2022-2023学年第二学期辽宁省六校联考高二期末练习B
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．下列命题中为真命题的是（ ）。
A、，
B、对于，且，都有
C、，
D、若幂函数的图像与坐标轴没有交点，则
4．年月日时分，长征二号运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，直入苍穹，将神舟十三号载人飞船成功送入预定轨道。通常发射卫星的运载火箭可靠性要求约为，发射载人飞船的运载火箭可靠性要求为。为进一步提高宇航员的安全，使火箭安全性评估值达到这一国际先进水平，某载人飞船改进了逃逸系统（假设火箭安全性评估值由运载火箭的可靠性和逃逸系统的可靠性共同决定，他们的可靠性相互独立，并且当运载火箭和逃逸系统至少有一个正常工作时即认为火箭安全），则逃逸系统的可靠性至少应该是（ ）。（精确到）
A、
B、
C、
D、
5．对于函数，下列结论正确的是（ ）。
A、图像关于点对称
B、在区间上单调递增
C、与函数相等
D、在区间的最大值为
6．若数列满足，，则的最小值为（ ）。
A、
B、
C、
D、
7．己知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．若、、，则、、的大小关系为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知等差数列的前项和为，且满足、，则下列说法正确的有（ ）。
A、数列是递增数列
B、数列是递增数列
C、的最小值为
D、使得取得最小正数的
10．下列结论正确的是（ ）。
A、在中，若，则
B、在锐角三角形中，不等式恒成立
C、在中，若，，则为等腰直角三角形
D、在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
11．下列命题正确的是（ ）。
A、若角（），则
B、任意的向量、，若，则
C、已知数列的前项和（、、为常数且），则为等差数列的充要条件是
D、函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称
12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如图所示，已知圆的半径为，点是圆内的定点，且，弦、弦均过点，则下列说法正确的是（ ）。
A、为定值
B、的取值范围是
C、当时，为定值
D、的最大值为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出一个同时具有下列性质①②③的数列，①无穷数列，②递减数列，③每一项都是正数，则 。
14．在中，角、、的对边分别为、、，若，则 。
15．如图所示，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若、是线段上的动点，且，则的最小值为 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
16．直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知数列满足，，。
（1）证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和。
18．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知向量，向量，且。
（1）求角的大小；
（2）若点为边上一点，且满足，，，求的面积。
19．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且、、成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若存在，使得成立，求实数的取值范围。
20．（本小题满分12分）如图所示，在平面五边形中，已知，，，，。
（1）当时，求；
（2）当五边形的面积时，求的取值范围。
21．（本小题满分12分）设函数，其中，曲线在点（）处的切线经过点。
（1）求函数的极值；
（2）证明：。
22．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）当时，试求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，方程恒有三个不等实数根，试求实数的取值范围。2022-2023学年第二学期辽宁省六校联考高二期末练习B
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，集合，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】，，∴，故选D。
2．若复数满足，其中为虚数单位，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】设，且，则，则，故选A。
