9.3分式方程巩固练习 沪科版数学 七年级下册（含解析）

沪科版七年级下册数学9.3分式方程课时作业（含详细解析）
注意事项：
1.本试卷满分100分，考试时间60分钟；
2.本试卷请使用0.5的黑色签字笔答题；
3.本试卷答案及详细解析负载试卷卷尾；
选择题（每题4分，共10题，满分40分）
1.下列式子中是分式方程的是（ ）
A． B．
C．1 D．x
2.下列方程是关于x的分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
3.分式方程－=1的解是(　　)
A．－ B． －2 C．－ D．
4.下列各式中属于分式方程的是（　 　）
A． B． C． D．
5.为了纪念物理学家和数学家凯瑟琳 约翰逊（她是NASA第一批黑人女性科学家之一，在NASA工作时期，通过自己硬核的工作能力打破了性别和种族的天花板），国科大数学学院在网上定制了纪念册，第一次用120元购买了若干本，第二次在同一家商店又购买了240元，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．设第一次买了x本纪念册，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
6.若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．7 B．3 C．4 D．0
7.若分式方程的解为整数，则整数a＝（　　）
A．a＝±2 B．a＝±1或a＝±2 C．a＝1或2 D．a＝±1
8.定义新运算：对于任意实数a、b都有：a b＝（a+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：3 6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2） （2x﹣1）＝4的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝0
9.某同学在解关于x的分式方程3时产生了增根，则增根为（　　）
A．x＝6 B．x＝5 C．x＝4 D．x＝3
10.若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为,则符合条件的所有整数a的和为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
填空题（每题5分，共4题，满分20分）
11.分式方程的解为　 　．
12.若关于x的分式方程2无解，则m＝　 　．
13.若分式的值总是正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
14.已知：①方程的两根为或；②的两根为或；③方程两根为或…．请你根据它们所蕴含的规律，求方程，（为正整数）的两根为______（用含的代数式表示）．
三、解答题（每题10分，共4题，满分40分）
15.解方程：0．
16.某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
17.为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
18.阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设　 　＝y，则原方程可化为　 　，原方程的解为　 　；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
答案解析
一、选择题（每题4分，共10题，满分40分）
1.下列式子中是分式方程的是（ ）
A． B．
C．1 D．x
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【详解】A、不是等式，故不是分式方程；
B、分母中不含未知数，也不是分式方程；
C、方程分母中含未知数x，是分式方程；
D、分母中不含未知数，也不是分式方程；
故选：C．
2.下列方程是关于x的分式方程的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义：分母里含有未知数的方程叫做分式方程判断．
【解答】A、是关于x的整式方程，故本选项错误；
B、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误；
C、符合分式方程的定义，故本选项正确；
D、分母中不含有未知数，是整式方程，故本选项错误．
故选：C．
3.分式方程－=1的解是(　　)
A．－ B． －2 C．－ D．
【答案】A　
【解析】直接去分母解方程即可.
4.下列各式中属于分式方程的是（　 　）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根据分式方程的定义即可求出答案．分式方程的定义：分母中含有未知数的方程叫做分式方程．
【解答】A、是一元一次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
B、是一元二次方程，不是分式方程，故本选项不合题意；
C、是分式方程，故本选项符合题意；
D、不是方程，故本选项不合题意；
故选：C．
5.为了纪念物理学家和数学家凯瑟琳 约翰逊（她是NASA第一批黑人女性科学家之一，在NASA工作时期，通过自己硬核的工作能力打破了性别和种族的天花板），国科大数学学院在网上定制了纪念册，第一次用120元购买了若干本，第二次在同一家商店又购买了240元，这次商家每本优惠4元，结果比上次多买了20本．设第一次买了x本纪念册，列方程正确的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】设第一次买了x本纪念册，则第二次买了（x+20）本纪念册，根据单价＝总价÷数量结合第二次购买的单价比第一次低4元，即可得出关于x的分式方程，此题得解．
【解答】解：设第一次买了x本纪念册，则第二次买了（x+20）本纪念册，
依题意，得：﹣＝4．
故选：B．
6.若关于x的方程有增根，则m的值是（　　）
A．7 B．3 C．4 D．0
【答案】A
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，由分式方程有增根，得到x-3=0，求出x的值，代入整式方程求出m的值即可．
【解答】分式方程去分母得：x+4=m+2x 6，
由分式方程有增根，得到x 3=0，即x=3，
把x=3代入整式方程得：m=7，
故选A.
