2022-2023 学年度下学期第二次阶段性模拟试卷
高二数学参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 B C D A A B A D AC AB ABC AC
2 2a 2a8.【详解】 x0 e 1 ln a e2x 2 e2 1 ln a e2 1 x 2ex0 0 0 ex0
e2 1 ln a e2 2a a 2a 1 ln ex0 x 2 e2 1 ln x x 2e 0 e 0 e 0
a a a
令 t 2，即 e 1 ln t 2t 2 0，因为 x0 [ 1,2] t ,
ex
，所以
0 e2 e 1
，
令 f (t) e2 1 a aln t 2t 2 .则原问题等价于存在 t ,2 1 ，使得 f (t) 0成立. e e
2 2 2
e 1
e 1 2t
f (t) 2 令 f (t) 0
2
，即 e 1 2t 0, e 1解得 t ，
t t 2
2
令 f (t) 0
2
，即 e 1 2t 0, e 1解得0 t ，
2
2 2
所以 f t e 1 e 1 在 0, 上单调递增，在 , 上单调递减.
2 2
2
f (1) 0, f e2 e2又因为 1 ln e2 2e2 2 2e2 2 2e2 e 1 2 0 而1 e2，
2
a a 当1 t e2时， f (t) 0 . 若存在 t ,2 1 ，使得 f (t) 0成立. e e
a
2
a 1 1 1 4 只需 e 12 且 1 ，解得 a
4
e4且 a ，所以 a e .故a的取值范围为 ,e .
e e e e e
11.【详解】对于 A：函数 f x 为奇函数，则 f 2+x =f x = f x ，
则 f 4 x f 2 2 x f 2 x f x ，
则 f x 的一个周期为 4，故 A 正确；
对于 B： f 2 x f x 2，则函数关于 x 1对称，故 B 正确；
2
对于 C： f x 的一个周期为 4， f 2022 f 505 4 2 f 2 ，
令 f 2 x f x 中的 x 0，则 f 2 f 0 ，
函数 f x 为定义在R上奇函数， f 0 0， f 2022 0，故 C 正确；
对于 D： f x 的一个周期为 4， f 2023 f 506 4 1 f 1 ，
函数 f x 为奇函数， f 1 f 1 2， f 2023 2，故 D错误；故选：ABC.
n 1
12.【详解】根据递推关系可知，n为奇数时， an 8 2 9 n
2
n 2
n 为偶数时， a 2 ，故 A对；n 1
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
T2n a1 a2 a3 a4 a2n 1 a2n a1 a3 a2n 1 a2 a4 a2n
根据奇数项构成等差数列可得： a1 a3 a2n 1 8 6 2n 10 n2 9n
1,当n为奇数 n2 9n,n为偶数
而又：a2 a4 a2n 则有：T2n ，故 B 错误；
0,当n为偶数 n
2 9n 1,n为奇数
100 2
T T a 502 9 50 1 2 2049，故 C 对；99 100 100
根据Tn 中的奇数项构成等差数列，而偶数项之和不是 1就是 0，因此根据Tn 特点可知：
Tn 的最大值在奇数项之和取得最大值的附近，T
2
6 3 9 3 1 19，T7 T6 a7 19 2 21，
T8 4
2 9 4 20，T T 29 8 a9 20 0 20，T10 5 9 5 1 21，T11 T10 a11 19，
Tn 的最大值为T7 T10 21，故 D错 故选：AC
13.【答案】 ,1
a2 a3 a2 1 q 12
14.【详解】由题意可得 ，则 a2 0a 2
，
4 a2q 16
q2 4
上述两个等式作商可得 ，即3q2 4q 4 0， 因为 q 1，解得 q 2 .
1 q 3
4
x , x 1
15.【详解】因为函数 f (x) x .
(2a 1)x 1, x 1
4
当 x 1时，有 f (x) x 4，当且仅当 x 2时等号成立.
x
4
1 x , x 1
当2a 1 0，即 a 时，有 f (x) x ，不满足题意；
2 1, x 1
1
当2a 1 0，即 a 时， f x 2a 1 x 1在 ,1 上单调递减，
2
有 f x f 1 2a 2，不满足题意；
1
当2a 1 0，即 a 时， f x 2a 1 x 1在 ,1 上单调递增，
2
有 f x f 1 2a 2 .
