锐角三角函数全章教案
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文档简介
锐角三角函数全章教案
单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习 ( http: / / www.21cnjy.com )正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容 ( http: / / www.21cnjy.com )，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．
（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的能力．
教学方法
在本章，学生首次接触到以角度为自变 ( http: / / www.21cnjy.com )量的三角函数，初学者不易理解．讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点：
1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．
2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，再加以探索认识．
3．对实际问题，注意联系生活实际．
4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，增加探索性问题的比重．
课时安排
本章共分9课时．
28．1 锐角三角函数 4课时
28．2 解直角三角形 4课时
小结 1课时
28．1 锐角三角函数
内容简介
本节先研究正弦函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容．由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念， ( http: / / www.21cnjy.com )能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．
2．难点：使学生知道当锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．
教学方法
学生很难想到对任意锐角，它 ( http: / / www.21cnjy.com )的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
第1课时 正弦函数
复习引入
教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道： ( http: / / www.21cnjy.com )始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
根据上面的这段报道 ( http: / / www.21cnjy.com )中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了!
探究新知
（1）问题的引入
教师讲解：为了绿 ( http: / / www.21cnjy.com )化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结．
教师总结：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（课本图28．1-1）．
( http: / / www.21cnjy.com )
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ＝
可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
教师更换问题的条件后提出新问题 ( http: / / www.21cnjy.com )：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．
教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．
教师提出第2个问题：既然直角三角形中， ( http: / / www.21cnjy.com )30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=BC．
因此 =，
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
教师再将问题提升到更高一个层次：从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．这为问题可以转化为以下数学语言：
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 有什么关系．
( http: / / www.21cnjy.com )
在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
（二）正弦函数概念的提出
教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：
如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =．
( http: / / www.21cnjy.com )
在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=．
（三）正弦函数的简单应用
教师讲解课本第79页例题1．
例1 如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
教师对题目进行分析：求si ( http: / / www.21cnjy.com )nA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
解：如课本图28．5-1（1），在Rt△ABC中，
AB==5．
因此 sinA==，sinB==．
如课本图28．5-1（2），在Rt△ABC中，
sinA==，AC==12．
因此，sinB==．
随堂练习
做课本第77页练习．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
教后反思
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第1课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
双基与中考
1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（1） （2） （3）
2．（2005，南京）如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2004．辽宁大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（ ）．
A． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
5．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，BC的长是（ ）．
A．2
第1课时作业设计（答案）1．D 2．A 3．A 4．B 5．B ( http: / / )
28.1.2 余弦、正切函数(第2课时)
复习引入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义它．
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )道，如课本图28．1-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
探究新知
（一）余弦、正切概念的引入
教师引导学生自己作出结 ( http: / / )论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．
学生证明过后教师进行总结：类似于正弦的情况，在课本图28．1-6中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =．
教师讲解并板书：锐角A的正弦、余弦、正切都叫 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
（二）余弦正切概念的应用
教师解释课本第78页例 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2题意：如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
解：sinA=，
∴AB==6×=10，
又∵AC==8，
∴cosA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =，tanB==．
随堂练习
学生做课本第78页练习1、2、3题．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
教后反思
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第2课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切函数有关的部分）
28.1.3 特殊角的三角函数值
(第3课时)
复习引入
教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
在学生回答了这个问题后，教师再复述 ( http: / / www.21cnjy.com )一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．
探究新知
（一）特殊值的三角函数
学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．
30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与．对于正切，60度的正切值为，当角度递减时，分别将上一个正切值除以，即是下一个角的正切值．
要求学生记住上述特殊角的三角函数值．
教师强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
（二）特殊角三角函数的应用
1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．
（2） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 -tan45°．
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
解：（1）cos260°+sin260°=（）2+（）2=1
（2）-tan45°=÷-1=0
2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
教师分析解题方法：要求一个直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）在课本图28．1-9（1）中，
∵sinA==，
∴∠A=45°．
（2）在课本图28．1-9（2）中，
∵tana==，
∴a=60°．
教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．
随堂练习
学生做课本第80页练习第1、2题．
课时总结
学生要牢记下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．
教后反思
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第3课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第3题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业 ( http: / / www.21cnjy.com )之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业．学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）．
一、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°<∠A≤60° B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30° D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 C． D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
11．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
二、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=，则cosA=________．
16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=________．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，得 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值为_______．
三、解答题．
18．求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）; （4）-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°
（6） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +cos45°·cos30°
19．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．
20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上，且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．
