福建省泉州市永春县2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含答案）

永春县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学科试卷（2023.06）
考试时间：120分钟 满分：150分 试卷共4页
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知复数，则在复平面内对应的点在（ ）
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
3.设非零向量，满足，，，则在上的投影向量为（ ）
A. B. C. D.
4.若曲线在处的切线方程为，则（ ）
A.， B.，
C.， D.，
5.若等比数列的公比为，其前项和为，前项积为，并且，则下列正确的是（ ）
A. B.
C.的最大值为 D.的最大值为
6.中国古建筑闻名于世，源远流长．如图1所示的五脊殿是中国传统建筑中的一种屋顶形式，该屋顶的结构示意图如图2所示，在结构示意图中，已知四边形ABCD为矩形，，，与都是边长为1的等边三角形，若点A，B，C，D，E，F都在球O的球面上，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
7.若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
8.已知函数的图象恒过定点A，圆上的两点，满足，则的最小值为( )
A. B.
C. D.
多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项是符合题目要求的。全部选对得5分，选对但不全得2分，有错选的得0分。
9.以下说法正确的是（ ）
A.89，90，91，92，93，94，95，96，97的第75百分位数为95
B.具有相关关系的两个变量x，y的一组观测数据，，，，由此得到的线性回归方程为，回归直线至少经过点，，，中的一个点
C.相关系数r的绝对值越接近于1，两个随机变量的线性相关性越强
D.已知随机事件A，B满足，且，则事件A与B不互斥
10.正方体的棱长为，为底面的中心，为线段上的动点（不包括两个端点），为线段的中点，则（ ）
A.与是异面直线 B.平面平面
C.存在点使得
D.当为线段中点时，过、，三点的平面截此正方体所得截面的面积为
11.已知双曲线（）的左、右焦点分别为，直线交双曲线于两点，点为上一动点记直线的斜率分别为， 若，且到的渐近线的距离为，则下列说法正确的是（ ）
A.双曲线的离心率为
B.过右焦点的直线与双曲线相交两点，线段长度的最小值为4
C.若的角平分线与轴交点为，则
D.若双曲线在处的切线与两渐近线交于两点，则
12.已知函数和及其导函数和的定义域均为，若，，且为偶函数，则（ ）
A. B.函数的图象关于直线对称
C.函数的图象关于直线对称 D.
三．填空题（每空5分，共20分）
13.设甲袋中有3个白球和4个红球，乙袋中有1个白球和2个红球，现从甲袋中任取1球放入乙袋，再从乙袋中任取2球，则取出的全是红球的概率为________________.
14.已知函数的图象经过点，若在区间上单调递增，则ω的取值范围是___________.
15.已知A，B，C，D为抛物线上不同的四点，直线AB，CD交于点，直线AD经过E的焦点F，若直线AD的斜率为直线BC斜率的4倍，则______．
16. 已知函数，若存在唯一整数，使得成立，则实数a的取值范围为______．
四．解答题（70分，解答应写出演算步骤，证明过程）
17.（10分）已知锐角的内角的对边分别为边上的高为1，且.
（1）求证：；
（2）求的最小值.
18.（12分）已知数列的前n项和为，，且，数列满足，，，都有．
（1）求数列、的通项公式；
（2）设，，恒成立，求实数的取值范围．
19.（12分）如图1，在直角梯形ABCD中，∠ADC＝90°，CD∥AB，AB＝4，AD＝CD＝2，M为线段AB的中点．将△ADC沿AC折起，使平面ADC⊥平面ABC，得到几何体D﹣ABC，如图2所示．
（1）求证：BC⊥平面ACD；（2）求二面角A﹣CD﹣M的余弦值．
20.（12分）猜灯谜是我国一种民俗娱乐活动．某社区在元宵节当天举行了猜灯谜活动，工作人员给每位答题人提供了10道灯谜题目，答题人从中随机选取4道灯谜题目作答，若答对3道及以上灯谜题目，答题人便可获得奖品．已知甲能答对工作人员所提供的10道题中的6道．
（1）求甲能获得奖品的概率；（2）记甲答对灯谜题目的数量为X，求X的分布列与期望．
21.（12分）已知椭圆的长轴长为4，A，B是其左、右顶点，M是椭圆上异于A，B的动点，且．
（1）求椭圆C的方程；
（2）若P为直线上一点，PA，PB分别与椭圆交于C，D两点．
①证明：直线CD过椭圆右焦点；
②椭圆的左焦点为，求的内切圆的最大面积．
22.（12分）已知函数，.
