福建省厦门市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试数学试题（含解析）

厦门市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学科试卷
本试卷共4页，满分150分
注意事项：
1．答题前，考生务必在试题卷、答题卡规定的地方填写自己的班级、座号、姓名．考生要认真核对答题卡上粘贴的条形码的“考号、姓名”与考生本人考号、姓名是否一致．
2．回答选择题时，选出答案后用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本卷上无效．
3．考试结束，考生只须将答题卡交回．
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．定义，已知数列为等比数列，且，则（ ）
A．4 B． C．8 D．
2．已知F为抛物线C：的焦点，A为C上的一点，AF中点的横坐标为2，则（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
3．某市教育局为了给高考生减压，将师范大学6名心理学教授全部分配到市属四所重点高中进行心理辅导，若A高中恰好需要1名心理学教授，B，C，D三所高中各至少需要1名心理学教授，则不同的分配方案有（ ）
A．150种 B．540种 C．900种 D．1440种
4．3月15日是国际消费者权益日．中央电视台特地推出3·15公益晚会，曝光了食品、医美、直播等多领域乱象，很大程度上震慑了一些不良商家，也增强了消费者的维权意识，一名市民在某商店买了一只灯泡，结果用了两个月就坏了，他拨打了12315投诉电话．通过调查，发现该商店将一些不合格灯泡混入一批合格灯泡中以次充好卖给顾客．假设合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.004，不合格灯泡在使用1000小时后损坏的概率为0.4，若混入的不合格灯泡数占灯泡总数的25%，现一顾客在该商店买一只灯泡，则该灯泡在使用1000小时后不会损坏的概率为（ ）
A．0.103 B．0.301 C．0.897 D．0.699
5．我们将服从二项分布的随机变量称为二项随机变量，服从正态分布的随机变量称为正态随机变量．概率论中有一个重要的结论是棣莫弗—拉普拉斯极限定理，它表明，若随机变量，当n充分大时，二项随机变量Y可以由正态随机变量X来近似，且正态随机变量X的期望和方差与二项随机变量Y的期望和方差相同．棣莫弗在1733年证明了的特殊情形，1812年，拉普拉斯对一般的P进行了证明．现抛掷一枚质地均匀的硬币100次，则利用正态分布近似估算硬币正面向上次数
超过60次的概率为
（附：若，则，，
）
A．0.1587 B．0.0228 C．0.0027 D．0.0014
6．已知菱形ABCD的边长为3，对角线BD长为5，将△ABD沿着对角线BD翻折至，使得线段长为3，则异面直线与CD所成角的余弦值为（ ）
A． B． C． D．
7．某高二学生在参加物理、历史反向学考中，成绩是否取得A等级相互独立，记X为“该学生取得A等级的学考科目数”，其分布列如下表所示，则的最大值是（ ）
X 0 1 2
P a b
A． B． C． D．
8．若实数x，y满足，则（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．总和生育率有时也简称生育率，是指一个人口群体的各年龄别妇女生育率的总和．它反映的是一名妇女在每年都按照该年龄别现有生育率生育的假设下，在育龄期间生育的子女总数．为了了解中国人均GDPx（单位：万元）和总和生育率y以及女性平均受教育年限z（单位：年）的关系，采用2012~2022近十年来的数据绘制了散点图，并得到经验回归方程，，对应的决定系数分别为，，则（ ）
A．人均GDP和女性平均受教育年限正相关．
B．女性平均受教育年限和总和生育率负相关
C．
D．未来三年总和生育率一定继续降低
10．已知函数，，则（ ）
A．函数有且只有2个零点年
B．函数的递减区间为
C．函数存在最大值和最小值
D．若方程有三个实数解，则
11．已知圆C：，则（ ）
A．存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点
B．存在两个不同的a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等
C．存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分
D．存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切
12．如图，正方体中，M为线段上的动点，平面α，则（ ）
A、直线AB与平面α所成角的正弦值范围为
B．已知N为中点，当的和最小时，