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21．已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A距离地面是多少米？（精确到0.1m）
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23．如图，由于水资源缺乏，B、C两地 ( http: / / www.21cnjy.com )不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
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第3课时作业设计（答案）
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A
二、12．90° 13． 14．2，12+8 15． 16． 17．
三、
18．（1） （5）； （6）0
19．∵AD是BC边上的高，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
∵=tan30°，BD=10，
∴AD=．
∴=sinC，
∴AC= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
20．过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．
∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2×=（cm）．
∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2×=（cm）．
在Rt△BOC中，OC=BC=1．
21．m=2+1 A=45° B=45°
22．A距地面4.8m
23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°=a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +1）a．
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（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC=．
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，OB==a．
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=a．
比较可知，a<（ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +1）a<2a，∴图（3）所示方案最好．
28．1．4 利用计算器求三角函数值
第4课时
复习引入
教师讲解：通过上面几节的学习我们 ( http: / / www.21cnjy.com )知道，当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
探究新知
（一）已知角度求函数值
教师讲解：例如求sin18°，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18°=0.309016994．
又如求tan30°36′，利用tan键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．
利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．
因为30°36′=30.6°，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591398351．
（二）已知函数值，求锐角
教师讲解：如果已知锐角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
依次按键2ndf sin， ( http: / / www.21cnjy.com )然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．
还可以利用2ndf °’”键 ( http: / / www.21cnjy.com )进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．
使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．
教师提出：怎样验算求 ( http: / / www.21cnjy.com )出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，然后教师总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，则我们原先的计算结果就是正确的．
随堂练习 课本第81页练习第1、2题．
课时总结
已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．
教后反思
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第4课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第4题，第5题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业之外 ( http: / / www.21cnjy.com )，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业，学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）
一、选择题．
1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长是（ ）．
A． B．2 C．3 D．
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(1) (2) (3)
2．如图2，从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别为35°、45°，若C、D两处相距200米，那么山高AB为（ ）．
A．100（+1）米 B．100米 C．100米 D．200米
3．如图3，两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低的建筑物的高为（ ）．
A．s·tanα米 B．s·tan（β-α）米
C．s（tanβ-tanα）米 D．米
4．已知：A、B两点，若由A看B的仰角为α，则由B看A的俯角为（ ）．
A．α B．90°-α C．90°+α D．180°-α
5．如图4，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB等于（ ）．
A．100m B．50m C．50 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 m D．50（+1）m
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(4) (5) (6)
6．已知楼房AB高50m，如图5，铁塔塔基与楼房房基间水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中正确的是（ ）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
7．如图6，一台起重机的机身高AB为20m， ( http: / / www.21cnjy.com )吊杆AC的长为36m，吊杆对水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ）．
A．（36+20）m和36·tan30°m B．36·sin80°m和36·cos30°m
C．（36sin30°+20）m和36·cos30°m D．（36sin80°+20）m和36·cos30°m
8．观察下列各式：（1）sin59°>sin28°；（2）0（3）tan30°+tan60°=tan90°；（4）tan44°·cot44°=1，其中成立的有（ ）．
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．角a为锐角，且cosα=，那么α在（ ）。
A．0°与30°之间 B．30°与45°之间
C．45°与60°之间 D．60°与90°之间
10．如图7，沿AC方向开山 ( http: / / www.21cnjy.com )修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）．
A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500cot55°米
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(7) (8) (9)
11．如图8，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．8
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是（ ）．
A．b=c·cosA B．b=a·sinB C．a=b·tanB D．b=c·cotA
二、填空题
13．求sin72°的按键顺序是_________．
14．求tan25°42°的按键顺序是__________．
15．求cot32°19′的按键顺序是__________．
16．用计算器cos18°44′25″=__________．
17．如图9，在40m高楼A处测得地面C处的俯角为31°，地面D处的俯角为72°，那么
（1）31°=∠_____=∠_______； （2）27°=∠_____=∠_______；
（3）在Rt△ABC中，BC=_______；（精确到1m）
（4）在Rt△ABD中，BC=_____；（精确到1m）
（5）CD=________-BC=________．
18．如图10，一段河堤的横断面为梯形ABCD，根据图中所标的数据填空：
（1）CE：EB=i=______：________； （2）EB=______m，∠a=________．
（3）过点D作DF⊥AB，交AB于点F，则DF=________m，AF=_________m；
（4）河堤底宽AB=AF+FE+EB=_______m．
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(10) (11)
19．如图11，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．
20．某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是________米．
三、解答题．
21．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′
22．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）
23．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）
24．如图，美国侦察机B飞抵我近 ( http: / / www.21cnjy.com )海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB=15°，它们与雷达的距离分别为AC=80千米，BC=81千米，求此时两机距离是多少千米（精确到0.01千米）？（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
( http: / / www.21cnjy.com )
25．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却经千年而不 ( http: / / www.21cnjy.com )倒，被誉为“天下第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，AC约为2.34米，倾角∠ABC约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）
答案:
一、1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 11．B 12．A
二、13．sin、7、2、=
14．tan、（、2、5、+、4、2、÷、6、0、）、=
15．tan、（、9、0、-、3、2、-、1、9、÷、6、0、）、=
16．0.946984659 17．（1）EAC，ACB （2）EAD，ADB （3）67 （4）79 （5）BD， 12 18．（1）CE，EB （2）3，45° （3）3，4 （4）10 19．3 20．800
三、21．（1）0.675804644 （2）0.835743474 （3）1.445081367
22．（1）28°29′46″ （2）32°19′2″ （3）54°39′59″
23．如图，作CD⊥AB，垂足为D．
则∠ACD=∠ACB=54°，AB=2AD．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°．
∵cos∠ACD= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CD=AC×cos∠ACD=10×cos54°
≈10×0.59=6（cm）．
∵sin∠ACD=，
∴AD=AC×sin∠ACD=10×sin54°≈10×0.81=8（cm）．
∴AB=2AD=16（cm）．
S△ABC=AB·CD=×16×6=48（cm2）．
24．作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则cos16°=，
∴CE=80×cos16°≈80×0.96≈76.80．∵cos15°= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CF=81×cos15°≈81×0.97≈78.57．
依题意，AB∥CD，
∴AB=EF=CF-CE=78.57-76．80=1.77（千米）
答：此时两机相距1.77千米．
