9.2三角形的内角与外角 同步练习题 冀教版七年级数学下册（含答案）

冀教版七年级数学下册《9.2三角形的内角与外角》同步练习题（附答案）
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．在△ABC中，∠B＝45°，∠C的外角等于100°，则∠A的度数是（　　）
A．65° B．55° C．54° D．35°
2．若一个三角形的三个内角度数的比为2：3：5，那么这个三角形的最大内角的度数为（　　）
A．54° B．60° C．90° D．100°
3．如图，点D、E分别在线段BC、AC上，连接AD、BE．若∠A＝35°，∠B＝25°，∠1＝70°，则∠C的大小为（　　）
A．40° B．50° C．75° D．85°
4．如图，下列关于∠A，∠B，∠C，∠1的关系中一定成立的是（　　）
A．∠A+∠B＝∠C+∠1 B．∠A+∠1＝∠B+∠C
C．∠A+∠B+∠C＝∠1 D．∠A+∠B+∠C+∠1＝360°
5．如图，在△ABC中，∠1是它的一个外角，E为边AC上一点，延长BC到D，连接DE．则下列结论正确的是（　　）
A．∠1＞∠D B．∠D＞∠2 C．∠1＝∠2+∠3 D．∠3＝∠A
6．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，AE，BF分别是∠BAC，∠ABC的平分线．∠BAC＝50°，∠ABC＝60°．则∠DAE+∠ACD等于（　　）
A．75° B．80° C．85° D．90°
7．如图所示，一副三角板叠放在一起，则图中∠α等于（　　）
A．105° B．115° C．120° D．135°
8．如图，在△ABC中，设∠A＝x°，∠ABC与∠ACD的平分线交于点A1，得∠A1；∠A1BC与∠A1CD的平分线相交于点A2，得∠A2；…；∠A2021BC与∠A2021CD的平分线相交于点A2022，得∠A2022，则∠A2022是（　　）度．
A．x B．x C．x D．x
9．如图，在△ABC中，∠C＝90°，∠A＝30°，将△ABC沿直线m翻折，点A落在点D的位置，则∠1﹣∠2的度数是（　　）
A．30° B．45° C．60° D．75°
10．如图，∠ABC＝∠ACB，BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，BE平分∠MBC交DC的延长线于点E，下列结论：①∠MAN＝2∠BDE；②∠BDE+∠BED＝90°；③∠ABC＝∠BEC；④∠BEC＝90°﹣∠BAC，其中正确的结论有（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．如图，在△ABC中，D，E分别是边AB和BC上的点，若∠B＝35°，∠C＝56°，∠F＝47°，则∠ADF的度数为 　 　．
12．如图，在△ABC中，∠C＝50°，按图中虚线将∠C剪去后，∠1+∠2等于 　 　．
13．如图，线段AD和BC相交于点O，若∠A＝70°，∠C＝85°，则∠B﹣∠D＝　 　．
14．如图，△ABC中，∠1＝∠2，∠BAC＝65°，则∠APB＝　 　．
15．如图，在△ABC中，BI、CI分别平分∠ABC、∠ACB，若∠BIC＝125°，则∠A＝　 　°．
16．在△ABC中，∠B＝58°，三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，则∠AEC＝　 　．
17．如图，∠MAN＝100°，点B，C是射线AM．AN上的动点，∠ACB的平分线和∠MBC的平分线所在直线相交于点D，则∠BDC的大小为　 　．
18．如图，把△ABC纸片沿DE折叠，使点A落在四边形BCDE的内部，若∠A＝40°，则∠1+∠2＝　 　°．
19．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝　 　度．
20．如图，∠A+∠B+∠C+∠D+∠E的度数为　 　度．