7.若分式方程的解为整数，则整数a＝（　　）
A．a＝±2 B．a＝±1或a＝±2 C．a＝1或2 D．a＝±1
【答案】D
【分析】对方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）化成整式方程即可求解．
【解答】方程两边同时乘以（x+1）（x﹣1）得，
（2x﹣a）（x+1）﹣4（x+1）（x﹣1）＝（x﹣1）（﹣2x+a），
整理得：﹣2ax＝﹣4，
即ax＝2，
∵x，a为整数，
∴a＝±1或a＝±2，
∵原分式方程要求x≠±1，
∴a≠±2，
∴a＝±1．
故选：D．
8.定义新运算：对于任意实数a、b都有：a b＝（a+b）÷b，其中等式右边是通常的加法、减法及乘法运算，如：3 6＝（3+6）÷6＝，那么方程（x+2） （2x﹣1）＝4的解为（　　）
A．x＝3 B．x＝2 C．x＝1 D．x＝0
【答案】C
【分析】直接利用新定义得出关于x的方程，进而得出答案．
【解答】解：（x+2） （2x﹣1）＝4，
则（x+2+2x﹣1）÷（2x﹣1）＝4，
＝4，
解得：x＝1，
检验：当x＝1时，2x﹣1≠0，
故x＝1是原方程的根．
故选：C．
9.9.某同学在解关于x的分式方程3时产生了增根，则增根为（　　）
A．x＝6 B．x＝5 C．x＝4 D．x＝3
【答案】B
【分析】增根是化为整式方程后产生的不适合分式方程的根．确定增根的可能值，让最简公分母x 5＝0即可．
【解析】∵最简公分母是x 5，原方程有增根，
∴最简公分母x 5＝0，
∴增根是x＝5．
故选：B．
10.若数a使关于x的分式方程的解为正数,且使关于y的不等式组的解集为,则符合条件的所有整数a的和为( )
A．10 B．12 C．14 D．16
【答案】A
【分析】根据分式方程的解为正数即可得出a＜6且a≠2，根据不等式组的解集为y＜-2，即可得出a≥-2，找出-2≤a＜6且a≠2中所有的整数，将其相加即可得出结论．
【解答】分式方程的解为x=且x≠1，
∵关于x的分式方程的解为正数，
∴＞0且≠1，即a<6且a≠2
解不等式①得：y＜-2；
解不等式②得：y≤a．
∵关于y的不等式组的解集为,
∴a≥-2．
∴-2≤a＜6且a≠2．
∵a为整数，
∴a=-2、-1、0、1、3、4、5，
（-2）+（-1）+0+1+3+4+5=10．
故符合条件的所有整数a的和是10．
故选：A.
填空题（每题5分，共4题，满分20分）
11.分式方程的解为　 　．
【分析】去分母，化分式方程为一元二次方程，求解方程并验根即可
【解答】解：去分母，得x+1+x2﹣1＝2，
整理，得x2+x﹣2＝0，
∴（x+2）（x﹣1）＝0
∴x1＝﹣2，x2＝1
当x＝﹣2时，（x+1）（x﹣1）≠0，
所以x＝﹣2是原方程的解；
当x＝1时，（x+1）（x﹣1）＝0，
所以x＝1不是原方程的解．
故答案为：x＝﹣2．
12.若关于x的分式方程2无解，则m＝　 　．
【分析】去分母把分式方程化成整式方程，再分整式方程无解和整式方程有解但是分式方程的增根两种情况进行讨论，即可得出答案．
【解析】去分母得：2x＝mx﹣2（x+3），
整理为：（4﹣m）x＝﹣6，
当4﹣m＝0，即m＝4时，此方程无解，原分式方程也无解，
当4﹣m≠0时，
由x+3＝0得：x＝﹣3，
把x＝﹣3代入（4﹣m）x＝﹣6得：（4﹣m）×（﹣3）＝﹣6，
解得：m＝2，
∴m＝4或2，
故答案为：4或2．
13.若分式的值总是正数，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．或
【答案】D
【分析】分两种情况分析:当时;或当时,,再分别解不等式可得．
【解答】若分式的值总是正数：
当时，，解得;
当时，，解得，此时a的取值范围是;
所以的取值范围是或.