25．在Rt△ABC中，AC=2.34米，∠ABC=2°48′，
∴斜边AB==47.9（米）．
答：塔身AB长约为47.9米．
作业第82-83页6、7、8、10
28．2 解直角三角形
内容简介
本节上一节“锐角三角函数”的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．本节开始设计了两个实际问题，要解决这两个问题需要用到上一节学习的内容，由此引出解直角三角形的内容．教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系．这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容．接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．本节最后将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法
1．注意加强知识间的纵向联系
第27章“相似”是研究本 ( http: / / www.21cnjy.com )章的基础，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性．教学中要注意加强两者之间的联系．全等三角形的有关理论有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．
本章所研究的锐角三角函数反映了 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角与数值之间的函数关系，这一次函数、反比例函数以及二次函数一样，都反映了变量之间的对应关系．因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念．
2．注意数形结合，注意体现数与形之间的联系
数形结合是重要的数学思想和 ( http: / / www.21cnjy.com )数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料．结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质．再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．
第1课时 解直角三角形引入
复习引入
教师讲解：上一节我们介绍了直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．
探究新知
概念的引入
教师讲解题目含意：现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．
1 先看1972年的情形：设塔顶中 ( http: / / www.21cnjy.com )心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ≈0.0954．
所以∠A≈5°08′．
教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．
2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问：
1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
教师要求学生将上 ( http: / / www.21cnjy.com )述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长．
教师讲解问题1的解法：
由sinA= 得 BC=AB·sinA=6×sin75°．
由计算器求得 sin75°≈0.97，
所以 BC≈6×0.97≈5.8．
因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．
教师分析问题2：当梯子底端 ( http: / / www.21cnjy.com )距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数．
教师解题：由于cosa= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ==0.4，
利用计算器求得a ( http: / / www.21cnjy.com )≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
随堂练习
如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
( http: / / www.21cnjy.com )
学生做完此题后教师要讲评：
解题方法分析：由A作一条平 ( http: / / www.21cnjy.com )行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．
在Rt△ABE中，sinA=
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．
cosA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．
CD=AE=157.1（米）．
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．
课时总结
利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．
教后反思
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第1课时作业设计
课本练习
做课本第92页习题28．2复习巩固第1题、第2题．
双基与中考
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2．Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4．（2006年中考题），在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A． B． C．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD;（2）若sinC= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，BC=12，求AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:
1．已知两个 2．8 3． 4．B
5．（1）在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴tanB=
又∵tanB=cos∠DAC．∴BD=AC．
（2）∵sinC=，设AD=12x，AC=13x，∴CD=5x，BD=13x，则BC=18x，
又∵BC=12，∴18x=12，即x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴AD=8．
第2课时 解直角三角形
复习引入
教师讲解：上一节课 ( http: / / www.21cnjy.com )我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法．这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法．
教师提出以下问题要求学生自行解答：三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角．在Rt△ABC中，
1．根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
2．根据AC=2．4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
学生解答完后教师给出解法．
探究新知
（一）什么是解直角三角形
教师讲解什么是解直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形．事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
（二）解直角三角形用的知识
师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识．
教师总结：如课本图28．2-2所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：
（1）三边之间的关系
a2+b2+c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°．
（3）边角之间的关系：
sinA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =，sinB==
cosA==，cosB==
tanA==，tanB= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =
（三）解直角三角形实例
1．教师解释例1题意：
例1 如课本图28．2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形．
教师给出解法并板书．
解：∵tanA==，
∴∠A=60°．
∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．
AB=2AC=2．
2．教师讲解例2题意，解题并板书：
例2 如课本图28．2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．（精确到0.1）
解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．
∵tanB=．
∴a= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ≈28.6．
∵sinB=，
∴c=≈35.1．
（
随堂练习
课本第87页练习．
课时总结
解直角三角形就是已知直角三角形三条边 ( http: / / www.21cnjy.com )，三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）求其他元素的过程．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．
教后反思
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第2课时作业设计
课本练习
做课本第92页习题28．2第3题，第4题，第5题．
第3课时 求不可到达的两点间距离
复习引入
教师讲解：本节课 ( http: / / www.21cnjy.com )将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题．2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识．
探究新知
（一）讲解例3
教师提出问题：当飞船完成变轨后，就在 ( http: / / www.21cnjy.com )离地球表面350km的圆形轨道上运行．如课本图28．2-5，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）．
教师对问题进行分析：从飞船上能 ( http: / / www.21cnjy.com )直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．如图28．2-6所示，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离（这一点教师务必讲解清楚，千万不能用弦PQ去代替）．为了计算PQ的长需先求出∠POQ（即∠a）．
在解决例3的问题时，要综合运用圆和解直角三角形的知识．
教师要求学生思考解法，然后提问，学生回答后教师作出总结并板书；在图28．2-5中，FQ是⊙O的切线，△FCQ是直角三角形．
∵cosα= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ≈0.95，
∴α≈18°．
∴PQ的长为×6400≈1.34×640=2009.6．
由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km．
（二）讲解例4
教师分析题意：热气球的探测器显示，从热气 ( http: / / www.21cnjy.com )球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）
教师对解法进行分析：我们知道， ( http: / / www.21cnjy.com )在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在课本图28．2-6中，AD是与水平面平行的直线，则α=30°，β=60°，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解．在Rt△ABD中，a=30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在△ACD中可以求出CD．进而求出BC．
教师要求学生独立完成该题．学生做完后教师给出该题的答案并板书：
解：如课本图28．2-6，α=30°，β=60°，AD=120．
∵tanα= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=4，
CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120，
∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1．
答：这栋楼房约为277.1m．
随堂练习
课本89页练习第1题、第2题．
课时总结
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
教后反思
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第3课时作业设计
课本练习
做课本第93页习题28．2第6题、第7题、第8题．
第4课时 方位角与方向角问题
复习引入
本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
探究新知
（一）方位角与方向角
1．方向角
