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24.2.2 直线和圆的位置关系
第1课时 直线和圆的位置关系
直线和圆的位置关系的判定
1.若☉O的半径r=6,点O到直线l的距离为3,下列图中位置关系正确的是( )
A
A B C D
2.(易错题)已知平面内有☉O和点A,B,若☉O的半径为2 cm,线段OA=3 cm,OB=2 cm,则直线AB与☉O的位置关系为( )
A.相离 B.相交
C.相切 D.相交或相切
3.在平面直角坐标系中,以点(3,2)为圆心,3为半径的圆,一定( )
A.与x轴相切,与y轴相切
B.与x轴相切,与y轴相交
C.与x轴相交,与y轴相切
D.与x轴相交,与y轴相交
4.已知圆的直径为12 cm,如果圆心到直线的距离为4 cm,那么直线与圆有 个公共点.
D
C
两
5.在△ABC中,AB=AC=10,BC=12,以A为圆心,分别以下列长为半径作圆,请你判定☉A与直线BC的位置关系.
(1)6;(2)8;(3)12.
(2)当r=8时,即d=r,则直线和圆相切;
(3)当r=12时,即d
直线和圆的位置关系的性质
6.如图,以点P为圆心作圆,所得的圆与直线l相切的是( )
A.以PA为半径的圆
B.以PB为半径的圆
C.以PC为半径的圆
D.以PD为半径的圆
7.如图,两个同心圆,大圆的半径为5,小圆的半径为3,若大圆的弦AB与小圆有公共点,则弦AB的取值范围是( )
A.8≤AB≤10 B.8C.4≤AB≤5 D.4B
A
8.如图,在平面直角坐标系xOy中,☉P的半径为2,圆心P点的坐标为(-3,0),将☉P沿x轴正方向平移,使☉P与y轴相切,则平移的距离为( )
A.1 B.1或5
C.3 D.5
9.如图,☉O的直径为20 cm,弦AB=16 cm,OD⊥AB,垂足为D,则AB沿射线OD方向平移 cm时可与☉O相切.
B
4
10.在△ABC中,AB=5 cm,BC=4 cm,AC=3 cm.
(1)若以点C为圆心,2 cm长为半径画☉C,则直线AB与☉C的位置关系如何
(2)若直线AB与半径为r的☉C相切,求r的值.
C
C
14.(易错题)如图,已知☉O是以坐标原点O为圆心,1为半径的圆,∠AOB=45°,点P在x轴上运动,若过点P且与OA平行的直线与☉O有公共点,设P(x,0),则x的取值范围是
.
(2)请直接写出☉P与直线x=2相交、相离时x的取值范围.
解:(2)当-1当x<-1或x>5时,☉P与直线x=2相离.
A
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第二十四章 圆
24.1 圆的有关性质
24.1.1 圆
圆的基本概念
1.下列说法中,正确的是( )
A.两个半圆是等弧
B.同圆中优弧与半圆的差必是劣弧
C.长度相等的弧是等弧
D.直径未必是弦
B
2.A,B是半径为5的☉O上两个不同的点,则弦AB的取值范围是( )
A.AB>0 B.0C.03.如图,下列说法正确的是( )
A.线段AB,AC,CD都是☉O的弦
B.线段AC经过圆心O,线段AC是直径
C.AD=BD
4.如图,圆中有 条弦,以点A为一个端点的优弧有 条,劣弧有 条.
D
B
2
3
3
5.如图,AC是☉O的直径,点B在☉O上.
(1)写出图中☉O的弦,并指出最长的弦.
(2)写出图中☉O的劣弧和优弧.
(3)写出☉O中相等的线段、相等的弧.
解:(1)☉O的弦有 AC,BC,AB,直径AC是☉O中最长的弦.
(3)∵同圆的半径相等,
∴OA=OB=OC.
直径AC把☉O分成的两个半圆是相等的弧.
圆的有关概念的应用
6.如图,BC是☉O的直径,AB是☉O的弦,若∠AOC=60°,则∠OAB的度数是( )
A.20° B.25°
C.30° D.35°
7.如图,AB是☉O的直径,点C,D在☉O上,且点C,D在AB的异侧,连接AD,OD,OC.若∠AOC=70°,且AD∥OC,则∠AOD的度数为( )
A.70° B.60°
C.50° D.40°
C
D
8.如图,在Rt△ABC中,以点C为圆心,BC为半径的圆交AB于点D,交AC于点E,∠BCD=40°,则∠A= .
9.如图,AB是☉O的直径,点C在☉O上,CD⊥AB,垂足为D,已知CD=4,OD=3,则AB的长是 .
20°
10
10.如图,已知OA,OB是☉O的两条半径,C,D分别为OA,OB上的两点,且AC=BD.求证:AD=BC.
11.如图,AB是☉O的弦,点C是优弧AB上的动点(点C不与点A,B重合),CH⊥AB,垂足为H,点M是BC的中点.若☉O的半径是3,则MH长的最大值是( )
A.3 B.4
C.5 D.6
12.如图,王大伯家屋后有一块长12 m、宽8 m的矩形空地,他在以长边BC为直径的半圆内种菜,他家养的一只羊平时拴在A处的一棵树上,为了不让羊吃到菜,拴羊的绳长可以选用
( )
A.3 m B.5 m
C.7 m D.9 m
A
A
13.如图,圆O的周长为4π,B是弦CD上任意一点(不与点C,D重合),过点B作OC的平行线交OD于点E,则EO+EB= .
14.如图,AB,CD是☉O的两条弦,若∠AOB+∠C=180°,∠COD=∠A,则∠AOB的度数为 .
2
108°
15.(易错题)已知:如图,AB是☉O的直径,AC是☉O的弦,AB=2,∠BAC=30°.在图中作弦AD,使AD=1,并求∠CAD的度数.
解:如图,以A为圆心,AO长为半径画弧交☉O于点D,D′,连接AD,AD′,则AD,AD′即为所求.
连接OD,OD′.
∵AB是☉O的直径,AB=2,
∴OA=OD=OD′=1.
