10.4线段的垂直平分线 同步练习题（含答案） 鲁教版（五四制）七年级数学下册

鲁教版（五四学制）七年级数学下册《10.4线段的垂直平分线》
同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图△ABC中，∠B＝70°，DE是AC的垂直平分线，且∠BAD：∠BAC＝1：3，则∠C的度数为（　　）
A．48° B． C．46° D．44°
2．如图，AC＝AD，BC＝BD，则（　　）
A．CD垂直平分AD B．AB垂直平分CD
C．CD平分∠ACB D．以上结论均不对
3．到△ABC三个顶点距离相等的点是△ABC的（　　）
A．三条角平分线的交点 B．三条中线的交点
C．三条高的交点 D．三条垂直平分线的交点
4．如图，△ABC中∠A＝56°，PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，则∠BPC的度数为（　　）
A．124° B．112° C．108° D．118°
5．如图，已知AD是△ABC的角平分线，CE⊥AD，垂足O，CE交AB于E，则下列命题：①AE＝AC，②CO＝OE，③∠AEO＝∠ACO，④∠B＝∠ECB．其中正确的是（　　）
A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④
6．如图，在△ABC中，直线ED垂直平分线段BC，分别交BC、AB于点D点E，若BD＝3，△AEC的周长为20，则△ABC的周长为（　　）
A．23 B．26 C．28 D．30
7．如图，在△ABC中，∠BAC＝100°，∠C＝48°，DE为AB边的中垂线，E在BC边上，连接AE，则∠EAC的大小为（　　）
A．58° B．68° C．74° D．78°
8．如图，P为△ABC内一点，过点P的线段MN分别交AB、BC于点M、N，且M、N分别在PA、PC的中垂线上．若∠ABC＝98°，则∠APC的度数为（　　）
A．134° B．135° C．137° D．139°
9．如图：DE是△ABC中AC边的垂直平分线，若BC＝8厘米，AB＝10厘米，则△EBC的周长为（　　）厘米．
A．16 B．18 C．26 D．28
10．如图，在△ABC中，∠ABC＝∠C，AB＝8，AB的垂直平分线DE交AB于点D，交AC于点E，△BEC的周长为13，则BC＝（　　）
A．5 B．6 C．7 D．8
11．如图所示，在△ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分线DE交BC的延长线于E，交AC于F，连接BF，∠A＝50°，AB+BC＝16cm，则△BCF的周长和∠EFC分别等于（　　）
A．16cm，40° B．8cm，50° C．16cm，50° D．8cm，40°
12．若三角形两边中垂线的交点在三角形的一边上，则这个三角形为（　　）
A．钝角三角形 B．直角三角形 C．锐角三角形 D．等腰三角形
二．填空题
13．如图，在△ABC中，点E为AC的中点，DE⊥AC，若BC＝8，AD＝3，则BD＝　 　．
14．已知：如图，在△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，线段AB的垂直平分线交AB于点D，交AC于点，连接BE，则∠CBE＝　 　．
15．如图，△ABC中，AB＝AC，∠A＝36°，AB的中垂线DE交AC于D，交AB于E，下述结论：（1）BD平分∠ABC；（2）AD＝BD＝BC；（3）△BDC的周长等于AB+BC；（4）D是AC中点．其中正确的命题序号是　 　．
16．如图，△ABC中，D是AB的中点，DE⊥AB，∠ACE+∠BCE＝180°，EF⊥AC交AC于F，AC＝12，BC＝8，则AF＝　 　．
17．如图，在△ABC中，∠A＝120°，DE垂直平分BC，交AC于点D，交BC于点E，连接BD，若BD平分∠ABC，则∠CDE的度数为　 　．
18．如图，若△ACD的周长为7cm，DE为AB边的垂直平分线，则AC+BC＝　 　cm．
19．如图，已知：∠BAC的平分线与BC的垂直平分线相交于点D，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E、F，AB＝6，AC＝3，则BE＝　 　．
20．如图，AD和EF分别是△ABC中BC与AB垂直平分线，且BE+CE＝20cm，则AB＝　 　．
21．如图，△ABC中∠C＝90°，AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，且EC＝DE，则∠B的度数为　 　．
三．解答题
22．如图，在△ABC中，AD垂直平分BC，E是AB边上一点，连接ED，F是ED延长线上一点，连接CF，若BC平分∠ACF，求证：BE＝CF．