要使 f x 的值域是R，则应有 2a 2 4，所以 a 3.
综上所述，当 a 3时， f x 的值域是R .故答案为： a 3.
16. 答案：3e3 12.【详解】作出 f (x)的函数图象如图所示：
∵存在实数 a b c，满足 f (a) f (b) f (c)， a b 4 ，
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
af (a) bf (b) cf (c) (a b c) f (c) (c 4) f (c) (c 4) ln c，
由图可知，1 f (c) 3， e c e3，
设 g(x) (x 4) ln x，其中 x (e,e3]，
g
4
(x) ln x 1 ，显然 g (x)在 x (e,e3]单调递增，
x
4g (e) 2 0， x (e,e3]， g (x) 0， g(x) 在 x (e,e3]单调递增，
e
g(x)在 x (e,e3]的最大值为 g(e3) 3(e3 4) 3e3 12， (c 4) f (c)的最大值为3e3 12，
故答案为：3e3 12.
3 1
3x 4 y 2
17.【详解】（1）原式 3 1 10y3 ；
x 4 y 2
10
1
（2）由 x 1可知 x2 x 1，
x
1 1
x x 2 x x 2 1 1 1 2
原式
x x x x
x 21 x x
2 x 2 x 1
x 1 x 1 x 1 x 1x x 2
3 1045
18.【详解】（1）解：设每年绿化面积的增长率为 p，则 1 p 1.045，则 p 3 1 0.015，
1000
故每年绿化面积的增长率约为1.5% .
9
（2）解：设经过 n年后该省的绿地面积是提出该理念时的 倍，
8
9
lg
n 9 8 2lg3 3lg 2 2lg3 3lg 2则1.015 ，则 n 8.51015 ，而 2022 9 2013，8 lg1.015 lg lg1015 3
1000
因此，习近平总书记最迟在 2013年首次提出该理论.
x x
19.【详解】（1）由于 a －1≠0，则 a ≠1，得 x≠0，∴函数 f(x)的定义域为{x|x≠0}.
1 1 a x 1 3 3
对于定义域内任意 x，有 f(－x)＝ x (－x) ＝ x (－x) a 1 2 1 a 2
1 1 3 1 1
＝
1 3
x (－x) ＝ x ＝f(x)，∴函数 f(x)是偶函数. a 1 2 a x 1 2
（2）由（1）知 f(x)为偶函数，∴只需讨论 x＞0时的情况，当 x＞0 时，要使 f(x)＞0，
x
1 1 a 1 x3
1 1 x
则 x ＞0，即 a 1 2 a x
＋ ＞0，即
1 2 2 a x ＞0，则 a＞1.又∵x＞0，∴a＞1.1
∴当 a∈(1，＋∞)时，f(x)＞0.
