [16 + (57 55) ] + [21 + (57 60) ] = 24.
故答案为：24.
15．解析：点 的坐标为(1,2)，则 = 2，又 ⊥ ，且直线 过点 (1,2)，
则直线 的方程为 2 = ( 1)，整理得2y x 5 0，
设点 ( , )， ( , )，由 ⊥ ，得 = 0，即 + = 0，
∵直线 的方程为 = 5 2 ，
∴ + = (5 2 )(5 2 ) + = 5 10( + ) + 25 = 0，
∴ 2( + ) + 5 = 0 ①，
联立 = 5 2 与 = 2 ( > 0)，消去 得 + 4 10 = 0，
+ = 4
则 ②，把②代入①，解得 = ，
= 10
故| | = ( + ) 4 = √100 + 100 = 10√2，
又直线 与 轴的交点为(5,0)，所以 △ = × 5 × | | = 25√2.答案为：25√2.
16．解析：由题可得 ( ) ≥ + ln 对任意 x (0, )恒成立，等价于 ≤ 对任
意 x (0, )恒成立，令 ( ) = ，则 ( ) = ，
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令 ( ) = 2 + ln ，则 ( ) = 4( + ) + > 0， h x 在(0, +∞)单调递增，
√
∵ = 2 2 < 0, = ln 2 > 0，
h x 存在唯一零点 ，且 ∈ ， ，使得2 e + ln = 0，
x e2x0 ln x 1
∴ ( )在 0， 单调递减，在 x0 , 单调递增， g(x)min g x0 0 0 ， x0
∵ 2 + ln = 0，即2 = = ln = e ，
令 ( ) = ，显然 ( )在(0, +∞)单调递增，则2 = ，即 = ，
则 ( ) = = = 2，∴ ≤ 2.
17.解析:（1）连接 ，在上底面过点 作直线 ⊥ 即可，则 ⊥ .
理由： ∵ ⊥平面 ，且 平面 ， ∴ ⊥
又∵ ⊥ ， ∩ = ，∴ ⊥平面 ，
∵ 平面 ，∴ ⊥ . ……………………………………（5 分）
（2）以 为坐标原点， 、 、DD1所在直线分别为 轴， 轴， 轴，建立如图所示空间
直角坐标系，设正方体的棱长为 2，则 (0,2,0)， ( , , 2) ∴ = ( , , 2).
又 (2,0,1)， (2,2,2)， (0,0,2)，则 = (0,2,1)， = ( 2,0,1).
= 0，
设平面 的一个法向量为 = ( , , ),则
= 0,
2 + = 0,
∴ ∴ = (1, 1,2).
2 + = 0,
设 与平面 所成角为 ，则 = , = = ，
| | √
∴ 与平面 所成角的正切值为4 2 . ……………………………………（10 分）
18. 解析：（1）若选①：整理得1 tan tan = √3(tan + tan )，因为 + + = ，
所以 √tan = tan(A + C) = = ，因为 ∈ (0, )，所以 = ；
若选②：因为(2c-√3 )cos = √3 cos ，由正弦定理得(2sinC-√3sinA)cosB=√3sinBcosA
则 √2 = √3 ( + ) = √3sin ，sinC>0，则 cosB= ，因为 ∈ (0, )，所以 = ；
若选③：由正弦定理得 √ + = √3 ，所以 = ，
即 cosB √= ，因为 ∈ (0, )，所以 = . ……………………………………（6 分）
（2）将 = + 1代入正弦定理 = ，得 = ，所以 sinC= .
sinC
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因为 = ，角 的解只有一个，所以角 的解也只有一个，所以0 < sinC < 或sin =1，
即0 < < 或 =1，又 > 0，所以b = 1. ……………………………………（12 分）
19. 解析：（1）由题意，数列{ }满足 + = 3 2 ，即 = + 3 2 ，
则 = = = 1，又由 = 1，可得 2 = 1，
所以数列{ 2 }表示首项为 1，公比为 1的等比数. …………………（4 分）
（2）由（1）知 2 = 1 × ( 1) = ( 1) ，所以 = ( 1) + 2 .
所以 = 2 + 2 + + 2 + ( 1) + 1 + + ( 1) ，
( )
当 为偶数时，可得 = + 0 = 2 2；
( )
当 为奇数时，可得 = 1 = 2 3.
2 2, 为偶数,
综上可得， = ……………………………………（12 分）
2 3, 为奇数.
20. 解析：（1）根据散点图判断，其变化趋势不是线性的，而是曲线的，因此，选② =
+ 25更适宜此散点的回归方程. ……………………………………（2 分）
（2）由 = + 25有： 25 = ，两边取自然对数得：
ln( 25) = ln( ) = + ，设 = ( 25)， = ， = ，
则l ( 25) = + ln 化为： = + ，又 = 3，∑ ( ) = 28，
∑ ( )( ) .
∴ = = = 0.08，∴ = = 3.85 + 0.08 × 3 = 4.09，
∑ ( )
由 = 0.08 = ，得 = e-0.08 0.92 ，由 = 4.09＝ ln ，得 = . 60 .
∴回归方程为： = + 25 = . . + 25 = . . + 25= 60 0.92x 25 ，
即 = 60 × 0.92 + 25. ……………………………………（8 分）
（3）当 = 60时，代入回归方程 y 60 0.92x 25 中，得 0.92x= ，
所以 = log . = = ≈ 7.5. . .