23．如图，△ABC中，DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，△ABD的周长为13cm，求△ABC的周长．
24．如图，AB＝AC，∠A＝40°，AB的垂直平分线MN交AC于点D，求∠DBC的度数．
25．如图，在△ABC中，CD平分∠ACB，BC的垂直平分线交CD于点E，交BC于点F，连接BE．若∠ACB＝52°，∠ABE＝42°，求∠A的度数．
26．如图，在△ABC中，DM、EN分别垂直平分AC和BC，交AB于M、N，
（1）若△CMN的周长为21cm，求AB的长；
（2）若∠MCN＝50°，求∠ACB的度数．
参考答案
一．选择题
1．解：设∠BAD＝x，则∠BAC＝3x，
∴∠DAC＝2x，
∵DE是AC的垂直平分线，
∴DA＝DC，
∴∠DAC＝∠C＝2x，
则70°+3x+2x＝180°，
解得，x＝22°，
则∠C＝2x＝44°，
故选：D．
2．解：在△ABC与△ABD中，
∵，
∴△ABC≌△ABD，
∴∠BAC＝∠BAD，即AB是∠CAD的平分线．
∵AC＝AD，
∴AB是CD的垂直平分线．
故选：B．
3．解：△ABC的三个顶点距离相等的点是三边垂直平分线的交点．
故选：D．
4．解：如图，连接PA，
∵PD垂直平分AB，PE垂直平分BC，
∴PA＝PB，PB＝PC，
∴PA＝PB＝PC，
∴∠PBA＝∠PAB，∠PCA＝∠PAC，
∵∠A＝56°，
∴∠PBA+∠PCA＝∠PAB+∠PAC＝∠A＝56°，
在△ABC中，∠PBC+∠PCB＝180°﹣∠A﹣（∠PBA+∠PCA）＝180°﹣56°﹣56°＝68°，
在△PBC中，∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣68°＝112°．
故选：B．
5．解：∵AD是△ABC的角平分线，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵CE⊥AD，∴∠AOE＝∠AOC，
∵AO＝AO，
∴△AEO≌△ACO．
∴①AE＝AC，②CO＝OE，③∠AEO＝∠ACO均正确，
④无法判断．
故选：A．
6．解：∵ED垂直平分线段BC，
∴EC＝EB，BC＝2BD＝6，
∵△AEC的周长为20，
∴AE+EC+AC＝AE+BE+AC＝AB+AC＝20，
∴△ABC的周长＝AB+AC+BC＝20+6＝26，
故选：B．
7．解：如图，
∵在△ABC中，∠BAC＝100°，∠C＝48°，
∴∠B＝180°﹣100°﹣48°＝32°．
∵DE为AB边的中垂线，
∴AE＝BE，
∴∠B＝∠BAE＝32°，
∴∠EAC＝∠BAC﹣∠BAE＝100°﹣32°＝68°．
故选：B．
8．解：∵∠ABC＝98°，
∴∠BMN+∠BNM＝82°，
∵M、N分别在PA、PC的中垂线上，
∴MA＝MP，NP＝NC，
∴∠MPA＝BMN，∠NPC＝BNM，
∴∠MPA+∠NPC＝×82°＝41°，
∴∠APC＝180°﹣41°＝139°，
故选：D．
9．解：∵DE是△ABC中AC边的垂直平分线，
∴AE＝CE，
∴△EBC的周长＝BC+BE+CE＝BC+BE+CE＝BC+AB＝10+8＝18（厘米），
故选：B．
10．解：∵∠ABC＝∠C，AB＝8，
∴AC＝AB＝8，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴EA＝EB，
由题意得，BC+BE+CE＝13，
∴BC+EA+EC＝13，即BC+AC＝13，
∴BC＝5，
故选：A．
11．解：∵在△ABC中，AB＝AC，∠A＝50°，
∴∠ABC＝∠ACB＝65°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AF＝BF，∠BDE＝90°，
∴∠E＝90°﹣∠ABC＝25°，
∴∠EFC＝∠ACB﹣∠E＝40°；
∵AB+BC＝16cm，
∴△BCF的周长为：BC+CF+BF＝BC+CF+AF＝BC+AC＝BC+AB＝16cm．
故选：A．
12．解：如图，
CA、CB的中点分别为D、E，CA、CB的垂直平分线OD、OE相交于点O，且点O落在AB边上，
连接CO，
∵OD是AC的垂直平分线，
∴OC＝OA，
同理OC＝OB，
∴OA＝OB＝OC，
∴∠A＝∠ACO，∠B＝∠BCO，
∵∠A+∠ACO+∠B+∠BCO＝180°，
∴∠ACO+∠BCO＝90°，
∴∠ACB＝90°，
故选：B．
二．填空题
13．解：∵点E为AC的中点，DE⊥AC，
∴DE是线段AC的垂直平分线，
∴DC＝DA＝3，
则BD＝BC﹣DC＝8﹣3＝5，
故答案为：5．
