郑州市 2022—2023 学年下学期期末考试
高中二年级数学 评分参考
一、单选题
二、1.A 2.D 3.A 4.B 5.C 6.B 7.B 8.C 9.D 10.C 11.C 12.D
三、填空题
1 63 33
13. ；14. ；15.150；16. .
2 1000 8
四、解答题
17． 解：（1）设“第 1 次摸到白球”为事件 A ；“第 2 次摸到白球”为事件 B .
4 9 2 4 3 2
则 P( A) P( AB ) ，
10 9 5 10 9 15
2
P( AB ) 15 1由条件概率公式可得P(B | A) ，
P( A) 2 3
5
1
从袋子中任取两个小球，若其中一个小球是白球，另一个小球也是白球的概率为 ....5 分
3
（2） X 可能的取值为 0，1，2，3．
3 1 2 2 1 3
C 1 C C 5 C C 5 C 1
P(X 0) 5 5 5， P(X 1) ， P(X 2)
5 5 ， P(X 3)
5
3 3 3 3 ，
C 12 C 12 C 12 C 12
10 10 10 10
概率分布为
X 0 1 2 3
1 5 5 1
P
12 12 12 12
...............................10分
18.(1)证明: 由 a1＝2 及 Sn＋1＝4an＋2，
得 a1＋a2＝S2＝4a1＋2.∴a2＝8，∴b1＝a2－2a1＝4.
Sn＋1＝4an＋2， ①
又
Sn＝4an－1＋2 n≥2 ， ②
由①－②，得 an＋1＝4an－4an－1(n≥2)，
∴an＋1－2an＝2(an－2an－1)(n≥2)．
∵bn＝an＋1－2an，∴bn＝2bn－1(n≥2)，
故{bn}是首项 b1＝4，公比为 2 的等比数列．............6分
－
(2)解 由(1)知 bn＝a n 1 n+1 n＋1－2an＝4·2 ＝2 ，
an＋1 an
∴
2n
＋1－2n
＝1，
n an
故 a 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， ＝1＋(n－1)＝n． n 2n
2
1
{#{QQABYYgUggCIABBAAQACQw2gCECQkgACCAgOQEAUIEABCQFABAA=}#}
n(n 1)
T 1 2 3 n .........................................12 分
n
2
1 10
19.解:（1）水库的平均水位 x x 75.801i ，
10 i 1
1 10
HN1 号渗压计管内平均水位 y y 72.932i .
10 i 1
10 10 10 10 10
2
2 2 2 2 2 2 x x x 2xx x x 2x x 10x x 10xi i i i i i ，
i 1 i 1 i 1 i 1 i 1
10 10
2 2 2
同理可得： y y y 10yi i ，
i 1 i 1
10 10 10
x x y y (x y xy yx xy ) x y 10xyi i i i i i i i ，
i 1 i 1 i 1
n 10
x x y yi i x y 10xyi i
r i 1 i 1
n n 10 10
2 2
2 2 2 2 x x y y y 10 y x 10xi i i i
i 1 i 1 i 1 i 1
55283.2 10 75.801 72.932
0.95
2 2 .........................8 分 57457.98 10 75.801 53190.77 10 72.932
10 10
x x y y x y 10xyi i i i
i 1 i 1 55283.2 10 75.801 72.932
（3） b 0.2294 0.2310 10 2 ，
2 2 2 57457.98 10 75.801
x x x 10xi i
i 1 i 1
a y b x 72.932 0.2294 75.801 55.50，
HN1 号渗压计管内水位关于水库水位的经验回归方程为 y 0.23x 55.5 ，
当 x 76 时，预测值 y 0.23 76 55.5 72.98，
即水库的水位为76m 时，HN1 号渗压计管内水位的估计值为72.98m ......................12 分
' x x
20.解：（1） f x 的定义域为 R ， f x 2e 1 ae 1 ,
x '若a 0 则ae 1 0恒成立， f x 0 ，即 f x 在 R 上单调递减；
若 xa 0 令ae 1 0，得 x ln a ，
' '
当 x , ln a 时 f x 0，当 x ln a， 时， f x 0.
f x 在 , ln a 上单调递减，在 ln a， 单调递增.................................6 分
（2）因为 f x 有两个零点，所以a 0 ，否则 f x 在 R 上单调递减，至多一个零点，
2
1 1 1
与题设不符；所以 f ln a 0 ，即a a 2 ln a 0 ，即1 ln a 0，
a a a
1 1 1
令 (a) 1 ln a, (a) 0,
2
a a a
a 在（0, ）上单调递增， 1 0, 故a 的取值范围 0,1 .
4 2
又 f 2 ae a 2 e 2 0， f x 在 , ln a 上有一个零点；
2
{#{QQABYYgUggCIABBAAQACQw2gCECQkgACCAgOQEAUIEABCQFABAA=}#}
3
设存在正整数n0 ，满足n ln0 1 ，
a
n0 n n n则 f n0 e ae 0 a 2 n e 0 n 2 00 0 n0 0，
3
由于 ln 1 ln a f x 在 ln a， 上有一个零点.
a
综上，a 的取值范围 0,1 ................................................12 分
21.解:(1)由题可知，单件产品为次品的概率为 0.015，所以 X B(10,0.015)，
0 0 10 1 1 9
所以P( X 0) C 0.015 0.985 0.86 ， P( X 1) C 0.015 0.985 0.130510 10 ，
所以P(X 2) 1 P(X 0) P(X 1) 0.0095.