20.(1)解：在等差数列 an 中，a1 1，公差 d 0，Sn为其前 n项和，∴ S1 a1 1，S3 3 3d ，
S9 9 36d ，又 S1， S3 ，S
2
9成等比数列，∴ S3 S1S9，即 3 3d
2 9 36d ，由于 d 0,
解得 d 2，∴ an 1 2 n 1 2n 1
1 1 1 1
b
1 1
(2)证明：由（Ⅰ）知 a 2n 1，∴ n
n 1 a2 1 2 4n n 1 4 n n 1 ，n 1 2n 1 1
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
1
T
1
1
1 1
1 1 1
1
则 n 1 ，4 2 2 3 n n 1 4 n 1
1 1
* 1 1
1
∵ n N ，∴ 0，1 1，∴T
n 1 n
1
n 1 4 n 1
4
(x 2)e
x
21.【详解】（1） f (x) 2 ，令 f x 0，得 x 2，(x 3)
f x 在 3, 2 为负， f x 单调递减， f x 在 2, 为正， f x 单调递增，
故 f f -2 1 2 为极小值， f x 无极大值.e
1 x 3
3 3 x 3g(x) 3 ax2（2）由题知 x ,令 2x，f x e ex
x 2g (x) 2ax 2, g 0 0, g x 0 0,e
x 2 x 1
令h(x) g (x) 2ax 2x ，则h (x) 2ax ，e e
x 1 x
设u(x) h (x) 2a 则 u (x) ，
ex ex
3 x 0，u (x)为正，u(x) h (x)在 3,0 单调递增，
x 0，u (x)为负，u(x) h (x)在 0, 单调递减，故u(0) h (0) 1 2a为极大值，
1
若1 2a 0，即 a ，此时h (x) 0，则 h(x) g (x)在 3, 单调递减，
2
又 g (0) 0，所以 3 x 0时 g (x) 0， g(x)在 3,0 单调递增，
x 0时， g (x) 0， g(x)在 0, 单调递减，
1 1
故 g(0) 0为极大值，所以 g(x) 0，则当a 时，符合条件；1 2a 0，即 a
2 2
此时 h (x) 0，存在 3 x1 0，在 x1,0 上；u(x) h (x) 0，
则h(x) g (x)在 x1,0 单调递增，又h(0) g (0) 0，则在区间 x1,0 上 g (x) g (0) 0
所以在区间 x1,0 上， g(x)单调递减，则 g(x) g(0) 0，不满足条件.
综上所述 a
1
的最小值为 .
2
22.【详解】（1） a 0 , f (x) (x 2)ex , f '(x) ex (x 3),令 f ' (x) 0，得 x 3，
当 x 3时， f ' (x) 0，当 x 3时， f ' (x) 0，
所以函数 f (x)的单调递增区间为 ( 3, )，单调递减区间为 ( , 3) .
2
（2）（i）由 f（x）≤1，即（x－ae x＋2）ex 1
xex 2ex 1 xex 2ex 1
解得 a ( ) g(x)
e3x max
，令 ，
e3x
x x
e (x 2) e e
3x e
x (x 2) 1 3e
3x
' e
x 2x 3 3
g (x) = ，
(e3x )2 e3x
令h(x) ex ( 2x 3) 3，h ' (x) ( 2x 5)ex
5 5
所以 h ' (x) 0, x ， h(x)在 ( , )单调递增，
2 2
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
