10.5角平分线 同步练习题 鲁教版（五四制）七年级数学下册（含答案）

2022-2023学年鲁教版（五四学制）七年级数学下册《10.5角平分线》同步练习题（附答案）
一．选择题
1．如图，直线AB，CD相交于点O，PE⊥CD于E，PF⊥AB于F，若PE＝PF，∠AOC＝50°，则∠AOP的度数为（　　）
A．65° B．60° C．40° D．30°
2．如图，在CD上求一点P，使它到OA、OB的距离相等，则P点是（　　）
A．线段CD的中点
B．OA与∠CDB的平分线的交点
C．OB与∠DCA的平分线的交点
D．CD与∠AOB的平分线的交点
3．△ABC中，点O是△ABC内一点，且点O到△ABC三边的距离相等；∠A＝40°，则∠BOC＝（　　）
A．110° B．120° C．130° D．140°
4．如图，AB∥CD，点P到AB、BC、CD距离都相等，则∠P＝（　　）
A．120° B．90° C．75° D．60°
5．如图所示，AD⊥OB，BC⊥OA，垂足分别为D、C，AD与BC相交于点P，若PA＝PB，则∠1与∠2的大小是（　　）
A．∠1＝∠2 B．∠1＞∠2 C．∠1＜∠2 D．无法确定
6．如图，AD和BE是△ABC的角平分线且交于点O，连接OC，现有以下论断：
①OC平分∠ACB；②∠AOC＝90°+∠ABC；③OD⊥BC；④OA＝OB＝OC；⑤∠AOE+∠DCO＝90°其中正确的有（　　）个．
A．2 B．3 C．4 D．5
7．如图，AB＝AC，BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE，CF交于D，则以下结论：①△ABE≌△ACF；②△BDF≌△CDE；③点D在∠BAC的平分线上．正确的是（　　）
A．① B．② C．①② D．①②③
8．如图，BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，DE过I点且DE∥BC，则下列结论错误的是（　　）
A．I到三边的距离相等 B．∠BIC＝90°+∠A
C．DE＝BD+CE D．AI＝AE
9．如图，O是△ABC内一点，且O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，若∠BAC＝70°，则∠BOC的度数为（　　）
A．70° B．120° C．125° D．130°
10．如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，角平分线BE、AD相交于I，连接CI并延长交AB于点F，则下列结论中错误的是（　　）
A．点I在∠ABC的平分线上 B．点F在∠AIB的平分线上
C．∠ACI＝45° D．∠CAD+∠ABE+∠BCF＝90°
11．如图，△ABC中，∠ABC、∠EAC的角平分线PA、PB交于点P，下列结论：
①PC平分∠ACF；
②∠ABC+∠APC＝180°；
③若点M、N分别为点P在BE、BF上的正投影，则AM+CN＝AC；
④∠BAC＝2∠BPC．
其中正确的是（　　）
A．只有①②③ B．只有①③④ C．只有②③④ D．只有①③
二．填空题
12．如图，点O在△ABC内，且到三边的距离相等，若∠A＝60°，则∠BOC＝　 　．
13．如图，已知∠ABC的平分线与∠BCD的平分线交于点P，过点P分别向OA、OD作垂线，垂足是M、N．则点P　 　∠AOD的平分线上．（填“在”或“不在”）
14．如图，在△ABC中，∠ABC＝110°，∠ACB＝40°，CE是∠ACB的角平分线，D是AC上一点，若∠CBD＝40°，则∠CED＝　 　．
三．解答题
15．在学完全等三角形后，李老师给出了下列题目：
求证：角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
已知：
求证：
证明：
16．如图，P是∠BAC内的一点，PE⊥AB，PF⊥AC，垂足分别为点E，F，AE＝AF．
求证：
（1）PE＝PF；
（2）点P在∠BAC的角平分线上．