∵AD=AD′=1,
∴∠DAB=∠OAD′=60°.
∵∠BAC=30°,∴∠DAC=60°-30°=30°,∠D′AC=60°+30°=90°.
综上所述,∠CAD的度数为30°或90°.
16.已知:如图,在△ABC中,D是∠BAC的平分线上一点,BD⊥AD于点D,过点D作DE∥AC交AB于点E.求证:点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
证明:∵点D在∠BAC的平分线上,∴∠BAD=∠CAD.
又∵DE∥AC,∴∠CAD=∠ADE,∴∠BAD=∠ADE,∴AE=DE.
又∵BD⊥AD于点D,∴∠ADB=90°,
∴∠EBD+∠BAD=∠EDB+∠ADE=90°,∴∠EBD=∠EDB,
∴BE=DE,∴AE=BE=DE,
∴点E是过A,B,D三点的圆的圆心.
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第2课时 圆内接四边形
圆内接四边形的性质
1.如图,四边形ABCD内接于☉O,若∠A=80°,则∠C的度数是( )
A.80° B.100°
C.110° D.120°
B
2.如图,四边形ABCD内接于☉O,点P为边AD上任意一点(点P不与点A,D重合),连接CP,若∠B=120°,则∠APC的度数可能为( )
A.30° B.45°
C.50° D.65°
3.(2022自贡)如图,四边形ABCD内接于☉O,AB是☉O的直径,∠ABD=20°,则∠BCD的度数是
( )
A.90° B.100°
C.110° D.120°
D
C
4.(2022雅安)如图,∠DCE是☉O内接四边形ABCD的一个外角,如果∠DCE=72°,那么∠BOD的度数为 .
5.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,已知∠C=∠D,则AB与CD的位置关系是 .
6.(2022南京月考)在圆内接四边形ABCD中,已知∠A=30°,∠B与∠C的度数之比是1∶3,则∠B= °,∠C= °,∠D= °.
7.(易错题)在☉O中,若弦BC垂直平分半径OA,则弦BC所对的圆周角等于 .
144°
AB∥CD
50
150
130
60°或120°
(1)证明:∵四边形ABCD内接于圆O,∠BAD=105°,∴∠DCB=180°-105°=75°.
∵∠DBC=75°,∴∠DBC=∠DCB,∴BD=CD.
8.如图,已知四边形ABCD内接于圆O,连接BD,∠BAD=105°,∠DBC=75°.
(1)求证:BD=CD;
(2)若圆O的半径为3,求BC的长.
(2)解:如图,连接OB,OC.
∵∠DBC=∠DCB=75°,
∴∠BDC=180°-75°-75°=30°.
由圆周角定理,得∠BOC=60°,
又∵OB=OC,∴△BOC为等边三角形,
∴BC=OB=3.
9.四边形ABCD内接于☉O,若2∠A=3∠C,则∠A等于( )
A.45° B.72°
C.108° D.135°
10.如图,四边形ABCD为☉O的内接四边形,若四边形OBCD为菱形,则∠BAD的度数为( )
A.45° B.60°
C.72° D.36°
C
B
D
12.如图,四边形ABCD内接于☉O,∠DAB=130°,连接OC,点P是半径OC上的一个动点,连接PD,PB,那么∠DPB可能为 .(写出一个即可)
80°(答案不唯一)
13.如图,AB是☉O的直径,D,E为☉O上位于AB异侧的两点,连接BD并延长至点C,使得CD=BD,连接AC交☉O于点F,连接AE,DE,DF.
(1)求证:∠E=∠C;
(1)证明:如图,连接AD.
∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°,即AD⊥BC.
∵CD=BD,∴AD垂直平分BC,∴AB=AC,∴∠B=∠C.
又∵∠B=∠E,∴∠E=∠C.
(2)若∠E=55°,求∠BDF的度数.
(2)解:∵四边形AEDF是☉O的内接四边形,
∴∠AFD+∠E=180°.
又∵∠CFD+∠AFD=180°,
∴∠CFD=∠E=55°.
又∵∠E=∠C=55°,
∴∠BDF=∠C+∠CFD=110°.
(2)判断DA,DC,DB之间的数量关系,并证明你的结论.
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第2课时 圆锥
圆锥和侧面展开图
1.(2021德阳)已知圆锥的母线长为3,底面半径为1,则圆锥侧面展开图的圆心角为( )
A.30° B.60°
C.120° D.150°
2.用一个圆心角为120°,半径为6的扇形制作一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的面积为
.
3.用半径为4,圆心角为90°的扇形纸片作为一个圆锥的侧面,则这个圆锥的底面圆的半径
为 .
C
4π
1
圆锥的侧面积及全面积
D
A
6
9.如图,已知扇形OAB的半径为6 cm,圆心角的度数为120°,若将此扇形围成一个圆锥,求:
(1)围成的圆锥的侧面积;
(2)围成的圆锥的全面积.
C
D
120°
13.如图,点O为正六边形ABCDEF的中心,M为AF中点,以点O为圆心,OM的长为半径画弧得到扇形MON,点N在BC上;以点E为圆心,DE的长为半径画弧得到扇形DEF,把扇形MON的两条半径OM,ON重合,围成圆锥,将此圆锥的底面半径记为r1;将扇形DEF以同样方法围成圆锥,其底面半径记为r2,则r1∶r2= .
14.如图,某种冰淇淋的外包装可以视为圆锥,它的底面直径ED与母线长AD之比为1∶2.制作这种外包装需要用等腰三角形材料,其中AB=AC,AD⊥BC.将扇形AEF围成圆锥时,AE,AF恰好重合.
