2022-2023学年第二学期辽宁省六校联考高二期末练习C
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）。
A、
B、
C、
D、
2．已知复数”，则的共轭复数（ ）。
A、
B、
C、
D、
3．函数的部分图像大致为（ ）。
A、 B、 C、 D、
4．年月日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到年，全国人口总数约为亿，下列各选项的数字与亿最接近的是（ ）。
（参考数据：，，，）
A、
B、
C、
D、
5．已知数列满足，，则数列的前项积为（ ）。
A、
B、
C、
D、
6．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）。
A、
B、
C、的周期为
D、
7．已知函数（），将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点、、是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
8．已知函数（），若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列说法正确的有（ ）。
A、命题“，”的否定是“，”
B、若复数、满足，则
C、若平面向量、满足，则
D、在中，若，则为锐角三角形
10．已知不相等的两个正实数和，满足，下列不等式正确的是（ ）。
A、
B、
C、
D、
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、在上单调递增
B、直线是图像的一条对称轴
C、方程在上有三个实根
D、的最小值为
12．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是（ ）。
A、数列是递增数列
B、数列的最大值与最小值的和为
C、数列是递增数列
D、数列是递增数列
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则
。
14．已知正方形的边长为，点满足：，则 ， 。（本小题每个空2.5分）
15．对于任意实数序列，，定义，已知数列、满足、，若中前项的和恒成立，则整数的最小值为 。
16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知数列满足，。
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若 ，求数列的前项和。
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分。
18．（本小题满分12分）已知函数，的内角、、的对边分别为、、，角为锐角，且。
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积。
19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足：（）。
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。
20．（本小题满分12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，，当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中、都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场，为安全起见，需在的周围安装防护网。
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省资金投入，人工湖的面积要尽可能小，设，问：当多大时的面积最小？最小面积是多少？
21．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）证明：；
（2）若数列满足，，证明：，。
22．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。2022-2023学年第二学期辽宁省六校联考高二期末练习C
（时间：120分钟，满分：150分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1．已知集合，，则（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】，，∴，故选C。
2．已知复数”，则的共轭复数（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】∵，，
∴，∴，故选B。
3．函数的部分图像大致为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】D
【解析】∵为偶函数，为奇函数，
∴是定义为的奇函数，排除C选项，
又，排除B选项，
当时，、，∴，排除A选项，
故选D。
4．年月日，全国第七次人口普查的结果正式公布，截止到年，全国人口总数约为亿，下列各选项的数字与亿最接近的是（ ）。
（参考数据：，，，）
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】设，
则，
故选C。
5．已知数列满足，，则数列的前项积为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】B
【解析】由题意，，，解得，继续解得，，，…，
∴是周期为的循环数列，在一个周期内的积为：，
，前项之积为个周期之积，
即，故选B。
6．已知函数的图像关于直线对称，函数关于点对称，则下列说法正确的是（ ）。
A、 B、 C、的周期为 D、
【答案】B
【解析】的图像关于直线对称，则关于对称，
又函数关于点对称，则关于点对称，
根据对称性，也关于对称，且周期为，则B选项正确，
对于D，令，则，与题意不符，故选B。
7．已知函数（），将的图像向右平移个单位得到函数的图像，点、、是与图像的连续相邻三个交点，若是钝角三角形，则的取值范围为（ ）。
A、
B、
C、
D、
【答案】B
【解析】由题意得，，作出两个函数的图像如图所示，
、、为连续三交点，（不妨设在轴下方），为的中点，
由对称性可知是以为顶角的等腰三角形，，
由，整理得，解得，则，
即，∴，∵为钝角三角形，则，
∴，解得，故选B。
8．已知函数（），若存在，使得成立，则实数的取值范围为（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】C
【解析】∵，，∴，
∴，
∵存在，使得，即，∴，