17．如图，△ABC中∠B的外角平分线BD于∠C的外角平分线CE相交于点P，求证：点P在∠CAB的角平分线上．
18．已知：如图所示，AQ，BM，CN是△ABC的三条角平分线．试说明AQ，BM，CN交于一点．
19．如图，在△ABC中，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别是E，F，BE＝CF．求证：AD是△ABC的角平分线．
20．如图，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，若BD＝CD、BE＝CF．
（1）求证：AD平分∠BAC；
（2）直接写出AB+AC与AE之间的等量关系．
21．已知：如图，∠B＝∠C＝90°，M是BC的中点，DM平分∠ADC．
（1）求证：AM平分∠BAD；
（2）试说明线段DM与AM有怎样的位置关系？
（3）线段CD、AB、AD间有怎样的关系？直接写出结果．
参考答案
一．选择题
1．解：∵∠AOC＝50°，
∴∠AOD＝180°﹣50°＝130°，
∵PE⊥CD于E，PF⊥AB于F，PE＝PF，
∴OP平分∠AOD，
∴∠AOP＝∠AOD＝×130°＝65°．
故选：A．
2．解：∵点P到OA、OB的距离相等，
∴点P在∠AOB平分线上，
∴点P是CD与∠AOB平分线的交点，
故选：D．
3．解：∵O到三角形三边距离相等，
∴O是内心，
即三条角平分线交点，AO，BO，CO都是角平分线，
∴∠CBO＝∠ABO＝∠ABC，∠BCO＝∠ACO＝∠ACB，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣40°＝140°，
∴∠OBC+∠OCB＝70°，
∴∠BOC＝180°﹣70°＝110°．
故选：A．
4．解：∵点P到AB、BC、CD距离都相等，
∴BP、CP分别是∠ABC和∠BCD的平分线，
∴∠CBP＝∠ABC，∠BCP＝∠BCD，
∴∠CBP+∠BCP＝（∠ABC+∠BCD），
∵AB∥CD，
∴∠ABC+∠BCD＝180°，
∴∠CBP+∠BCP＝×180°＝90°，
∴∠P＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣90°＝90°．
故选：B．
5．解：∵AD⊥OB，BC⊥OA，
∴∠ACP＝∠BDP，∠APC＝∠BPD，PA＝PB，
∴△ACP≌△BDP
∴CP＝DP
∴OP是角AOB的平分线，
∴∠1＝∠2．
故选：A．
6．解：∵AD和BE是△ABC的角平分线且交于点O，
∴点O是△ABC的角平分线的交点，
∴OC平分∠ACB，故①正确；
由角平分线的定义，∠OAC+∠OCA＝（∠BAC+∠BCA）＝（180°﹣∠ABC）＝90°﹣∠ABC，
在△OAC中，∠AOC＝180°﹣（90°﹣∠ABC）＝90°+∠ABC，故②正确；
只有AB＝AC时，OD⊥BC，故③错误；
△ABC是等边三角形时，OA＝OB＝OC，故④错误；
由三角形的外角性质得，∠AOE＝∠OAB+∠OBA＝（∠BAC+∠ABC），
∠AOE+∠DCO＝（∠BAC+∠ABC）+∠ACB＝90°，故⑤正确；
综上所述，正确的结论有①②⑤共3个．
故选：B．
7．解：∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F
∴∠AEB＝∠AFC＝90°，
∵AB＝AC，∠A＝∠A，
∴△ABE≌△ACF（第一个正确）
∴AE＝AF，
∴BF＝CE，
∵BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，∠BDF＝∠CDE，
∴△BDF≌△CDE（第二个正确）
∴DF＝DE，
连接AD
∵AE＝AF，DE＝DF，AD＝AD，
∴△AED≌△AFD，
∴∠FAD＝∠EAD，
即点D在∠BAC的平分线上（第三个正确）
故选：D．
8．解：A、过点I作IM⊥BC于M，IN⊥AC于N，IK⊥AB于K，