C．点M为的中点时，若平面α经过点B，则平面a截正方体所得截面图形是等腰梯形
D．点M与点重合时，平面α截正方体所得的截面，其面积越大，周长就越大
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．展开式中的系数为______．
14．从0，1，3，5，7，9这五个数中，每次取出两个不同的数分别记为A，B，则方程所表示的不同直线共有______条．
15．过双曲线的右焦点F作其中一条渐近线的垂线，垂足为Q，直线FQ与双曲线的左、右两支分别交于点M、N，若，则双曲线的离心率是______．
16．正方形ABCD位于平面直角坐标系上，其中，，，考虑对这个正方形执行下面三种变换：（1）L：逆时针旋转90 ．（2）R：顺时针旋转90 ．（3）S﹔关于原点对称．上述三种操作可以把正方形变换为自身，但是A，B，C，D四个点所在的位置会发生变化．例如，对原正方形作变换R之后，顶点A从移动到，然后再作一次变换S之后，A移动到，对原来的正方形按，，…，的顺序作k次变换记为，其中．如果经过k次变换之后，顶点的位置恢复为原来的样子，那么我们称这样的变换是k－恒等变换．例如，RRS是一个3－恒等变换．则3－恒等变换共______种；对于正整数n，n－恒等变换共______种．
四、解答题：共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）
数列满足，，λ为常数
（1）是否存在实数λ，使得数列{a}成为等比数列，若存在，找出所有的λ，及对应的通项公式；若不存在，说明理由；
（2）当时，记，求数列的前n项和．
18．（12分）
下表是某单位在2023年1~5月份用水量（单位：百吨）的一组数据：
月份x 1 2 3 4 5
用水量y 2.5 3 4 4.5 5.2
（1）从这5个月中任取2个月的用水量，求所取2个月的用水量之和不超过7（单位：百吨）的概率；
（2）若由经验回归方程得到的预测数据与实际数据的误差不超过0.05，视为“预测可靠”，那么由该单位前4个月的数据所得到的经验回归方程预测5月份的用水量是否可靠 说明理由．
参考公式：对于一组数据，，，，其回归直线的斜率和截距的
最小二乘估计公式分别为：，．
19．（12分）
如图所示，在三棱柱中，底面是正三角形，侧面是菱形，点在平面ABC的射影为线段AC的中点D，过，B，D的平面α与棱交于点E．
（1）证明：四边形是矩形；
（2）求平面和平面夹角的余弦值．
20．（12分）
已知点，在椭圆E：上，且E的离心率为．
（I）求E的方程：
（2）设F为E的右焦点，点是E上的任意一点，直线PF与直线相交于点Q，求的值．
21．（12分）
某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地区随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中女性是男性的2倍，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
（1）若依据小概率值的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，求男性患者至少有多少人
（2）某药品研发公司欲安排甲乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物．两个团队各至多排2个接种周期进行试验．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为，每人每次接种花费元，每个周期至多接种3次，第一个周期连续2次出现抗体测终止本接种周期进入第二个接种周期，否则需依次接种至第一周期结束，再进入第二周期：第二接种周期连续2次出现抗体则终止试验，否则依次接种至至试验结束：乙团队研发的药物每次接种后产生抗体概率为，每人每次花费元，每个周期接种3次，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期、假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．当，时，从两个团队试验的平均花费考虑，试证明该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
参考公式：（其中为样本容量）
参考数据：已知函数
α 0.10 0.05 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.897 10.828
22．（12分）
已知函数，为的导函数．
（1）当时，求函数的单调区间和极值；
（2）当时，求证：对任意的，，且，有
厦门市重点中学2022-2023学年高二下学期期末考试
数学科试卷答案
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1~4 CBCC 5~8 BDBA
