江西省万安中学2022-2023学年高二下学期6月期末考试数学试题（含答案）

数学
一、单选题（每题5分，共40分）
1．若集合，，则等于（ ）．
A． B． C． D．
2．如图所示，在复平面内，点对应的复数为，则复数的虚部为（ ）
A． B． C． D．
3．已知菱形中，，为中点，，则（ ）
A． B． C． D．
4．长方体一个定点上的三条棱长分别是，，，且它的八个顶点都在同一球面上，则这个球的表面积是（ ）．
A． B． C． D．
5．五声音阶是中国古乐的基本音阶，故有成语“五音不全”，中国古乐中的五声音阶依次为:宫、商、角、徵、羽.如果从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为（ ）
A． B． C． D．
6．已知函数，，的图象关于直线对称，则（ ）
A． B． C． D．
7．若，则的大小关系为（ ）
A． B．
C． D．
8．若在上存在最小值，则实数的取值范围是
A． B． C． D．
二、多选题（每题5分，共20分）
9．已知正四棱柱的底面边长为，，则（ ）
A．平面 B．异面直线与所成角的余弦值为
C．平面 D．点到平面的距离为
10．若两曲线与存在公切线，则正实数a的取值可以是（ ）
A．1 B．e C．e2 D．3e
11．抛物线有如下光学性质：由其焦点射出的光线经拋物线反射后，沿平行于拋物线对称轴的方向射出.反之，平行于拋物线对称轴的入射光线经拋物线反射后必过抛物线的焦点.已知抛物线为坐标原点，一束平行于轴的光线从点射入，经过上的点反射后，再经上另一点反射后，沿直线射出，经过点，则（ ）
A．平分
B．
C．延长交直线于点，则三点共线
D．
12．已知定义在上的函数的图象是连续不断的，且满足以下条件：①，；②，当时，；③.则下列选项成立的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．，，使得
三、填空题（共20分）
13．若的展开式中含项的系数与含项的系数之比为，则n等于_________.
14．若点A（x，y）满足C：（x+3）2+（y+4）225，点B是直线3x+4y=12上的动点，则对定点P（6，1）而言，||的最小值为_____.
15．已知函数若函数恰有个零点，则实数的取值范围是______．
16．2022年4月16日9时56分，神舟十三号返回舱成功着陆，返回舱是宇航员返回地球的座舱，返回舱的轴截面可近似看作是由半圆和半椭圆组成的“曲圆”．如图，在平面直角坐标系中半圆的圆心在坐标原点，半圆所在的圆过椭圆的焦点，椭圆的短轴与半圆的直径重合，下半圆与轴交于点．若过原点的直线与上半椭圆交于点，与下半圆交于点，则下列说法正确的有____________．
①椭圆的长轴长为；
②线段长度的取值范围是；
③面积的最小值是4；
④的周长为．
四、解答题（共70分）
17．数列的通项公式为，求：
(1)数列的前项和；
(2)数列的前项和．
18．的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若AD为的平分线，且，，求的周长.
19．如图，在四棱锥中，平面平面，，点分别为的中点.
（1）求证：平面平面EFD；
（2）求点到平面的距离.
20．某种疾病可分为Ⅰ、Ⅱ两种类型．为了解该疾病类型与性别的关系，在某地随机抽取了患该疾病的病人进行调查，其中男性人数为z，女性人数为2z，男性患Ⅰ型病的人数占男性病人的，女性患Ⅰ型病的人数占女性病人的．
(1)完成下面的2×2列联表．若在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，则男性患者至少有多少人？
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男
女
合计
(2)某药品研发公司欲安排甲、乙两个研发团队来研发此疾病的治疗药物，两个团队各至多安排2个接种周期进行试验，每人每次接种花费元．甲团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为p，根据以往试验统计，甲团队平均花费为；乙团队研发的药物每次接种后产生抗体的概率为q，每个周期必须完成3次接种，若一个周期内至少出现2次抗体，则该周期结束后终止试验，否则进入第二个接种周期．假设两个研发团队每次接种后产生抗体与否均相互独立．若，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司应选择哪个团队进行药品研发？
21．已知为双曲线：的左焦点，经过作互相垂直的两条直线，，斜率分别为，，若与交于，两点，与交于，两点，为的中点，为的中点，为坐标原点.当时，直线的斜率为2.