∵BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴IK＝IM，IM＝IN，
∴IK＝IM＝IN，
∴I到三边的距离相等，
故本选项正确；
B、∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∵BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠IBC＝∠ABC，∠ICB＝∠ACB，
∴∠BIC＝180°﹣（∠IBC+∠ICB）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB）＝180°﹣（180°﹣∠A）＝90°+∠A，
故本选项正确；
C、∵DE∥BC，
∴∠DIB＝∠IBC，
∵BI，CI分别是∠ABC和∠ACB的平分线，
∴∠DBI＝∠IBC，
∴∠DBI＝∠DIB，
∴DI＝DB，
同理：EI＝EC，
∴DE＝DI+IE＝BD+CE，
故本选项正确；
D、∵∠AIE不一定等于∠AEI，
∴AI不一定等于AE，
故本选项错误．
故选：D．
9．解：∵O到三边AB、BC、CA的距离OF＝OD＝OE，
∴点O是三角形三条角平分线的交点，
∵∠BAC＝70°，
∴∠ABC+∠ACB＝180°﹣70°＝110°，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝×110°＝55°，
在△OBC中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣55°＝125°．
故选：C．
10．解：A、∵在△ABC中，角平分线BE、AD相交于I，
∴点I在∠ABC的平分线上，故本选项正确；
B、过I点分别作AB、BC、AC的垂线，垂足分别为M、N、P，
∵在△ABC中，角平分线BE、AD相交于I，
∴IM＝IN，IM＝IP，
∴IN＝IP，
∴CF平分∠ACB，∠ACF＝∠BCF．
∵∠AIF＝∠ACI+∠CAI，∠BIF＝∠BCI+∠CBI，
∠ACI＝∠BCI，∠CAI≠∠CBI，
∴∠AIF≠∠BIF，
∴点F不在∠AIB的平分线上，故本选项错误；
C、∵∠ACB＝90°，CI平分∠ACB，
∴∠ACI＝∠ACB＝45°，故本选项正确；
D、∵BE、AD、CF是△ABC的角平分线，
∴∠CAD＝∠BAC，∠ABE＝∠ABC，∠BCF＝∠ACB，
∵∠BAC+∠ABC+∠ACB＝180°，
∴∠CAD+∠ABE+∠BCF＝（∠BAC+∠ABC+∠ACB）＝90°，故本选项正确．
故选：B．
11．解：如图，过点P作PM⊥AB，PN⊥BC，PD⊥AC，垂足分别为M、N、D，
①∵PB平分∠ABC，PA平分∠EAC，
∴PM＝PN，PM＝PD，
∴PM＝PN＝PD，
∴点P在∠ACF的角平分线上（到角的两边距离相等的点在角的平分线上），
故本小题正确；
②∵PM⊥AB，PN⊥BC，
∴∠ABC+90°+∠MPN+90°＝360°，
∴∠ABC+∠MPN＝180°，
很明显∠MPN≠∠APC，
∴∠ABC+∠APC＝180°错误，
故本小题错误；
③在Rt△APM与Rt△APD中，，
∴Rt△APM≌Rt△APD（HL），
∴AD＝AM，
同理可得Rt△CPD≌Rt△CPN，
∴CD＝CN，
∴AM+CN＝AD+CD＝AC，
故本小题正确；
④∵PB平分∠ABC，PC平分∠ACF，
∴∠ACF＝∠ABC+∠BAC，∠PCN＝∠ACF＝∠BPC+∠ABC，
∴∠BAC＝2∠BPC，
故本小题正确．
综上所述，①③④正确．
故选：B．
二．填空题
12．解：∵点O在△ABC内，且到三边的距离相等，
∴点O是三个角的平分线的交点，
∴∠OBC+∠OCB＝（∠ABC+∠ACB）＝（180°﹣∠A）＝（180°﹣60°）＝60°，
在△BCO中，∠BOC＝180°﹣（∠OBC+∠OCB）＝180°﹣60°＝120°．
故答案为：120°．
13．解：过P作PH⊥BC于点H，
∵BP、CP分别平分∠ABC和∠BCD，且PM⊥OA，PN⊥OD，
∴PM＝PH＝PN，
