4.3探索三角形全等的条件 同步练习（二） 北师大版数学七年级下册（含答案）

4.3探索三角形全等的条件 同步练习二
一、单选题
1．如图，已知AC平分，于E，，则下列结论①；②；③；④．其中，正确结论的个数（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
2．如图所示，是线段上一点，分别以，为边在同侧作等边和等边，交于，交于，则图中可通过旋转而得到的全等三角形的对数为（ ）对．
A．1 B．2
C．3 D．4
3．如图，在△ABC中，AD为BC边上的中线，若AB＝5，AC＝3，则AD的取值范围是（ ）
A．2＜AD＜3 B．3＜AD＜5 C．1＜AD＜4 D．2＜AD＜8
4．在中，，，是边上的中线，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法中，正确的是（ ）
A．周长相等的两个直角三角形全等 B．周长相等的两个钝角三角形全等
C．周长相等的两个等腰三角形全等 D．周长相等的两个等边三角形全等
6．如图，△ABC是一个什么三角形？（ ）请说明理由．
A．等腰三角形； B．等边三角形
C．直角三角形； D．等腰直角三角形
7．根据下列已知条件，能唯一画出的是（ ）．
A． B．
C． D．
8．如图，，，要使，应添加的条件是（　　）
A． B． C． D．
9．如图所示，，，点、、在一条直线上，，，，则（ ）
A． B． C． D．
10．如图，CAAB，垂足为点A，AB=24cm，AC=12cm，射线BMAB，垂足为点B，一动点E从A点出发以3cm/s沿射线AN运动，点D为射线BM上一动点，随着E点运动而运动，且始终保持ED=CB，当点E经过 ( ) 秒时，△DEB与△BCA全等．（注：点E与A不重合）（ ）
A．4 B．4、8 C．4、8、12 D．4、12、16
二、填空题
11．已知在△ABC和△A1B1C1中，AB＝A1B1，BC＝B1C1，要使△ABC≌△A1B1C1，还需添加一个条件，那么这个条件可以是 _____．
12．如图，已知，，请你添加一个条件___________________，使．
13．如图所示，在△ABC中，∠ABC＝45°．点D在AB上，点E在BC上，且AE⊥CD，若AE＝CD，BE：CE＝5：6，S△BDE＝75，则S△ABC＝_____．
14．如图，在△ABC中，AB=BC，将△ABC绕点B顺时针旋转α度，得到△A1BC1，A1B交AC于点E，A1C1分别交AC、BC于点D、F，下列结论：①∠CDF=α，②A1E=CF，③DF=FC，④AD =CE，⑤A1F=CE，其中正确的是________(写出正确结论的序号)
15．已知三角形两边长分别为3和6，则第三边上的中线长x取值范围是 _______________ .
三、解答题
16．如图，在△ABC和△DCB中，∠A＝∠D，AC和DB相交于点O，OA＝OD．
(1)AB＝DC；
(2)△ABC≌△DCB．
17．在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，D是直线AB上一点（点D不与点A、B重合），连接DC并延长到E，使得CE＝CD，过点E作EF⊥直线BC，交直线BC于点F．
　　
(1)如图1，当点D为线段AB上的任意一点时，用等式表示线段EF、CF、AC的数量关系，并证明；
(2)如图2，当点D为线段BA的延长线上一点时，依题意补全图2，猜想线段EF、CF、AC的数量关系是否发生改变，并证明．
(3)如图3，当点D在线段AB的延长线上时，直接写出线段EF、CF、AC之间的数量关系．
18．如图，，，．
（1）求证：；
（2）若，试判断与的数量及位置关系并证明；
（3）若，求的度数．
19．问题背景：课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图1，△ABC中，若AB＝4，AC＝3，求BC边上的中线AD的取值范围．小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长AD到点E，使DE＝AD，则得到△ADC≌△EDB，小明证明△BED≌△CAD用到的判定定理是：　 （用字母表示）；
问题解决：小明发现：解题时，条件中若出现“中点”“中线”字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中．请写出小明解决问题的完整过程；
拓展应用：以△ABC的边AB，AC为边向外作△ABE和△ACD，AB＝AE，AC＝AD，∠BAE＝∠CAD＝90°，M是BC中点，连接AM，DE．当AM＝3时，求DE的长．
20．在四边形中，，，，、分别是，上的点，且，在探究图1中线段，，之间的数量关系过程中．
(1)你尝试添加了怎样的辅助线？成功了吗？（真实大胆作答即可得分）
(2)小亮同学认为：延长到点，使，连接，先证明，再证明，即可得出，，之间的数量关系是 ．
(3)如图3，在四边形中，，，、分别是，上的点，且，上述结论是否仍然成立？并证明；