1．【答案】C【详解】依题意得，又，所以．
2．【答案】B【详解】由题意得：，准线方程为，设，则AF中点的横坐标为，故，解得：，由抛物线的焦半径可知．
3．【答案】C【详解】先从6名教授中任选1名教授到A高中，有种不同的方法，再将其余5名教授分配到B，C，D三所高中，可分两类：①B，C，D三所高中有一所高中分1名教授，另外两所高中各分2名教授，有，种方法；②B，C，D三所高中有一个高中分3名教授，另两个高中各分1名教授，有种不同的方法，∴不同的分配方案共有种．
4．【答案】C【详解】由全概率公式，得任取一零件，它是合格品的概率为
．
5．【答案】B【详解】抛掷一枚质地均匀的硬币100次，设硬币正面向上次数为X，则，所以，，由题意，且，，因为，所以利用正态分布近似估算硬币正面向上次数超过60次的概率为，
6．【答案】D【详解】因为，
所以．
因为，．
所以．
所以，
即．
所以异面直线与CD所成角的余弦值为
7．【答案】B【解析】，设学考获得等级A的概率为设历史会考．优秀的概率为，则有，，大、当且仅当时取等，所以．
8．【答案】A【详解】因为，所以，即，所以，令，，
则，即，所以，
令，则，当时，，单调递增，
当时，，单调递减，所以在处取得极大值，也是最大值，，要想使得成立，只有时，即，满足要求，所以，，由定义域可知：，，
解得：，，，A正确；，BC错误；，D错误．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9．AB 10．AB 11．ACD 12．ABC
9．【答案】AB【详解】由回归方程知人均GDP和女性平均受教育年限正相关，故A正确；因为，，可得女性平均受教育年限z和总和生育率y的关系式为，所以女性平均受教育年限z和总和生育率y负相关，故B正确，由散点图可知，回归方程相对拟合效果更好，所以，故C错误；根据回归方程预测，未来总和生育率预测值有可能降低，但实际值不一定会降低，故D错误．
10．【答案】AB【详解】，，则，
令，令或，
所以函数在上单调递减，在和上单调递增，
且，，如图，易得A、B正确；
所以，无最大值，故C错误；
如图，若方程有三个实数解，则，故D错误
11．【答案】ACD【详解】圆的圆心坐标为，半径为1，
对于A：设圆C过原点，则，
方程解的个数等价于函数图象与曲线的交点个数，
作函数与圆的图象可得：
所以函数的图象与曲的交点个数为2，
所以存在两个不同的a，使得圆C经过坐标原点，A正确；
对B：圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等等价于，
即，即，
方程的解的个数函数和的零点的个数和相等，
因为，又，，
所以函数在区间上存在一个零点，即函数存在一个零点，
因为，当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以，故函数没有零点，所以方程的解的个数为1，
即存在一个a，使得圆C在x轴和y轴上截得的线段长相等，B错误；
对于C：圆C的面积被直线平分等价于过圆心，
所以，令，求导可得，令，可得，
当时，，函数在上单调递增，
当时，，函数在上单调递减，
又，所以函数只有一个零点，即方程只有一解，
所以存在唯一的a，使得圆C的面积被直线平分，C正确
对于D：圆C与x轴或y轴相切等价于或，
则或，共3解，所以存在三个不同的a，使得圆C与x轴或y轴相切，D正确；
12．【答案】ABC【详解】对于A选项，设正方体的棱长为2，以点D为坐标原点，
DA、DC、DD，所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则点
、、设点，
∵平面α，则为平面α的一个法向量，且，，
，
所以，直线AB与平面α所成角的正弦值范围为，A选项正确；
对于B选项，将矩形与矩形延展为一个平面，如图所示：
若最短，则A、M、N三点共线，
∵，∴，B选项正确．
对于C选项，设平面α交棱于点，点，，
∵平面α，平面α，∴，即，得
，∴，所以，点E为棱的中点，
同理可知，点F为棱的中点，则，，而，
∴，∴且，
由空间中两点间的距离公式可得，，
∴，所以，四边形BDEF为等腰梯形，C选项正确；
对于D选项，当M与重合时，连接、、、，
在正方体中，平面ABCD，∵平面ABCD，∴，
∵四边形ABCD是正方形，则，∵，∴平面，
∵平面，∴，同理可证，
∵，∴平面，易知是边长为的等边三角形，其面积为
，周长为．
设E、F、Q、N、G、H为棱、、、BC、CD、的中点，
易知六边形EFQNGH是边长为
的正六边形，且平面平面，
六边形EFQNGH的周长为，面积，
的面积小于正六边形EFQNGH的面积，它们的周长相等，D选项错误；
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．9 14、20 15． 16．6；