(1)求这种加工材料的顶角∠BAC的大小;
(2)若圆锥底面圆的直径ED为5 cm,求加工材料剩余部
分(图中阴影部分)的面积.(结果保留π)
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24.1.2 垂直于弦的直径
圆的对称性、垂径定理及推论
1.下列说法中,不正确的是( )
A.圆既是轴对称图形,又是中心对称图形
B.平分弧的直径垂直平分弧所对的弦
C.圆的对称轴有无数条,对称中心只有一个
D.平分弦的直径平分弦所对的弧
D
C
3.点P是☉O内一点,过点P的最长弦的长为10 cm,最短弦的长为6 cm,则OP的长为( )
A.3 cm B.4 cm
C.5 cm D.6 cm
4.(2022长沙)如图,A,B,C是☉O上的点,OC⊥AB,垂足为D,且D为OC的中点,若OA=7,则BC的长为 .
B
7
5.半径为12 cm的圆中,垂直平分半径的弦长为 cm.
6.如图,在以点O为圆心的两个同心圆中,大圆的弦AB交小圆于点C,D.
(1)求证:AC=BD;
(1)证明:如图,过点O作OE⊥AB于点E,
则CE=DE,AE=BE,
∴BE-DE=AE-CE,
∴AC=BD.
(2)若大圆的半径R=10,小圆的半径r=8,且圆心O到直线AB的距离为6,求AC的长.
垂径定理的应用
7.往水平放置的半径为13 cm的圆柱形容器内装入一些水以后,截面图如图,若水面宽度AB=24 cm,则水的最大深度为( )
A.5 cm B.8 cm
C.10 cm D.12 cm
B
8.如图,测得AB是8 mm,测得钢珠顶端离零件表面的距离为8 mm,求这个圆的直径.
A
C
A
14.如图,射线PG平分∠EPF,O为射线PG上一点,以点O为圆心,5为半径作☉O分别与∠EPF的两边相交于点A,B和点C,D,连接OA,且OA∥PE.
(1)求证:AP=AO;
(1)证明:∵PG平分∠EPF,
∴∠DPO=∠APO.
∵OA∥PE,∴∠DPO=∠AOP,
∴∠APO=∠AOP,∴AP=AO.
(2)若弦AB=8,求OP的长.
15.如图,在半径为2的扇形AOB中,∠AOB=90°,点C是弧AB上的一个动点(不与点A,B重合), OD⊥BC,OE⊥AC,垂足分别为D,E.
(1)当BC=1时,求线段OD的长.
(2)在△DOE中是否存在长度保持不变的边 如果存在,请指出并求其长度,如果不存在,请说明理由.
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第二十四章 章末复习
圆的有关性质
C
A
60°或120°
4.如图,☉O中两条互相垂直的弦AB,CD交于点E.
(1)若M是CD的中点,OM=3,CD=12,求☉O的半径长;
(2)点F在CD上,且CE=EF,连接AF,BD,求证:AF⊥BD.
(2)证明:连接AC,延长AF交BD于点G,如图②.
∵AB⊥CD,CE=EF,
∴AB是CF的垂直平分线,∴AF=AC,
即△ACF是等腰三角形,
∴∠FAE=∠CAE.
∵∠CAE=∠CDB,
∴∠FAE=∠CDB.
在Rt△BDE中,∠CDB+∠B=90°,
∴∠FAE+∠B=90°,∴∠AGB=90°,
∴AG⊥BD,即AF⊥BD.
切线的性质和判定
5.(2022哈尔滨)如图,AD,BC是☉O的直径,点P在BC的延长线上,PA与☉O相切于点A,连接BD,若∠P=40°,则∠ADB的度数为( )
A.65° B.60° C.50° D.25°
6.(2022泰安)如图,在△ABC中,∠B=90°,☉O过点A,C,与AB交于点D,与BC相切于点C,若∠A=
32°,则∠ADO= .
A
64°
3
(1)证明:连接OD,如图.
∵AB是☉O的直径,
∴∠BDA=90°,
∴∠BDO+∠ADO=90°.
∵OB=OD,∠CDA=∠B,
∴∠B=∠BDO=∠CDA,
∴∠CDA+∠ADO=90°,∴OD⊥CD.
∵OD是☉O的半径,∴CD是☉O的切线.
(2)若DE=2,∠BDE=30°,求CD的长.
正多边形和圆
9.(2022绥化)如图,正六边形ABCDEF和正五边形AHIJK内接于☉O,且有公共顶点A,则∠BOH的度数为 度.
12
10.(2021上海)如图,六个带30°角的直角三角板拼成一个正六边形,直角三角板的最短边为
1,则中间正六边形的面积为 .
弧长和扇形面积及圆锥的有关计算
11.(2022德阳)一个圆锥的底面直径是8,母线长是9,则圆锥侧面展开图的面积是( )
A.16π B.52π
C.36π D.72π
12.(2022连云港)如图,有一个半径为2的圆形时钟,其中每个刻度间的弧长均相等,过9时和11时的位置作一条线段,则钟面中阴影部分的面积为( )
C
B
15.(2022益阳)如图,C是圆O被直径AB分成的半圆上一点,过点C的圆O的切线交AB的延长线于点P,连接CA,CO,CB.
(1)求证:∠ACO=∠BCP;
(1)证明:∵AB是半圆O的直径,
∴∠ACB=90°.
∵CP是半圆O的切线,∴∠OCP=90°,
∴∠ACB=∠OCP,∴∠ACO=∠BCP.
(2)若∠ABC=2∠BCP,求∠P的度数;
(2)解:由(1)知∠ACO=∠BCP.
∵∠ABC=2∠BCP,∴∠ABC=2∠ACO.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠A,
∴∠ABC=2∠A.
∵∠ABC+∠A=90°,
∴∠A=30°,∠ABC=60°,
∴∠ACO=∠BCP=30°,
∴∠P=∠ABC-∠BCP=60°-30°=30°.
(3)在(2)的条件下,若AB=4,求图中阴影部分的面积.(结果保留π和根号)
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第3课时 切线长定理及三角形的内切圆
切线长定理
B
D
3.如图,PA,PB分别与☉O相切于A,B两点,∠P=72°,则∠C= .
54°
4.如图,☉O与△ABC的边AB,AC,BC分别相切于点D,E,F,如果AB=4,AC=5,AD=1,那么BC的长
为 .
7
证明:如图,连接AB交OP于点F.