(1)求双曲线的标准方程；
(2)求与的面积之比.
22．已知函数，.
(1)设在处的切线为，在处的切线为，若，求的值；
(2)若方程有两个实根，求实数a的取值范围；
(3)设，若在内单调递减，求实数b的取值范围.
1．D
由题意，，∴．
故选．
2．A
由图可知，，虚部为.
故选：A
3．B
菱形中，，
因为，又，，
所以，可得.
故选：B
4．B
由于长方体的体对角线是长方体外接球的直径，∴．
∴球的表面积．故选．
5．C
从这五个音阶中任取三个音阶，排成一个三个音阶的音序，基本事件总数，
其中这个音序中含“徵”这个音阶的基本事件个数.
则这个音序中必含“徵”这个音阶的概率为.
故选：C.
6．C
因为函数图象关于直线对称，所以，
可得①，
因为，所以②，
把①代入②可得，
又，得，得或.
若，则，不合乎题意；若，则，合乎题意.
所以.
故选：C.
7．D
记，因为，
令，解得；令，解得；
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以，所以，
所以，
因为，所以，即；
令，，
所以在单调递增，，
所以当时，，即，
所以，
又，，所以.
故.
故选：D.
8．D
由，，因为 ，令，若，即时，恒成立，所以时，时，所以当时有最小值，当，即时，令，不妨设两解为，，当时，时，当时，当时，，所以函数必有最小值与中较小者，故选D．
9．ACD
根据题意作图如下，
A选项：在正四棱柱中，因为，平面，平面，所以平面，故A选项正确；
B选项：在正四棱柱中，因为，所以异面直线与所成角即为异面直线与所成角，在中，因为，，，所以，故B选项错误；
C选项：在正四棱柱中，因为，，，所以平面，故C选项正确；
D选项：在正四棱柱中，因为平面，在平面内点到线段的距离就是点到平面的距离，在中，到线段的距离为，所以点到平面的距离为，故D选项正确.
故选：ACD.
10．AB
解：设两曲线与的两个切点分别为，，
由可得；由可得，
则过两切点的切线方程分别为，，
化简得，．
因为两条切线为同一条，所以，
解得．
令，，
令，得，
当时，；当时，；
所以在上单调递增，在上单调递减，
则，
所以．
故选：AB.
11．ACD
根据题意，由得，又由轴，得，代入得（负值舍去），则，
所以，故直线为，即，
依题意知经过抛物线焦点，故联立，解得，即，
对于A，，，故，所以，
又因为轴，轴，所以，故，
所以，则平分，故A正确；
对于B，因为，故，故B错误；
对于C，易得的方程为，联立，故，
又轴，所以三点的纵坐标都相同，则三点共线，故C正确；
对于D，由选项A知，故D正确.
故选：ACD.
.
12．ACD
由，得：函数是R上的偶函数，
由，，得：在上单调递增，
对于A，，A正确；
对于B，，又函数的图象是连续不断的，
则有，解得，B不正确；
对于C，由及得，，解得或，
由得：，解得，
化为：或，解得或，即，C正确；
对于D，因上的偶函数的图象连续不断，且在上单调递增，
因此，，，取实数，使得，则，，D正确.