13．【答案】9【详解】∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式的系数，∵的展开式的通项为，
∴令，可得展开式中的系数为，故展开式'的系数为．
14．【答案】20【详解】当时，可表示1条直线；当时，可表示1条直线；当，时，A有5种选法，B有4种选法，可表示条不同的直线．其，，，表示同一条，，，，表示同一条；由分类加法计数原理，知共可表示条不同的直线．
15．【答案】【详解】如图，点到直线的距离为，
设双曲线的左焦点为，连接，则．
在中，设，则，
在中，由余弦定理得，
将代入整理后得，同理．
因为，
所以，因此，该双曲线的离心率为．
16．【答案】6；【详解】3－恒等变换必定含S，所以一共有LLS，LSL，SLL，RRS，RSR，SRR这6种3－恒等变换；注意到，作用一次S变换相当于两次L变换；作用一次R变换相当于三次L变换．我们记L为数字1，S为数字2，R为数字3，作用相应的变化就增加相应的数字．那么如果作了n次变换（其中包含p个L、q个S、r个R），当是4的倍数时，就能得到一个n－恒等变换．我们假设作了n次变换之后得到的相应数字除以4的余数是0，1，2，3的情况数分别为﹐，，，把这n次变换分解成次变换和第n次变换，假设经过n次变换之后余数为0．如果经过次变换后的余数是0，则第n次变换余数不可能为0；如果经过次变换后的余数分别是1，2，3，则第n次变换余数必须分别为3，2，1．其他完全类似，
因此，，，．
把后三个式子相加可得，
代入第一个式子可得，．
所以是公比为3的等比数列．
易得，而2－恒等变换有LR，RL，SS这三种，故．因此，，
从而…（1）．
同理可得，
所以是公比为的等比数列．…（2），
得
思路2：考虑前后两次，第次变换还原了（共有次变换），则第n次变换时一定不能还原；若第次变换未还原（共有次变换），则必能通过下一次变换后还原，所以，即．两边同乘，可得．
根据累加法可得．于是．
四、解答题：
17．【详解】（1）假设存在实数λ，使得数列成为等比数列，
则有，，
因为，所以数列成为等比数列，存在，，
（2）当时，由可知：数列是以为首项，为公差的等差数列
故
18．【详解】（1）从这5个月中任取2个月，包含的基本事件有个，其中所取2个月的用水量之和不超过7（百吨）的基本事件有以下4个：，，，，
故所求概率．
（2）由数据得，
由公式计算得
，所以y关于x的经验回归方程为
当时，得估计值 而
所以得到的经验回归方程是“预测可靠”的．
19．【详解】（1）连接，，在三棱柱中，侧面为平行四边形，所以，
因为平面，平面，所以平面，
因为平面，且平面平面，所以，因此，
因为点D是AC的中点，所以E为中点，所以，
所以四边形为平行四边形，
在正中，因为D是AC的中点，所以，
题可知平面ABC，BD，平面ABC，所以，，
因为，，平面，所以平面，
又平面，所以，故四边形为矩形．
（2）由（1）知DB，AC，两两垂直，以DB，AC，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系
设，则．在中，，，所以．
于是，，，，
，，，
设平面的法向量为，
由，得，取．
设平面的法向量为，
由，得，取．
则
故平面和平面夹角的余弦值为
20．（12分）【详解】（1）由题意得解得
所以椭圆E的方程为
（2）因为点是E上的任意一点，所以．
①当时，点或．
当点时，直线PF与直线相交于点，此时．
当点时，直线PF与直线相交于点，此时．
②当时，直线PF的方程为，
由，可得，所以．
所以，
，所以．综上所述，
21．【详解】设男性患都有人，则女性患者有人，列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男
女
合计
依据小概率值的独立性检验，认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则 解得
∵，，∴z的最小整数值为12，因此，男性患者至少有12人
（2）设甲研发团队试验总花费为X元，则X的可能取值为、、，
∵，，
，
∴，
在递减，∴，
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为、，
∴，，
∴，
设，，
函数在递减，，
∴恒成立，所以，该公司选择乙团队进行药品研发的决策是正确的．
22．【详解】（1）依题意，，．
从而可得，整理可得：
令，解得．当x变化时，，的变化情况如下表：
－ 0 ＋
单调递减 极小值 单调递增
所以，函数的单调递减区间为，单调递增区间为；
的极小值为，无极大值．
（2）证法一：由，得．
对任意的，，且，令，
则
． ①
令，．当时，，
由此可得在单调递增，所以当时，，即
因为，，，
所以
②
由（Ⅰ）（ⅱ）可知，当时，，即
故 ③
由①②③可得．
所以，当时，任意的，，且，有
（2）证法二，
以为主元构造函数：，．
则有，
其中为的导函数，，
设
．
所以恒成立，即在上单调递增
所以，即．