三．解答题（共4小题，满分40分）
22．如图，在△ABC中，CD是∠ACB的角平分线交AC于点D，DE∥BC，交AC于点E，∠A＝60°，∠BDC＝80°，求△CDE各内角的度数．
23．∠ACD是△ABC的外角，BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，且BE、CE交于点E．
（1）若∠A＝58°，求：∠E的度数．
（2）猜想∠A与∠E的关系，并说明理由．
24．已知：在△ABC中，∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D．
（1）请探究∠BOC的度数与∠BDC的度数有什么数量关系？并证明你的结论．
（2）若△ABC的三个外角平分线的交点为D、E、F，请判断△DEF是锐角三角形还是钝角三角形或直角三角形？并证明你的结论．
25．如图1，已知线段AB、CD相交于点O，连接AC、BD．
（1）求证：∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）如图2，∠CAB与∠BDC的平分线AP、DP相交于点P，求证：∠B+∠C＝2∠P．
参考答案
一．选择题（共10小题，满分30分）
1．解：∵∠B＝45°，∠C的外角等于100°，
∴∠A＝100°﹣45°＝55°．
故选：B．
2．解：设三个角依次为2x，3x，5x，
则2x+3x+5x＝180°，得x＝18°，
所以最大的角为5x＝90°，故选：C．
3．解：∵∠B＝25°，∠1＝70°，∠1＝∠2，
∴∠CDA＝∠2+∠B
＝∠1+∠B
＝70°+25°
＝95°．
在△ACD中，∵∠ADC+∠A+∠C＝180°，
∴∠C＝180°﹣∠ADC﹣∠A
＝180°﹣95°﹣35°
＝50°．
故选：B．
4．解：延长AD交BC于点E，
∵∠AEC＝∠A+∠B，∠1＝∠C+∠ACE，
∴∠1＝∠A+∠B+∠C，
故选：C．
5．解：A．∵∠2＞∠D，∠1＞∠2，
∴∠1＞∠D，故本选项符合题意；
B．∠2＞∠D，故本选项不符合题意；
C．∠1＝∠2+∠A＝∠D+∠3+∠A，∠2+∠3＝∠D+∠3+∠3＝2∠3+∠D，
又∵∠3和∠A不一定相等，
∴∠1和∠2+∠3不一定相等，故本选项不符合题意；
D．∠3和∠A不一定相等，故本选项不符合题意；
故选：A．
6．解：∵AD是BC边上的高，∠ABC＝60°，
∴∠BAD＝30°，
∵∠BAC＝50°，AE平分∠BAC，
∴∠BAE＝25°，
∴∠DAE＝30°﹣25°＝5°，
∵△ABC中，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAC＝70°，
∴∠EAD+∠ACD＝5°+70°＝75°．
故选：A．
7．解：如图，
由题意得：∠ABG＝90°，
∵∠G＝30°，
∴∠BFG＝180°﹣∠ABG﹣∠G＝60°，
∴∠AFH＝∠BFG＝60°，
∵∠α是△AFH的外角，∠A＝45°，
∴∠α＝∠A+∠AFH＝105°，
故选：A．
8．解：∵∠ACD是△ABC三角形的外角，∠A1CD是△A1BC的外角，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∠A1＝∠A1CD﹣∠A1BC，
∵BA1和CA1分别是∠ABC和∠ACD的角平分线，
∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CD＝∠ACD，
∴∠A1＝∠ACD﹣∠ABC＝∠A＝x°，
同理可得，∠A2＝∠A1＝×x°，∠A3＝∠A2＝××x°，…，
∴∠A2022＝x°，
故选：C．
9．解：如图，假设m与AC和AB的交点分别是E、F，ED与AB的交点是G．
由外角定理可得：
∠1＝∠AGE+∠A，∠AGE＝∠D+∠2；
∴∠1＝∠2+∠D+∠A＝∠2+2∠A，
∴∠1﹣∠2＝2∠A＝60°．
故选：C．
