2022-2023学年第二学期辽宁省六校联考高二期末练习A
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意可知，∴，，故选B。
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】由得：，解得，∴，
由得：，∴，
∵，∴，故选C。
3．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年。某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）。设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到与近似满足。则每年中，要使这年与个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为（ ）。（精确到1）
参考数据。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】∵，∴一个回归年对应的天数为天，
假设年中应设定个闰年，则平年有个，∴，
解得，∴应设定个闰年，故选A。
4．函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由函数图像可知，函数图像关于轴对称，可得是偶函数，
由于，A选项错误，
当时，，∴，
当时，即时，取得最小值，与图中最小值矛盾，C选项错误，
又∵过，而D中，时，，D选项错误，故选B。
5．函数的值域是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由得，
，
∵，∴当时，，当时，，
即函数的值域为，故选B。
6．已知是上的奇函数，（），则数列的通项公式为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】在上为奇函数故，代入得：（），
当时，，令，则，上式即为：，
当为偶数时：
，
当为奇数时：
，
综上所述，，故选C。
7．已知定义域为的函数的导数为，对任意，，且当时，，则下列不等式恒成立的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】令函数，∵对任意，，∴，
即，∴为偶函数，∵在上存在导数，∴，
∵当时，，∴，∴在上单调递减，
∴在上单调递增，由得：，
又，∴，∴，∴，故选D。
8．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由条件得，
和的取值只有三种可能，分别为、、，
但二者不可能同时一个取，另一个取，
∴的化简结果只有四种形式：、、、，
而，故所有可能取值只有或两种结果，
∴的最大值为，故选B。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、函数的最小正周期为
B、函数的图像关于点中心对称
C、是函数图像的一条对称轴
D、将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像
【答案】ACD
【解析】∵函数，
∴函数的周期为，A选项对，
令，求得，B选项错，
令，求得，为最小值，C选项对，
将函数的图像向右平移个单位后，
得到函数的图像，D选项对，
故选ACD。
10．下列结论正确的是（ ）。
A、若、为正实数，，则
B、若、、为正实数，，则
C、若，，则“”是“”的充分不必要条件
D、当时，的最小值是
【答案】AC
【解析】A选项，∵正实数，，
∴，对，
B选项，∵、、为正实数，则，∴，错，
C选项，∵，则，则，
反之未必，如，时，满足，但不成立，
∴“”是“”的充分不必要条件，对，
D选项，∵，∴，于是，
即的最大值是，错，
故选AC。
11．在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）。
A、、、依次成等差数列 B、、、依次成等差数列
C、、、依次成等差数列 D、、、依次成等差数列
【答案】ABD
【解析】在中，内角、、所对的边分别为、、，
若、、依次成等差数列，则：，利用，
整理得：，利用正弦和余弦定理得：，
整理得：，即：、、依次成等差数列，
此时对等差数列、、的每一项取相同的运算得到：
数列、、或、、或、、，这些数列一般都不可能是等差数列，
除非，但题目没有说是等边三角形，
故选ABD。
12．已知数列的首项为且满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）。
A、当时，有恒成立 B、当时，有恒成立
C、当时，有恒成立 D、当（）时，有恒成立
【答案】AC
【解析】∵，∴，
A选项，当时，，
，∴，
，∴，
，∴，
……，∴是周期的数列，即，对，
B选项，当时，，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
……，根据A选项可知从第项开始是周期的数列，即（且），
而当时，、，，即不恒成立，错，
当时，恒成立，
C选项，当时，，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
根据A选项可知从第项开始是周期的数列，即（且），
∴恒成立，对，
D选项，当（）时，，
，∴，
，∴，
，∴，
，∴，
∴猜想，，，
∴不成立，错，
故选AC。
答题技巧： C选项一定不做！多选题，BD错，A对，则C一定对，但要注意一定要保证其他三个选项一定是一对二错。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量与的夹角为，，，则 。
【答案】
【解析】∵，，
∴，∴。
14．在数列中，，（），则的前项和为 。
【答案】
【解析】由题意知、、、、…，
又，则、、、、，∴是以为周期的周期数列，
则的前项和为。
15．已知的内角、、的对边分别是、、，且满足，则当时，则的取值范围为 。
【答案】
【解析】在中，，
由余弦定理可得：，
∴，∴，
∵，∴，又∵，∴，；
∴由正弦定理，又∵，
，∵，∴，
可得：，。
16．已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数
有唯一零点，则正实数的值为 。
【答案】
【解析】根据题意，，则，
而函数，分别是定义在上的偶函数和奇函数，则，
则，当时，，
则在为增函数，为偶函数，其图像关于轴对称，
则的图像关于直线对称，在区间上为增函数，
对于，其图像必定关于直线对称，
当时，，且，则在区间上为增函数，
若函数有唯一零点，则有，
解可得（可取）或（舍去）。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，且满足：。
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围。
【解析】（1）在中，，由题意及正弦定理得：， 2分
又，∴，又为锐角三角形，∴，∴； 4分
（2）结合（1）可知：
， 6分
由得，解得，∴， 8分
则，，
即的取值范围是。 10分
18．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且满足（）。
