信阳市高中2022-2023学年高二下学期6月月考
数学答案
选择题 1A 2B 3D 4C 5B 6C 7D 8C
填空题 或
5【详解】若求最小值，则要尽可能小，要尽可能大，
∴在双曲线的右支上，
∵渐近线
又因为 所以 双曲线方程为: :
由双曲线定义, 当 在双曲线的右支上. 当且仅当 , 即 时取等号
因为右支上的项点 到 最小, 最小为 8 , 所以 取不到等导, 当 时, 取最小值. 最小值为:
6【解析】设 , 求导 , 所以当 时, 单擝递增, 故 (0 职 , 所以 ;
设 , 求导 ,
所以当 时, 单调递增,
, 所以 , 故 .
7.解析:
，
所以,
，
若、不全为零，
利用辅助角公式可得出 , 其中 , 所以, 函数 的最小正周期为 ，
当 且 时, 则 , 这与 矛盾.
∴ ,
∴ ,
∴.
, 因此,
8.【详解】根据题意可得 , 解得 , 故可 的方程为 ,
画图分析可知当与直线 $P A$ 重直的直线 1 租国 相切, 切点为 , 且直线 1 的纵截距大于 0 时, 最大。
直线 $P A$ 的斜率为 1 , 设 1 的方程为 , 由图心 到直线 1 的距离为 ，解得： 或 (舍去).
故的方程为：，其与直线的交点坐标为.
所以 ,
所以 ,
即 的最大值为 .
因为 , 故 .
平面 平面, 因此 平面 选项正确;
因为 是 的重心, 所以 因此 ，B选项正确：
因为 , 有 , 则线段的交点分为, 同理线段和线段的交点分为, 因此四条直线 $A G, B E, C P, D H$ 相交于一点, 选项正确. 因为 , 所以 , 因此 选项错误. , 即 , 同除 整理得 ,
解得 , 又 , 故 , A 正确:
对于 , 即 , 即 , 即 , 由上知, 正确; 对于 C, 轴, 由 , 解得 , 故 , 即 , 即 , 解得 , 则 , 故离心率 , C 错误；
对于 D, 易得内切圆半径为 斜边上的高, 即 , 若内切圆过焦点 , 则 , 理得 , 同除 得 , 解得 , 又 , 则 , 故 , D 正确.
12 【详解】由题意得 , ,
对于 , 因为函数 在 上单调递增, , 故 A 正确;
, 因为函数 在 上单调递增,
, 故 B 正确;
, 故 错误;
当 时, 在 上单调递增,
因为 , 则 ,
所以 ,
, 故 D 正确.
14【解析】记“选派 3 名男医生和 2 名女医生, 有一名主任医生被选派”为事件 , 则 ,
记“选派 3 名男医生和 2 名女医生, 两名主任医师都被选派”为事件 , 则 。
15.【详解】等差数列 中,
而第 1 行有 1 个数, 第 2 行有 2 个数, 依此类推第 19 行有 19 个数则第 19 行的最后一个数是数列的第 项, 则此数阵中第 20 行从左到右的第 10 个数是该数列的第 200 项,
16【详解】令 , 则 ,
即 , 即 ,
所以 , 满足此不等式的正整数 的个数有 , 即 共有 $2 k$ 个数;
即 时则有 2 个, 即 ;
时则有 4 个, 即 ;
时则有 6 个, 即 ;
时则有 88 个, 即 , (其中 ,
又 , 所以 ，
其中1981~2022 共有 个数;
所以 ；
，
17.【解析】（1）依题意，
∵, 由正弦定理得:
由 ,
所以 ,
所以 , 所以 ,
又因为 ,
所以 , 所以 .
(2) 由 (1) 以及余弦定理变形式得:
即 ,
由 ,
解得 或 (舍去),
所以 .
18 【详解】(1) ,
，
所以数列 是以 2 为首项, 2 为公比的等比数列.
（2）由（1）可得, , 所以 ,
设 , 设其前 项和为 ,
则
两式相减得，
，
$
19.【详解】（1）∵平面平面, 所以 ,
又 为等边三角形, 为的中点,
所以 , 又 平面 ,
所以 平面 , 又 面, 所以 .
在直角梯形 中,
所以 , 又 平面 ,
所以 平面 , 又 平面 ,
所以平面 平面 .
(2) 由 (1) 知 $D B, D C, D C$, 两两垂直, 如图所示, 以 为坐标原点, 所在直线分别为 轴, 轴, 轴, 建立空间直角坐标系,
则 ,
所以
设平面 的法向量为 ,
由 得
所以平面 的一个法向量为
设平面 的法向量为 ,
因为 ,
由 得
所以平面 的一个法向量为
设平面 与平面 夹角 , 则
由图象可得平面 与平面 夹角 为锐角,
所以 .
20【解析】(1) 能更好地对 与 的关系进行拟合.
设 , 先求 关于 的线性回归方程.
由已如得 ,
∴ ,
.
所以 关于 的能性圆归方柦为 ,
所以 关于 的回归方糟为 ;
(2) 设剧场的总在位制为 , 由题意得门票收入为, ,
设通数 , 则 ,
当 , 即 时, 函数单调进减, 当 , 即 时, 函数单调递增, 所以 在 处取最大值,
所以剧场票价为 220 元时, 剧场的门票收入最多.
