西南大学附高 2022—2023 学年度下期期末考试
高二数学试题
（满分：150分；考试时间：120分钟）
注意事项：
1．答题前，考生先将自己的姓名、班级、考场/座位号、准考证号填写在答题卡上。
2．答选择题时，必须使用 2B 铅笔填涂；答非选择题时，必须使用 0.5 毫米的黑色签字笔书写；
必须在题号对应的答题区域内作答，超出答题区域书写无效；保持答卷清洁、完整。
3．考试结束后，将答题卡交回（试题卷学生保存，以备评讲）。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项
是符合题目要求的．
1． 已知集合M = x x = 3k 2,k Z ，集合 N = x x = 6k +1,k Z ，则（ ）
A．M = N B．M N C． N M D．M N =
1
2． 已知 p : x 0， q : x + 2 ，则 p 是 q 的（ ）
x
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
． 23 若不等式 x ax + 4 0在 x 1,3 上有实数解，则 a的取值范围是（ ）
13
A． ( ,4) B． ( ,5) C． , D． (4,5)
3
4． 从装有 3 个红球和 4 个白球的袋子中不放回地随机取出 3 个球，若取出的球中有红球，则
取出的球全是红球的概率为（ ）
1 1 1 1
A． B． C． D．
35 31 15 7
5． 甲乙等五名学生参加数学、物理、化学、生物这四门学科竞赛，已知每人恰参加一门学科
竞赛，每门学科竞赛都有人参加，且甲乙两人不参加同一学科竞赛，则一共有（ ）种
不同的参加方法
A．72 B．144 C．216 D．240
ln ( x2 +1 x)
6． 函数 f (x) = 的图象大致为（ ）
1 x2
高二 数学 第1页（共 4 页）
{#{QQABIYKQogAIAABAAABCUwHiCkCQkgCCAIgOAFAUIEABCAFABAA=}#}
y y y y
A． x B ． C． O x D． O O x O x
7． 已知函数 f (x) = ln 2 ax + (a 6) x + 2 既没有最大值，也没有最小值，则 a 的取值范围是
（ ）
A． ( ,2 18,+ ) B． (2,18) C． (0,2 18,+ ) D． 0,2 18,+ )
2x2 x +1
8． 已知 x 0，y 0，x + y =1，则 的最小值为（ ）
xy
14
A．4 B． C． 2 + 2 D． 2 2 +1
3
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的选项中，有多项符
合题目要求。全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分．
9． 下列说法正确的是（ ）
A．经验回归方程中 b 的含义是 x每增加一个单位，y增加的单位数
B．样本相关系数 r 1,1 ，当 r = 0时，表明成对样本数据间没有任何相关关系
C．决定系数 R2 可以作为衡量任何模型拟合效果的一个指标，它越大，拟合效果越好
D．经验回归方程 y = 3x +1相对于点 (2,6.5)的残差为 0.5
ex +1
10． 已知 f (x) = ，则（ ）
ex 1
A． f (x)为奇函数 B． f (x)在 ( ,0) (0,+ )上单调递减
C． f (x)值域为 ( , 1) (1,+ ) D． f ( f (x)) 的定义域为 x x 0
n
2
11． 已知 x + 的二项展开式中第3项和第 4 项的二项式系数最大，则（ ）
x
A． n = 6 B．展开式的各项系数和为 243
C．展开式中奇数项的二项式系数和为 16 D．展开式中有理项一共有 3 项
12． 已知函数 f (x)满足 f (x) + 2 f (x) 0 ，且 f (0) =1，则（ ）
A． f (x)不可能是偶函数 B．若 x 0，则 f (x) 0
1 1
C． f D．若 x 0，则 f (x) 1 2x
2 e
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{#{QQABIYKQogAIAABAAABCUwHiCkCQkgCCAIgOAFAUIEABCAFABAA=}#}
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．
1
13． 已知随机变量 X B 5, ，则 D(3X 1) =__________．
3
14． 现有 9 名同学按照身高从高到低排成一排，体育老师决定让其中 3 人出列，要求相邻两人
不能同时出列，则满足条件的出列方法有__________种（用数字作答）．
15． 已知函数 f (2x +1)为偶函数，且 xf (x + 2) = f (x)，当 0 x 1时， f (x) = 2 1，则函
数 g (x) = lg x 的图象与 f (x)的图象一共有__________个公共点．
16． 已知 f (x) = ex， g (x) = ln x ，直线 l 既和 f (x)的图象相切，又和 g (x)的图象相切，记直
线 l 的斜率为 k (k 1)，则 k = __________（其中 x 表示不超过 x 的最大整数）．
四、解答题：本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
2x
17． 已知集合 A = x x2 (3a +1) x + 2a (a +1) 0 ， B = x 1
x 1
(1) 若 a = 1，求 A B ；
(2) 若 A B = A，求 a的取值范围.