10．解：∵BD，CD分别平分△ABC的内角∠ABC，外角∠ACP，
∴∠ABD＝∠CBD，∠ACD＝∠PCD，
∴2∠PCD＝2∠CBD+∠MAN，∠PCD＝∠CBD+∠BDE，
由以上两式得∠MAN＝2∠BDE，故①正确；
∵BD、BE分别平分△ABC的内角∠ABC、外角∠MBC，
∴∠DBE＝∠DBC+∠EBC＝∠ABC+∠MBC＝×180°＝90°，
∴∠BDE+∠BED＝90°，
故②正确；
∵∠ABC＝∠ACB，
∴∠CBM＝∠NCB，
∵BE平分∠MBC，DE平分∠BCN，
∴∠EBC＝∠ECB，
∴∠BEC＝180°﹣2∠CBE
由∵∠ABC＝180°﹣2∠CBE，
∴③∠ABC＝∠BEC，故③正确；
∵∠BEC＝180°﹣（∠MBC+∠NCB）＝180°﹣（∠BAC+∠ACB+∠BAC+∠ABC）＝180°﹣（180°+∠BAC），
∴∠BEC＝90°﹣∠BAC，故④正确，
故选：D．
二．填空题（共10小题，满分30分）
11．解：∵∠DAF是△ABC的外角，∠B＝35°，∠C＝56°，
∴∠DAF＝∠B+∠C＝91°，
∵∠F＝47°，
∴∠ADF＝180°﹣∠F﹣∠DAF＝42°．
故答案为：42°．
12．解：∵△ABC中，∠C＝50°，
∴∠A+∠B＝180°﹣∠C＝130°，
∵∠A+∠B+∠1+∠2＝360°，
∴∠1+∠2＝360°﹣130°＝230°，
故答案为：230°．
13．解：∵∠C+∠D+∠COD＝180°，∠A+∠B+∠AOB＝180°，
∴∠D＝180°﹣∠C﹣∠COD，∠B＝180°﹣∠A﹣∠AOB．
∵∠AOB＝∠COD，
∴∠B﹣∠D＝（180°﹣∠A﹣∠AOB）﹣（180°﹣∠C﹣∠COD）＝∠C﹣∠A＝85°﹣70°＝15°．
故答案为：15°．
14．解：∵∠1＝∠2，∠BAC＝∠BAP+∠1＝65°，
∴∠BAP+∠2＝65°，
∴△ABP中，∠P＝180°﹣65°＝115°，
故答案为：115°．
15．解：依题意，在△BIC中，125°+∠IBC+∠ICB＝180°．
所以∠IBC+∠ICB＝55°．
在△ABC中，∠A+∠ABC+∠ACB＝180°．
又2∠IBC＝∠ABC，2∠ICB＝∠ACB，
所以∠A＝180°﹣55°×2＝70°．
故答案是：70°．
16．解：∵三角形的外角∠DAC和∠ACF的平分线交于点E，
∴∠EAC＝∠DAC，∠ECA＝∠ACF，
∵∠DAC＝∠B+∠2，∠ACF＝∠B+∠1
∴∠DAC+∠ACF＝（∠B+∠2）+（∠B+∠1）＝（∠B+∠B+∠1+∠2），
∵∠B＝58°（已知），∠B+∠1+∠2＝180°（三角形内角和定理），
∴∠DAC+∠ACF＝119°
∴∠AEC＝180°﹣（∠DAC+∠ACF）＝61°．
故答案是：61°．
17．解：∵CD平分∠ACB，BE平分∠MBC，
∴∠ACB＝2∠DCB，∠MBC＝2∠CBE，
∵∠MBC＝2∠CBE＝∠A+∠ACB，∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴2∠CBE＝∠D+∠DCB，
∴∠MBC＝2∠D+∠ACB，
∴2∠D+∠ACB＝∠A+∠ACB，
∴∠A＝2∠D，
∵∠A＝100°，
∴∠D＝50°．
故答案为：50°．
18．解：根据平角的定义和折叠的性质，得
∠1+∠2＝360°﹣2（∠3+∠4）．
又∠3+∠4＝180°﹣∠A，
∴∠1+∠2＝360°﹣2（180°﹣∠A）＝2∠A＝80°．
故答案为：80°．
19．解：如右图所示，
∵∠AHG＝∠A+∠B，∠DNG＝∠C+∠D，∠EGN＝∠E+∠F，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F，
又∵∠AHG、∠DNG、∠EGN是△GHN的三个不同的外角，
∴∠AHG+∠DNG+∠EGN＝360°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E+∠F＝360°．