教师讲解：指北或指南方向线与目标方 ( http: / / www.21cnjy.com )向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图:目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
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2．方位角
教师讲解：从某点的指 ( http: / / www.21cnjy.com )北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图:目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
教师讲解：在解决实际问题时，我们要学 ( http: / / www.21cnjy.com )会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、 ( http: / / www.21cnjy.com )角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．
（三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-7所示，一艘 ( http: / / www.21cnjy.com )海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.1海里）
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教师提示：这道题的解题 ( http: / / www.21cnjy.com )思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．
教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．
解：如课本图28．2-7，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°-65°）
=80×cos25°≈80×0.91=72.505．
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵sinB= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴PB=≈129.7
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里．
教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题 ( http: / / www.21cnjy.com )时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-8所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-9所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
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图28．2-8 图28．2-9
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代 ( http: / / www.21cnjy.com )曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-10表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．
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图28．2-10
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．
然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．
以上解决问题中所用 ( http: / / www.21cnjy.com )的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
随堂练习
课本第91页练习第1题、第2题．
课时总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
教后反思:
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第4课时作业设计
课本练习
课本第93页习题28．2拓广探索第9题、第10题．
小结与复习
知识结构
( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识
1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，
∠A+∠B=90°， a2+b2=c2，
sinA=cosB=， cosA=sinB=，
tanA=cotB=， cosA=tanB=．
2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
3．同角三角函数间的关系：
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=．
4．特殊角的三角函数
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 1 不存在
cotα 不存在 1 0
解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型 已知条件 解法
两边 两直角边a、b c=，tanA=，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c b=，sinA=，∠B=90°-∠A
一边一锐角 一直角边a，锐角A ∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA
解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概 ( http: / / www.21cnjy.com )括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．
6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
应用题解题步骤
度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．
第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．
思想方法总结
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的 ( http: / / www.21cnjy.com )始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的 ( http: / / www.21cnjy.com )推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切 ( http: / / www.21cnjy.com )都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
中考新题型
例1 计算：
（1）sin230°-cos45°·tan60°
（2） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=-×=-
（2）原式=+1-3×（）2+2 =+1-1+2（1-）=2
说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．
例2 如右图，已知缆车行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．
解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，
∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．
在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，
∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．
∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．
答：缆车垂直上升了246.28米．
说明：解直角三角形在实际生 ( http: / / www.21cnjy.com )活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．
作业第97-98页 1 2. 8 10
图28．2-1
28．2-2
28．2-3
图28．2-4
图28．2-5
图28．2-6
单元要点分析
内容简介
本章内容分为两节，第一节主要学习 ( http: / / www.21cnjy.com )正弦、余弦和正切等锐角三角函数的概念，第二节主要研究直角三角形中的边角关系和解直角三角形的内容．第一节内容是第二节的基础，第二节是第一节的应用，并对第一节的学习有巩固和提高的作用．
相似三角形和勾股定理等是学习本章的直接基础．
本章属于三角学中的最基础的部分内容 ( http: / / www.21cnjy.com )，而高中阶段的三角内容是三角学的主体部分，无论是从内容上看，还是从思考问题的方法上看，前一部分都是后一部分的重要基础．
教学目标
1．知识与技能
（1）通过实例认识直角三角形的边角关系，即锐角三角函数（sinA，cosA，tanA），知道30°，45°，60°角的三角函数值．
（2）会使用计算器由已知锐角求它的三角函数值，由已知三角函数值会求它的对应的锐角．
（3）运用三角函数解决与直角三角形有关的简单的实际问题．
（4）能综合运用直角三角形的勾股定理与边角关系解决简单的实际问题．
2．过程与方法
贯彻在实践活动中发现问题，提出问题，在探究问题的过程中找出规律，再运用这些规律于实际生活中．
3．情感、态度与价值观
通过解直角三角形培养学生数形结合的思想．
重点与难点
1．重点
（1）锐角三角函数的概念和直角三角形的解法，特殊角的三角函数值也很重要，应该牢牢记住．
（2）能够运用三角函数解直角三角形，并解决与直角三角形有关的实际问题．
2．难点
（1）锐角三角函数的概念．
（2）经历探索30°，45°，60°角的三角函数值的过程，发展学生观察、分析，解决问题的能力．
教学方法
在本章，学生首次接触到以角度为自变 ( http: / / www.21cnjy.com )量的三角函数，初学者不易理解．讲课时应注意，只有让学生正确理解锐角三角函数的概念，才能掌握直角三角形边与角之间的关系，才能运用这些关系解直角三角形．故教学中应注意以下几点：
1．突出学数学、用数学的意识与过程．三角函数的应用尽量和实际问题联系起来，减少单纯解直角三角形的问题．
2．在呈现方式上，突出实践性与研究性，三角函数的意义要通过问题经出，再加以探索认识．
3．对实际问题，注意联系生活实际．
4．适度增加训练学生逻辑思维的习题，减少机械操作性习题，增加探索性问题的比重．
课时安排
本章共分9课时．
28．1 锐角三角函数 4课时
28．2 解直角三角形 4课时
小结 1课时
28．1 锐角三角函数
内容简介
本节先研究正弦函数 ( http: / / www.21cnjy.com )，在此基础上给出余弦函数和正切函数的概念．通过两个特殊的直角三角形，让学生感受到不管直角三角形大小，只要角度不变，那么它们所对的边与斜边的比分别都是常数，这为引出正弦函数的概念作好铺垫．这样引出正弦函数的概念，能够使学生充分感受到函数的思想，由于教科书比较详细地讨论了正弦函数的概念，因此对余弦函数和正切函数概念的讨论采用了直接给出的方式，具体的讨论由学生类比着正弦函数自己完成．教科书将求特殊角的三角函数值和已知特殊角的三角函数值求角这两个相反方向的问题安排在一起，目的是体现锐角三角函数中角与函数值之间的对应关系．本节最后介绍了如何使用计算器求非特殊角的三角函数值以及如何根据三角函数值求对应的角等内容．由于不同的计算器操作步骤有所不同，教科书只就常见的情况进行介绍．
教学目标
1．知识与技能
（1）了解锐角三角函数的概念， ( http: / / www.21cnjy.com )能够正确应用sinA、cosA、tanA表示直角三角形中两边的比；记忆30°、45°、60°的正弦、余弦和正切的函数值，并会由一个特殊角的三角函数值说出这个角；
（2）能够正确地使用计算器，由已知锐角求出它的三角函数值，由已知三角函数值求出相应的锐角．
2．过程与方法
通过锐角三角函数的学习，进一步认识函数，体会函数的变化与对应的思想，逐步培养学生会观察、比较、分析、概括等逻辑思维能力．
3．情感、态度与价值观
引导学生探索、发现，以培养学生独立思考、勇于创新的精神和良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：正弦、余弦；正切三个三角函数概念及其应用．
2．难点：使学生知道当锐角 ( http: / / www.21cnjy.com )固定时，它的对边、邻边与斜边的比值也是固定的这一事实．用含有几个字母的符号组sinA、cosA表示正弦、余弦；正弦、余弦概念．
教学方法
学生很难想到对任意锐角，它 ( http: / / www.21cnjy.com )的对边、邻边与斜边的比值也是固定的事实，关键在于教师引导学生比较、分析，得出结论．正弦、余弦的概念是全章知识的基础，对学生今后的学习与工作都十分重要，教学中应十分重视．同时正、余弦概念隐含角度与数之间具有一一对应的函数思想，又用含几个字母的符号组来表示，在教学中应作为难点处理．
第1课时 正弦函数
复习引入
教师讲解：杂志上有过这样的一篇报道： ( http: / / www.21cnjy.com )始建于1350年的意大利比萨斜塔落成时就已经倾斜．1972年比萨发生地震，这座高54.5m的斜塔大幅度摇摆22分之分，仍巍然屹立．可是，塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，而且还以每年倾斜1cm的速度继续增加，随时都有倒塌的危险．为此，意大利当局从1990年起对斜塔进行维修纠偏，2001年竣工，使顶中心点偏离垂直中心线的距离比纠偏前减少了43.8cm．
