4.4探究三角形相似的条件同步练习 北师大版九年级数学上册（含解析）

九上4.4探究三角形相似的条件
（共18题）
一、选择题（共10题）
在中华经典美文阅读中，小明同学发现自己的一本书的宽与长之比为黄金比．已知这本书的长为 ，则它的宽约为
A． B． C． D．
如图，在 中，， 于点 ，则图中相似三角形共有
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
如图，在 中，点 是 边上的一点，若 ，，， 的面积为 ，则 的面积为
A． B． C． D．
如图，下列条件中不能判定 的是
A． B．
C． D．
如图，将 沿着射线 方向平移后得到 ，点 的对应点 在 边上，且 ，， 交于点 ，若 的面积为 ，则 与 的重叠部分（即 ）的面积为
A． B． C． D．
如图，点 在 的边 上，要判断 ，添加一个条件，不正确的是
A． B．
C． D．
如图， 是 的平分线，，，若 ，，则 的长为
A． B． C． D．
如图，点 、点 分别是正方形 的边 ， 的中点， 于点 ， 于点 ． 怡好过点 ，且 ，，则正方形的边长为
A． B． C． D．
如图，点 是平行四边形 边 上的一点， 的延长线交 的延长线于点 ，则图中相似的三角形有
A． 对 B． 对 C． 对 D． 对
如图，已知 ， 分别为正方形 的边 ， 的中点， 与 交于点 ，则下列结论：
① ；
② ；
③ ；
④ ．
其中正确结论的个数是
A． 个 B． 个 C． 个 D． 个
二、填空题（共4题）
如图， 中， 是中线，，，则线段 的长为 ．
已知：如图，在 中，点 在 上（点 不与 ， 重合）．若再添加一个条件 ，就可证出 ．
如图，在矩形 中，，，点 是 边上的一个动点，连接 ，过点 作 于点 ，当 的长为 时， 为等腰三角形．
己知正方形 的边长为 ，点 是 边上的动点（不与 ， 重合），点 是 的中点，过点 作 ，分别交 ，， 于点 ，，．设 ．
（） 的长为 ；（用含 的代数式表示）
（）设 ，则 的值为 ．
三、解答题（共4题）
如图在 中，，若 ．求证： 是等腰三角形．
如图，在四边形 中，，，点 在 上，．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，，求 的长．
如图，在 中，， 是 的中点，延长 到 ，使 ．试说明：
(1) ；
(2) ．
如图，正方形 中， 为 上一点， 是 的中点，，垂足为 ，交 的延长线于点 ，交 于点 ．
(1) 求证：；
(2) 若 ，，求 的长．
答案
一、选择题（共10题）
1. 【答案】A
【解析】方法 设书的宽为 ，则有 ，解得 ．
方法 ：书的宽为 ．
故选：A．
2. 【答案】C
【解析】 ，，
，，，
有三对相似三角形．
3. 【答案】C
【解析】 ，，
，
，
，
，．
故选：C．
4. 【答案】B
【解析】A．由 ， 可得 ，此选项不符合题意；
B．由 不能判定 ，此选项符合题意；
C．由 ， 可得 ，此选项不符合题意；
D．由 ，即 ，且 可得 ，此选项不符合题意．
5. 【答案】B
【解析】由题意可知，，
，
又 ，
，
，
相似比为 ，
面积比为 ，
又 的面积为 ，
的面积为 ．
6. 【答案】D
【解析】A．当 时，
又 ，
，故错误；
B．当 时，
又 ，
，故错误；
C．当 时，
又 ，
，故错误；
D．无法得到 ，正确．
7. 【答案】A
【解析】过点 作 于点 ，
又 平分 ，，
，，又 ，
，
．
，，
，
，，
，．
8. 【答案】C
【解析】设正方形的边长为 步，
点 、点 分别是正方形 的边 ， 的中点，
，，
，
由题意可得，，
，
即 ，
解得；，
步．
故选C．
9. 【答案】A
【解析】 四边形 是平行四边形，
，，
，，
，
即有 对相似三角形．
10. 【答案】B
【解析】（）因为四边形 为正方形，
所以 ，，
因为 ， 分别为正方形 的边 ， 的中点，
所以 ，，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
故①正确．
（）设 与 交于点 ，
正方形 的边长为 ，则 ，
所以 ，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，
若 ，
则 ．
又因为 ，，
所以 ，
所以 ，不符合题意，故②错误．
（）由（）知，，
又因为 ，
所以 ，
所以 ，
所以 ，，
所以 ，故③正确．
（）由（）知，，，，
所以 ，
所以 ，故④正确．
二、填空题（共4题）
11. 【答案】
【解析】 在 中， 是中线，，
，
，，
，
，
即 ，
解得，．
12. 【答案】 （答案不唯一）
【解析】可再添加一组角，如 ．
13. 【答案】 ，，
【解析】①当 时，过点 作 ，垂足为点 ，如图 ，
则 ，，延长 交 于点 ，
，
，
当 时， 是等腰三角形；
②当 时，如图 ，
则 ．
，，
，则 ，
当 时， 是等腰三角形；
③当 时，如图 ，
则点 在 的垂直平分线上，故 为 中点．
，，
，．
，
，，
，解得：，
当 时， 是等腰三角形．
综上，当 时， 是等腰三角形．
14. 【答案】 ；
【解析】（） 正方形 的边长为 ，，
，
点 是 的中点，
，
，
，
，
，
，
，即 ，
．
（）如图，连接 ，，．
由正方形的轴对称性 ，
，，
， 为 中点，
，
，，
，
，
，
又 四边形 的内角和为 ，，
，
在 中， 为斜边， 为 的中点，
，，
，
，．
三、解答题（共4题）
15. 【答案】 ，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等腰三角形．
16. 【答案】
(1) ，，
，，
，
，
，
，
．
(2) ，
，
，，，
，
，
．
17. 【答案】
(1) 是 中点，
．
，
．
．
，
．
(2) 由（）得：，
．
即 ．
18. 【答案】
(1) 四边形 是正方形，
，，，
，
又 ，
，
，
．
(2) ，，，
，，
是 的中点，
，
，
，
即 ，
，
．