∵PA,PB是☉O的切线,∴PA=PB.
∵OA=OB,∴PO垂直平分AB,
∴∠OFB=90°.
∵BC是☉O的直径,∴∠CAB=90°,
∴∠CAB=∠OFB,∴AC∥OP.
5.如图,P为☉O外一点,PA,PB为☉O的两条切线,A和B分别为切点,BC为直径,求证:AC∥OP.
三角形的内切圆与内心
6.若☉O是△ABC的内切圆,则点O是△ABC的( )
A.三条边的垂直平分线的交点
B.三条角平分线的交点
C.三条中线的交点
D.三条高的交点
7.如图,在△ABC中,∠A=66°,点I是△ABC的内心,则∠BIC的大小为( )
A.114°
B.122°
C.123°
D.132°
B
C
8.如图,Rt△ABC的内切圆☉O与AB,BC,AC分别切于点D,E,F,且AC=13,AB=12,∠ABC=90°,求☉O的半径.
解:在Rt△ABC中,AC=13,AB=12,∴BC=5.
∵Rt△ABC的内切圆☉O与AB,BC分别相切,
∴OD⊥AB,OE⊥BC,OD=OE.
∵∠ABC=90°,∴四边形BEOD为正方形,∴BD=BE=OD.
设☉O的半径为r,则BE=BD=r,∴AD=AB-BD=12-r,CE=BC-BE=5-r.
∵Rt△ABC的内切圆☉O与AB,BC,AC分别相切,∴AF=AD=12-r,CF=CE=5-r,
∴12-r+5-r=13,解得r=2,即☉O的半径为2.
9.如图,☉O是△ABC的内切圆,点D,E分别为边AB,AC上的点,且DE为☉O的切线,若△ABC的周长为25,BC的长是9,则△ADE的周长是( )
A.7 B.8 C.9 D.16
10.如图的网格由边长为1个单位长度的小正方形组成,点A,B,C在直角坐标系中的坐标分别为(3,6),(-3,3),(7,-2),则△ABC内心的坐标为 .
A
(2,3)
11.如图,☉O与△ABC中AB,AC的延长线及BC边相切,且∠ACB=90°,∠A,∠ABC,∠ACB所对的边长依次为3,4,5,则☉O的半径是 .
2
12.如图,☉O是△ABC的内切圆,过点O作DE∥BC,与AB,AC分别交于点D,E,连接OB,OC.
(1)求证:BD+CE=DE;
(1)证明:∵☉O是△ABC的内切圆,
∴∠DBO=∠CBO,∠ECO=∠BCO.
∵DE∥BC,∴∠CBO=∠DOB,∠BCO=∠EOC,
∴∠DBO=∠DOB,∠ECO=∠EOC,
∴BD=DO,EO=EC,
∴BD+CE=DO+OE=DE.
(2)若∠BAC=70°,求∠BOC的度数.
13.证明:圆的外切四边形的两组对边和相等.(结合图形,写出已知、求证、证明)
解:已知:如图,四边形ABCD的边AB,BC,CD,DA和☉O分别相切于点Q,M,N,P.
求证:AB+CD=AD+BC.
证明:∵AB,AD,BC,CD分别切☉O于点Q,P,M,N,
∴AQ=AP,BQ=BM,CM=CN,DN=DP,
∴AB+CD=AQ+BQ+DN+CN=AP+BM+DP+CM=(AP+DP)+(BM+CM)=AD+BC,
∴AB+CD=AD+BC,
即圆的外切四边形的两组对边和相等.
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24.4 弧长和扇形面积
第1课时 弧长和扇形面积
弧长的计算
1.在半径为6 cm的圆中,60°的圆心角所对弧的弧长是( )
A.π cm B.2π cm
C.3π cm D.6π cm
B
B
3.(2022青海)如图,从一张腰长为60 cm,顶角为120°的等腰三角形铁皮OAB中剪出一个最大的扇形OCD,则此扇形的弧长为 cm.
20π
4.如图,传送带的一个转动轮的半径为18 cm,转动轮转n°,传送带上的物品A被传送12π cm,则n= .
120
扇形面积的计算
C
A
130
8.如图,点A,B,C是☉O上的点,连接AB,AC,BC,且∠ACB=15°,过点O作OD∥AB交☉O于点D,连接
AD,BD,OA,OB,已知☉O半径为2,则图中阴影部分的面积为 .
9.如图,AB是☉O的直径,点D是AB延长线上的一点,点C在☉O上,且AC=CD,∠ACD=120°.
(1)求证:CD是☉O的切线;
(1)证明:如图,连接OC.
∵AC=CD,∠ACD=120°,
∴∠A=∠D=30°.
∵OA=OC,∴∠ACO=∠A=30°,
∴∠OCD=∠ACD-∠ACO=90°,
即OC⊥CD.
又∵OC是☉O的半径,
∴CD是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为3,求图中阴影部分的面积.
10.(2022河北)某款“不倒翁”(图①)的主视图是图②,PA,PB分别与弧AMB所在圆相切于点A,B.若该圆半径是9 cm,∠P=40°,则弧AMB的长是( )
A
A
① ②
12.(2022河南)如图,将扇形AOB沿OB方向平移,使点O移到OB的中点O′处,得到扇形
A′O′B′.若∠O=90°,OA=2,则阴影部分的面积为 .
13.(2022衢州)如图,C,D是以AB为直径的半圆上的两点,∠CAB=∠DBA,连接BC,CD.
(1)求证:CD∥AB;
(2)若AB=4,∠ACD=30°,求阴影部分的面积.