(4)如图4，在某次军事演习中，舰艇甲在指挥中心（处）北偏西的处，舰艇乙在指挥中心南偏东的处，且两舰艇到指挥中心的距离相等接到行动指令后，舰艇甲向正东方向以60海里/小时的速度前进，舰艇乙沿北偏东的方向以70海里/小时的速度前进，1.5小时后，指挥中心观测到甲、乙两舰艇分别到达，处，且两舰艇之间的夹角为，试求此时两舰艇之间的距离．
参考答案
1--10DCCBD DCCAD
11．AC＝A1C1或∠B＝∠B1
12．（答案不唯一）
13．440．
14．①②⑤
15．
16．（1）证明：在△ABO与△DCO中，
，
∴△ABO≌△DCO（ASA）
∴AB＝DC；
（2）证明：∵△ABO≌△DCO，
∴OB＝OC，
∵OA＝OD，
∴OB＋OD＝OC＋OA，
∴BD＝AC，
在△ABC与△DCB中，
，
∴△ABC≌△DCB（SAS）．
17．（1）结论：AC＝EF+FC，
理由如下：过D作DH⊥CB于H，
∴∠DHC＝∠DHB＝ 90°
∵EF⊥CF，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△FEC和△HDC中，
，
∴△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH＝FC，DH＝EF，
∵∠ACB＝90°，AC=BC，
∴∠B＝45°，
∵∠DHB＝90°，
∴∠B＝∠HDB＝45°
∴DH＝HB＝EF，
∵BC＝CB+HB
∴AC＝FC+EF；
（2）依题意补全图形，结论：AC＝EF-CF，
理由如下：
过D作DH⊥CB交BC的延长线于H，
∵EF⊥CF，
∴∠EFC＝∠DHC＝90°，
在△FEC和△HDC中，
，
∴△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH＝FC，DH＝EF，
∵∠DHB＝90°，
∴∠B＝∠HDB＝45°
∴DH＝HB＝EF，
∵BC=HB-CH
∴AC＝EF-CF．
（3）AC=CF-EF．
如图3，过D作DH⊥CB交CB的延长线于H，
同理可证△FEC≌△HDC（AAS），
∴CH=FC，DH=EF，
∵∠DHB=90°，
∴∠B=∠HDB=45°，
∴DH=HB=EF，
∵BC=CH-BH，
∴AC=CF-EF．
18．（1）∵∠CAB=∠EAD
∴∠CAB+∠BAE=∠EAD+∠BAE，
∴ ∠CAE=∠BAD，
∵AB=AC，AE=AD
在△AEC和△ADB中
∴ △AEC≌△ADB（SAS）
（2）CE=BD且CE⊥BD，证明如下：
将直线CE与AB的交点记为点O，
由（1）可知△AEC≌△ADB，
∴ CE=BD， ∠ACE=∠ABD，
∵∠BOF=∠AOC，∠=90°，
∴ ∠BFO=∠CAB=∠=90°，
∴ CE⊥BD．
（3）过A分别做AM⊥CE，AN⊥BD
由（1）知△AEC≌△ADB，
∴两个三角形面积相等
故AM·CE=AN·BD
∴AM=AN
∴AF平分∠DFC
由（2）可知∠BFC=∠BAC=
∴∠DFC=180°-
∴∠CFA=∠DFC=
19．问题背景：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC和△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
故答案为：SAS；
问题解决：如图1，延长AD到点E，使DE＝AD，连接BE，
∵AD是△ABC的中线，
∴BD＝CD，
在△ADC≌△EDB中，
，
∴△ADC≌△EDB（SAS），
∴BE＝AC，
在△ABE中，AB﹣BE＜AE＜AB+BE，
∵AB＝4，AC＝3，
∴4﹣3＜AE＜4+3，即1＜AE＜7，
∵DE＝AD，
∴AD＝AE，
∴＜AD＜；
拓展应用：如图2，延长AM到N，使得MN＝AM，连接BN，
由问题背景知，△BMN≌△CMA（SAS），
∴BN＝AC，∠CAM＝∠BNM，
∴AC//BN，
∵AC＝AD，
∴BN＝AD，
∵AC//BN，
∴∠BAC+∠ABN＝180°，
∵∠BAE＝∠CAD＝90°，
∴∠BAC+∠EAD＝180°，
∴∠ABN＝∠EAD，
在△ABN和△EAD中，
，
∴△ABN≌△EAD（SAS），
∴AN＝DE，
∵MN＝AM，
∴DE＝AN＝2AM，
∵AM＝3，
∴DE＝6．
20．（1）在上方作，使，连接，
在和中，
，
，
，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
添加辅助线：在上方作，使，连接，成功了；
（2）延长到点，使，连接，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，
，
在和中，
，
，
，
，即，
故答案为：；
（3）结论仍然成立，
证明：延长到，使，连接，
，，
，
在和中，
，
，
，，
，
，
，
在和中，
，
，
，
；
（4）如图4，连接，延长、交于点，
，
，
，
，
，
符合（3）中的条件，
结论成立，
即（海里），
答：此时两舰艇之间的距离是195海里．