高一下学期期中考试
数学试题
卷1（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一项是符合要求的）
1. 若，且，则角α的终边在（ ）
A 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
【解析】
【分析】根据角的象限与余弦函数的函数值和正切函数的函数值的正负的关系判断.
【详解】因为，所以角α的终边在第二象限或轴的负半轴或第三象限，
因为，所以角α的终边在第一象限或第三象限，
所以角α的终边在第三象限，
故选：C.
2. “”是“”的（ ）条件．
A. 必要而不充分 B. 充分而不必要
C. 充要 D. 既不充分也不必要
【答案】B
【解析】
【分析】先由求得的取值，进而得到其与之间的逻辑关系.
【详解】由，可得或，
则“”是“”的充分而不必要条件.
故选：B
3. 已知角α的终边上有一点，则的值为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用三角函数的坐标定义求出，再利用诱导公式化简已知得解.
【详解】因为角α的终边上有一点，
所以，
，
所以.
故选：D
4. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
化简各选项中的函数的解析式，利用正弦型、余弦型、正切型函数的基本性质求出各选项中函数的最小正周期，并判断出各选项中的奇偶性，由此可得出合适的选项.
【详解】对于A选项，函数的最小正周期为，该函数为奇函数，不合乎要求；
对于B选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，不合乎要求；
对于C选项，，函数的最小正周期为，且该函数为奇函数，不合乎要求；
对于D选项，，函数的最小正周期为，且该函数为偶函数，合乎要求.
故选：D.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由诱导公式可知，已知，利用同角三角函数的关系求出即可.
【详解】，且，
则，，
.
故选：C.
6. 函数的一部分图象如下图所示，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据图象，读取其最大值以及最小值和周期，求得，将最高点，代入函数解析式，求得，求得函数解析式，代入值可得答案.
【详解】由图形得，解得．又函数的周期，所以．
∴．
由题意得，点在函数的图象上，∴，即．
∴，∴
∴，∴．
故选：C．
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】应用二倍角正余弦公式可得，再由二倍角正切公式求即可.
【详解】由，
又.
故选：C
8. 已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据求出，得，求出的对称中心为，，根据函数在区间上单调，且，推出为的对称中心，由，，可求出结果.
【详解】因为，其中，，
因为，所以，即，解得，
所以，
令，，则，，
所以对称中心为，，
因为函数在区间上单调，且，则为的对称中心，
所以，，即，，
当时，取得最小值，
所以.
故选：A
二、多选题（每小题5分，共20分.漏选得2分，多选或错选不得分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 第一象限的角是锐角
C. 1弧度的角比1°的角大 D. 锐角是第一象限的角
【答案】ACD
【解析】
【分析】对于AC，将角度转化为弧度即可判断；对于B，根据象限角的概念判断；对于D，根据象限角的定义来判断.
【详解】对于A：，A正确；
对于B：第一象限的角不一定是锐角，比如，B错误；
对于C：1°的角为弧度，比1弧度的角小，C正确；
对于D：根据象限角的定义，可得D正确.
故选：ACD.
10. 下列大小关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】BC
【解析】
【分析】根据正弦函数的单调性及和0的大小关系来确定答案.
【详解】，
又，；
且.
故选：BC.
11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 最小正周期为π
B. 在区间上单调递增
C. 的图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
【答案】AD
【解析】
【分析】用二倍角公式化简，向右平移后得，分别代入正弦函数的单调区间，对称轴，对称中心分别对四个选项判断即可.
【详解】因为，向右平移个单位得，则最小正周期为，故A选项正确；
令，解得，所以单调递增区间为，故B选项错误；
令解得，故C选项错误；
令解得所以函数的对称中心为，故D选项正确.
故选：AD
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的最小正周期是 B. 当时，的值域是
C. 当时，为奇函数 D. 对的图象关于直线对称
【答案】ABD
【解析】
【分析】先把n值代入函数的解析式，化简整理成正弦型三角函数，再去求最小正周期、值域；依据定义去判断奇偶性、对称轴即可解决.