由P(X 2) 0.0095可知，如果生产状态正常，一天内抽取的 10 个零件中，至少出现 2 个
次品的概率约为 0.0095，该事件是小概率事件，因此一旦发生这种状况，就有理由认为设备
在这一天的生产过程出现了异常情况，需对设备进行检测和修理，可见上述监控生产过程的
规定是合理的.............................................................6 分
(2)若先检测甲部件，设检测费和修理费之和为 元，则 的所有可能值为 8000，9000，
则P( 8000) p，P( 9000) 1 p，
所以E( ) 8000p 9000(1 p) 9000 1000p ，
若先检测乙部件，设检测费和修理费之和为 元，则 的所有可能值为 7000，11000，
则P( 7000) 1 p，P( 11000) p，
所以E( ) 7000(1 p) 11000p 7000 4000p，
所以E( ) E( ) 2000 5000p，
2 2
则当0 p 时，E( ) E( )，应先检测乙部件；当 p 时，E( ) E( )，先检测甲部
5 5
2
件或乙部件均可；当 p 1时，E( ) E( ) ，应先检测甲部件.....................................12 分
5
x 1
22.解：(1) f x 的定义域为 0, ， f x 2 ．
x
所以 f x 在 0,1 上单调递减，在 1, 上单调递增．
所以 f x 的最小值为 f 1 ln1 1 1 .................................................4 分
1 2x 2a
(2)①法一： g x ln x a 12 ， g x ．
x 3x
2
2 a a 1 2a a 2
∵ x 2a 2a 02 ，
1 a 1 a
a
∴ g x 0，即 g x 在 0, 上单调递减．
1 a
3
{#{QQABYYgUggCIABBAAQACQw2gCECQkgACCAgOQEAUIEABCQFABAA=}#}
a a 1 2a a 1 a
∴ g x g ln ln 1．
1 a 1 a a 1 a a
1
由（1）知， f x 的最小值为 f 1 1，即 ln x 1 （当且仅当 x 1时，等号成立）．
x
a 1 a
∴ ln 1 ，即 g x 0．.............................................12 分
1 a a
法二：由（1）知， f x 的最小值为 f 1 1，
1
即 ln x 1 （当且仅当 x 1时，等号成立）．
x
1 a
因为0 a ，所以0 1 .
2 1 a
1 1 1 x 1 1 a x a
所以 g x ln x a 1 1 a 1 0 得证．..............12 分 2 2 2
x x x x
4
{#{QQABYYgUggCIABBAAQACQw2gCECQkgACCAgOQEAUIEABCQFABAA=}#}郑州市2022一2023学年下期期末考试
高二数学试题卷
注意事项：
本试卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.考试时间120分
钟，满分150分.考生应首先阅读答题卡上的文字信息，然后在答题卡上作答，
在试题卷上作答无效.交卷时只交答题卡.
第I卷（选择题，共60分）
一、单选题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.在每小题所给出的
四个选项中，只有一项是符合题目要求的，
1.已知数列{an},满足am一a-1=2,a1=0,则a10=
A.18
B.36
C.72
D.144
2.2023年5月10日，第七届全球跨境电子商务大会在郑州举行，小郑同学
购买了几件商品，这些商品的价格如果按美元计，则平均数为30，方差为60，如
果按人民币计（汇率按1美元=？元人民币），则平均数和方差分别为
A.30,60
B.30,420
C.210,420
D.210,2940
3.如图，洛书古称龟书，是阴阳五行术数之源.在古代传说中有神龟出于洛
水，其甲壳上有此图像，结构是戴九履一，左三右七，二四为肩，六八为足，以五
居中，五方白圈皆阳数，四角黑点为阴数，若从四个阴数和五个阳数中随机选取
4个数，则选取的4个数之和为奇数的方法数为
A.60
8
B.61
C.65
D.66
4,下列四个命题中，正确命题的个数为
①甲乙两组数据分别为：甲：28,31,39,42,45,55,57,58,66：乙：29,34,35，
48,42,46,55,53,55,67.则甲乙的中位数分别为45和44
②相关系数=一0.89，表明两个变量的相关性较弱.
高二数学试题卷第】页（共6页）
③若由一个2X2列联表中的数据计算得K的观测值k≈7.103，那么有
99%的把握认为两个变量有关
④用最小二乘法求出一组数据(x,y),(i=1,…,n)的回归直线方程y=
3x十a后要进行残差分析，相应于数据(4，y),(i=1,·,)的残差是指e=y
-(bx4+a)
P(K2≥）
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
ko
2.706
3.841
5.024
6.635
7.879
10.828
A.1
B.2
C.3
D.4
5.已知(x一1)"的二项展开式中二项式系数和为64，若(x一1)"=a。十a1(x
十1)十a2(x十1)2十…+a.(x+1)",则a1等于
A.192
B.448
C.-192
D.-448
6.已知函数f(x)=ax2一lnx的图象在点(1，f(1))处的切线与直线y=3x
平行，则该切线的方程为
Ax-3y+5=0
B.3x-y-1=0
C.3x-y+1=0
D.x-3y+1=0
7.“杨辉三角”是中国古代重要的数学成就，它比西方的“帕斯卡三角形”早
了300多年.如图所示的是由“杨辉三角”拓展而成的三角形数阵，图中虚线上
的数1,3,6,10，…构成数列{am},记am为该数列的第n项，则a64
A.2016
1
B.2080
11
12
C.4032
133,1
D.4160
146141
8.下列说法中不正确的是
1510/1051
A.若随机变量X~N(1,d2),P(X<4)=0.79,则P(X<一2)=0.21
且若随机变量X~B10,宁，则期望E(X)=9
C.已知随机变量X的分布列为P(X=)=计)(i=1,2,3),则P(X
=2)=号
D从3名男生，2名女生中选取2人，则其中至少有一名女生的概率为品
高二数学试题卷第2页（共6页）