2 022π
谢谢观赏！一、选择题(每小题4分,共32分)
1.下列说法中,正确的是( B )
A.平分弦的直径垂直于弦
B.垂直于弦的直径平分弦
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.优弧大于劣弧
2.(2022长沙)如图,PA,PB是☉O的切线,A,B为切点,若∠AOB=128°,则∠P的度数为( B )
A.32° B.52° C.64° D.72°
第2题图
3.如图,AB是☉O的直径,弦CD⊥AB于点E.若AB=8,AE=1,则弦CD的长是( B )
第3题图
A. B.2 C.6 D.8
4.(2022吉林)如图,在△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,BC=4.以点A为圆心,r为半径作圆,当点C在☉A内且点B在☉A外时,r的值可能是( C )
A.2 B.3 C.4 D.5
第4题图
5.如图,点A,B,C为☉O上的三点,∠AOB=∠BOC,∠BAC=30°,则
∠AOC的度数为( C )
第5题图
A.100° B.90°
C.80° D.60°
6.(2022梧州)如图,☉O是△ABC的外接圆,且AB=AC,∠BAC=36°,在上取点D(不与点A,B重合),连接BD,AD,则∠BAD+∠ABD的度数是( C )
A.60° B.62° C.72° D.73°
第6题图
7.如图,菱形OABC的顶点A,B,C在☉O上,过点B作☉O的切线交OA的延长线于点D.若☉O的半径为1,则BD的长为( D )
第7题图
A.1 B.2 C. D.
8.(2022德阳)如图,点E是△ABC的内心,AE的延长线和△ABC的外接圆相交于点D,与BC相交于点G,则下列结论:①∠BAD=∠CAD;②若
∠BAC=60°,则∠BEC=120°;③若点G为BC的中点,则∠BGD=90°;④BD=DE.其中一定正确的结论有( D )
第8题图
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二、填空题(每小题4分,共16分)
9.如图,点A,B,C在☉O上,AD是∠BAC的平分线,若∠BOC=120°,则∠CAD的度数为 30° .
10.已知☉O的半径是4,点P到圆心O的距离d为方程x2-4x-5=0的一个根,则点P在☉O的 外部 .(填“内部”“外部”或“上”)
11.如图,☉O与△OAB的边AB相切,切点为B.将△OAB绕点B按顺时针方向旋转得到△O′A′B,使点O′落在☉O上,边A′B交线段AO于点C.若∠A′=25°,则∠OCB= 85 °.
12.(2022宜宾)我国古代数学家赵爽的“弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形(如图).若直角三角形的内切圆半径为3,小正方形的面积为49,则大正方形的面积为 289 .
第11题图
第12题图
三、解答题(共52分)
13.(17分)如图,AB为☉O的直径,点C,D在☉O上,AC与OD交于点E,AE=EC,OE=ED.连接BC,CD.求证:
(1)△AOE≌△CDE;
(2)四边形OBCD是菱形.
证明:(1)在△AOE和△CDE中,
∴△AOE≌△CDE(SAS).
(2)∵△AOE≌△CDE,
∴OA=CD,∠AOE=∠D,∴OB∥CD.
∵OA=OB,∴OB=CD,
∴四边形OBCD是平行四边形.
又∵OB=OD,∴平行四边形OBCD是菱形.
14.(17分)如图,在Rt△ACB中,∠ACB=90°,以AC为直径作☉O交AB于点D,E为BC的中点,连接DE并延长交AC的延长线于点F.
(1)求证:DE是☉O的切线;
(2)若CF=2,DF=4,求☉O的直径的长.
(1)证明:如图,连接OD,CD.
∵AC为☉O的直径,
∴△BCD是直角三角形.
∵E为BC的中点,
∴BE=CE=DE,
∴∠CDE=∠DCE.
∵OD=OC,∴∠ODC=∠OCD.
∵∠ACB=90°,∴∠OCD+∠DCE=90°,
∴∠ODC+∠CDE=90°,即∠ODE=90°,
∴OD⊥DE.
又∵OD是☉O的半径,∴DE是☉O的切线.
(2)解:设☉O的半径为r,
∵∠ODF=90°,∴OD2+DF2=OF2,
即r2+42=(r+2)2,解得r=3.
∴☉O的直径的长为6.
15.(18分)(2022武汉)如图,以AB为直径的☉O经过△ABC的顶点C,AE,BE分别平分∠BAC和∠ABC,AE的延长线交☉O于点D,连接BD.
(1)判断△BDE的形状,并证明你的结论;
(2)若AB=10,BE=2,求BC的长.
解:(1)△BDE为等腰直角三角形.证明如下:
∵AE平分∠BAC,BE平分∠ABC,
∴∠BAE=∠CAD=∠CBD,
∠ABE=∠EBC.
∵∠BED=∠BAE+∠ABE,
∠DBE=∠DBC+∠CBE,
∴∠BED=∠DBE.∴BD=ED.
∵AB为直径,∴∠ADB=90°,
∴△BDE是等腰直角三角形.
(2)如图,连接OC,CD,OD,OD交BC于点F.
∵∠DBC=∠CAD=∠BAD=∠BCD,∴BD=DC.
∵OB=OC,∴OD垂直平分BC.
∵△BDE是等腰直角三角形,BE=2,∴BD=2.
∵AB=10,
∴OB=OD=5.
设OF=x,则DF=5-x.
在Rt△BOF和Rt△BDF中,
52-x2=(2)2-(5-x)2,解得x=3,
∴BF=4,
∴BC=8.(共13张PPT)
24.1.4 圆周角
第1课时 圆周角定理及推论
圆周角及圆周角定理
1.如图,A,B,C三点在☉O上,点D是☉O内一点,点E是☉O外一点,则下列说法不正确的是
( )
A.∠AOB是圆心角
B.∠AEB,∠ADB,∠ACB是圆周角
C.∠ACB= ∠AOB
D.∠AEB<∠ACB
B
2.如图,点A,B,C在☉O上,OA⊥OB,则∠ACB的度数为( )
A.40° B.45°
C.35° D.50°
B
B
4.如图,AB为☉O的直径,C,D两点在☉O上,∠BCD=15°,则∠AOD= °.
150
5.如图,☉O的半径为2,点A为☉O上一点,OD⊥BC于点D,如果∠BAC=60°,求OD的长和∠OCB的度数.
