2022—2023学年度高一下学期5月联考
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据复数的几何意义即可求解.
【详解】由图可知，，
所以z在复平面内所对应的点为，
则.
故选：C.
2. 设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】由相等向量的定义即可得，所以A错误；由向量的加减法则，结合三角形法则可知BC错误，D正确.
【详解】根据相等向量的概念可得，即A错误；
由向量的三角形法则可得，即B错误；
易知，所以可得，即C错误；
由向量的减法法则可得，所以D正确；
故选：D
3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】由三视图得原图形的形状，结构，得边长后可得周长．
【详解】由三视图知原图形是平行四边形，如图，，，，，
所以平行四边形的周长是8．
故选：A．
4. 若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据轴截面求出圆锥的底面半径和高，求出体积.
【详解】因为圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，所以圆锥的底面半径为1，且圆锥的高，
故体积为.
故选：A
5. 若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，利用复数模的计算公式结合三角恒等变换及三角函数性质求解作答.
【详解】复数，，则，
因此
，当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为.
故选：D
6. 在中，，，，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
【答案】B
【解析】
【分析】利用余弦定理求出，再利用三角形面积公式求解作答.
【详解】在中，，，，由余弦定理得，
即，整理得，
所以.
故选：B
7. 设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
【答案】C
【解析】
【分析】根据向量的运算结合充要条件分析判断.
【详解】设与的夹角为，
当时，因为，
可得，
整理得，即，则，
且点不共线，所以与的夹角为钝角；
当与的夹角为钝角时，则，
所以，可得，
即；
所以“”是“与的夹角为钝角”的充分必要条件．
故选：C．
8. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米 泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）
(参考数据：)
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】易知，当球体与正四面体内切时，球体（蛋黄）的体积最大，用等体积法即可求得.
【详解】如图，正四面体ABCD，其内切球O与底面ABC切于O1，设正四面体棱长为a，内切球半径为r，连接BO1交AC于F，易知O1为的中心，点F为边AC的中点.
易得：，则，，
∴，∴，
∵，
∴，
∴球O的体积.
故选：C.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 正四棱柱一定是正方体
B. 圆柱的母线和它的轴不一定平行
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 以直角三角形一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
【答案】ABD
【解析】
【分析】根据正四棱柱的定义，圆柱母线的定义，正棱锥的定定义，以及圆锥的性质，对每个选项进行逐一分析，即可判断和选择.
【详解】对A：正方体一定是四棱柱，但正四棱柱不一定是正方体，故A错误，
对B：根据圆柱母线的定义可知，圆柱的母线和它的轴平行，故B错误；
对C：由正棱锥的定义可知，正棱锥的侧面是全等的等腰三角形，故C正确；
对D：当以斜边为旋转轴时，会得到两个同底圆锥组合体，故D错误．
故选：ABD．
10. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的共轭复数不是 B.
C. 复数 D. 复数为纯虚数
【答案】ACD
【解析】
【分析】根据给定的条件，利用共轭复数、复数模的意义判断AB；利用复数的乘除运算判断CD作答.
【详解】复数，，
对于A，复数的共轭复数，不是，A正确；
对于B，，B错误；
对于C，，C正确；
对于D，是纯虚数，D正确，
故选：ACD
11. 下列说法正确是（ ）
A. 若与是共线向量，则
B. 若，，则与可以作为平面内所有向量的基底
C. 已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为
D. 若，是单位向量，且，则
【答案】BCD
【解析】
【分析】利用向量共线即可求出，根据基底向量的定义即可判断B，作出图形，根据投影向量的定义即可判断C，根据向量的运算律即可计算D.
【详解】对A，由题意得，则，解得，故A错误；
对B，因为，则与不共线，则与可以作为平面内所有向量的基底，故B正确；
对C，过点作，垂足为，则则向量在向量上的投影向量为，
因为为直径，则,因为，则，显然为锐角，则，
则，
则向量在向量上的投影向量为，故C正确；
对D，由题意得，故D正确，
故选：BCD.
12. 已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行
C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为
【答案】BD
【解析】
【分析】确定直线与直线所成的角判断A；连接，由线面平行的判定判断B；由平面是否过的中点判断C；作出截面，再计算面积判断D作答.
【详解】对于A，在正方体中，，则为直线与直线所成的角或其补角，
连接AC，由平面ABCD，得，即在中，，
则不可能直角，直线与直线不垂直，A错误；
对于B，连接，由，分别为，的中点，得，
又，则四边形是平行四边形，于是，
而四边形是正方体的对角面，点为中点，有，
即平面，平面，平面，所以平面，B正确；
对于C，连接交于，显然不是的中点，则平面不过的中点，
即点C与点G到平面的距离不相等，C错误；
对于D，由选项B知，，，即等腰梯形为平面截正方体所得的截面，
，等腰梯形的高，
所以等腰梯形面积为，D正确.