根据上面的这段报道 ( http: / / www.21cnjy.com )中，“塔顶中心点偏离垂直中心线的距离已由落成时的2.1m增加至5.2m，”这句话你是怎样理解的，它能用来描述比萨斜塔的倾斜程度吗？
这个问题涉及到锐角三角函数的知识．学过本章之后，你就可以轻松地解答这个问题了!
探究新知
（1）问题的引入
教师讲解：为了绿 ( http: / / www.21cnjy.com )化荒山，某地打算从位于山脚下的机井房沿着山坡铺设水管，在山坡上修建一座扬水站，对坡面的绿地进行喷灌．现测得斜坡与水平面所成角的度数是30°，为使出水口的高度为35m，那么需要准备多长的水管？
教师提出问题：怎样将上述实际问题用数学语言表达，要求学生写在纸上，互相讨论，看谁写得最合理，然后由教师总结．
教师总结：这个问题可以归纳为，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=30°，BC=35m，求AB（课本图28．1-1）．
( http: / / www.21cnjy.com )
根据“在直角三角形中，30°角所对的边等于斜边的一半”，即
HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ＝
可得AB=2BC=70m，也就是说，需要准备70m长的水管．
教师更换问题的条件后提出新问题 ( http: / / www.21cnjy.com )：在上面的问题中，如果使出水口的高度为50m，那么需要准备多长的水管？要求学生在解决新问题时寻找解决这两个问题的共同点．
教师引导学生得出这样的结论：在上面求AB（所需水管的长度）的过程中，虽然问题条件改变了，但我们所用的定理是一样的：在一个直角三角形中，如果一个锐角等于30°，那么不管三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比值都等于．也是说，只要山坡的坡度是30°这个条件不变，那么斜边与对边的比值不变．
教师提出第2个问题：既然直角三角形中， ( http: / / www.21cnjy.com )30°角的斜边与对边的比值不变，那么其他角度的对边与斜边的比值是否也不会变呢？我们再换一个解试一试．如课本图28．1-2，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠A=45°，∠A对边与斜边的比值是一个定值吗？如果是，是多少？
( http: / / www.21cnjy.com )
教师要求学生自己计算，得出结论，然后再由教师总结：在Rt△ABC中，∠C=90°由于∠A=45°，所以Rt△ABC是等腰直角三角形，由勾股定理得AB2=AC2+BC2=2BC2，AB=BC．
因此 =，
即在直角三角形中，当一个锐角等于45°时，不管这个直角三角形的大小如何，这个角的对边与斜边的比都等于 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
教师再将问题提升到更高一个层次：从上面这两个问题的结论中可知，在一个Rt△ABC中，∠C=90°，当∠A=30°时，∠A的对边与斜边的比都等于，是一个固定值；当∠A=45°时，∠A的对边与斜边的比都等于，也是一个固定值．这就引发我们产生这样一个疑问：当∠A取其他一定度数的锐角时，它的对边与斜边的比是否也是一个固定值？
教师直接告诉学生，这个问题的回答是肯定的，并边板书，边与学生共同探究证明方法．这为问题可以转化为以下数学语言：
任意画Rt△ABC和Rt△A′B′C′（课本图28．1-3），使得∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，那么 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 有什么关系．
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在课本图28．1-3中，由于∠C=∠C′=90°，∠A=∠A′=a，所以Rt△ABC∽Rt△A′B′C′，，即．
这就是说，在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
（二）正弦函数概念的提出
教师讲解：在日常生活中和数学活动中上面所得出的结论是非常有用的．为了引用这个结论时叙述方便，数学家作出了如下规定：
如课本图28．1-4，在Rt△BC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，即sinA= =．
( http: / / www.21cnjy.com )
在课本图28．1-4中，∠A的对边记作a，∠B的对边记作b，∠C的对边记作c．
例如，当∠A=30°时，我们有sinA=sin30°=；
当∠A=45°时，我们有sinA=sin45°=．
（三）正弦函数的简单应用
教师讲解课本第79页例题1．
例1 如课本图28．1-5，在Rt△ABC中，∠C=90°，求sinA和sinB的值．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
教师对题目进行分析：求si ( http: / / www.21cnjy.com )nA就是要确定∠A的对边与斜边的比；求sinB就是要确定∠B的对边与斜边的比．我们已经知道了∠A对边的值，所以解题时应先求斜边的高．
解：如课本图28．5-1（1），在Rt△ABC中，
AB==5．
因此 sinA==，sinB==．
如课本图28．5-1（2），在Rt△ABC中，
sinA==，AC==12．
因此，sinB==．
随堂练习
做课本第77页练习．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的度数一定时，不管三角形的大小如何，∠A的对边与斜边的比都是一个固定值．
在Rt△ABC中，∠C=90°，我们把锐角A的对边与斜边的比叫做∠A的正弦，记作sinA，
教后反思
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第1课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与正弦函数有关的部分）
双基与中考
1．如图1，已知点P的坐标是（a，b），则sinα等于（ ）
A． B． C． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
（1） （2） （3）
2．（2005，南京）如图2，在△ABC中，AC=3，BC=4，AB=5，则tanB的值是（ ）
A． B． C． D．
3．在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=，则sinB等于（ ）
A． B． C． D．
4．（2004．辽宁大连）在Rt△ABC中，∠C=90°，a=1，c=4，则sinA的值是（ ）．
A． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
5．如图3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=10，sinB=，BC的长是（ ）．
A．2
第1课时作业设计（答案）1．D 2．A 3．A 4．B 5．B ( http: / / )
28.1.2 余弦、正切函数(第2课时)
复习引入
教师提问：我们是怎样定义直角三角形中一个锐角的正弦的？为什么可以这样定义它．
学生回答后教师提出新问题：在上一节课中我们知 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )道，如课本图28．1-6所示，在Rt△ABC中，∠C=90°，当锐角A确定时，∠A的对边与斜边的比就随之确定了．现在我们要问：其他边之间的比是否也确定了呢？为什么？
( http: / / www.21cnjy.com )
探究新知
（一）余弦、正切概念的引入
教师引导学生自己作出结 ( http: / / )论，其证明方法与上一节课证明对边比斜边为定值的方法相同，都是通过两个三角形相似来证明．
学生证明过后教师进行总结：类似于正弦的情况，在课本图28．1-6中，当锐角A的大小确定时，∠A的邻边与斜边的比、∠A的对边与邻边的比也分别是确定的．我们把∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，即cosA==；
把∠A的对边与邻边的比叫做∠A的正切，记作tanA，即tanA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =．
教师讲解并板书：锐角A的正弦、余弦、正切都叫 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )做∠A的锐角三角函数．
对于锐角A的每一个确定的值，sinA有唯一确定的值与它对应，所以sinA是A的函数．同样地，cosA，tanA也是A的函数．
（二）余弦正切概念的应用
教师解释课本第78页例 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )2题意：如课本图28．1-7，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=6，sinA=，求cosA、tanB的值．
( http: / / www.21cnjy.com )
教师对解题方法进行分析：我们已经知道了直 ( http: / / www.21cnjy.com" \o "欢迎登陆21世纪教育网 )角三角形中一条边的值，要求余弦，正切值，就要求斜边与另一个直角边的值．我们可以通过已知角的正弦值与对边值及勾股定理来求．
教师分析完后要求学生自己解题．学生解后教师总结并板书．
解：sinA=，
∴AB==6×=10，
又∵AC==8，
∴cosA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =，tanB==．
随堂练习
学生做课本第78页练习1、2、3题．
课时总结
在直角三角形中，当锐角A的大小 ( http: / / www.21cnjy.com )确定时，∠A的邻边与斜边的比叫做∠A的余弦，记作cosA，把∠A的对边与斜边的比叫做∠A的正切，记作tanA．
教后反思
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第2课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第1题、第2题．（只做与余弦、正切函数有关的部分）
28.1.3 特殊角的三角函数值
(第3课时)
复习引入
教师提问：一个直角三角形中，一个锐角正弦、余弦、正切值是怎么定义的？
在学生回答了这个问题后，教师再复述 ( http: / / www.21cnjy.com )一遍，提出新问题：两块三角尺中有几个不同的锐角？是多少度？分别求出这几个锐角的正弦值、余弦值和正切值．
提醒学生：求时可以设每个三角尺较短的边长为1，利用勾股定理和三角函数的定义可以求出这些三角函数值．
探究新知
（一）特殊值的三角函数
学生在求完这些角的正弦值、余弦值和正切值后教师加以总结．
30°、45°、60°的正弦值、余弦值和正切值如下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
教师讲解上表中数学变化的规律：对于正弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与．对于余弦值，分母都是2，分子按角度增加分别为，与．对于正切，60度的正切值为，当角度递减时，分别将上一个正切值除以，即是下一个角的正切值．
要求学生记住上述特殊角的三角函数值．
教师强调：（sin60°）2用sin260°表示，即为（sin60°）·（sin60°）．
（二）特殊角三角函数的应用
1．师生共同完成课本第79页例3：求下列各式的值．
（1）cos260°+sin260°．
（2） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 -tan45°．
教师以提问方式一步一步解上面两题．学生回答，教师板书．
解：（1）cos260°+sin260°=（）2+（）2=1
（2）-tan45°=÷-1=0
2．师生共同完成课本第80页例4：教师解答题意：
（1）如课本图28．1-9（1），在Rt△ABC中，∠C=90，AB=，BC=，求∠A的度数．
（2）如课本图28．1-9（2），已知圆锥的高AO等于圆锥的底面半径OB的倍，求a．
教师分析解题方法：要求一个直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角形中一个锐角的度数，可以先求它的某一个三角函数的值，如果这个值是一个特殊解，那么我们就可以求出这个角的度数．
( http: / / www.21cnjy.com )
解：（1）在课本图28．1-9（1）中，
∵sinA==，
∴∠A=45°．
（2）在课本图28．1-9（2）中，
∵tana==，
∴a=60°．
教师提醒学生：当A、B为锐角时，若A≠B，则
sinA≠sinB，cosA≠cosB，tanA≠tanB．
随堂练习
学生做课本第80页练习第1、2题．
课时总结
学生要牢记下表：
30° 45° 60°
sinα
cosα
tanα 1
对于sina与tana，角度越大函数值也越大；对于cosa，角度越大函数值越小．
教后反思
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第3课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第3题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业 ( http: / / www.21cnjy.com )之外，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业．学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）．
一、选择题．
1．已知：Rt△ABC中，∠C=90°，cosA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，AB=15，则AC的长是（ ）．
A．3 B．6 C．9 D．12
2．下列各式中不正确的是（ ）．
A．sin260°+cos260°=1 B．sin30°+cos30°=1
C．sin35°=cos55° D．tan45°>sin45°