故答案为：360°．
20．解：延长CE交AB于F，
∵∠BFC是△ACF的外角，∴∠BFC＝∠A+∠C，
∵∠EGB是△EDG的外角，∴∠EGB＝∠D+∠DEG，
∵∠B+∠BFC+∠EGB＝180°，
∴∠A+∠B+∠C+∠D+∠E＝180°．
21．解：如图连接CE，
根据三角形的外角性质得∠1＝∠A+∠B＝∠2+∠3，
在△DCE中有，∠D+∠2+∠DCB+∠3+∠AED＝180°，
∴∠D+∠A+∠DCB+∠B+∠AED＝180°．
三．解答题（共4小题，满分40分）
22．解：∵CD是∠ACB的角平分线，
∴∠ACD＝∠BCD＝，
又∵∠BDC是△CDA的外角，
∴∠BDC＝∠A+∠ACD，
∴∠ACD＝∠BDC﹣∠A＝80°﹣60°＝20°，
∵DE∥BC，
∴∠CDE＝∠BCD＝20°，
∵∠CDE+∠DCE+∠DEC＝180°，
∴∠DEC＝180°﹣∠ECD﹣∠EDC
＝180°﹣20°﹣20°
＝140°，
∴∠CDE＝∠ECD＝20°，∠DEC＝140°．
23．解：（1）∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A＝×58°＝29°；
（2）∠A与∠E的关系是：∠E＝∠A，
理由如下：∵∠ACD是△ABC的外角，
∴∠ACD＝∠A+∠ABC，
∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，
∵BE平分∠ABC，CE平分∠ACD，
∴∠2＝∠ABC，∠4＝∠ACD，
∴∠E＝∠4﹣∠2＝（∠ACD﹣∠ABC）＝∠A．
24．解：（1）∠BOC+∠BDC＝180°，理由如下：
如图所示：
∵∠ABC、∠ACB的角平分线交于点O，
∴∠3＝∠ABC，∠4＝∠ACB，
∴∠BOC＝180°﹣（∠3+∠4）＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），
∵∠ABC+∠ACB＝180°﹣∠A，
∴∠BOC＝180°﹣×（180°﹣∠A）＝90°+∠A；
由题意得：∠EBC＝∠A+∠ACB，∠FCB＝∠A+∠ABC，
∵∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠1＝∠EBC＝（∠A+∠ACB），
∠2＝∠FCB＝（∠A+∠ABC），
∴∠1+∠2＝（∠A+∠ACB）+（∠A+∠ABC）＝∠A+（∠ACB+∠ABC）＝∠A+90°﹣∠A＝90°+∠A，
∴∠BDC＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°﹣∠A，
∴∠BOC+∠BDC＝90°+∠A+90°﹣∠A＝180°；
（2）△DEF是锐角三角形，理由如下：
如图所示：
由题意得：∠GBC＝∠BAC+∠ACB，∠HCB＝∠BAC+∠ABC，
∵∠ABC、∠ACB的外角平分线交于点D，
∴∠1＝∠GBC＝（∠BAC+∠ACB），
∠2＝∠HCB＝（∠BAC+∠ABC），
∴∠1+∠2＝（∠BAC+∠ACB）+（∠BAC+∠ABC）＝∠BAC+（∠ACB+∠ABC）＝∠BAC+90°﹣∠BAC＝90°+∠BAC，
∴∠D＝180°﹣（∠1+∠2）＝90°﹣∠BAC；
同理可得：∠E＝90°﹣∠ABC，∠F＝90°﹣∠ACB，
∴∠D，∠E，∠F都是锐角，
故△DEF是锐角三角形．
25．证明：（1）在△AOC中，∠A+∠C＝180°﹣∠AOC，
在△BOD中，∠B+∠D＝180°﹣∠BOD，
∵∠AOC＝∠BOD，
∴∠A+∠C＝∠B+∠D；
（2）在AP、CD相交线中，有∠CAP+∠C＝∠P+∠CDP，
在AB、DP相交线中，有∠B+∠BDP＝∠P+∠BAP，
∴∠B+∠C+∠CAP+∠BDP＝2∠P+∠CDP+∠BAP，
∵AP、DP分别平分∠CAB、∠BDC，
∴∠CAP＝∠BAP，∠BDP＝∠CDP，
∴∠B+∠C＝2∠P．