故选：BD
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ______.
【答案】
【解析】
【分析】根据复数的除法运算即可得到答案.
【详解】，
故答案为：.
14. 已知以为起点的向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______.
【答案】2
【解析】
【分析】以为坐标原点建立直角坐标系，根据向量坐标化运算即可得，再利用向量数量积的坐标运算即可得到答案.
【详解】以为坐标原点建立如图所示直角坐标系，
设一小格为1单位，则，，，
则，
故答案为：2.
15. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
【答案】②
【解析】
【分析】举例说明判断①③④；利用相关性质推理判断②作答.
【详解】对于①，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，显然有，，，而，①错误；
对于②，因为，，当时，由，得，
当n不在平面内时，则存在过直线的平面与都相交，令交线分别为，
则有，而，，于是，因此，②正确；
对于③，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，满足，，，而，③错误；
对于④，在长方体中，平面，平面分别为，
直线分别为直线，满足，，，而，④错误，
所以正确命题的序号是②.
故答案为：②
16. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.
.
【答案】
【解析】
【分析】先根据已知条件求解出的大小，然后在中利用正弦定理求解出，再根据的关系求解出.
【详解】因为，所以，所以，
又因为，所以，
又因为，所以，
所以，
故答案为：.
【点睛】关键点点睛：解答本题的关键是将中的角和边先求解出来，然后利用正弦定理求解出的值，再借助直角三角形中边的关系达到求解高度的目的.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，，其中是实数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求.
【答案】（1）1； （2）.
【解析】
【分析】（1）根据给定的条件，利用复数乘方运算及复数相等求出a的值.
（2）利用复数除法结合纯虚数的定义，求出，再利用乘方的周期性求解作答.
【小问1详解】
复数，则，又a是实数，
因此，解得，
所以实数a的值是1.
【小问2详解】
复数，，则，
因为是纯虚数，于是，解得，因此，又，
则，即有，
所以.
18. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
【答案】（1）2
（2）
【解析】
【分析】（1）由正三棱柱、线面垂直性质可得CC1⊥BC，求出CD，即可得侧棱长；
（2）利用棱柱表面积的求法求正三棱柱的表面积.
【小问1详解】
由题意BE=EC=1，DE=AE=2×sin60°=，
根据正三棱柱得CC1⊥面ABC，又BC 面ABC，所以CC1⊥BC，
在Rt△ECD中，CD=，
又D是CC1中点，故侧棱长为2.
【小问2详解】
底面积为S1=2S△ABC=2×2×=2，侧面积为S2=3=3×2×2=12.
所以棱柱表面积为S=S1 +S2=12+2.
19. 已知在中，点是边上靠近点的四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）结合图形，根据平面向量的线性运算可得；
（2）以，为基底表示出，结合已知求可证.
【小问1详解】
，由题意得，
所以．
【小问2详解】
由题意，．
∵，，∴．
∴，
∴．
20. 如图，在长方形中，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
【答案】（1）证明过程见详解
（2）
【解析】
【分析】（1）根据长方体的性质得到平面，进而得到平面，利用线面垂直的性质进而得证；
（2）记交于点，连接，得到为与平面所成的角，在直角三角形中进行求解即可.
【小问1详解】
在长方体中，,,，平面，
平面，平面，，
又，可得,，平面，
平面.
平面，.
【小问2详解】
记交于点，连接，
由（1）得平面，
所以为斜线在平面上的射影，
为与平面所成的角.
在长方体中，,，
在中，，，
.
直线与平面所成角的正弦值为.
21. 在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）由给定的等式，结合余弦定理求出角作答.
（2）根据（1）的结论，结合正弦定理边化角，再利用三角变换及三角函数的性质求解作答．
【小问1详解】
在中，由，得，
由余弦定理得，又，解得，
所以.
【小问2详解】
在锐角中，由（1）知，，则，解得，
由正弦定理得，，即，，
因此
，而，有，于是，
所以的取值范围是．
22. 如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.
（1）当落在何处时，平面平面，并说明理由；
（2）在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
（3）设是及其内部的点构成的集合，，当时，求三棱锥的体积的取值范围.
【答案】（1）落上，理由见解析；
（2）直线与平面平行，理由见解析；
（3）.
【解析】
【分析】（1）利用面面垂直的判定定理即得；
（2）取的中点，由题可得，进而可得，利用线面平行的判定定理可得平面，平面，然后利用面面平行的判定及性质即得；
（3）作交于，可得平面，在中，作，可得平面，然后求的取值范围即得.
【小问1详解】
当落上时，平面平面.