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令（），求数列的前项和。
【解析】（1）当时，，解得， 1分
由，得到，
两式相减得，即， 4分
∴数列是首项为，公比为的等比数列，∴； 5分
（2）由（1）可知，， 6分
则，， 10分
两式相减得：，∴。 12分
19．（本小题满分12分）如图所示，四边形中，，，。
（1）求的值；
（2）若，，求的长。
【解析】（1）在中，，∵，， 2分
由余弦定理可知，，解得或（舍）， 4分
，由正弦定理得，解得；6分
（2）∵，且，∴， 8分
由余弦定理可得， 10分
且，，代入得， 11分
解得。 12分
20．（本小题满分12分）已知正项等比数列的前项和为，满足，（）。
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，若，，求的最小值。
【解析】（1）设等比数列的公比为（），
当时，，即， 1分
即，即，即， 2分
∵，，∴，解得（舍去）或（可取）， 3分
∴； 4分
（2）， 5分
， 6分
两式相减得：， 7分
∴（）； 8分
（3）由（2）得，，即，即， 9分
设，， 10分
当时，，当时，， 11分
∴当时，取值最大值，即，∴的最小值为。 12分
21．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：存在，使不等式有解（为自然对数的底数）。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
∵，
①当时，，有两个不等实根为，
，，单调递增，
，，单调递减，
，，单调递增， 4分
②当时，，∴恒成立，∴在上单调递增； 6分
（2）不等式等价于，
∴只需证的最大值大于， 7分
∵，，又，∴，时等号成立，
∴， 9分
设函数，定义域为，，
当时，，在上单调递增，
当时，单调递减，在上单调递减，
∴在处取得极大值也是最大值，∴， 11分
∴存在，使不等式有解。 12分
22．（本小题满分12分）根据要求完成下列问题：
（1）求证：过点与曲线相切的直线有且只有一条，并求切线方程；
（2）设函数，若对任意的、（），不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围。
【解析】（1）的定义域为，，
设切点，则，斜率
∴切线方程为，
当该切线过点时，则有，即， 2分
构造函数，定义域为，，
令，解得、，
当或时，，∴在和单调递增，
当时，，∴在单调递减，
∴在处取极大值为，在处取极小值为，
又，∴有且只要一个零点，∴有唯一一个根， 5分
∴过点与曲线相切的直线有且只有一条，其切线方程为； 6分
（2）设，则不等式即，
构造函数，定义域为，则在上单调递增，
∴对于恒成立，
又，∴， 7分
①当时，
当时，设，则，
在上单调递增，而，
∴当时，在上单调递减，
当时，在上单调递增，
∴在处取得极小值也是最小值，∴，
又当时，，∴，
当时，，恒有，
综上所述，当时，，恒有，符合题意， 10分
②当时，∵，∴不符合题意， 11分
综上，实数的取值范围为。 12分2022-2023学年第二学期辽宁省六校联考高二期末练习A
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知复数满足（为虚数单位），则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．已知集合，，若，则实数的取值范围是（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．在地球公转过程中，太阳直射点的纬度随时间周而复始不断变化，太阳直射点回归运动的一个周期就是一个回归年。某科研小组以某年春分（太阳直射赤道且随后太阳直射点逐渐北移的时间）为初始时间，统计了连续天太阳直射点的纬度值（太阳直射北半球时取正值，直射南半球时取负值）。设第天时太阳直射点的纬度值为，该科研小组通过对数据的整理和分析，得到与近似满足。则每年中，要使这年与个回归年所含的天数最为接近，应设定闰年的个数为（ ）。（精确到1）
参考数据。
A、
B、
C、
D、
4．函数在上的图像如图所示，则的解析式可能是（ ）。
A、
B、
C、
D、
5．函数的值域是（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．已知是上的奇函数，（），则数列的通项公式为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．已知定义域为的函数的导数为，对任意，，且当时，，则下列不等式恒成立的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．已知单位向量、、，满足。若常数、、的取值集合为，则的最大值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、函数的最小正周期为
B、函数的图像关于点中心对称
C、是函数图像的一条对称轴
D、将函数的图像向右平移个单位后得到函数的图像
10．下列结论正确的是（ ）。
A、若、为正实数，，则
B、若、、为正实数，，则
C、若，，则“”是“”的充分不必要条件
D、当时，的最小值是
11．在中，内角、、所对的边分别为、、，若、、依次成等差数列，则下列结论中不一定成立的是（ ）。
A、、、依次成等差数列
B、、、依次成等差数列
C、、、依次成等差数列
D、、、依次成等差数列
12．已知数列的首项为且满足，其中，则下列说法中正确的是（ ）。
A、当时，有恒成立
B、当时，有恒成立
C、当时，有恒成立
D、当（）时，有恒成立
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．平面向量与的夹角为，，，则 。
14．在数列中，，（），则的前项和为 。
15．已知的内角、、的对边分别是、、，且满足，则当时，则的取值范围为 。
16．已知函数、分别是定义在上的偶函数和奇函数，且，若函数
有唯一零点，则正实数的值为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）在锐角中，内角、、的对边分别为、、，且满足：。
（1）求角的大小；
（2）求的取值范围。
18．（本小题满分12分）设数列的前项和为，且满足（）。
（1）证明：数列是等比数列；
（2）令（），求数列的前项和。
19．（本小题满分12分）如图所示，四边形中，，，。
（1）求的值；
（2）若，，求的长。
20．（本小题满分12分）已知正项等比数列的前项和为，满足，（）。
（1）求的通项公式；
（2）求数列的前项和；
（3）在（2）的条件下，若，，求的最小值。
21．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）讨论函数的单调性；
（2）证明：存在，使不等式有解（为自然对数的底数）。
22．（本小题满分12分）根据要求完成下列问题：
（1）求证：过点与曲线相切的直线有且只有一条，并求切线方程；
（2）设函数，若对任意的、（），不等式恒成立，其中为自然对数的底数，求实数的取值范围。