3．计算2sin30°-2cos60°+tan45°的结果是（ ）．
A．2 B． C． D．1
4．已知∠A为锐角，且cosA≤，那么（ ）
A．0°<∠A≤60° B．60°≤∠A<90°
C．0°<∠A≤30° D．30°≤∠A<90°
5．在△ABC中，∠A、∠B都是锐角，且sinA=，cosB=，则△ABC的形状是（ ）
A．直角三角形 B．钝角三角形
C．锐角三角形 D．不能确定
6．如图Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于D，BC=3，AC=4，设∠BCD=a，则tana的值为（ ）．
A． B． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 C． D．
7．当锐角a>60°时，cosa的值（ ）．
A．小于 B．大于 C．大于 D．大于1
8．在△ABC中，三边之比为a：b：c=1：：2，则sinA+tanA等于（ ）．
A．
9．已知梯形ABCD中，腰BC长为2，梯形对角线BD垂直平分AC，若梯形的高是，则∠CAB等于（ ）
A．30° B．60° C．45° D．以上都不对
10．sin272°+sin218°的值是（ ）．
A．1 B．0 C． D． HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
11．若（tanA-3）2+│2cosB-│=0，则△ABC（ ）．
A．是直角三角形 B．是等边三角形
C．是含有60°的任意三角形 D．是顶角为钝角的等腰三角形
二、填空题．
12．设α、β均为锐角，且sinα-cosβ=0，则α+β=_______．
13．的值是_______．
14．已知，等腰△ABC的腰长为4，底为30°，则底边上的高为______，周长为______．
15．在Rt△ABC中，∠C=90°，已知tanB=，则cosA=________．
16．正方形ABCD边长为1，如果将线段BD绕点B旋转后，点D落在BC的延长线上的点D′处，那么tan∠BAD′=________．
17．在Rt△ABC中，∠C=90°，∠CAB=60°，AD平分∠CAB，得 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 的值为_______．
三、解答题．
18．求下列各式的值．
（1）sin30°·cos45°+cos60°;（2）2sin60°-2cos30°·sin45°
（3）; （4）-sin60°（1-sin30°）．
（5）tan45°·sin60°-4sin30°·cos45°+·tan30°
（6） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +cos45°·cos30°
19．在△ABC中，AD是BC边上的高，∠B=30°，∠C=45°，BD=10，求AC．
20．如图，∠POQ=90°，边长为2cm的 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD的顶点B在OP上，C为CQ上，且∠OBC=30°，分别求点A，D到OP的距离．
( http: / / www.21cnjy.com )
21．已知sinA，sinB是方程4x2-2mx+m-1=0的两个实根，且∠A，∠B是直角三角形的两个锐角，求：
（1）m的值；（2）∠A与∠B的度数．
22．如图，自卸车车厢的一个侧面是矩 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD，AB=3米，BC=0.5米，车厢底部距离地面1.2米，卸货时，车厢倾斜的角度=60°，问此时车厢的最高点A距离地面是多少米？（精确到0.1m）
( http: / / www.21cnjy.com )
23．如图，由于水资源缺乏，B、C两地 ( http: / / www.21cnjy.com )不得不从黄河上的扬水站A处引水，这就需要在A、B、C之间铺设地下输水管道．有人设计了三种铺设方案：如图（1）、（2）、（3），图中实线表示管道铺设线路，在图（2）中，AD⊥BC于D；在图（3）中，OA=OB=OC．为减少渗漏，节约水资源，并降低工程造价，铺设线路应尽量缩短．已知△ABC恰好是一个边长是a的等边三角形，请你通过计算，判断哪个铺设方案最好．
( http: / / www.21cnjy.com )
第3课时作业设计（答案）
一、1．C 2．B 3．D 4．B 5．B 6．A 7．A 8．A 9．B 10．A 11．A
二、12．90° 13． 14．2，12+8 15． 16． 17．
三、
18．（1） （5）； （6）0
19．∵AD是BC边上的高，
∴△ABD和△ACD都是直角三角形．
∵=tan30°，BD=10，
∴AD=．
∴=sinC，
∴AC= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ．
20．过点A、D分别作AE⊥OP，DF⊥OP，DG⊥OQ，垂足分别为E、F、G．
在正方形ABCD中，∠ABC=∠BCD=90°．
∵∠OBC=30°，∴∠ABE=60°．
在Rt△AEB中，AE=AB·sin60°=2×=（cm）．
∵四边形DFOG是矩形，∴DF=GO．
∵∠OBC=30°，∴∠BCO=60°，∴∠DCG=30°．
在Rt△DCG中，CG=CD·cos30°=2×=（cm）．
在Rt△BOC中，OC=BC=1．
21．m=2+1 A=45° B=45°
22．A距地面4.8m
23．（1）所示方案的线路总长为AB+BC=2a．
（2）在Rt△ABD中，AD=ABsin60°=a，
∴（2）所示方案的线路总长为AD+BC=（ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +1）a．
( http: / / www.21cnjy.com )
（3）延长AO交BC于E，∵AB=AC，OB=OC，∴OE⊥BC，BE=EC=．
在Rt△OBE中，∠OBE=30°，OB==a．
∴（3）所示方案的线路总长为OA+OB+OC=3OB=a．
比较可知，a<（ HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 +1）a<2a，∴图（3）所示方案最好．
28．1．4 利用计算器求三角函数值
第4课时
复习引入
教师讲解：通过上面几节的学习我们 ( http: / / www.21cnjy.com )知道，当锐角A是30°、45°或60°等特殊角时，可以求得这些特殊角的正弦值、余弦值和正切值；如果锐角A不是这些特殊角，怎样得到它的三角函数值呢？我们可以借助计算器来求锐角的三角函数值．
探究新知
（一）已知角度求函数值
教师讲解：例如求sin18°，利用计算器的sin键，并输入角度值18，得到结果sin18°=0.309016994．
又如求tan30°36′，利用tan键，并输入角的度、分值，就可以得到答案0.591398351．
利用计算器求锐角的三角函数值，或已知锐角三角函数值求相应的锐角时，不同的计算器操作步骤有所不同．
因为30°36′=30.6°，所以也可以利用tan键，并输入角度值30.6，同样得到答案0.591398351．
（二）已知函数值，求锐角
教师讲解：如果已知锐角三角 ( http: / / www.21cnjy.com )函数值，也可以使用计算器求出相应的锐角．例如，已知sinA=0.5018；用计算器求锐角A可以按照下面方法操作：
依次按键2ndf sin， ( http: / / www.21cnjy.com )然后输入函数值0.5018，得到∠A=30.11915867°（如果锐角A精确到1°，则结果为30°）．
还可以利用2ndf °’”键 ( http: / / www.21cnjy.com )进一步得到∠A=30°07′08．97″（如果锐角A精确到1′，则结果为30°8′，精确到1″的结果为30°7′9″）．
使用锐角三角函数表，也可以查得锐角的三角函数值，或根据锐角三角函数值求相应的锐角．
教师提出：怎样验算求 ( http: / / www.21cnjy.com )出的∠A=30°7′9″是否正确？让学生思考后回答，然后教师总结：可以再用计算器求30°7′9″的正弦值，如果它等于0.5018，则我们原先的计算结果就是正确的．
随堂练习 课本第81页练习第1、2题．
课时总结
已知角度求正弦值用sin键；已知正弦值求小于90°的锐角用2ndf sin键，对于余弦与正切也有相类似的求法．
教后反思
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第4课时作业设计
课本练习
做课本第82页习题28．1复习巩固第4题，第5题．
双基与中考
（本练习除了作为本课时的课外作业之外 ( http: / / www.21cnjy.com )，余下的部分作为下一课时（习题课）学生的课堂作业，学生可以自己根据具体情况划分课内、课外作业的份量）
一、选择题．
1．如图1，Rt△ABC中，∠C=90°，D为BC上一点，∠DAC=30°，BD=2，AB=2，则AC的长是（ ）．
A． B．2 C．3 D．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(1) (2) (3)
2．如图2，从地面上C、D两处望山顶A，仰角分别为35°、45°，若C、D两处相距200米，那么山高AB为（ ）．
A．100（+1）米 B．100米 C．100米 D．200米
3．如图3，两建筑物的水平距离为s米，从A点测得D点的俯角为α，测得C点的俯角为β，则较低的建筑物的高为（ ）．
A．s·tanα米 B．s·tan（β-α）米
C．s（tanβ-tanα）米 D．米
4．已知：A、B两点，若由A看B的仰角为α，则由B看A的俯角为（ ）．
A．α B．90°-α C．90°+α D．180°-α
5．如图4，从山顶A望地面C、D两点，测得它们的俯角分别是45°和30°，已知CD=100m，点C在BD上，则山高AB等于（ ）．
A．100m B．50m C．50 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 m D．50（+1）m
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
(4) (5) (6)
6．已知楼房AB高50m，如图5，铁塔塔基与楼房房基间水平距离BD为50m，塔高DC为m，下列结论中正确的是（ ）．
A．由楼顶望塔顶仰角为60° B．由楼顶望塔基俯角为60°
C．由楼顶望塔顶仰角为30° D．由楼顶望塔基俯角为30°
7．如图6，一台起重机的机身高AB为20m， ( http: / / www.21cnjy.com )吊杆AC的长为36m，吊杆对水平线的倾角可以从30°转到80°，则这台起重机工作时吊杆端点C离地面的最大高度和离机身的最远水平距离分别是（ ）．
A．（36+20）m和36·tan30°m B．36·sin80°m和36·cos30°m
C．（36sin30°+20）m和36·cos30°m D．（36sin80°+20）m和36·cos30°m
8．观察下列各式：（1）sin59°>sin28°；（2）0
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
9．角a为锐角，且cosα=，那么α在（ ）。
A．0°与30°之间 B．30°与45°之间
C．45°与60°之间 D．60°与90°之间
10．如图7，沿AC方向开山 ( http: / / www.21cnjy.com )修路，为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工，从AC上的一点B，取∠ABD=145°，BD=500米，∠D=55°，要使A、C、E成一直线，那么开挖点E离点D的距离是（ ）．
A．500sin55°米 B．500cos55°米 C．500tan55°米 D．500cot55°米
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(7) (8) (9)
11．如图8，在菱形ABCD中，∠ABC=60°，AC=4，则BD的长为（ ）．
A．8 B．4 C．2 D．8
12．在Rt△ABC中，∠C=90°，a、b、c分别是∠A、∠B、∠C的对边，则下列等式成立的是（ ）．
A．b=c·cosA B．b=a·sinB C．a=b·tanB D．b=c·cotA
二、填空题
13．求sin72°的按键顺序是_________．
14．求tan25°42°的按键顺序是__________．
15．求cot32°19′的按键顺序是__________．
16．用计算器cos18°44′25″=__________．
17．如图9，在40m高楼A处测得地面C处的俯角为31°，地面D处的俯角为72°，那么
（1）31°=∠_____=∠_______； （2）27°=∠_____=∠_______；
（3）在Rt△ABC中，BC=_______；（精确到1m）
（4）在Rt△ABD中，BC=_____；（精确到1m）
（5）CD=________-BC=________．
18．如图10，一段河堤的横断面为梯形ABCD，根据图中所标的数据填空：
（1）CE：EB=i=______：________； （2）EB=______m，∠a=________．
（3）过点D作DF⊥AB，交AB于点F，则DF=________m，AF=_________m；
（4）河堤底宽AB=AF+FE+EB=_______m．
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(10) (11)
19．如图11，在坡度为1：2的山坡上种树，要求株距（相邻两树间的水平距离）是6米，斜坡上相邻两树间的坡面距离是________米．
20．某飞机在离地面1200米的上空测得地面控制点的俯角为60°，此时飞机与该地面控制点之间的距离是________米．
三、解答题．
21．求下列各式的值：
（1）sin42°31′ （2）cos33°18′24″ （3）tan55°10′
22．根据所给条件求锐角α．
（1）已知sinα=0.4771，求α．（精确到1″）
（2）已知cosα=0.8451，求α．（精确到1″）
（3）已知tanα=1.4106，求α．（精确到1″）
23．等腰三角形ABC中，顶角∠ACB=108°，腰AC=10m，求底边AB的长及等腰三角形的面积．（边长精确到1cm）