故选：D．
14.已知：①方程的两根为或；②的两根为或；③方程两根为或…．请你根据它们所蕴含的规律，求方程，（为正整数）的两根为______（用含的代数式表示）．
【答案】x=或x=
【分析】根据已知三个方程的解，归纳总结得到规律，将所求方程变形后，利用此规律即可得到方程的解．
【解答】①的解是或；②的解是或；③的解是或，
变形为且，
解为x=和x=．
故答案为：x=或x=．
解答题（每题10分，共4题，满分40分）
15.解方程：0．
【分析】分式方程去分母转化为整式方程，求出整式方程的解得到x的值，经检验即可得到分式方程的解．
【解答】解：去分母得：3（x﹣1）+6x﹣（x+5）＝0，
去括号得：3x﹣3+6x﹣x﹣5＝0，
移项合并得：8x＝8，
解得：x＝1，
检验：把x＝1代入得：x（x﹣1）＝0，
∴x＝1是增根，分式方程无解．
16.某商店计划购进甲、乙两种笔记本，已知甲笔记本的单价比乙笔记本的单价高4元，用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．
（1）求甲、乙两种笔记本的单价分别是多少元？
（2）该商店计划购进两种笔记本共40本，其中甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，求共有几种进货方案，并指出哪种方案最省钱．
【分析】（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，由题意：用50元购买甲笔记本的数量与用30元购买乙笔记本的数量相同．列出分式方程，解方程即可；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，由题意：甲笔记本的数量不少于乙笔记本的数量，且总金额不超过330元，列出一元一次不等式组，解得20≤m≤22.5，则m的整数值为20或21或22，得共有3种进货方案，再分别求出费用，即可得出结论．
【解答】（1）设甲笔记本的单价为x元，则乙笔记本单价（x﹣4）元，
由题意，得：，
解得：x＝10，
经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意，
则x﹣4＝6，
答：甲笔记本的单价为10元，乙笔记本单价6元；
（2）设购进甲种笔记本m本，则购进乙种笔记本（40﹣m）本，
由题意得：，
解得：20≤m≤22.5，
∵m为正整数，
∴m的整数值为20或21或22，
∴共有3种进货方案，
方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，费用为：20×10+20×6＝320（元）；
方案②：购进甲种笔记本21本，购进乙种笔记本19本，费用为：21×10+19×6＝324（元）；
方案③：购进甲种笔记本22本，购进乙种笔记本18本，费用为：22×10+18×6＝328（元）；
∵320＜324＜328，
∴方案①：购进甲种笔记本20本，购进乙种笔记本20本，最省钱．
17.为了备战体育中考，某学校新购进一批体育器材，需用九年级两个班级的学生整理体育器材，已知一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，求二班单独整理这批体育器材需要多少分钟？
【分析】设二班单独整理这批器材需要x分钟，由题意：一班单独整理需要30分钟完成，如果一班与二班共同整理15分钟后，一班另有任务需要离开，剩余工作由二班单独整理15分钟才完成，列出分式方程，解方程即可．
【解答】解：设二班单独整理这批器材需要x分钟．
依题意得：，
解得：x＝60，
经检验：x＝60是原分式方程的解，且符合题意．
答：二班单独整理这批器材需要60分钟．
18.阅读下面材料，解答后面的问题：
解方程：0．
解：设y，则原方程化为：y0，方程两边同时乘以y得：y2﹣4＝0，解得：y＝±2，经检验：y＝±2都是方程y0的解，
∴当y＝2时，2，解得x＝﹣1；当y＝﹣2时，2，解得：x．
经检验：x＝﹣1或x都是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x＝﹣1或x．
上述这种解分式方程的方法称为换元法．问题：
(1)若在方程中，设　 　＝y，则原方程可化为　 　，原方程的解为　 　；
(2)模仿上述换元法解方程：1＝0．
【答案】(1)， y， x或x＝﹣1
(2)x
【分析】（1 ）根据换元法设，可得关于y的分式方程，解分式方程，再解分式方程即可得原方程的解；
（ 2）根据分式的加减，可得：0，根据换元法，可得答案．
【解答】(1)设y，则原方程化为：y，
方程两边同时乘以2y得：2y2﹣5y+2＝0，解得：y或2，
经检验：y和2都是方程y的解．
当y时，，解得x＝2；
当y＝2时，2，解得：x＝﹣1．
经检验：x和x＝﹣1是原分式方程的解，
故答案为:，y，x或x＝﹣1
(2)原方程化为：0，
设y，则原方程化为：y0，
方程两边同时乘以y得：y2﹣1＝0，解得：y＝±1，
经检验：y＝±1都是方程y0的解．
当y＝1时，1，该方程无解；
当y＝﹣1时，1，解得：x．
经检验：x是原分式方程的解，
∴原分式方程的解为x．