【详解】选项A：当时，
最小正周期是.判断正确；
选项B：当时，
的值域是.判断正确；
选项C：当时，
则
故，即不是奇函数. 判断错误；
选项D：
则的图象关于直线对称. 判断正确.
故选：ABD
卷11（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
【答案】
【解析】
【分析】利用扇形弧长和面积公式直接求解即可.
【详解】设扇形的半径为，则弧长，解得：，扇形面积.
故答案为：.
14. 函数的最大值为__________.
【答案】##1.25
【解析】
【分析】由同角三角函数的平方关系得,令，根据二次函数的最值，可得答案.
【详解】由已知得,
令，则，
当时，函数有最大值为.
故答案为：
15. 若，，，，则______．
【答案】
【解析】
【分析】根据角的取值范围和同角三角函数的基本关系得到，，然后利用两脚差的正弦即可求解.
【详解】因为，，且，
所以，又因为，则，
所以
，又因为，所以，
故答案为：.
16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．
【答案】
【解析】
【分析】根据筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，可求出，由时，求出和，从而可求出的关系式，进而可求出点P的纵坐标
【详解】因为筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，
所以，得，
所以，
因为当时，盛水筒M位于点，
所以，
所以，
因为，
所以，得，
因为，所以，
所以，
所以，
所以当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为，
故答案：
四、解答题：（本大题共6小题70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求下列各式的值
（1）；
（2）．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）（2）利用三角函数的诱导公式与和差公式化简求值即可.
【小问1详解】
.
【小问2详解】
.
18. 已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
（2）写出的单调区间．
【答案】（1）图象见解析
（2）的增区间为，减区间为
【解析】
【分析】（1）根据“五点法”作图的步骤求解即可；
（2）由可求出其增区间，由可求出其减区间.
【小问1详解】
列表
0
0 2 0 0
描点、连线得到图象如下
小问2详解】
由，得
，
由，得
，
所以的增区间为，减区间为.
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）先利用降幂公式和辅助角公式对函数化简变形，再利用周期公式可求出函数的周期，
（2）由题意可得，在上有唯一解，令，则将问题转化为直线与在上有唯一交点，作出函数图象可求得结果
【小问1详解】
，
所以的最小正周期为
【小问2详解】
由，得，
得，
令，
由，得，
所以，
令，则，，
作出的图象如图所示，
由图可知当或时，直线与有唯一交点，
此时关于的方程在上有唯一解，
解得或，
所以实数的取值范围为.
20. 已知函数
（1）求函数的对称轴及对称中心；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.
【答案】（1）的对称轴为，对称中心为
（2）
【解析】
【分析】（1）利用三角恒等变换化简，再利用正弦函数的性质即可得解；
（2）先利用三角函数图象平移的公式得到，再利用正弦函数的性质即可得解．
【小问1详解】
因为
，
令，得，所以的对称轴为，
令，得，所以的对称中心为.
【小问2详解】
因为将左移个单位得到，
再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来的，得到，
由，得，故，
所以，故在上的值域为.
21. 长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．
（1）根据图像，试求（，，）的表达式；
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）
【答案】（1），
（2）应在时间段将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过（小时）
【解析】
【分析】（1）结合函数图象，由求得A，b，再由求得T，再将，代入求解；
（2）由（1）得到解析式，令求解.
【小问1详解】
解：根据以上数据知，，
解得，；
由，解得，
所以；
由时，，即，
解得，即，；
所以，；
由，解得；
所以，；
【小问2详解】
令，
得，
即，；
解得，；
当时，，
所以24小时营业商家想获得最大利润，应在时间段将该种商品放在室外销售，
且单日室外销售时间最长不能超过（小时）．
22. 已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；
（2）存在，.
【解析】
【分析】（1）利用二倍角的正余弦公式、辅助角公式化简函数，选①，代入求出，选②③求出周期，进而求出，再利用正弦函数单调性求解作答.
（2）求出函数，在上的值域，再结合恒成立、能成立列式求解作答.