24．如图，美国侦察机B飞抵我近 ( http: / / www.21cnjy.com )海搞侦察活动，我战斗机A奋起拦截，地面雷达C测得：当两机都处在雷达的正东方向，且在同一高度时，它们的仰角分别为∠DCA=16°，∠DCB=15°，它们与雷达的距离分别为AC=80千米，BC=81千米，求此时两机距离是多少千米（精确到0.01千米）？（sin15°≈0.26，cos15°≈0.97，tan15°≈0.27，sin16°≈0.28，cos16°≈0.96，tan16°≈0.29）
( http: / / www.21cnjy.com )
25．苏州的虎丘塔塔身倾斜，却经千年而不 ( http: / / www.21cnjy.com )倒，被誉为“天下第一斜塔”．如图，BC是过塔底中心B的铅垂线，AC是塔顶A偏离BC的距离．据测量，AC约为2.34米，倾角∠ABC约为2°48′，求虎丘塔塔身AB的长度．（精确到0.1米）
答案:
一、1．A 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．C 9．D 10．B 11．B 12．A
二、13．sin、7、2、=
14．tan、（、2、5、+、4、2、÷、6、0、）、=
15．tan、（、9、0、-、3、2、-、1、9、÷、6、0、）、=
16．0.946984659 17．（1）EAC，ACB （2）EAD，ADB （3）67 （4）79 （5）BD， 12 18．（1）CE，EB （2）3，45° （3）3，4 （4）10 19．3 20．800
三、21．（1）0.675804644 （2）0.835743474 （3）1.445081367
22．（1）28°29′46″ （2）32°19′2″ （3）54°39′59″
23．如图，作CD⊥AB，垂足为D．
则∠ACD=∠ACB=54°，AB=2AD．
在Rt△ADC中，∠ADC=90°．
∵cos∠ACD= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CD=AC×cos∠ACD=10×cos54°
≈10×0.59=6（cm）．
∵sin∠ACD=，
∴AD=AC×sin∠ACD=10×sin54°≈10×0.81=8（cm）．
∴AB=2AD=16（cm）．
S△ABC=AB·CD=×16×6=48（cm2）．
24．作AE⊥CD于E，BF⊥CD于F，则cos16°=，
∴CE=80×cos16°≈80×0.96≈76.80．∵cos15°= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴CF=81×cos15°≈81×0.97≈78.57．
依题意，AB∥CD，
∴AB=EF=CF-CE=78.57-76．80=1.77（千米）
答：此时两机相距1.77千米．
25．在Rt△ABC中，AC=2.34米，∠ABC=2°48′，
∴斜边AB==47.9（米）．
答：塔身AB长约为47.9米．
作业第82-83页6、7、8、10
28．2 解直角三角形
内容简介
本节上一节“锐角三角函数”的基 ( http: / / www.21cnjy.com )础上研究解直角三角形的方法及其在实际中的应用．本节开始设计了两个实际问题，要解决这两个问题需要用到上一节学习的内容，由此引出解直角三角形的内容．教科书借助于这个实际问题背景，设计了一个“探究”栏目，要求学生探讨在直角三角形中，根据两个已知条件求解直角三角形，最后教科书归纳给出求解直角三角形常用的反映三边关系的勾股定理，反映锐角之间关系的互余关系，以及反映边角之间关系的锐角三角函数关系．这样，教科书就结合实际问题背景，探讨了解直角三角形的内容．接下去，教科书又结合四个实际问题介绍了解直角三角形的理论在实际中的应用．通过四个实际问题体现了正弦、余弦和正切这几个锐角三角函数在解决实际问题中的作用．本节最后将测量大坝的高度与测量山的高度相对比的方式，直观形象地介绍了“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的微积分的基本思想．
教学目标
1．知识与技能
理解直角三角形中边与边的关 ( http: / / www.21cnjy.com )系，角与角的关系和边与角的关系，会运用勾股定理、直角三角形的两个锐角互余、以及锐角三角函数解直角三角形，并会用解直角三角形的有关知识解决简单的实际问题；初步感受高等数学中的微积分思想．
2．过程与方法
通过综合运用勾股定理，直角三角形的两个锐角互余及锐角三角函数解直角三角形，逐步培养学生分析问题、解决问题的能力．
3．情感、态度与价值观
渗透数形结合的数学思想，培养学生良好的学习习惯．
重点与难点
1．重点：直角三角形的解法．
2．难点：三角函数在解直角三角形中的灵活运用．
教学方法
1．注意加强知识间的纵向联系
第27章“相似”是研究本 ( http: / / www.21cnjy.com )章的基础，教科书利用相似三角形的有关结论解释了在一般情形中正弦定义的合理性．教学中要注意加强两者之间的联系．全等三角形的有关理论有利于理解解直角三角形的相关内容．教学中要注意加强知识间的相互联系，使学生的学习形成正迁移．
本章所研究的锐角三角函数反映了 ( http: / / www.21cnjy.com )锐角与数值之间的函数关系，这一次函数、反比例函数以及二次函数一样，都反映了变量之间的对应关系．因此教学时，要注意让学生体会这些不同函数之间的共同特征，更好地理解函数的概念．
2．注意数形结合，注意体现数与形之间的联系
数形结合是重要的数学思想和 ( http: / / www.21cnjy.com )数学方法，本章内容又是数形结合的很理想的材料．结合几何图形来定义锐角三角函数的概念，将数形结合起来，有利于学生理解锐角三角函数的本质．再比如，解直角三角形在实际中有着广泛的作用，在将这些实际问题抽象成数学问题，并利用锐角三角函数解直角三角形时，离不开几何图形，这时往往需要根据题意画出几何图形，通过分析几何图形得到边、角等的关系，再通过计算、推理等使实际问题得到解决．因此在本章教学时，要注意加强数形结合，在引入概念、推理论述、化简计算、解决实际问题时，都要尽量画图帮助分析，通过图形帮助找到直角三角形的边、角之间的关系，加深对直角三角形本质的理解．
第1课时 解直角三角形引入
复习引入
教师讲解：上一节我们介绍了直 ( http: / / www.21cnjy.com )角三角函数．我们知道，一个直角三角形有许多元素的值，各三边的长，三个角的度数，三角的正弦、余弦、正切值．我们现在要研究的是，我们究竟要知道直角三角形中多少值就可以通过公式计算出其他值．
探究新知
概念的引入
教师讲解题目含意：现在我们来看本章引言提出的有关比萨斜塔倾斜的问题．
1 先看1972年的情形：设塔顶中 ( http: / / www.21cnjy.com )心点为B，塔身中心线与垂直中心线的夹角为A，过B点向垂直中心线引垂线，垂足为点C（如课本图28．2-1），在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=5.2m，AB=54.5m．
sin= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ≈0.0954．
所以∠A≈5°08′．
教师要求学生求出2001年纠偏后塔身中心线与垂直中心线的夹角．
2 要想使人完全地攀上斜靠在墙面上的梯子的顶端，梯子与地面所成的角a一般要满足50°≤a≤75°，现有一个长6m的梯子，问：
1．使用这个梯子最高可以完全攀上多高的墙（精确到0.1m）？
2．当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角a等于多少（精确到1°）？这时人是否能够安全使用这个梯子？
教师对问题的解法进行分析：对于问题1，当梯子与地面所成的角a为75°时，梯子顶端与地面的距离是使用这个梯子所能攀到的最大高度．
教师要求学生将上 ( http: / / www.21cnjy.com )述问题用数学语言表达，学生做完后教师总结并板书：我们可以把问题1归结为：在Rt△ABC中，已知∠A=75°，斜边AB=6，求∠A的对边BC的长．
教师讲解问题1的解法：
由sinA= 得 BC=AB·sinA=6×sin75°．
由计算器求得 sin75°≈0.97，
所以 BC≈6×0.97≈5.8．
因此使用这个梯子能够完全攀到墙面的最大高度约是5.8m．
教师分析问题2：当梯子底端 ( http: / / www.21cnjy.com )距离墙面2.4m时，求梯子与地面所成的角a的问题，可以归结为：在Rt△ABC中，已知AC=2.4，斜边AB=6，求锐角a的度数．
教师解题：由于cosa= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ==0.4，
利用计算器求得a ( http: / / www.21cnjy.com )≈66°．因此当梯子底端距离墙面2.4m时，梯子与地面所成的角大约是66°，由50°<66°<75°可知，这时使用这个梯子是安全的．
随堂练习
如下图，已知A、B两点间的距离是160米，从A点看B点的仰角是11°，AC长为1.5米，求BD的高及水平距离CD．
( http: / / www.21cnjy.com )
学生做完此题后教师要讲评：
解题方法分析：由A作一条平 ( http: / / www.21cnjy.com )行于CD的直线交BD于E，构造出Rt△ABE，然后进一步求出AE、BE，进而求出BD与CD．设置此题，即使成绩较好的学生有足够的训练，同时对较差学生又是巩固，达到分层次教学的目的．
解：过A作AE∥CD，于是有AC=ED，AE=CD．
在Rt△ABE中，sinA=
∴BE=AB·sinA=160·sin11°=30.53（米）．
cosA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
∴AE=AB·cosA=160·cos11°=157.1（米）．
∴BD=BE+ED=BE+AC=30.53+1.5=32.03（米）．
CD=AE=157.1（米）．
答：BD的高及水平距离CD分别是32.03米，157.1米．
课时总结
利用三角函数解应用题时，首先要把问题的条件与结论都转化为一个直角三角形内的边和角，然后再运用三角函数知识解题．
教后反思
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第1课时作业设计
课本练习
做课本第92页习题28．2复习巩固第1题、第2题．
双基与中考
1．根据直角三角形的__________元素（至少有一个边），求出________其它所有元素的过程，即解直角三角形．
2．Rt△ABC中，若sinA=，AB=10，那么BC=_____，tanB=______．
3．在△ABC中，∠C=90°，AC=6，BC=8，那么sinA=________．
4．（2006年中考题），在△ABC中，∠C=90°，sinA=，则cosA的值是（ ）
A． B． C．
5．如图，在△ABC中，AD是BC边上的高，tanB=cos∠DAC．
（1）求证：AC=BD;（2）若sinC= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，BC=12，求AD的长．
( http: / / www.21cnjy.com )
答案:
1．已知两个 2．8 3． 4．B
5．（1）在△ABC中，AD是BC边上的高，
∴tanB=
又∵tanB=cos∠DAC．∴BD=AC．
（2）∵sinC=，设AD=12x，AC=13x，∴CD=5x，BD=13x，则BC=18x，
又∵BC=12，∴18x=12，即x= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴AD=8．
第2课时 解直角三角形
复习引入
教师讲解：上一节课 ( http: / / www.21cnjy.com )我们通过实例大致了解了通过已知条件来求三角形其他元素解法．这一节课我们将提出解直角三角形这一概念，并通过实例说明它的解法．
教师提出以下问题要求学生自行解答：三角形有六个元素，分别是三条边和三个内角．在Rt△ABC中，
1．根据∠A=75°，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
2．根据AC=2．4，斜边AB=6，你能求出这个直角三角形的其他元素吗？
学生解答完后教师给出解法．
探究新知
（一）什么是解直角三角形
教师讲解什么是解直角三 ( http: / / www.21cnjy.com )角形．事实上，在直角三角形的六个元素中，除直角外，如果再知道两个元素（其中至少有一个是边），这个三角形就可以确定下来，这样就可以由已知的两个元素求出其余的三个元素．
在直角三角形中，由已知元素求未知元素的过程，就是解直角三角形．
（二）解直角三角形用的知识
师生共同思考，在解直角三角形的过程中，要用到哪些已学过的知识．
教师总结：如课本图28．2-2所示，解直角三角形时一般要用到下面的某些知识：
（1）三边之间的关系
a2+b2+c2（勾股定理）
（2）两锐角之间的关系
∠A+∠B=90°．
（3）边角之间的关系：
sinA= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =，sinB==
cosA==，cosB==
tanA==，tanB= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 =
（三）解直角三角形实例
1．教师解释例1题意：
例1 如课本图28．2-3，在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=，BC=，解这个直角三角形．
教师给出解法并板书．
解：∵tanA==，
∴∠A=60°．
∠B=90°-∠A=90°-60°=30°．
AB=2AC=2．
2．教师讲解例2题意，解题并板书：
例2 如课本图28．2-4，在Rt△ABC中，∠C=90°，∠B=35°，b=20，解这个直角三角形．（精确到0.1）
解：∠A=90°-∠B=90°-35°=55°．
∵tanB=．
∴a= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ≈28.6．
∵sinB=，
∴c=≈35.1．
（
随堂练习
课本第87页练习．
课时总结
解直角三角形就是已知直角三角形三条边 ( http: / / www.21cnjy.com )，三个角中的2个元素（其中有一个必须是边）求其他元素的过程．解直角三角形常用的知识有：勾股定理，正弦、余弦、正切，两个内角和为90度．
教后反思
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第2课时作业设计
课本练习
做课本第92页习题28．2第3题，第4题，第5题．
第3课时 求不可到达的两点间距离
复习引入