' 5 5 5h (x) 0, x ， h(x)在 ( , )单调递减. h(x)max h( ) 0 且 x 0时， h(x) 02 2 2
5
h(x)在 ( , )上有唯一的零点，∵ h(0) 0，当 x 0时，h(x) 0, g ' (x) 0, g(x)单调递增，
2
当 x 0时， h(x) 0, g ' (x) 0， g(x)单调递减， g(x)max g(0) 1， a 1
所以 a的最小值为 1.
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}２０２２－２０２３学年度下学期第二次阶段性模拟试卷
高二 数学
一、单选题（本大题共８小题，每小题５分，共４０分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合
题意．）
１．下列各对函数中，图像完全相同的是
Ａ．ｙ＝ｘ与ｙ＝ ｘ２槡 Ｂ．ｙ＝ｘ
０与ｙ＝ｘｘ
Ｃ．ｙ＝｜ｘ｜与ｙ＝｜槡ｘ｜
２ Ｄ．ｙ＝槡ｘ＋１槡ｘ－１与ｙ＝槡（ｘ＋１）（ｘ－１）
２．不等式（１－３ｘ）（２ｘ－１）≤０的解集为
Ａ．( －∞ １ １ １ １，３)∪( ２，＋∞) Ｂ．( ３，２)
Ｃ．( －∞ １，３]∪[ １２，＋∞) Ｄ．[ １ １３，２]
３．已知集合Ａ＝｛ｘ｜－２＜ｘ＜２｝，Ｂ＝｛ｘ｜－３＜ｘ＜３｝，则（ＣＲＡ）∩Ｂ＝
Ａ．｛ｘ｜－３＜ｘ－２或２＜ｘ＜３｝ Ｂ．｛ｘ｜－３≤ｘ＜－２或２＜ｘ≤３｝
Ｃ．｛ｘ｜－３≤ｘ≤－２或２≤ｘ≤３｝ Ｄ．｛ｘ｜－３＜ｘ≤－２或２≤ｘ＜３｝
４．命题ｐ：“?ｘ∈Ｒ，ｘ２－ｍｘ＋１＞０”，命题ｑ：“ｍ＜２”，则ｐ是ｑ的
Ａ．充分不必要条件 Ｂ．必要不充分条件
Ｃ．充要条件 Ｄ．既不充分又不必要条件
５．若３ｘ＋２ｙ＝２，则８ｘ＋４ｙ的最小值为
Ａ．４ Ｂ．４２ Ｃ．１１ １６槡 ２ Ｄ．３
６．数列｛ａｎ｝中的前ｎ项和Ｓ＝２
ｎ
ｎ ＋２，数列｛ｌｏｇ２ａｎ｝的前ｎ项和为Ｔｎ，则Ｔ２０＝
Ａ．１９０ Ｂ．１９２ Ｃ．１８０ Ｄ．１８２
ｅｘ{ ，ｘ≤０７． １已知函数ｆ（ｘ）＝ ，则不等式ｆ（ｘ）≤ 的解集是ｌｎｘ，ｘ＞０ ２
Ａ．（－∞，－ｌｎ２］∪（０，槡ｅ］ Ｂ．（－∞，－ｌｎ２）
Ｃ．（０，槡ｅ］ Ｄ．（－∞，－ｌｎ２）∪（０，槡ｅ）
８．若存在ｘ０∈
２ａ
［－１，２］，使不等式ｘ＋（ｅ２０ －１）ｌｎａ≥
２
ｘ ＋ｅｘ０－２成立，则ａ的取值范围是ｅ０
高二数学 第二次阶段性模拟试卷 第１页（共４页）
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
书
Ａ．[ １２ｅ，ｅ２] Ｂ．[ １，ｅ２ｅ２ ] Ｃ．[
１
，ｅ４
ｅ２ ] Ｄ．[ １ｅ，ｅ４]
二、多选题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．在每小题给出的选项中，有多项符合题意．
全部选对的得５分，部分选对的得２分，有选错的得０分．）
９．关于函数ｆ（ｘ ＝３－ｘ） ｘ＋１，下列判断正确的是
Ａ．ｆ（ｘ）在（－１，＋∞）上单调递减 Ｂ．ｆ（ｘ）在（－１，＋∞）上单调递增
Ｃ．ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上单调递减 Ｄ．ｆ（ｘ）在（－∞，－１）上单调递增
１０．下列结论错误的有
Ａ．若ａ＞ｂ，则ａｃ２＞ｂｃ２
Ｂ． ｙ＝１函数 ｘ＋ｘ的最小值为２
Ｃ． １ ＜ １
槡５－２ 槡６－槡５
Ｄ．－１≤２ｘ＋ｙ≤１ －１≤３ｘ＋ｙ≤１ ９ｘ＋ｙ －１３≤９ｘ＋ｙ≤１３２ ２， ２ ２，则 的取值范围是 ２ ２