圆周角定理的推论
6.如图,A,B,C,D是☉O上的点,则图中一定与∠A相等的角是( )
A.∠B B.∠C
C.∠DEB D.∠D
7.用直角三角板检查半圆形工件,下列工件合格的是( )
D
C
A B C D
8.如图,已知AB是☉O的直径,CD是弦,若∠BCD=36°,则∠ABD等于( )
A.54° B.56°
C.64° D.66°
9.如图,点A,B,C,D都在☉O上,∠ABC=90°,AD=3,CD=2,则☉O的直径为 .
A
解:(1)∵AB是☉O的直径,
∴∠ADB=90°.
∵∠B=∠ACD=30°,
∴∠BAD=90°-∠B=90°-30°=60°.
D
13.如图,在△ACD中,DA=DC,点B是AC边上一点,以AB为直径的☉O经过点D,点F是直径AB上一点(不与点A,B重合),延长DF交☉O于点E,连接EB.
(1)求证:∠C=∠E;
(1)证明:∵DA=DC,∴∠A=∠C.
∵∠A=∠E,∴∠C=∠E.
(2)四边形BCDE为菱形.
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24.2 点和圆、直线和圆的位置关系
24.2.1 点和圆的位置关系
点和圆的位置关系
1.如果☉O的半径为5 cm,点A到圆心O的距离为3 cm,那么点A与☉O的位置关系是( )
A.点A在圆外 B.点A在圆上
C.点A在圆内 D.不能确定
C
2.已知☉O的半径为4,圆心O在坐标原点上,点P的坐标为(3,4),则点P与☉O的位置关系是
( )
A.点P在☉O内
B.点P在☉O上
C.点P在☉O外
D.不能确定
3.若点B(a,0)在以点A(1,0)为圆心,2为半径的圆内,则a的取值范围为( )
A.a<-1 B.a>3
C.-1C
C
确定圆的条件
4.下列条件中一定能够确定一个圆的是( )
A.已知圆心
B.已知半径
C.已知三角形的三个顶点
D.已知平面上的三个点
5.如图,点A,B,C在同一条直线上,点D在直线AB外,过这4个点中的任意3个点,能画的圆共有( )
A.1个 B.2个
C.3个 D.4个
C
C
6.如图,在平面直角坐标系中,A,B,C是☉M上的三个点,A(0,4),B(4,4),C(6,2).
(1)圆心点M的坐标为 ;
(2)判断点D(4,-3)与☉M的位置关系.
解:(1)(2,0)
三角形的外接圆与三角形的外心
7.三角形的外心是三角形的( )
A.三条中线的交点
B.三条高的交点
C.三条角平分线的交点
D.三条边的垂直平分线的交点
8.直角三角形的两条直角边长分别是12 cm,5 cm,则这个直角三角形的外接圆的半径是
( )
A.5 cm B.6.5 cm
C.12 cm D.13 cm
9.点O是△ABC的外心,若∠BOC=110°,则∠BAC= .
D
B
55°或125°
10.如图,在△ABC中,AB=AC.
(1)求作:△ABC的外接圆☉O;(尺规作图,保留作图痕迹,不写作法)
(2)若△ABC的外接圆的圆心O到BC边的距离为4,BC=6,求☉O的面积.
解:(1)如图,☉O即为所求.
反证法
11.用反证法证明时,假设结论“点在圆外”不成立,那么点与圆的位置关系只能是( )
A.点在圆内 B.点在圆上
C.点在圆心上 D.点在圆上或圆内
12.已知△ABC中,AB=AC,求证:∠B<90°.下面写出运用反证法证明这个命题的四个步骤:
①所以∠A+∠B+∠C>180°,这与三角形的内角和为180°矛盾;
②因此假设不成立,所以∠B<90°;
③假设在△ABC中,∠B≥90°;
④由AB=AC,得∠B=∠C≥90°,即∠B+∠C≥180°.
这四个步骤正确的顺序应是 .(填序号)
D
③④①②
C
14.如图,在△ABC中,AB=AC,AD是∠BAC的平分线,EF是AC的垂直平分线,交AD于点O.若OA=3,则△ABC外接圆的面积为( )
A.3π B.4π
C.6π D.9π
D
15.(2022玉林)如图,在5×7的网格中,每个小正方形的边长均为1,点O,A,B,C,D,E均在格点上,点O是△ABC的外心,在不添加其他字母的情况下,除△ABC外把你认为外心也是点O的三角形都写出来: .
△ABD,△ACD,△BCD
16.如图,小明家的房前有一块矩形的空地,空地上有三棵树A,B,C,小明想建一个圆形花坛,使三棵树都在花坛的边上.
(1)请你帮小明把花坛的位置画出来;(尺规作图,不写作法,保留作图痕迹)
(2)若在△ABC中,AB=8米,AC=6米,∠BAC=90°,试求小明家圆形花坛的面积.
解:(1)如图,☉O即为所求作的花坛的位置.
(2)∵∠BAC=90°,AB=8米,
AC=6米,∴BC=10米,
∴△ABC外接圆的半径为5米,
∴小明家圆形花坛的面积为25π平方米.
B
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24.3 正多边形和圆
正多边形和圆的关系
1.如果一个四边形的外接圆与内切圆是同心圆,那么这个四边形一定是( )
A.矩形 B.菱形
C.正方形 D.等腰梯形
2.一个正多边形的中心角为30°,这个正多边形的边数是( )
A.3 B.6 C.8 D.12
3.如图,在正八边形ABCDEFGH中,连接AE,AG,则∠EAG= .
C
D
45°
正多边形和圆的有关计算
C
C
6.如图,以AB为边,在AB的同侧分别作正五边形ABCDE和等边三角形ABF,连接FE,FC,则∠EFA的度数是 .
7.如图,点A,B,C,D为一个正多边形的顶点,点O为正多边形的中心,若∠ADB=18°,则这个正多边形的边数为 .
66°
10
8.如图,在拧开一个边长为a的正六角形螺帽时,扳手张开的开口b=20 mm,则边长a= mm.
9.如图,A,P,B,C是☉O上的四个点,∠APC=∠CPB=60°.