21 解折: (1)由悪得 , 所以点 的轨迹是以为焦点, 长轴为 4 的椭圆.
所以 , 所以椭圆的方程为 ;
所以点 的轨迹 的方程为 .
(2)解：由题得点 , 设直线的方程为 ,
联立直线和椭圆的方程为 得 , fik
设 , 所以 .
所以直线方程为 ,
令 得 , 同理 ,
因为 ,
所以 ,
所以 ,
所以 ,
因为 , 所以 ,
所以 ,
所以 , 所以直线的方程为 , 所以直线过定点 .信阳市高中2022-2023学年高二下学期6月月考
数学试题
一、选择题（本題共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1. 已知集合 ，则实数的值为
A.
B.
C.
D.
2. 的实部与虚部之和为
A.
B.
C.
D.
3. 中国空问站的主体结构包括天和核心舱、问天实验室和梦天实验室、安排甲、乙、丙、 丁 4 名航天员到空间站开展工作，每个舱至少安排 1 人，若甲、乙两人不能在同一个舱开展工作，则不同的安排方案共有
A. 36 种
B. 18 种
C. 24 种
D. 30 种
4. 函数的图象大致为
5. 双曲线 的一条渐近线方程为 分别为该双曲线的在右供 点， 为双曲线上的一点，则 的最小值为
A. 2
B. 4
C. 8
D. 12
6. 已知，则
A.
B.
C.
D.
7. 已知函数（其中为常数， ），若实数 、 满足，（1） ；（2） ; （3） ，则 的值为（）
A.
B.
C.
D.
8. 如图，2022 年世界杯的会微像阿拉伯数字中的“8”。在平面直角坐标更中，圆和 外切也形成一个8 字开状，若 为圆上两点，为两圆圆周上任一点 （不间于点），则的最大值为
A.
B.
C.
D.
二、选择题（本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分. 在每小题给出的选项中，有多项符合 道目要求。全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.）
9. 给出下列说法，其中正确的是
A. 若数据 的方差 为 0 ，则此组数据的众数崔
B. 已知一组数据，则该组数据的第40百分位数为 6
C. 一组样本数据的频率分布直方图是单浲的且形状是对称的，则该组数据的平均数和中位 数应该大体上着不多
D. 经验回归直线 恒过样本点的中心 ，且在回归直线上的样本点越多，拟合效果越好
10. 在三棱锥 中，分别是的重心.则下列命题中正确的有
A. 平面
B.
C. 四条直线 相交于一点
D.
11. 如图，已知椭圆 分别为左、右顶点， 分别为上、下顶点，分别为左、右焦点，点在椭圆 上，则下列条件中能使的离心率为的是
A.
B.
C. 轴，且
D. 四边形 的内切圆过焦点
12. 已知 ，若直线 与 图象交点的纵然标分别为 ，，且 、则
A.
B.
C.
D.
第 II 卷 （非选择题）
三、填空题（每小题 5 分，共 20 分）
13. 的展开式中含项的系数为30，则实数的值为 .
14. 某病毒殿发，全省支援，需要从我市某医院某科室的 4 名男医生（含一名主任医师）、 5 名女医生（含一名主任医师） 中分别选派 3 名男医生和 2 名女医生，则有一名主任医师被选 派时，两名主任医师都被选派的概率为 .
15. 已知等差数列 中， 将此等差数列的各项排成如下三角形数阵：
则此数阵中第 20 行从在到右的第 10 个数是
16. 定义 为与 距离最近的整数，令函数，如： .则 ； .
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. （10 分） 已知分别为三内角、、所对的边，且 .
（1） 求 ；
（2） 若 ，且 ，求 的值.
18. （12 分） 数列 满足 .
（1）求证： 是等比数列;
（2） 若 ，求 的前 项和为 .
19. （12 分）如图，在三棱台中，底面为等边三角形，平面，且为的中点.
（1）求证：平面;
（2）求平面与平面夹解的余弦值.
20. （12 分） 某剧场的座位数量是固定的，管理人员统计了最近在该剧场杀办的五场表演的票价 （单位： 元） 和上座率 （上座人数与总座位数的比值） 的数据，其中 ，并根据统计数据得到如下的散点图：
（1）由散点图判断与 哪个模型能更好地对与的关系进行拟合 （给出判断即可，不必说明理由），并根据你的判断结果求回归方程.
（2） 根据 （1） 所求的回归方程，预测票价为多少时，剧场的门票收入最多.
参考公式： 对于一组数据 ，其回归直线 的斜率和截距的最小二乘估计分别为： . 参考数据： ，设 ，则 ，.
21. （12 分） 如图，点 是圆 上的动点，点 ，线段的垂直平分线交半径于点 .
（1） 求点的轨迹的方程;
（2）点为轨迹与轴负半轴的交点，不过点且不垂直于坐标轴的直线交椭圆于两点，直线分别与 轴交于两点. 若的横坐标之积是2，问： 直线是 否过定点 如果是，求出定点坐标，如果不是，请说明理由.
22. （12 分） 已知函数 .
（1）讨论 的单调区间：
（2）当 时，令 .
①证明： 当 时，;
②若数列 满足 ，证明： .