故选：ACD
13．
二项式的展开式的通项为，
令，得，
所以含项的系数为；
令，得，
所以含项的系数为．
由题意得，
整理得，
∴，
解得．
故答案为：．
14．
如图所示：设B关于P点对称点为B′（x，y），B（x0，y0），
由题意可知，解得，由B在直线3 x0+4 y0=12，
代入整理得3x+4y﹣32=0，
所以，
若点A满足C：（x+3）2+（y+4）225，点A在圆C内或圆上，
则所以||最小值为圆C的圆心到直线3x+4y﹣32=0的距离减去半径，
所以||min5，
所以||的最小值
故答案为：
15．
因为函数恰有个零点，
所以函数的图象有个交点，
在同一坐标系中作出函数的图象，如图所示：
当，即是，的左半段为，
由，消去y得，
令，解得或，
当时，，解得，不成立，
故，
当，即时，的右半段为，
由，消去y得，
令，解得或，
当时，，解得，不成立，
故，
综上：实数的取值范围是，
故答案为：
16．①②④
解：由题知，椭圆中的几何量，所以，
则，故①正确；
因为，由椭圆性质可知，所以，故②正确；
记，则
取，则，故③错误；
由椭圆定义知，，
所以的周长，故④正确.
故答案为：①②④
17．(1)55
(2)
（1）
；
（2）当为偶数时，．
因为成等差数列，共项，所以．
当为奇数时，
．
故．
18．(1)
(2)
（1）
∵，由正弦定理可得，
即，
化简得，
又∵在中，，
∴，即，
∴，结合，可知.
（2）
∵AD为的平分线，，∴，
又∵，，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴的周长为.
19．（1）详见解析（2）
（1）由题意知：点是的中点，且，
所以，所以四边形是平行四边形，则.
平面，平面，所以平面.
又因为分别为的中点，所以.
平面，平面，
所以平面.
，所以平面平面.
（2）中，，，，
所以，所以
因为平面平面，
平面平面
所以平面.
连，取的中点，连，易知，
平面且.
设点P到平面EFD的距离为d.
在Rt△中，
在Rt△中，
在Rt△中，
在Rt△中，
在△中，，
即，
解得，
所以
所以.
因为平面平面，
平面平面，平面，，所以，平面所以，的长即是点到平面的距离.
在Rt△中，，
所以，，
所以.
所以，
即，
即，解得.
所以，点到平面的距离为.
20．(1)列联表见解析，男性患者至少有6人
(2)答案见解析
（1）2×2列联表如下：
Ⅰ型病 Ⅱ型病 合计
男 z
女 2z
合计 3z
要使在犯错误的概率不超过0.05的前提下认为“所患疾病类型”与“性别”有关，
则，解得：．
因为，，所以z的最小整数值为6．所以男性患者至少有6人．
（2）设甲研发团队试验总花费为X元，；
设乙研发团队试验总花费为Y元，则Y的可能取值为3m，6m，
所以，，
所以；
因为，所以．
①当时，，因为，所以，
所以，乙团队试验的平均花费较少，所以选择乙团队进行研发；
②当时，，因为，所以，
所以，甲团队试验的平均花费较少，所以选择甲团队进行研发；
③当时，，
所以，甲团队试验的平均花费和乙团队试验的平均花费相同，从两个团队试验的平均花费考虑，该公司选择甲团队或乙团队进行研发均可．
21．(1)
(2)
（1）依题意可知，，设，
则，两式作差可得，
即，又当时，直线的斜率为，
所以，所以，
又因为，解得，，
所以双曲线的标准方程为.
（2）设，
直线与双曲线方程联立，
整理得，且，
则，
所以，即，
因为直线垂直，所以，
用替换，得到，
当时，直线的斜率为，
所以直线的方程为，
即
令，得，所以直线过点，
当时，即时，直线的方程为，直线过
综上，直线恒过点.
所以与的面积之比为.
22．(1)0；
(2)；
(3)
（1）
，，
∵，∴，故；
（2）
方程，∴，则方程有两个实根等价于与有两个不同交点，
令， 则，
当时，，∴，故单调递增；
当时，，∴，故单调递减.
从而，且，；，，如图所示，
故.
（3）
由题意，得，
因为在内单调递减，所以在内恒成立，
∵，故只需在内恒成立，
令， ，
当时，，故单调递减；当时，，故单调递增，故，
设，构造函数，
故，
故在上单调递减，，
∵，∴，即，
又，∴，
∵，，∴在单调递增，∴
∵，∴当时，
又，故，∴，
∴.