(1)求证:△ABC是等边三角形;
(2)若☉O的半径为2,求等边三角形ABC的边心距.
(2)解:如图,过点O作OD⊥BC于点D,连接OB,
则∠OBD=30°,∠ODB=90°.
∵OB=2,∴OD=1,
∴等边三角形ABC的边心距为1.
正多边形的画法
10.正五边形的画法通常是先把圆分成五等份,然后连接五等分点,这种画法的理论依据是
( )
A.把圆n等分,顺次连接各分点得到的多边形是圆的内接正n边形
B.把圆n等分,依次过各分点作圆的切线,以相邻切线的交点为顶点的多边形是这个圆的外切正n边形
C.各边相等,并且各角也相等的多边形是正多边形
D.用量角器等分圆是一种简单而常用的方法
A
D
A
14.(2022金华)如图①,正五边形ABCDE内接于☉O,阅读以下作图过程,并回答下列问题:
作法如图②.
1.作直径AF.
2.以F为圆心,FO为半径作圆弧,与☉O交于点M,N.
3.连接AM,MN,NA.
(1)求∠ABC的度数.
① ②
(2)△AMN是正三角形吗 请说明理由.
解:(2)△AMN是正三角形.理由如下:
连接ON,NF,如图.
由题意可得,FN=ON=OF,
∴△FON是等边三角形,
∴∠NFA=60°,∴∠NMA=60°.
同理可得,∠ANM=60°,
∴∠MAN=60°,∴△MAN是正三角形.
(3)从点A开始,以DN长为半径,在☉O上依次截取点,再依次连接这些分点,得到正n边形,求n
的值.
(1)图①中∠MON的度数是 ;
(2)图②中∠MON的度数是 ,图③中∠MON的度数是 ;
(3)∠MON的度数与正n边形边数n的关系是 .
120°
90°
72°
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24.1.3 弧、弦、圆心角
弧、弦和圆心角之间的关系
1.下列图形中,∠AOB为圆心角的是( )
C
A B C D
2.下列叙述正确的是( )
A.长度相等的弧是等弧
B.同圆或等圆中,相等的弦所对的弧也相等
C.相等的圆心角所对的弧相等
D.等弧所对的弦相等
3.如图,在☉O中,点C是弧AB的中点,∠A=50°,则∠BOC等于 度.
D
40
①②③④⑤
有关弧、弦和圆心角之间的证明和计算
C
7.如图,AB是☉O的直径,AC,CD,DE,EF,FB都是☉O的弦,且AC=CD=DE=EF=FB,则∠AOC= .
36°
<
A
B
14.如图,在☉O中,C,D是直径AB上的两点,且AC=BD,EG⊥AB,FH⊥AB,分别交AB于点C,D,点E,G,F,H在☉O上.
(1)若EG=8,AC=2,求☉O的半径.
(2)AM=BN.
谢谢观赏！
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C
B
A
D
0
C
0
A
P
B
D
E
C
A
N
B
M
F
D
E
C
A
N
M
B
F
D(共13张PPT)
第2课时 切线的判定和性质
切线的判定
1.下列关于圆的切线的说法正确的是( )
A.垂直于圆的半径的直线是圆的切线
B.与圆只有一个公共点的射线是圆的切线
C.经过半径的一端且垂直于半径的直线是圆的切线
D.如果圆心到一条直线的距离等于半径长,那么这条直线是该圆的切线
2.如图,AB是☉O的直径,下列条件中不能判定直线AT是☉O的切线的是( )
A.AB=4,AT=3,BT=5 B.∠B=45°,AB=AT
C.∠B=55°,∠TAC=55° D.∠ATC=∠B
D
D
3.如图,已知∠AOB=30°,M为OB边上任意一点,以M为圆心,3 cm为半径作☉M,当OM= cm时,☉M与OA相切.
6
切线的性质
5.如图,AB是☉O的直径,BC是☉O的切线,若∠BAC=35°,则∠ACB的大小为( )
A.35° B.45°
C.55° D.65°
6.(2022河池)如图,AB是☉O的直径,PA与☉O相切于点A,∠ABC=25°,OC的延长线交PA于点P,则∠P的度数是( )
A.25° B.35°
C.40° D.50°
C
C
7.(2021杭州)如图,已知☉O的半径为1,点P是☉O外一点,且OP=2.若PT是☉O的切线,T为切点,连接OT,则PT= .
8.如图,☉O是△ABC的外接圆,其切线AE与直径BD的延长线相交于点E,且AE
=AB,求∠ACB的度数.
9.如图,AB是☉O的直径,BC交☉O于点D,DE⊥AC于点E,要使DE是☉O的切线,还需补充一个条件,则补充的条件不正确的是( )
A.DE=DO B.AB=AC
C.CD=DB D.AC∥OD
10.如图,☉O与正方形一角的两边均相切,正方形的一条对角线AB与☉O相交于点M,N(点N在点M的右上方),若AB=10,☉O的半径为2,则BN的长为 .
A
11.(2022衡阳)如图,AB为☉O的直径,过圆上一点D作☉O的切线CD交BA的延长线于点C,过点O作OE∥AD交CD于点E,连接BE.
(1)直线BE与☉O相切吗 说明理由.
解:(1)直线BE与☉O相切.
理由:如图,连接OD.
∵CD与☉O相切于点D,∴∠ODE=90°.
∵AD∥OE,∴∠ADO=∠DOE,∠DAO=∠EOB.
∵OD=OA,∴∠ADO=∠DAO,
∴∠DOE=∠EOB.
∵OD=OB,OE=OE,
∴△DOE≌△BOE(SAS),
∴∠OBE=∠ODE=90°.
∵OB是☉O的半径,
∴直线BE与☉O相切.
(2)若CA=2,CD=4,求DE的长.
解:(2)设☉O的半径为R,
则在Rt△ODC中,R2+42=(R+2)2,
解得R=3,∴AB=2R=6,
∴BC=AC+AB=2+6=8.
由(1),得△DOE≌△BOE,∴DE=BE.
