数学人教A版（2019）选择性必修第三册6.3.2二项式系数的性质 课件（共23张ppt）

(共23张PPT)
6.3.2 二项式系数的性质
教学目标：
1、了解杨辉三角以及与二项式定理之间的关系
2、理解和掌握二项式系数的性质，利用赋值法解决一些简单的问题
教学重难点：
重点：二项式系数的性质及应用
难点：利用二项式系数的性质解决问题
1.二项式定理
2.二项展开式的通项
3.二项式系数：
复习引入
n (a+b)n展开式的二项式系数 1 2 3 4 5
6
1
6
15
20
15
6
1
1
5
10
10
5
1
1
4
6
4
1
1
3
3
1
1
2
1
1
1
二项式系数:
探究新知
问题1：计算 (a+b)n 展开式的二项式系数并填入下表：
？
探究
1 1
1 2 1
1 3 3 1
1 4 6 4 1
1 5 10 10 5 1
1 6 15 20 15 6 1
上表写成如下形式，并说说你发现了什么规律？
1 7 21 35 35 21 7 1
… … … … … …
(a + b)n
探究新知
每一行的系数具有对称性
对于 的展开式的二项式系数依次是：
从函数角度看， 可看成是以 r为自变量的函数 , 其定义域是：
例如：当 n=6 时, 其图象是7个孤立点
f (r)
r
6
3
O
5
15
20
1
10
1
2
4
5
探究新知
1.对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
这一性质可直接由公式
得到．
f (r)
r
n
O
5
15
20
1
10
探究新知
图象的对称轴：
由 可知，
当 时，二项式系数是逐渐增大的
所以 相对于 的增减情况由 决定
由对称性可知它的后半部分是逐渐减小的, 且中间项取得最大值
因为
2.增减性与最值
探究新知
2.增减性与最值
∵二项展开式共有n+1项，
探究新知
当n为奇数时，
中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
∴当n为偶数时，
正中间一项的二项式系数 最大；
f (r)
r
n
O
5
15
20
1
10
在二项式定理中,令 ，则：
这就是说， 的展开式的各二项式系数的和等于
同时由于 上式还可以写成：
这是组合总数公式.
探究新知
3.各二项式系数的和
（赋值法）
一般地， 的展开式的二项式系数有如下性质：
(1)
(2)
(3)当 时,
当 时,
(4)
归纳总结
例1 证明: 在(a+b)n 的展开式中,奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和.
即：
赋值法
证:
在展开式
中，
=2n-1
即：
结合二项式系数和为2n
典例分析
1.已知 , 那么 = ；
3.在(a＋b)20展开式中, 与第五项的系数相同的项是( )
A. 第15项 B. 第16项 C. 第17项 D. 第18项
C
2.若 的展开式中的第十项和第十一项的二项式系数
最大， 则 n = ；
变式练习
4.在(a＋b)10展开式中, 系数最大的项是( )
A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
5.在 (a－b)10展开式中, 系数最大的项是( )
A.第6项 B.第7项 C.第6项和第7项 D.第5项和第7项
D
A
1.已知: (2x+1)10=a0x10+ a1x9+ a2x8+…+a9x+ a10.
(1)求a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10的值;
(2)求a0+ a2+ a4+…… + a10的值.
结论:
典例分析
解：(1)令x=1, 得
a0+ a1+ a2+…… +a9+ a10= 310=59049
(2)令x=-1, 得
a0- a1+ a2-…… -a9+ a10= (-1)10=1
所以a0+ a2+ a4+…… + a10= =290525
1.在 的展开式中：
(1)求二项式系数的和; (2)各项系数的和;
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和;
(4)奇数项的系数和与偶数项的系数和.
变式练习
解： (1)
(2)令x=1,y=1, 得
(3)奇数项的二项式系数和与偶数项的二项式系数和为512.
(4)奇数项的系数和为 ; 偶数项的系数和为 .
例3 求证： (n∈N, 且n≥2)
证:
又∵n≥2, 上式至少有三项, 且
＞0
典例分析
∴ (n∈N, 且n≥2)
证: 要证 成立,
只需证 成立
变式练习
所以
例4 1＋2x)3(1－x)4的展开式中，含x项的系数为( )
A.10 B.－10 C.2 D.－2
典例分析
C
解: (1＋2x)3(1－x)4的展开式中含x项的系数是由两个因式相乘而得到的，
即第一个因式的常数项和一次项分别乘第二个因式的一次项与常数项，
1.(1＋2x2)(1＋x)4的展开式中x3的系数为( )
A.12 B.16 C.20 D.24
变式练习
A
2.(x－y)(x＋y)8的展开式中x2y7的系数为________.(用数字作答)
－20
3.已知(1＋ax)(1＋x)5的展开式中，含x2的项的系数为5，则a等于( )
A.－4 B.－3 C.－2 D.－1
D
证：32n＋2－8n－9
＝(8＋1)n＋1－8n－9
例5 求证：32n＋2－8n－9(n∈N*)能被64整除.
①式中的每一项都含有82这个因数，故原式能被64整除.
典例分析
方法总结：利用二项式定理可以解决求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式，且这种转化形式与除数有密切的关系.
证：原式＝4·6n＋5n－4＝4·(5＋1)n＋5n－4
1.求证：2n＋2·3n＋5n－4(n∈N*)能被25整除.
以上各项均为25的整数倍，
故2n＋2·3n＋5n－4能被25整除.
变式练习
性质1：对称性
与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等．
性质2：增减性与最值
当n为偶数时，正中间一项的二项式系数 最大；
当n为奇数时，中间两项的二项式系数 相等，且同时取得最大值.
性质3：二项式系数之和
课堂小结
方法总结：1.双通法：求解多项式特定项的方法
2.求余数和整除的问题，通常需将底数化成两数的和或差的形式
课后作业：课本34页练习2题4题