因为，所以平面，
所以平面.
因为平面，
所以平面平面.
【小问2详解】
直线与平面平行.
证明如下：取的中点，连结.
因为平面，
所以，
在Rt和Rt中，，
所以，
所以，
因为为的中点，
所以，又在矩形中，，
所以，因为平面平面，
所以平面，
在中，分别为的中点，所以，
因为平面平面，
所以平面，又在平面中，，
所以平面平面，因为平面，
所以平面.
【小问3详解】
在矩形中，作交于，
已知，由题意知
在中，作，交于，
沿将折起成后，
又，
所以平面.
因为平面，
所以，又，
在平面中，，
所以平面，
因此，当时，满足题意的的集合组成的图形为线段，
因为在Rt中，
所以，当时，取得最大值为，
当时，取得最小值为，
因为四面体的体积为，
①当取得最大值时，即与重合时，
四面体的体积取得最大值；
②当取得最小值时，即与重合时，
四面体的体积取得最小值.2022—2023学年度高一下学期5月联考
数学试题
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考场号、座位号、准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效.
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.
考试时间为120分钟，满分150分
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 如图，若向量对应的复数为z，则z表示的复数为（ ）
A. B. C. D.
2. 设如图，在平行四边形中，下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
3. 如图正方形的边长为，它是水平放置的一个平面图形的直观图，则原图形的周长是（ ）
A B. C. D.
4. 若某圆锥的轴截面是边长为2的正三角形，则它的体积为（ ）
A. B. C. D.
5. 若复数，，其中i是虚数单位，则的最大值为（ ）
A. 2 B. 3 C. D.
6. 在中，，，，则（ ）
A. B. 1 C. D. 2
7. 设点不共线，则“”是“与的夹角为钝角”的（ ）
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
8. 粽子，古时北方也称“角黍”，是由粽叶包裹糯米 泰米等馅料蒸煮制成的食品，是中国汉族传统节庆食物之一，端午食粽的风俗，千百年来在中国盛行不衰，粽子形状多样，馅料种类繁多，南北方风味各有不同，某四角蛋黄粽可近似看成一个正四面体，蛋黄近似看成一个球体，且每个粽子里仅包裹一个蛋黄，若粽子的棱长为，则其内可包裹的蛋黄的最大体积约为（ ）
(参考数据：)
A B. C. D.
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9. 下列说法中不正确的是（ ）
A. 正四棱柱一定是正方体
B. 圆柱的母线和它的轴不一定平行
C. 正棱锥的侧面是全等的等腰三角形
D. 以直角三角形的一边所在直线为旋转轴，其余两边旋转一周形成的面所围成的旋转体为圆锥
10. 已知复数，，则下列说法正确的是（ ）
A. 的共轭复数不是 B.
C. 复数 D. 复数为纯虚数
11. 下列说法正确的是（ ）
A. 若与是共线向量，则
B. 若，，则与可以作为平面内所有向量的基底
C. 已知是圆的直径，点是圆上异于、的点，且，则向量在向量上的投影向量为
D. 若，是单位向量，且，则
12. 已知正方体的棱长为2，，，分别为，，的中点，则下列结论中正确的是（ ）
A. 直线与直线垂直 B. 直线与平面平行
C. 点与点到平面的距离相等 D. 平面截正方体所得的截面面积为
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13. ______.
14. 已知以为起点向量，在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则______.
15. 设，是两条不同的直线，，是两个不同的平面.下列正确命题的序号是______.
①若，，，则 ②若，，，则
③若，，，则 ④若，，，则
16. 如图，在离地面高400的热气球上，观测到山顶C处的仰角为15°，山脚A处的俯角为45°，已知，求山的高度___________.
.
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知复数，，其中是实数.
（1）若，求实数的值；
（2）若是纯虚数，求.
18. 如图，已知正三棱柱ABC-A1B1C1的底面边长是2，D，E是CC1，BC的中点，AE=DE.求:
（1）正三棱柱ABC-A1B1C1的侧棱长；
（2）正三棱柱ABC-A1B1C1的表面积.
19. 已知在中，点是边上靠近点四等分点，点在边上，且，设与相交于点．记，．
（1）请用，表示向量；
（2）若，设，的夹角为，若，求证：．
20. 如图，长方形中，，．
（1）求证：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21. 在锐角中，角，，所对的边为，，，已知.
（1）求角；
（2）若，求的取值范围.
22. 如图1，四边形是矩形，将沿对角线折起成，连接，如图2，构成三棱锥.过动点作平面的垂线，垂足是.
（1）当落在何处时，平面平面，并说明理由；
（2）在三棱锥中，若为的中点，判断直线与平面的位置关系，并说明理由；