设，，则，∴，
令，解得，当时，即时，函数单调递增，
当时，即时，函数单调递减，
∵、，∴，∴，故选C。
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分。
9．下列说法正确的有（ ）。
A、命题“，”的否定是“，”
B、若复数、满足，则
C、若平面向量、满足，则
D、在中，若，则为锐角三角形
【答案】ACD
【解析】A选项，命题“，”的否定是“，”，对，
B选项，、，，但，，错，
C选项，，则，对，
D选项，由可得和同号，∴、均为锐角，
又，∴，则也为锐角，对，
故选ACD。
10．已知不相等的两个正实数和，满足，下列不等式正确的是（ ）。
A、 B、 C、 D、
【答案】BD
【解析】A选项，∵和为不相等的正实数，且，
可令和，则，错，
B选项，，对，
C选项，，其中，
当时，，当时，，错，
D选项，，∵，∴，对，
故选BD。
11．已知函数，则下列说法正确的是（ ）。
A、在上单调递增 B、直线是图像的一条对称轴
C、方程在上有三个实根 D、的最小值为
【答案】BC
【解析】A选项，，，则，∴函数在上不是增函数，错，
B选项，，
∴直线是图像的一条对称轴，对，
C选项，由可得，
显然，等式两边平方得，
整理可得，解得或，
当时，，则或，
方程在时有两解，方程在时只有一解，
∴方程在上有三个实根，对，
D选项，假设的最小值为，即，即，
且存在，使得，此时，
这与矛盾，假设不成立，错，
故选BC。
12．已知数列满足，，其前项和为，其前项积为，则下列说法正确的是（ ）。
A、数列是递增数列 B、数列的最大值与最小值的和为
C、数列是递增数列 D、数列是递增数列
【答案】BCD
【解析】∵，∴，
∴，
当时，，即，
当时，，即，
∴数列先增后减，A选项错，
∴当时数列取得最大值为，
又当时，，，∴当时数列取得最小值为，
∴数列的最小值与最小值的和为，B选项对，
∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，
∴数列是递增数列，C选项对，
∵恒成立，∴恒成立，∴恒成立，∴，
∴数列是递增数列，D选项对，
故选BCD。
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。
13．已知函数是定义在上的奇函数，且满足，当时，，则
。
【答案】
【解析】∵，∴的周期，∴，
又∵是奇函数，∴。
14．已知正方形的边长为，点满足：，则 ， 。（本小题每个空2.5分）
【答案】
【解析】以点为坐标原点，、所在直线分别为、轴建立如下图所示的平面直角坐标系，
则点、、、，
，则点，
∴，，
∴，。
15．对于任意实数序列，，定义，已知数列、满足、，若中前项的和恒成立，则整数的最小值为 。
【答案】
【解析】依题意可知
，
∴，∴整数的最小值为。
16．已知，若关于的不等式恒成立，则实数的取值范围为 。
【答案】
【解析】∵，∴中，由可得，
设，，则与互为反函数，
∴转化为，则只需的图像在上，的图像在下，
∴，即，令（），则只需，
∴，令，解得，
当时，在上单调递减，当时，在上单调递增，
∴为的极小值也是最小值，∴，即，又，∴。
四、解答题：本题共6小题，共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17．（本小题满分10分）已知数列满足，。
（1）求证：数列是等差数列，并求数列的通项公式；
（2）若 ，求数列的前项和。
在①；②；③三个条件中选择一个补充在第（2）问中，并对其求解，如果多写按第一个计分。
【解析】（1）由题意可知，由两边同时取倒数得， 1分
即当时，，又，∴，∴， 3分
∴数列是等差数列，首项为，公差为，∴，∴； 5分
（2）选①：由（1）可得：， 7分
∴
。 10分
选②：由（1）可得：，
当为偶数时，
， 7分
当为奇数时，
， 9分
∴。 10分
选③：， 6分
∴
。 10分
18．（本小题满分12分）已知函数，的内角、、的对边分别为、、，角为锐角，且。
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积。
【解析】（1）
， 3分
∵，∴，即， 5分
在中，，又为锐角，∴，解得； 6分
（2）由余弦定理得：，解得，则， 9分
则。 12分
19．（本小题满分12分）已知数列的前项和为，满足：（）。
（1）求证：数列为等差数列；
（2）若，，数列的前项和为，若不等式对任意恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）当时，，∴， 1分
由题意可知当时，，，
则，即， 3分
则，则，
即，即，∴，
∴数列是首项为，公差为的等差数列； 5分
（2）∵，则，∴，∴， 6分
设，
则
，
∴数列单调递减，∴数列的最大值为， 9分
若不等式对任意恒成立，
则只需，即，即，
解得或，即实数的取值范围为。 12分
20．（本小题满分12分）如图所示，某镇有一块空地，其中，，，当地镇政府规划将这块空地改造成一个旅游景点，拟在中间挖一个人工湖，其中、都在边上，且，挖出的泥土堆放在地带上形成假山，剩下的地带开设儿童游乐场，为安全起见，需在的周围安装防护网。
（1）当时，求防护网的总长度；
（2）为节省资金投入，人工湖的面积要尽可能小，设，问：当多大时的面积最小？最小面积是多少？
【解析】（1）在中，、、，∴， 1分
在中，、，∴由余弦定理得，
即，∴，即， 3分
∴，∴为正三角形，其周长为，∴防护网的总长度为； 4分
（2）由题意得，
在中，，即（或）， 6分
在中，，即， 8分
∴
（或）， 10分
又∵，即，
∴当且仅当时，的面积取最小值为。 12分
21．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）证明：；
（2）若数列满足，，证明：，。
【解析】（1）先证，即证，
令，，即证，
∵，∴在上单调递减，∴， 3分
再证，即证，即证，
令，，即证，
∵，∴在上单调递增，∴； 6分
（2）由（1）得：（），则， 7分
∴当时，，成立， 8分
当时，，即，∴， 11分
∴，。 12分
22．（本小题满分12分）已知函数，。
（1）若，求的单调区间；
（2）若关于的不等式恒成立，求实数的取值范围。
【解析】（1）当时，，定义域为，， 1分
当时，∵且，∴，
∴，∴在内单调递减， 2分
当时，∵且，∴，
∴，∴在内单调递增， 3分
∴当时，的单调递减区间为，单调递增区间为； 4分
（2）恒成立等价于恒成立，
令，定义域为，则， 5分
①当时，在区间上恒成立，符合题意， 6分
②当时，，
令，，即在上单调递增，，
，则存在，使得，
此时，即，
则当时，，单调递减，当时，，单调递增，
∴，
令，得，∵，∴， 11分
综上所述，实数的取值范围为。 12分