教师讲解：本节课 ( http: / / www.21cnjy.com )将利用解直角三角形知识解决生活中的许多问题．2003年10月15日“神舟”5号载人航天飞船发射成功．我们将应用直角三角形知识探究有关飞船运行的一些知识．
探究新知
（一）讲解例3
教师提出问题：当飞船完成变轨后，就在 ( http: / / www.21cnjy.com )离地球表面350km的圆形轨道上运行．如课本图28．2-5，当飞船运行到地球表面上P点的正上方时，从飞船上能直接看到的地球上最远的点在什么位置？这样的最远点与P点的距离是多少？（地球半径约为6400km，结果精确到0.1km）．
教师对问题进行分析：从飞船上能 ( http: / / www.21cnjy.com )直接看到的地球上最远的点，应是视线与地球相切时的切点．如图28．2-6所示，⊙O表示地球，点F是飞船的位置，FQ是⊙O的切线，切点Q是从飞船观察地球时的最远点．PQ的长就是地面上P、Q两点间的距离（这一点教师务必讲解清楚，千万不能用弦PQ去代替）．为了计算PQ的长需先求出∠POQ（即∠a）．
在解决例3的问题时，要综合运用圆和解直角三角形的知识．
教师要求学生思考解法，然后提问，学生回答后教师作出总结并板书；在图28．2-5中，FQ是⊙O的切线，△FCQ是直角三角形．
∵cosα= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ≈0.95，
∴α≈18°．
∴PQ的长为×6400≈1.34×640=2009.6．
由此可见，当飞船在P点正上方时，从飞船观测地球时的最远点距离P点约2009.6km．
（二）讲解例4
教师分析题意：热气球的探测器显示，从热气 ( http: / / www.21cnjy.com )球看一栋高楼顶部的仰角为30°，看这栋高楼底部的俯角为60°，热气球与高楼的水平距离为120m，问这栋高栋有多高？（结果精确到0.1m）
教师对解法进行分析：我们知道， ( http: / / www.21cnjy.com )在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的是仰角，视线在水平线下方的是俯角．因此，在课本图28．2-6中，AD是与水平面平行的直线，则α=30°，β=60°，我们可以把这道题分成两个直角三角形来解．在Rt△ABD中，a=30°，AD=120，所以可以利用解直角三角形的知识求出BD；类似地在△ACD中可以求出CD．进而求出BC．
教师要求学生独立完成该题．学生做完后教师给出该题的答案并板书：
解：如课本图28．2-6，α=30°，β=60°，AD=120．
∵tanα= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
∴BD=AD·tanα=120×tan30°=120×=4，
CD=AD·tanβ=120×tan60°=120×=120，
∴BC=BD+CD=40+120=160≈277.1．
答：这栋楼房约为277.1m．
随堂练习
课本89页练习第1题、第2题．
课时总结
如果问题不能归结为一个直角三角形，则应当对所求的量进行分解，将其中的一部分量归结为直角三角形中的量．
教后反思
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第3课时作业设计
课本练习
做课本第93页习题28．2第6题、第7题、第8题．
第4课时 方位角与方向角问题
复习引入
本节课将应用解直角三角形知识解决测量中的方位角问题．
探究新知
（一）方位角与方向角
1．方向角
教师讲解：指北或指南方向线与目标方 ( http: / / www.21cnjy.com )向所成的小于90°的角叫做方向角．如图中的目标方向线OA，OB，OC分别表示北偏东60°，南偏东30°，北偏西70°．特别地，若目标方向线与指北或指南的方向线成45°的角，如图:目标方向线OD与正南方向成45°角，通常称为西南方向．
( http: / / www.21cnjy.com ) ( http: / / www.21cnjy.com )
2．方位角
教师讲解：从某点的指 ( http: / / www.21cnjy.com )北方向线按顺时针转到目标方向的水平角，叫做方位角．如图:目标方向线PA，PB，PC的方位角分别是40°，135°，225°．
（二）用解直角三角形的方法解决实际问题方法要点
教师讲解：在解决实际问题时，我们要学 ( http: / / www.21cnjy.com )会将千变万化的实际问题转化为数学问题，要善于将某些实际问题中的数量关系归结为直角三角形中的元素（边、角）之间的关系，这样才能很好地运用解直角三角形的方法求解．
解题时一般有以下三个步骤：
1．审题．按题意画出正确的平面或截面示意图，并通过图形弄清已知和未知．
2．将已知条件转化为示意图中的边、 ( http: / / www.21cnjy.com )角或它们之间的关系，把实际问题转化为解直角三角形的问题．如果没有现成是直角三角形可供使用，可通过作辅助线产生直角三角形，再把条件和问题转化到这个直角三角形．
3．根据直角三角形（或通过作垂线构造直角三角形）元素（边、角）之间关系解有关的直角三角形．
（三）例题讲解
教师解释题意：如课本图28．2-7所示，一艘 ( http: / / www.21cnjy.com )海轮位于灯塔P的北偏东65°方向，距离灯塔80海里的A处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔P的南偏东34°方向上的B处．这时，海轮所在的B处距离灯塔P有多远？（精确到0.1海里）
( http: / / www.21cnjy.com )
教师提示：这道题的解题 ( http: / / www.21cnjy.com )思路与上一节课的例4相似．因为△APB不是一个直角三角形，所以我们把一个三角形分解为两个直角三角形，△ACP与△PCB．PC是东西走向的一条直线．AB是南北走向的一直线，所以AB与PC是相互垂直的，即∠ACP与∠BDP均为直角．再通过65度角与∠APC互余的关系求∠APC；通过34度角与∠BPC互余的关系求∠BPC．
教师分析后要求学生自行做完这道题．学生做完后教师再加以总结并板书．
解：如课本图28．2-7，在Rt△APC中，
PC=PA·cos（90°-65°）
=80×cos25°≈80×0.91=72.505．
在Rt△BPC中，∠B=34°，
∵sinB= HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 ，
∴PB=≈129.7
因此，当海轮到达位于灯塔P的南偏东34°方向时，它距离灯塔P大约129.7海里．
教师讲解：解直角三角形有广泛的应用，解决问题 ( http: / / www.21cnjy.com )时，要根据实际情况灵活运用相关知识．例如，当我们要测量如课本图28．2-8所示大坝的高度h时，只要测出仰角α和大坝的坡面长度L，就能算出h=Lsinα．但是，当我们要测量如课本图28．2-9所示的山高h时，问题就不那么简单了．这是由于不能很方便地得到仰角α和山坡长度L．
( http: / / www.21cnjy.com )
图28．2-8 图28．2-9
与测坝高相比，测山高的困难在于：坝坡是“直”的，而山坡是“曲”的．怎样解决这样的问题呢？
我们设法“化曲为直，以直代 ( http: / / www.21cnjy.com )曲”．我们可以把山坡“化整为零”地划分为一些小段，课本图28．2-10表示其中一部分小段．划分小段时，注意使每一小段上的山坡近似是“直”的，可以量出这段坡长L1，测出相应的仰角α，这样就可以算出这段山坡的高度h1=L1sinα．
( http: / / www.21cnjy.com )
图28．2-10
在每个小段上，我们都构造出直角三角形，利用上面的方法分别算出各段山坡的高度h1，h2，……．
然后我们再“积零为整”，把h1，h2，…相加，于是得到山高h．
以上解决问题中所用 ( http: / / www.21cnjy.com )的“化整为零，积零为整”“化曲为直，以直代曲”的做法，就是高等数学中微积分的基本思想，它在数学中有重要地位，在今后的学习中，你会更多地了解这方面的内容．
随堂练习
课本第91页练习第1题、第2题．
课时总结
利用解直角三角形的知识解决实际问题的一般过程是：
1．将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解直角三角形的问题）．
2．根据条件的特点，适当选用锐角三角函数等去解直角三角形．
3．得到数学问题的答案．
4．得到实际问题的答案．
教后反思:
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第4课时作业设计
课本练习
课本第93页习题28．2拓广探索第9题、第10题．
小结与复习
知识结构
( http: / / www.21cnjy.com )
基础知识
1．直角三角形的边角关系：在Rt△ABC中，
∠A+∠B=90°， a2+b2=c2，
sinA=cosB=， cosA=sinB=，
tanA=cotB=， cosA=tanB=．
2．互余两角三角函数间的关系：如∠A+∠B=90°，那么sinA=cosB，cosA=sinB．
3．同角三角函数间的关系：
sin2A+cos2A=1，tanA·cotA=1，tanA=．
4．特殊角的三角函数
三角函数 0° 30° 45° 60° 90°
sinα 0 1
cosα 1 0
tanα 0 HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4 1 不存在
cotα 不存在 1 0
解直角三角形的基本类型
解直角三角形的基本类型及其解法如下表：
类型 已知条件 解法
两边 两直角边a、b c=，tanA=，∠B=90°-∠A
一直角边a，斜边c b=，sinA=，∠B=90°-∠A
一边一锐角 一直角边a，锐角A ∠B=90°-∠A，b=a·cotA，c=
斜边c，锐角A ∠B=90°-∠A，a=c·sinA，b=c·cosA
解直角三角形注意点
1．尽量使用原始数据，使计算更加准确．
2．有的问题不能直接利用直角三角形内部关系解题，但可以添加合适的辅助线转化为解直角三角形的问题．
3．一些较复杂的解直角三角形的问题可以通过列方程或方程组的方法解题．
4．解直角三角形的方法可概 ( http: / / www.21cnjy.com )括为“有弦（斜边）用弦（正弦、余弦），无弦有切（正切、余切），宁乘毋除，取原避中”其意指：当已知或求解中有斜边时，可用正弦或余弦；无斜边时，就用正切或余切；当所求元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可由已知数据又可用中间数据求解时，则取原始数据，忌用中间数据．
5．必要时按照要求画出图形，注明已知和所求，然后研究它们置于哪个直角三角形中，应当选用什么关系式来进行计算．
6．要把添加辅助线的过程准确地写在解题过程之中．
7．解含有非基本元素的直角 ( http: / / www.21cnjy.com )三角形（即直角三角形中中线、高、角平分线、周长、面积等），一般将非基本元素转化为基本元素，或转化为元素间的关系式，再通过解方程组来解．
应用题解题步骤
度量工具、工程建筑、测量距离等方面应用题的解题步骤可概括为如下几步：
第一步，审清题意，要弄清仰角、俯角、坡度、坡角、水平距离、垂直距离、水平等概念的意义．
第二步，构造出要求解的直角三角形，对于非直角三角形的图形可作适当的辅助线把它们分割成一些直角三角形和矩形（包括正方形）．
第三步，选择合适的边角关系式，使运算尽可能简便，不易出错．
第四步，按照题目中已知数的精确度进行近似计算，并按照题目要求的精确度确定答案及注明单位．
思想方法总结
1．转化思想
转化思想贯穿于本章的 ( http: / / www.21cnjy.com )始终．例如，利用三角函数定义可以实现边与角的转化，利用互余两角三角函数关系可以实现“正”与“余”的互化；利用同角三角函数关系可以实现“异名”三角函数之间的互化．此外，利用解直角三角形的知识解决实际问题时，首先要把实际问题转化为数学问题．
2．数形结合思想
本章从概念的引出到公式的 ( http: / / www.21cnjy.com )推导及直角三角形的解法和应用，无一不体现数形结合的思想方法．例如，在解直角三角形的问题时，常常先画出图形，使已知元素和未知元素更直观，有助于问题的顺利解决．
3．函数思想
锐角的正弦、余弦、正切、余切 ( http: / / www.21cnjy.com )都是三角函数，其中都蕴含着函数的思想．例如，任意锐角a与它的正弦值是一一对应的关系．也就是说，对于锐角a任意确定的一个度数，sina都有惟一确定的值与之对应；反之，对于sina在（01）之间任意确定的一个值，锐角a都有惟一确定的一个度数与之对应．
4．方程思想
在解直角三角形时，若某个元素无法直接求出，往往设未知数，根据三角形中的边角关系列出方程，通过解方程求出所求的元素．
中考新题型
例1 计算：
（1）sin230°-cos45°·tan60°
（2） HYPERLINK "http://" EMBED Equation.DSMT4
分析：把特殊角的三角函数值代入计算即可．
解：（1）sin30°-cos45°·tan60°=-×=-
（2）原式=+1-3×（）2+2 =+1-1+2（1-）=2
说明：熟记30°、45°、60°角的三角函数值，是解决这类问题的关键，这类题也是中考考查的重点，在选择题和填空题中出现的更多．
例2 如右图，已知缆车行驶 ( http: / / www.21cnjy.com )线与水平线间的夹角α=30°，β=45°．小明乘缆车上山，从A到B，再从B到D都走了200米（即AB=BD=200米），请根据所给的数据计算缆车垂直上升的距离．（计算结果保留整数，以下数据供选用：sin47°≈0.7314，cos47°≈0.6820，tan47°≈1.0724）
分析：缆车垂直上升的距离分成两段：BC与DF．分别在Rt△ABC和Rt△DBF中求出BC与DF，两者之和即为所求．
解：在Rt△ABC中，AB=200米，∠BAC=α=30°，
∴BC=AB·sinα=200sin30°=100（米）．
在Rt△BDF中，BD=200米，∠DBF=β47°，
∴DF=BD·sinβ=200·sin47°≈200×0.7314=146.28（米）．
∴BC+DF=100+146.28=246.28（米）．
答：缆车垂直上升了246.28米．
说明：解直角三角形在实际生 ( http: / / www.21cnjy.com )活中的应用，是中考考查的重点，也是考查的热点．要解决好这类问题：一是要合理地构造合适的直角三角形；二是要熟记特殊角的三角函数值；三是要有很好的运算能力和分析问题的能力．
作业第97-98页 1 2. 8 10
图28．2-1
28．2-2
28．2-3
图28．2-4
图28．2-5
图28．2-6