【小问1详解】
选①，依题意，，
，即，则，
即有，而，则，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选②，依题意，，显然，
因函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为，因此函数的周期，有，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
选③，依题意，，
因函数图象的相邻两条对称轴之间的距离为，因此函数的周期，有，
则有，由得：，
所以函数的单调递增区间是.
【小问2详解】
由（1）知，，由得：，
，因此，
由得：，，因此，从而，
由得：，假定存在实数，使得对，，成立，
即存在实数，使得对，，成立，则，
于是得，解得，因此存在实数，使得对，，成立，
所以实数的取值范围是.高一下学期期中考试
数学试题
卷1（选择题 共60分）
一、单选题（本大题共8小题，每小题5分，共40分，每小题给出的4个选项中只有一项是符合要求的）
1. 若，且，则角α的终边在（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2. “”是“”的（ ）条件．
A. 必要而不充分 B. 充分而不必要
C. 充要 D. 既不充分也不必要
3. 已知角α的终边上有一点，则的值为（ ）
A B.
C D.
4. 下列函数中，最小正周期为且为偶函数的是（ ）
A. B.
C. D.
5. 已知，且，则（ ）
A. B. C. D.
6. 函数的一部分图象如下图所示，则（ ）
A. 3 B. C. 2 D.
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 已知函数满足：.若函数在区间上单调，且，则当取得最小值时，（ ）
A B. C. D.
二、多选题（每小题5分，共20分.漏选得2分，多选或错选不得分）
9. 下列说法正确的是（ ）
A. B. 第一象限的角是锐角
C. 1弧度的角比1°的角大 D. 锐角是第一象限的角
10. 下列大小关系中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
11. 已知函数的图象是由函数的图象向右平移个单位得到，则（ ）
A. 的最小正周期为π
B. 在区间上单调递增
C. 图象关于直线对称
D. 的图象关于点对称
12. 已知函数，则（ ）
A. 当时，的最小正周期是 B. 当时，的值域是
C. 当时，为奇函数 D. 对的图象关于直线对称
卷11（非选择题 共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13. 已知扇形的圆心角为，弧长为，则该扇形的面积为______．
14. 函数的最大值为__________.
15. 若，，，，则______．
16. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，既经济又环保．明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图1）．假定在水流量稳定的情况下，筒车上的每一个盛水筒都做匀速圆周运动如图2，将筒车抽象为一个半径为的圆，设筒车按逆时针方向每旋转一周用时120秒，当时，盛水筒M位于点，经过t秒后运动到点，点P的纵坐标满足，则当筒车旋转100秒时，盛水筒M对应的点P的纵坐标为____________．
四、解答题：（本大题共6小题70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17. 求下列各式的值
（1）；
（2）．
18. 已知函数．
（1）请用“五点法”画出函数在一个周期上的图象；
（2）写出的单调区间．
19. 已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）若关于的方程在上有唯一解，求实数的取值范围
20 已知函数
（1）求函数的对称轴及对称中心；
（2）将函数的图像向左平移个单位，再将所得图像上各点的横坐标缩短为原来倍，纵坐标不变，得到函数的图像，求在上的值域.
21. 长春某日气温y（℃）是时间t（，单位：小时）的函数，该曲线可近似地看成余弦型函数的图象．
（1）根据图像，试求（，，）的表达式；
（2）大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获3倍于室内销售的利润，但对室外温度要求是气温不能低于23℃．根据（1）中所得模型，一个24小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段（用区间表示）将该种商品放在室外销售，单日室外销售时间最长不能超过多长时间？（忽略商品搬运时间及其它非主要因素，理想状态下！）
22. 已知函数，且_____．
从以下三个条件中任选一个，补充在上面条件中，并回答问题：过点函数图象与直线的两个相邻交点之间的距离为函数图象中相邻的两条对称轴之间的距离为．
（1）求函数的单调递增区间；
（2）设函数，则是否存在实数，使得对于任意，存在，成立若存在，求实数的取值范围若不存在，请说明理由．