18． 体育强则中国强. 站在“两个一百年”奋斗目标交汇的历史节点上，作为教育部直属重点
大学附中，西南大学附中始终高度重视学校体育工作，构建德智体美劳全面培养的教育体
系. 现从该校随机抽取100名学生调查其运动习惯（称每周运动不少于 3次的为运动达标，
否则为运动不达标），得到如下数据：
运动达标 运动不达标 合计
男 25 40
女 40
合计
(1) 补全2×2列联表，根据小概率值 = 0.005的独立性检验，能否认为运动达标与性别有
关联？
(2) 用样本估计总体，将频率视为概率，现从该校所有男生中随机抽取 1 名男生进行调查，
从该校所有女生中随机抽取 2 名女生进行调查，抽取的学生运动是否达标相互独立，
设随机变量 X 表示这三人中运动达标的人数，求 X 的分布列与数学期望.
2
n(ad bc)
附： 2 =
(a + b)(c + d )(a + c)(b + d )
0.100 0.050 0.010 0.005 0.001
2.706 3.841 6.635 7.879 10.828
高二 数学 第3页（共 4 页）
{#{QQABIYKQogAIAABAAABCUwHiCkCQkgCCAIgOAFAUIEABCAFABAA=}#}
x
19． 已知 f (x) =
ln x
(1) 求 f (x)单调区间；
(2) 点 A(b, f (b))(b e)为 f (x)图象上一点，设函数 f (x)在点 A 处的切线为直线 l ，若
直线 l 与 x轴交于点 (c,0)，求 c 的最大值.
20． 某医疗机构成立了一支研发小组负责某流感相关专题的研究
(1) 该研发小组研制了一种退烧药，经过大量临床试验发现流感患者使用该退烧药一天后
的体温（单位：℃）近似服从正态分布 N (37.6,0.16)，流感患者甲服用了该退烧药，
设一天后他的体温为 X ，求 P(37.2 X 38.4)；
(2) 数据显示人群中每个人患有该流感的概率为 1%，该医疗机构使用研发小组最新研制
的试剂检测病人是否患有该流感，由于各种因素影响，该检测方法的准确率是80 %，
即一个患有该流感的病人有 80 %的可能检测结果为阳性，一个不患该流感的病人有
80 %的可能检测结果为阴性.
(i) 若乙去该医疗机构检测是否患有该流感，求乙检测结果为阴性的概率；
(ii) 若丙在该医疗机构检测结果为阴性，求丙患有该流感的概率.
附： X N ( , 2 )，则 P( X + ) 0.6827 ， P( 2 X + 2 ) 0.9545 ，
P( 3 X + 3 ) 0.9973
3
21． 已知 f (x) = a ln x x
x
(1) 若 a = 2，求 f (x)的极值；
x
4
(2) 若 a =1， g (x) = x + 2e 2 ， h(x) = f (x) + x + +1 ，且 h(m) = g (n)，其中 m 1，
x
n R，求证：m2 en .
22． f (x) = ex 1 + x2 3x
(1) 求 f (x)在 t,t + 2 上的最小值；
g (x) = 6ex 3(2) x 4x2 ax 7 ，且 x1 (0,+ )， x2 (0,2)， g (x1 ) f (x2 )，求 a 的
取值范围.
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{#{QQABIYKQogAIAABAAABCUwHiCkCQkgCCAIgOAFAUIEABCAFABAA=}#}高二下期末数学参考答案
原式，易知等号可以取到，故选.
令，则，故在上单增.对于,如为常函数，此时为偶函数，错误;对于,若，则从而，正确；对于,由可得，正确；对于,若，同选项可知，熟知（当且仅当时等号成立），故，则，正确.故选.
设与交于，与交于，由题有，故，，又，整理可得：，令，则，显然单调递增，又，故存在使得，故在单减，单增，又，故在无零点.又因为，，由零点存在定理知在内有零点，又在单增，故在内有唯一零点，故所求.
解：若，则，，故
,即
当时，即，此时成立，符合题意
当时，需满足：，解得
运动达标 运动不达标 合计
男 25 15 40
女 20 40 60
合计 45 55 100
综上，
解：列联表补充填写如右图：
=
故根据小概率值的独立性检验，能认为运动达标与性别有关联.
由题意：每名男生运动达标的概率为，每名女生运动达标的概率为.
随机变量的所有可能取值是
，
，
故的分布列为：
的期望
单减 单减 单增
解：由题：定义域为
，令得，列表如右图：
故的单增区间为，单减区间为和.
由题意：，故直线方程为：
将点代入方程，得：，化简得：
令，即求的最大值.，令得
当时，，单调递增；当时，，单调递减.故在处取得最大值，=. 故的最大值为.
解：由题：
,故
记“某人患有该流感”，“某人检测为阳性”
由题有：，,,则可得，
单调递增 单调递减
解：由题：，，
令，解得，列表如右图:
故当时，取得极大值,
极大值为；无极小值.
证明：若，则，结论成立；
若，，令，得，当时，，
故在单调递增.
要证，只需证，又，且在单调递增，
故只需证明，
又因为，故只需证明，
由，
故只需证明：
令，只需证，
，在单调递增，. 证毕.
解：，在上单调递增，又，故当时，，当时，，故在单调递减，单调递增
当即时，在单减，故
当即时，在单减，单增，故
当时，在单增，故
综上，当时，；当时， ；
当时，
由题：
由知在单减，单增，故
故问题转化为对，都有
，令，则，
，
令，，令，
则，故在单调递增，，
即，从而在单调递增，故，
则，
从而在单调递减，在单调递增，，故.