（1）当时，求的单调区间；（2）若恒成立，求的取值范围.
永春县2022-2023学年高二下学期期末考试
数学科参考答案（2023.06）
单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.C 2. A 3.C 4. D 5.D 6. D 7. A 8. C
二.多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有两个或两个以上选项是符合题目要求的。全部选对得5分，选对但不全得2分，有错选的得0分。
9. ACD 10. BD 11.ACD 12.ABC
三．填空题（每空5分，共20分）
13. 14. 15.2 16.
四.解答题（70分，解答应写出演算步骤，证明过程）
17.（1）证明：
，
.
（2）由题意知，
由，可知，且，
，仅当时等号成立，此时，
.
18.（1）因为，所以当时，，两式相减得，
所以，即，
又因为，则，满足，
所以，数列为常数列，故，则，
因为数列满足，，，都有，
所以，数列是首项为，公比为的等比数列，
则.
（2）因为①，
所以②，
由①②得，
所以.
又，所以不等式，
即为，即恒成立，
构造函数，
当时，恒成立，则满足条件；
当时，由二次函数性质知不恒成立；
当时，由于，则在上单调递减，
则恒成立，则满足条件，
综上所述，实数的取值范围是.
19.（1），直角梯形中，因为，且，则，
所以，则，又因为，由余弦定理可得，
，也即，解得，
所以，从而，故，
取AC中点O连接DO，则DO⊥AC，又面ADC⊥面ABC，
面ADC∩面ABC＝AC，DO 面ACD，从而OD⊥平面ABC，
∴OD⊥BC又AC⊥BC，AC∩OD＝O，平面ACD，
∴BC⊥平面ACD.
（2）建立空间直角坐标系O﹣xyz如图所示，
则，，所以，
，
设为面CDM的法向量，
则，即，解得，
令，可得
又为面ACD的一个法向量，
∴，
∴二面角A﹣CD﹣M的余弦值为．
20.（1）由题可知，甲能获得奖品的概率．
（2）由题可知，X的取值可能为0，1，2，3，4，
则，，，，，
X的分布列为
0 1 2 3 4
．
21.（1）由已知得：，，，
设，
因为M在椭圆上，所以①
因为，
将①式代入，得，
所以，
所以椭圆的方程为．
（2）①设，则， ，
所以，，
联立方程，得，
则．
联立方程，得，，
则，
椭圆的右焦点为，
，，
因为，
说明C，D，三点共线，即直线CD恒过点．
②因为直线CD恒过点，
所以的周长为，
设内切圆的半径为，
所以的面积，
所以，即，
若内切圆的面积最大，即r最大，也就是最大，
因为三点不共线，
所以直线CD的斜率不为0，设直线CD的方程为，
代入得：，
可得，，
又因为
令，（*）式化为：，
因为函数在上单调递增，
所以当，即时，（*）式取最大值3，
所以，故，
所以得到内切圆面积的最大值为，当时取得．
22.（1）因为，所以，.
当时，，，则，
故的单调递增区间为，无单调递减区间.
（2）因为，所以.
若，则由（1）可知，在上恒成立，
则在上单调递增，故，符合题意.
若，令函数，则在上恒成立，
故在上单调递增.
因为，且当时，，所以，.
故当时，，单调递减，
当时，，单调递增，
则，不符合题意.
综上所述，的取值范围为.