１１．已知定义在Ｒ上的奇函数ｆ（ｘ）满足ｆ（２＋ｘ）＝ｆ（－ｘ），若ｆ（１）＝２，则
Ａ．４为ｆ（ｘ）的一个周期 Ｂ．ｆ（ｘ）的图象关于直线ｘ＝１对称
Ｃ．ｆ（２０２２）＝０ Ｄ．ｆ（２０２３）＝２
－ａｎ，ｎ为偶数
１２．已知数列｛ａｎ｝满足ａ１＝８，ａ２＝１，ａｎ＋２＝ { ，Ｔｎ为数列｛ａｎ｝的前 ｎ项和，则ａｎ－２，ｎ为奇数
下列说法正确的有
ｎ－２
Ａ．ｎ为偶数时，ａ＝（－１）２ｎ Ｂ．Ｔ２ｎ＝－ｎ
２＋９ｎ
Ｃ．Ｔ９９＝－２０４９ Ｄ．Ｔｎ的最大值为２０
三、填空题（本大题共４小题，每小题５分，共２０分．把答案填在答题卡中相应的横线上．）
１３．若“ｘ＝１”是“ｘ＞ａ”的充分条件，则实数ａ的取值范围为 ．
１４．已知公比大于１的等比数列｛ａｎ｝满足ａ２＋ａ３＝１２，ａ４＝１６，则｛ａｎ｝的公比ｑ＝ ．
ｘ＋４，ｘ≥１
１５．若函数ｆ（ｘ）＝ { ｘ 的值域是Ｒ，则实数ａ的取值范围是 ．
（２ａ－１）ｘ－１，ｘ＜１
{｜ｘ＋２｜＋１，ｘ≤０１６．已知函数ｆ（ｘ）＝ ，若存在实数ａ＜ｂ＜ｃ，满足ｆ（ａ）＝ｆ（ｂ）＝ｆ（ｃ），ｌｎｘ，ｘ＞０
则ａｆ（ａ）＋ｂｆ（ｂ）＋ｃｆ（ｃ）的最大值是 ．
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四、解答题（本题共６小题，共７０分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
１７．（１０分）化简与求值．
－３ １４ ２
（１ ３ｘ ｙ）化简： １ ６ ；( １－ ｘ４ｙ－１ １３) ( ｘ－１４ ５ ｙ－６)
２ １
（２）已知ｘ－１＝１ ｘ＞０ｘ－ｘ，其中 ， －ｘ ｘ２ｘ １ －ｘ＋１的值．ｘ－ｘ２
１８．（１２分）习近平总书记提出：“绿水青山就是金山银山”的重要理念，说明呵护地球，人人有
责．某省为响应该理念，计划每年都增长相同百分比的绿化面积，且３年时间绿化面积增长
４．５％ ３，（参考数据：槡１０４５≈１０．１５０，ｌｇ１０１５≈３．００６，ｌｇ２≈０．３０１，ｌｇ３≈０．４７７）试求：
（１）求每年绿化面积的增长率；
９
（２）按此增长率，若２０２２年年初时，该省的绿地面积是提出该理念时的８倍，请问习近平总
书记最迟是哪一年首次提出该理论．
１９．（１２ １ １分）已知函数ｆ（ｘ）＝( ＋ ３ａｘ－１ ２)ｘ（ａ＞０，且ａ≠１）．
（１）讨论ｆ（ｘ）的奇偶性；
（２）求ａ的取值范围，使ｆ（ｘ）＞０在定义域上恒成立．
高二数学 第二次阶段性模拟试卷 第３页（共４页）
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
２０．（１２分）设数列｛ａｎ｝是等差数列，已知ａ１＝１，公差为ｄ（ｄ≠０），Ｓｎ为其前ｎ项和，且Ｓ１，Ｓ３，Ｓ９
成等比数列．
（１）求数列｛ａｎ｝的通项公式；
（２）设ｂ＝ １ ? １ｎ ａ２
（ｎ∈Ｎ ），证明：数列｛ｂ｝的前ｎ项和Ｔ＜ ．
ｎ＋１－１
ｎ ｎ ４
ｘ
２１．（１２分）已知函数ｆ（ｘ ＝ ｅ） ｘ＋３．
（１）求ｆ（ｘ）在（－３，＋∞）上的极值；
（２）若?ｘ∈（－３，＋∞ １）， －３≤ａｘ２ｆｘ －２ｘ，求ａ的最小值．（）
２２．（１２分）已知函数ｆ（ｘ）＝（ｘ＋２－ａｅ２ｘ）ｅｘ，其中ｅ为自然对数的底数．
（１）当ａ＝０时，求函数ｆ（ｘ）的单调区间；
（２）当ａ＞０时，若ｆ（ｘ）≤１恒成立，求实数ａ的最小值．
高二数学 第二次阶段性模拟试卷 第４页（共４页）
{#{QQABKYIUogggABBAAAACUwUQCEKQkgGCAAgOQEAYIEIBSQFABAA=}#}