3．下列命题中为真命题的是（ ）。
A、， B、对于，且，都有
C、， D、若幂函数的图像与坐标轴没有交点，则
【答案】A
【解析】A选项，当时，，是真命题，
B选项，当为偶数且时，，是假命题，
C选项，当时，无意义，是假命题，
D选项，当时， 与坐标轴有交点，是假命题，
故选A。
4．年月日时分，长征二号运载火箭，在酒泉卫星发射中心点火升空，直入苍穹，将神舟十三号载人飞船成功送入预定轨道。通常发射卫星的运载火箭可靠性要求约为，发射载人飞船的运载火箭可靠性要求为。为进一步提高宇航员的安全，使火箭安全性评估值达到这一国际先进水平，某载人飞船改进了逃逸系统（假设火箭安全性评估值由运载火箭的可靠性和逃逸系统的可靠性共同决定，他们的可靠性相互独立，并且当运载火箭和逃逸系统至少有一个正常工作时即认为火箭安全），则逃逸系统的可靠性至少应该是（ ）。（精确到）
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】假设未知的逃逸系统的可靠性至少为与运载火箭可靠性共同决定火箭安全性评估值，
且当运载火箭和逃逸系统至少有一个正常工作时即认为火箭安全，则有三种情况，分别是：
①运载火箭正常，逃逸系统不正常，则，
②运载火箭不正常，逃逸系统正常，则有，
③运载火箭正常，逃逸系统正常，则有，
这三种情况使火箭安全性评估值至少满足，
∴，解得，故选B。
5．对于函数，下列结论正确的是（ ）。
A、图像关于点对称 B、在区间上单调递增
C、与函数相等 D、在区间的最大值为
【答案】D
【解析】A选项，∵，∴，∴函数不关于对称，错，
B选项，∵，，又在上不单调，错，
C选项，，错，
D选项，∵，∴，∴，∴，对，
故选D。
6．若数列满足，，则的最小值为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，设，
∴，若有最小值，则有最小值，
令，则，∴当或时，的最小值为，故选B。
7．己知函数，，若恒成立，则实数的取值范围是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】A
【解析】，
设，其定义域为，，
令，其定义域为，，∴在上单调递增，
∵，∴当时，，，∴在内单调递减，
当时，，，∴在内单调递增；
∴，∴恒成立，则，即，故选A。
8．若、、，则、、的大小关系为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】构造函数，定义域为，，
则在上单调递减，∴，即，即，即，
构造函数，定义域为，，
∵，∴，令，则，
构造函数，定义域为，则，
∴在上单调递减，∴，∴，则在上单调递增，
∴，即，即，即，
∴，故选D。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．已知等差数列的前项和为，且满足、，则下列说法正确的有（ ）。
A、数列是递增数列 B、数列是递增数列
C、的最小值为 D、使得取得最小正数的
【答案】AC
【解析】设等差数列的公差为，∵、，∴且，
A选项，由题意可知，∴数列是递增数列，对，
B选项，当时，数列是递减数列，
当时，数列是递增数列，错，
C选项，当时取最小值，对，
D选项，，，
∴取得最小正数时的，错，
故选AC。
10．下列结论正确的是（ ）。
A、在中，若，则
B、在锐角三角形中，不等式恒成立
C、在中，若，，则为等腰直角三角形
D、在中，若，，三角形面积，则三角形外接圆半径为
【答案】ABC
【解析】A选项，在中，∵，且，则，对，
B选项，在锐角三角形中，，即恒成立，对，
C选项，，且，则，∴，
∴，∴，
∴，∴，
则，∴，即为等腰直角三角形，对，
D选项，在中，若，，三角形面积，∴，
∴，则，错，
故选ABC。
11．下列命题正确的是（ ）。
A、若角（），则
B、任意的向量、，若，则
C、已知数列的前项和（、、为常数且），则为等差数列的充要条件是
D、函数的定义域为，若对任意，都有，则函数的图像关于直线对称
【答案】BC
【解析】A选项，当时，，当时，、，不满足，错，
B选项，设、的夹角为，则，∴，
∴或，∴，对，
C选项，验证必要性：当时，，
当时，，
由于，∴当时，是公差为等差数列，
要使是等差数列，则，解得，即是等差数列的必要条件是，
验证充分性：当时，，，
当时，，当时，，显然当时也满足上式，
∴（），进而可得（），∴是等差数列，
∴为等差数列的充要条件是成立，对，
D选项，设函数，满足其定义域为，且对任意，
都有，
，
满足，而，
则函数的图像关于直线对称，不关于对称，错，
故选BC。
12．“圆幂定理”是平面几何中关于圆的一个重要定理，它包含三个结论，其中一个是相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等。如图所示，已知圆的半径为，点是圆内的定点，且，弦、弦均过点，则下列说法正确的是（ ）。
A、为定值
B、的取值范围是
C、当时，为定值
D、的最大值为
【答案】AC
【解析】设直线与圆交于点、，
则，A选项对，
取中点，连接，
