5.3.2函数的极值与最大（小）值（第一课时） 课件（共18张PPT）

(共18张PPT)
5.3.2 函数的极值与
最大(小)值(1)
高二数学组
2023-02-07
教学目标：
1、了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件
2、能够利用导数求某些函数的极大值、极小值以及给定闭区间上不超过三次的多项式的最大值、最小值
3、体会导数与单调性、极值、最（大）小值得关系
教学重难点：
重点：利用导数求函数的极值、最（大）小值
难点：含参问题、恒成立问题、用导数解决函数与方程问题
1.函数f (x)的单调性与导函数f ′(x)的正负之间的关系：
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)>0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递增；
在某个区间(a,b)上，如果f ′(x)<0 ，那么函数y=f (x)在区间(a,b)上单调递减.
复习回顾
2.利用导数研究函数y=f (x)的单调性的一般步骤：
第3步，用f ′(x)的零点将f (x)的定义域划分为若干个区间，列表给出f ′(x)在各区间上的正负，由此得出函数y=f (x)在定义域内的单调性.
第2步，求出导数f ′(x)的零点；
第1步，确定函数f (x)的定义域；
问题1 如果函数在某些点的导数为0，那么在这些点处函数有什么性质呢？
单调递增
单调递减
探究新知
我们先来研究前面学习过的高台跳水问题. 观察下图，我们发现，当 t = a 时，高台跳水运动员距水面的高度最大.
O
t
a
b
h
追问1：如图，函数y=f(x)在x=a,b,c,d,e等点的函数值与这些点附近的函数值有什么关系？
问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
探究新知
函数f(x)在x=a的函数值比它附近的函数值都小.
函数f(x)在x=b的函数值比它附近的函数值都大.
追问2：y=f(x)在这些点处的导数值是多少？
探究新知
f ′(a)=0
f ′(b)=0
问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
追问3：在这些点附近，函数y=f(x)导数的正负有什么规律？
探究新知
在x=a附近
左侧f ′(x)<0,
右侧f ′(x)>0
在x=b附近
左侧f ′(x)>0,
右侧f ′(x)<0
问题2 对于一般的函数y=f(x)，是否具有同样的性质？
我们把a叫做函数y=f(x)的极小值点， f(a)叫做函数y=f(x)的极小值；b叫做函数y=f(x)的极大值点， f(b)叫做函数y=f(x)的极大值；极小值点、极大值点统称为极值点，极小值和极大值统称为极值(extremum).
概念形成
极值点与极值的定义：
问题3 极大值一定大于极小值吗？
探究新知
极值反映了函数在某一点附近的大小情况，刻画了函数的局部性质.
极大值与极小值没有必然的大小关系．一个函数在其定义域内可以有许多个极小值和极大值，在某一点的极小值可能大于另一点的极大值．
极小值
极大值
问题4 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点
探究新知
x
y
O
y＝x3
解：函数f(x)= x3， f ′(x)=3x2
当x=0时， f ′(0)=0
当x≠0时， f ′(x)>0
又因为函数 f(x)= x3是增函数
所以0不是函数 f(x)= x3的极值点.
追问：x=0 是否为函数 f(x)= x3 的极值点
问题4 若 f ′(x0)=0 ，则 x0是否为极值点
探究新知
x0是函数 f(x) 的极值点
f ′(x0)=0
x0是函数 f(x) 的极值点
x0左右两侧导数异号
f ′(x0)=0
结论：f ′(x0)=0 是可导函数在x0处取得极值的必要而不充分条件.
典例分析
f’（x）=x2-4=（x+2）（x-2）
令f’（x）=0，解得x=-2，或x=2
当x变化时，f’（x），f（x）的变化情况如表所示
x (–∞, –2) –2 (–2, 2) 2 ( 2, +∞)
f '(x) 0 0
f (x)
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
-2
O
x
y
2
归纳方法
一般地，可按如下方法求函数y=f (x)的极值：
解方程f ′(x)=0，当f ′(x0)=0时：
(1)如果在x0附近的左侧f ′(x)>0 ，右侧f ′(x)<0 ，那么f (x0)是极大值；
(2)如果在x0附近的左侧f ′(x)<0 ，右侧f ′(x)>0 ，那么f (x0)是极小值.
＋
－
－
＋
x0
巩固练习
1.求下列函数的极值：
(1) f (x)=x3－27x; (2) f (x)=6+12x－x3.
解: (1)函数f (x)的定义域为R, 且 f ′(x)=3x2－27.
令f ′(x)=0, 得x=±3
所以, f (x)在x=－3时取得极大值, 且极大值为f (－3)=54;
f (x)在x=3时取得极小值, 且极小值为f (3)=－54.
(2) 同理可得，f (x)在x=－2时取得极小值, 且极小值为f (－2)= －10;
f (x)在x=2时取得极大值, 且极大值为f (2)=22.
当 x 变化时，f ′(x) 与 f (x)的变化情况如下表：
x (–∞, –3) –3 (–3, 3) 3 ( 3, +∞)
f '(x) 0 0
f (x) 54 －54
–
+
+
单调递增
单调递减
单调递增
x (0, e) e (e, +∞)
f ′(x) ＋ 0 －
f (x)
当 x 变化时，f ′(x) 与 f (x)的变化情况如下表：
单调递增
单调递减
因此， x＝e 是函数的极大值点，极大值为 f (e)＝ ，没有极小值.
解：函数 的定义域为 (0,+∞)，且 .
巩固练习
令 f ′(x)＝0，解得 x＝e.
课堂小结
y=f(x) 的单调性
y=f ′(x) 的正负性
y=f(x) 的极值点
导数的工具性作用
y=f ′(x) 的零点
函数单调不单调，导数正负破玄妙；
若有增减各一边，导数为零极值点.
通过这节课，大家收获了什么？请谈谈你的想法.
THANKS
感谢各位的观看
课本92页1、2
课后作业