∴P在∠AOD的平分线上，
故答案为：在．
14．解：∠A＝180°﹣∠ACB﹣∠ABC＝180°﹣110°﹣40°＝30°，
∵作EN⊥BD，EM⊥BC，EH⊥AC，垂足分别是N、M、H，∠ABC＝110°，∠CBD＝40°，
∴∠ABD＝70°，
∴∠ABC的外角是∠ABM＝180°﹣110°＝70°；
∴BE是∠DBM的角平分线，
∴EM＝EN，
∵CE是∠ACB的平分线，EM⊥CB，EH⊥AC，
∴EM＝EH，
∴EH＝EN，
∴DE是∠ADB的平分线，
∵∠ADB＝180°﹣∠A﹣∠ABD＝180°﹣30°﹣70°＝80°，
∴∠ADE＝∠ADB＝40°＝∠ACB，
∴DE∥CB，
∴∠CED＝∠ECB＝20°
故答案为：20°．
三．解答题
15．已知：PE＝PF，PE⊥OA于E，PF⊥OB于F，
求证：点P在∠AOB的平分线上．
证明：在Rt△POE和Rt△POF中，
，
∴Rt△POE≌△RtPOF，
∴∠EOP＝∠FOP，
∴点P在∠AOB的平分线上．
16．证明：（1）如图，连接AP并延长，
∵PE⊥AB，PF⊥AC
∴∠AEP＝∠AFP＝90°
又AE＝AF，AP＝AP，
∵在Rt△AFP和Rt△AEP中
∴Rt△AEP≌Rt△AFP（HL），
∴PE＝PF．
（2）∵Rt△AEP≌Rt△AFP，
∴∠EAP＝∠FAP，
∴AP是∠BAC的角平分线，
故点P在∠BAC的角平分线上．
17．证明：作PF⊥AB于F，PG⊥BC于G，PH⊥AC于H，
∵∠B的外角平分线BD与∠C的外角平分线CE相交于点P，
∴PF＝PG，PH＝PG，
∴PF＝PH，又PF⊥AB，PH⊥AC，
∴点P在∠CAB的角平分线上．
18．证明：设BM，CN交于点P，过点P作PD⊥AB，PE⊥BC，PF⊥AC，垂足分别为：D，E，F，
∵BM平分∠ABC，CN平分∠ACB，
∴PD＝PE，PE＝PF，
∴PD＝PF，
∴AP平分∠BAC，
即AQ，BM，CN交于一点P．
19．证明：∵DE⊥AB，DF⊥AC，
∴Rt△BDE和Rt△CDF是直角三角形．
，
∴Rt△BDE≌Rt△CDF（HL），
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB，DF⊥AC，AD＝AD，
∴Rt△ADE≌Rt△ADF（HL），
∴∠ADE＝∠ADF，
∴AD是角平分线．
20．（1）证明：∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴∠E＝∠DFC＝90°，
∴△BDE与△CDF均为直角三角形，
∵
∴△BDE≌△CDF（HL）．
∴DE＝DF，
∵DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，
∴AD平分∠BAC；
（2）AB+AC＝2AE．
证明：∵BE＝CF，AD平分∠BAC，
∴∠EAD＝∠CAD，
∵∠E＝∠AFD＝90°，
∴∠ADE＝∠ADF．
在△AED与△AFD中，
∵，
∴△AED≌△AFD（ASA）．
∴AE＝AF．
∴AB+AC＝AE﹣BE+AF+CF＝AE+AE＝2AE．
21．（1）证明：作ME⊥AD于E，
∵MC⊥DC，ME⊥DA，MD平分∠ADC，
∴ME＝MC，
∵M为BC中点，
∴MB＝MC，
又∵ME＝MC，
∴ME＝MB，
又∵ME⊥AD，MB⊥AB，
∴AM平分∠DAB．
（2）解：DM⊥AM，
理由是：∵DM平分∠CDA，AM平分∠DAB，
∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，
∵DC∥AB，
∴∠CDA+∠BAD＝180°，
∴∠1+∠3＝90°，
∴∠DMA＝180°﹣（∠1+∠3）＝90°，
即DM⊥AM．
（3）解：CD+AB＝AD，
理由是：∵ME⊥AD，MC⊥CD，
∴∠C＝∠DEM＝90°，
在Rt△DCM和Rt△DEM中
∴Rt△DCM≌Rt△DEM（HL），
∴CD＝DE，
同理AE＝AB，
∵AE+DE＝AD，
∴CD+AB＝AD．