在Rt△BCE中,BC2+BE2=CE2,
∴82+BE2=(4+DE)2,
∴64+DE2=(4+DE)2,
∴DE=6,∴DE的长为6.
12.(2022盘锦)如图,四边形ABCD是正方形,点A,B在☉O上,边DA的延长线交☉O于点E,对角线DB的延长线交☉O于点F,连接EF并延长至点G,使∠FBG=∠FAB.
(1)求证:BG与☉O相切;
(1)证明:如图,连接BE.
∵四边形ABCD是正方形,∴∠BAE=90°,∴BE是☉O的直径.
∵∠BAF+∠EAF=90°,∠EAF=∠EBF,∠FBG=∠FAB,
∴∠FBG+∠EBF=90°,∴∠OBG=90°,∴OB⊥BG.
又∵OB是☉O的半径,
∴BG是☉O的切线.
(2)若☉O的半径为1,求AF的长.
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微专题六 切线的判定和性质
“见切线,连半径”得垂直
C
2.如图,四边形OABC是平行四边形,以点O为圆心,OC为半径的☉O与AB相切于点B,与AO相交于点D,AO的延长线交☉O于点E,连接EB交OC于点F.求∠C和∠E的度数.
3.(2022济南)已知:如图,AB为☉O的直径,CD与☉O相切于点C,交AB延长线于点D,连接AC,BC,
∠D=30°,CE平分∠ACB交☉O于点E,过点B作BF⊥CE,垂足为F.
(1)求证:CA=CD;
(2)若AB=12,求线段BF的长.
4.如图,AB是☉O的直径,过点A作☉O的切线AC,点P是射线AC上的动点,连接OP,过点B作BD∥
OP,交☉O于点D,连接PD.
(1)求证:PD是☉O的切线;
“连半径,证垂直”得切线
(1)证明:连接OD,如图.
∵PA切☉O于点A,∴PA⊥AB,即∠PAO=90°.
∵OP∥BD,∴∠DBO=∠AOP,∠BDO=∠DOP.
∵OD=OB,∴∠BDO=∠DBO,∴∠DOP=∠AOP.
又∵AO=DO,PO=PO,∴△AOP≌△DOP(SAS),
∴∠PDO=∠PAO.∵∠PAO=90°, ∴∠PDO=90°,
即OD⊥PD.又∵OD是☉O的半径,∴PD是☉O的切线.
(2)当四边形POBD是平行四边形时,求∠APO的度数.
(2)解:由(1),知△AOP≌△DOP,
∴PA=PD.
∵四边形POBD是平行四边形,
∴PD=OB.
又∵OB=OA,∴PA=OA,
∴∠APO=∠AOP.
∵∠PAO=90°,∴∠APO=∠AOP=45°.
5.(2022北京)如图,AB是☉O的直径,CD是☉O的一条弦,AB⊥CD,连接AC,OD.
(1)求证:∠BOD=2∠BAC;
(2)连接DB,过点C作CE⊥DB,交DB的延长线于点E,延长DO,交AC于点F,若F为AC的中点,求证:直线CE为☉O的切线.
6.如图,在△ABC中,O为AC上一点,以点O为圆心,OC为半径作圆,与BC相切于点C,过点A作AD⊥
BO交BO的延长线于点D,且∠AOD=∠BAD.
求证:AB为☉O的切线.
“作垂直,证半径”得切线
证明:如图,过点O作OE⊥AB于点E.
∵AD⊥BO,∴∠D=90°,
∴∠BAD+∠ABD=90°,∠AOD+∠OAD=90°.
∵∠AOD=∠BAD,
∴∠ABD=∠OAD.
∵BC为☉O的切线,∴AC⊥BC,
∴∠BCO=90°,∴∠OBC+∠BOC=90°.
∵∠BOC=∠AOD,∠AOD+∠OAD=90°,
∴∠OBC=∠OAD,
∴∠ABD=∠OBC.
∵OE⊥AB,AC⊥BC,
∴OE=OC,
即OE是☉O的半径,
∴AB是☉O的切线.
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微专题七 巧求阴影部分面积
和差法
A
D
4.(2022重庆A卷)如图,在菱形ABCD中,分别以点A,C为圆心,AD,CB长为半径画弧,分别交对角
线AC于点E,F.若AB=2,∠BAD=60°,则图中阴影部分的面积为 .(结果不取近似值)
5.如图,已知半圆的直径AB=4,点C在半圆上,以点A为圆心,AC长为半径画弧交AB于点D,连接BC.若∠ABC=60°,则图中阴影部分的面积为 .(结果保留π)
6.(2021枣庄)如图,正方形ABCD的边长为2,O为对角线的交点,点E,F分别为BC,AD的中点.以点C为圆心,2为半径作圆弧BD,再分别以E,F为圆心,1为半径作圆弧BO,OD,则图中阴影部分的面积为( )
A.π-1 B.π-3
C.π-2 D.4-π
割补法
C
B
9.如图,在△ABC中,CA=CB,∠ACB=90°,AB=2,D为AB的中点,以点D为圆心作圆心角为90°的扇形DEF,点C恰在弧EF上,则图中阴影部分的面积为 .
10.如图,AB是半圆O的直径,且AB=8,C为半圆上的一点.将此半圆沿BC所在的直线折叠,若圆弧BC恰好过圆心O,求图中阴影部分的面积.(结果保留π)
等积法
12.如图是某商品的标志图案,AC与BD是☉O的两条直径,首尾顺次连接点A,B,C,D,得到四边形ABCD.若AC=10 cm,∠BAC=36°,则图中阴影部分的面积为( )
A.5π cm2 B.10π cm2
C.15π cm2 D.20π cm2
A
B
13.如图,在矩形ABCD中,BC=4,DC=2,以AD为直径的半圆O与BC相切于点E,连接BD,则阴影部分的面积为 .(结果保留π)
π
(2)在点Q从点A向点B运动的过程中,图中阴影部分的面积是否发生变化 若发生变化,请你说明理由;若不发生变化,请你求出阴影部分的面积.
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