则，
而，∴的取值范围是，B选项错，
当时，
，C选项对，
∵、，当且与重合时，，D选项错，
故选AC。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．写出一个同时具有下列性质①②③的数列，①无穷数列，②递减数列，③每一项都是正数，则 。
【答案】
【解析】答案不唯一，例如：、等。
14．在中，角、、的对边分别为、、，若，则 。
【答案】
【解析】∵，∴，
又（当且仅当时取等号），
当且仅当时取等号，
∴，∴，，∴。
15．如图所示，在四边形中，，，，且，，则实数的值为 ，若、是线段上的动点，且，则的最小值为 。（本小题第一个空2分，第二个空3分）
【答案】
【解析】∵，∴，∴，
，解得，
以点为坐标原点，所在直线为轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
∵，∴，∵，，∴，又∵，则，
设，则（其中），
，，
∴，
∴当时，取得最小值。
16．直线与曲线相切也与曲线相切，则称直线为曲线和曲线的公切线，已知函数，函数，其中，若曲线和曲线的公切线有两条，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】设曲线的切点为：，，
∴过该切点的切线斜率为，又，
∴过该切点的切线方程为：，即，
设曲线的切点为：，，
∴过该切点的切线斜率为，又，
∴过该切点的切线方程为：，即，
则两曲线的公切线应该满足：，化简得：，
构造函数，定义域为，，令，解得，
当时，，在内单调递增，
当时，，在内单调递减，
∴在处取得极大值也是最大值，为，
又当时，，当时，
∴函数的图像大致如下图所示，∴实数的取值范围为。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知数列满足，，。
（1）证明：是等差数列；
（2）设，求数列的前项和。
【解析】（1）由得， 1分
∴， 3分
又，∴是首项为、公差为的等差数列； 5分
（2）由（1）可知，∴，∴， 7分
∴
。 10分
18．（本小题满分12分）在中，角、、所对的边分别为、、，已知向量，向量，且。
（1）求角的大小；
（2）若点为边上一点，且满足，，，求的面积。
【解析】（1）∵，∴， 1分
在中，，由题意、倍半角公式及正弦定理得：
，即， 3分
又∵，∴，∵，∴； 5分
（2）∵，∴为中点，∴， 6分
∴，
∴①， 8分
又由余弦定理得：，∴②， 10分
由①②得，∴。 12分
19．（本小题满分12分）已知各项均不相等的等差数列的前五项和，且、、成等比数列。
（1）求数列的通项公式；
（2）设为数列的前项和，若存在，使得成立，求实数的取值范围。
【解答】（1）设数列的公差为（），由已知得，即为， 2分
即，由得，∴； 4分
（2），
∴， 7分
∵存在，使得成立，∴存在，使得成立，
即有解，即有， 10分
而，当且仅当时取等号，
∴。 12分
20．（本小题满分12分）如图所示，在平面五边形中，已知，，，，。
（1）当时，求；
（2）当五边形的面积时，求的取值范围。
【解析】（1）连接，在中，，，
由余弦定理得，∴， 3分
同时可得，又，∴，
又由五边形内角和可得，∴，∴四边形为等腰梯形， 4分
过点作于，可求得，∴； 6分
（2）， 7分
又五边形的面积，∴， 8分
设，则，
整理得，解得或， 11分
又，即，∴的取值范围是。 12分
21．（本小题满分12分）设函数，其中，曲线在点（）处的切线经过点。
（1）求函数的极值；
（2）证明：。
【解析】（1）的定义域为，， 1分
则，，故在（）处的切线方程， 2分
∵该切线经过点，代入得，解得， 3分
∴，，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增， 5分
∴当时，函数取得极小值，无极大值； 6分
（2）等价于：，
由（1）可得（当且仅当时等号成立）①，
∴，故只要证明即可，（需验证等号不同时成立）， 9分
设，，则，
当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增，
∴，当且仅当时等号成立②，
∵①②等号不同时成立，∴当时，。 12分
22．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）当时，试求函数的单调区间；
（2）若对于任意的，方程恒有三个不等实数根，试求实数的取值范围。
【解析】（1）当时，， 1分
当时，，则恒成立，∴函数在单调递增， 2分
当时，，令，解得，
当时，，∴函数在单调递增，
当时，，∴函数在单调递减， 3分
∴函数的单调递增区间为和，单调递减区间为； 4分
（2），
构造，为连续函数，
则，， 6分
当时，恒成立，∴是增函数，
当时，令，得，
∴当时，，∴是增函数，
当时，，∴是减函数，
∴在处取得极大值为，
在处取得极小值为， 9分
又当、时，恒成立，
当时，恒成立， 11分
∴方程恒有三个不等实数根，
等价于函数的图像与函数的图像有三个交点，
即。 12分