14．解：∵线段AB的垂直平分线交AB于D，交AC于E，
∴AE＝BE，
∴∠ABE＝∠A＝30°，
∵等腰△ABC中，AB＝AC，∠A＝30°，
∴∠ABC＝∠C＝＝75°，
∴∠CBE＝∠ABC﹣∠ABE＝45°．
故答案为：45°．
15．解：∵AB＝AC，∠A＝36°，
∴∠ABC＝∠C＝72°，
∵DE是AB的垂直平分线，
∴AD＝BD，∠ABD＝∠A＝36°，
∴∠DBC＝72°﹣36°＝36°，
∠BDC＝180°﹣36°﹣72°＝72°，
∴BD＝BC；
（1）BD平分∠ABC正确；
（2）AD＝BD＝BC正确；
（3）△BDC的周长＝BC+CD+BD
＝BC+CD+AD
＝BC+AC
＝AB+BC，正确；
（4）AD＝BD≠CD，所以D不是AC的中点，故本选项错误．
故正确的命题是（1）（2）（3）．
16．解：连接AE，BE，过E作EG⊥BC于G，
∵D是AB的中点，DE⊥AB，
∴DE垂直平分AB，
∴AE＝BE，
∵∠ACE+∠BCE＝180°，∠ECG+∠BCE＝180°，
∴∠ACE＝∠ECG，
又∵EF⊥AC，EG⊥BC，
∴EF＝EG，∠FEC＝∠GEC，
∵CF⊥EF，CG⊥EG，
∴CF＝CG，
在Rt△AEF和Rt△BEG中，
，
∴Rt△AEF≌Rt△BEG（HL），
∴AF＝BG，
设CF＝CG＝x，则AF＝AC﹣CF＝12﹣x，BG＝BC+CG＝8+x，
∴12﹣x＝8+x，
解得x＝2，
∴AF＝12﹣2＝10．
故答案为：10．
17．解：∵DE垂直平分BC，
∴∠C＝∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD＝∠DBC，
∴∠ABD＝∠DBC＝∠C，
∵在△ABC中，∠A＝120°，
∴∠C＝20°，
∴∠CDE＝90°﹣20°＝70°，
故答案为：70°
18．解：∵DE为AB边的垂直平分线
∴DA＝DB
∵△ACD的周长为7cm
∴AD+AC+CD＝AC+BC＝7．
故填7．
19．解：连接CD，BD，
∵AD是∠BAC的平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DF＝DE，∠F＝∠DEB＝90°，∠ADF＝∠ADE，
∴AE＝AF，
∵DG是BC的垂直平分线，
∴CD＝BD，
在Rt△CDF和Rt△BDE中，
，
∴Rt△CDF≌Rt△BDE（HL），
∴BE＝CF，
∴AB＝AE+BE＝AF+BE＝AC+CF+BE＝AC+2BE，
∵AB＝6，AC＝3，
∴BE＝1.5．
故答案为：1.5．
20．解：∵EF是线段AB的垂直平分线，
∴AE＝BE，
∵BE+CE＝20cm，
∴AE+CE＝AC＝20cm，
∵AD是线段BC的垂直平分线，
∴AB＝AC＝20cm．
故答案为20cm．
21．解：连接AE，
∵AB的垂直平分线DE交BC于点E，D为垂足，
∴AE＝BE，
∴∠EAB＝∠B，
∵△ABC中，∠C＝90°，且EC＝DE，
∴AE平分∠CAB，
∴∠CAE＝∠EAB，
∴∠CAB＝2∠B，
∵∠CAB+∠B＝90°，
∴∠B＝30°．
故答案为：30°．
三．解答题
22．证明：∵AD垂直平分BC，
∴AB＝AC，BD＝DC，
∴∠ABC＝∠ACB，
∵BC平分∠ACF，
∴∠FCB＝∠ACB，
∴∠ABC＝∠FCB，
在△BDE和△CDF中，
，
∴△BDE≌△CDF（ASA）
∴BE＝CF．
23．解：∵DE是AC的垂直平分线，AE＝4cm，
∴AD＝CD，AC＝2AE＝8cm，
∵△ABD的周长为13cm，
∴AB+BD+DC＝AB+BD+DC＝AB+BC＝13cm，
∴△ABC的周长为：AB+BC+AC＝13+8＝21（cm）．
24．解：∵AB＝AC，
∴∠ABC＝∠ACB＝＝70°，
∵MN垂直平分AB，
∴DA＝DB，
∴∠A＝∠ABD＝40°，
∴∠DBC＝∠ABC﹣∠ABD＝70°﹣40°＝30°．
故答案为：30°．
25．解：∵CD平分∠ACB，
∴∠DCB＝∠ACB＝26°，
∵EF是BC的垂直平分线，
∴EB＝EC，
∴∠EBC＝∠DCB＝26°，
∴∠ABC＝∠ABE+∠EBC＝68°，
∴∠A＝180°﹣∠ABC﹣∠ACB＝60°．
26．解：（1）∵DM、EN分别垂直平分AC和BC，
∴AM＝MC，CN＝NB，
∵△CMN的周长＝CM+CN+MN＝21，
∴AB＝AM+MN+NB＝CM+MN+CN＝21 （cm）；
（2）∵∠MCN＝50°
∴∠CMN+∠CNM＝180°﹣50°＝130°
∵AM＝MC，CN＝NE
∴∠A＝∠ACM，∠B＝∠BCN
∵∠A+∠ACM＝∠CMN，∠B+∠BCN＝∠CNM
∴∠ACM＝∠CMN，∠BCN＝∠CNM
∴∠ACM+∠BCN＝（∠CMN+∠CNM ）＝65°
∴∠ACB＝65°+50°＝115°