∴大约需要放置 7.5 分钟才能达到最佳饮用口感. ………………………………（12 分）
= 3,
21. 解析：（1）由题意， = , 解得 = 4， = 3，
= ,
x2 y2
所以椭圆的方程为 1． ………………………………………（4 分）
4 3
（2）由（1）得 ( 1,0)，若直线 的斜率为 0，则 为 = 1与直线 = 1无交点，不满足
条件．
设直线 ： = 1，若 = 0，则 = 1，则不满足 = ，所以 ≠ 0．
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{#{QQABDYIQogAoAAAAAAACQwVgCEAQkgGCCAgGwEAYsEIBiBFABAA=}#}
设 ( , )， ( , )， ( , )，
3 + 4 = 12，
由 得(3 + 4) 6 9 = 0，所以 + = ， = ．
= 1，
= ， ( 1 , ) = ( + 1, )，
因为 即
= ， ( , ) = ( , )，
所以 = ， y1 y0 y2 y0 ，
所以 = = ，解得 = = ，则 = 4，即Q 4, ，
= 1，
直线 ： = 1，联立 解得 (1, 2 ).
= 1，
∴ √ √| | = 5 + + 2 ≥ 5，当且仅当 = 或 = 时等号成立，
∴ PQ 的最小值为 5． ……………………………………（12 分）
1
22.解析:（1）由 f (x) a sin x x (x 1)，则 ( ) = cos 1 ，
x 1 ( )
因为 0 为 ( )的一个极值点，所以 (0) = 2 = 0，所以 = 2．
当 = 2时， ( ) = 2cos 1 .
( )
当 1 < < 0时，因为函数 ( )在 1，0 上单调递增，
所以 ( ) < 2 1 1 = 0，即 ( )在 1，0 上单调递减；
当0 < < 时， ( ) = 2cos 1 ，则 ( ) = 2sin + .
( ) ( )
因为函数 ( )在 0, 上单调递减，且 g 0 2 0， = 2 + < 0，
由零点存在定理，存在 ∈ 0, ，使得 ( ) = 0，
且当 ∈ (0, )时， ( ) > 0，即 ( )单调递增，
又因为 (0) = 0，所以 ∈ (0, )， ( ) > 0， ( )在(0, )上单调递增；.
综上所述， ( )在( 1,0)上单调递减，在(0, )上单调递增，
所以 0 为 ( )的一个极值点，故 = 2. ……………………………………（4 分）
（2）①当 1 < ≤ 0时， ( ) ≤ 2 1 1 = 0，所以 ( )单调递减，
所以对 ∈ 1，0），有 ( ) ≥ (0) = 1，此时函数 ( )无零点；
当0 < < 时，设 ( ) = 2 1 ，则 ( ) = 2 + .
( ) ( )
因为函数 ( )在 0, 上单调递减，且 g 0 2 0， = 2 + < 0，
由零点存在定理，存在 ∈ 0, ，使得 ( ) = 0，
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{#{QQABDYIQogAoAAAAAAACQwVgCEAQkgGCCAgGwEAYsEIBiBFABAA=}#}
且当 ∈ (0, )时， ( ) > 0，即 ( )单调递增，
当 ∈ , 时， ( ) < 0，即 ( )单调递减．
又因为 (0) = 0，所以 ∈ (0, )， ( ) > 0， ( )在(0, )上单调递增；
因为 ( ) > 0， = 1 < 0，所以存在 ∈ , ，
当 ∈ ( , )时， ( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ , 时， ( ) < 0， ( )单调递减．
所以，当 ∈ (0, )时， ( )单调递增， ( ) > (0) = 1；
当 ∈ , 时， ( )单调递减， ( ) > = 2 + > 0，
此时 ( )在 0, 上无零点；
当 ∈ , 时， ( ) = 2cos 1 < 0，所以 ( )在 , 单减，
( )
又 > 0， ( ) = 0 + < 0，
由零点存在定理，函数 ( )在 , 上存在唯一零点；
当 ≥ 时， ( ) = 2sin + < 2 + 1 < 0，此时函数无零点；
综上所述， ( )在区间 1, 上存在唯一零点． ………………………………（8 分）
②因为 = √2 1 > 0，由（1）中 ( )在 0, 上的单调性分析，知 > ，
π
所以 ( )在 0, 单增，所以对 ∈ 0, ，有 ( ) > (0) = 1，
4
即2 + > 1，所以 sinx> + 1 ．
令 = ( ≥ 2)，则 sin > + > > = ，
所以∑ sin > = .
1
设 ( ) = sin ， x 0, ，则 ( ) = 1 < 0，
4
1
所以函数 ( ) = sin 在 x 0, 上单调递减， 4
1
则 ( ) = sin < (0) = 0，即 < ， x 0, ，
4
1 1 1 1 1
所以 sin ，
k 2 k 2 (k 1)k k 1 k
n
1 1 1 1 1 1 1所以 sin 1 1 12 ，
k 2 k 2 2 3 n 1 n n
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1 1 n 1
所以 sin 12 . ……………………………………（12 分） 2 n 1 k 2 k
8 / 8
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