八年级数学上册试题 3.2 平面直角坐标系--存在性问题专项练习-北师大版（含答案）

3.2 平面直角坐标系--存在性问题专项练习
一、单选题
1．定义：如果一个三角形有一边上的中线等于这条边的一半，那么称三角形为“智慧三角形”．如图，在平面直角坐标系xOy中，矩形OABC的边OA=3，OC=4，点M(2，0)，在边AB存在点P，使得△CMP为“智慧三角形”，则点P的坐标为（　　）
A．(3，1)或(3，3) B．(3，)或(3，3)
C．(3，)或(3，1) D．(3，)或(3，1)或(3，3)
2．在平面直角坐标系xOy中，点A的坐标为，且，在y轴上确定一点P，使为等腰三角形，则所有符合题意的点P的坐标有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
3．如图，在平面直角坐标系中有一矩形OABC．O为坐标原点，、，D为OA的中点，P为BC边上一点，若为等腰三角形，则所有满足条件的点P有几个（　　）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
二、填空题
4．在平面直角坐标系xOy中，若点A的坐标为（﹣3，3），点B的坐标为（2，1），存在x轴一点P，使AP+BP最小，则P点坐标是______．
5．如图，在中，，，以C为原点，所在直线为y轴，所在直线为x轴建立平面直角坐标系，在坐标轴上取一点M，使为等腰三角形，符合条件的点M有__________个．
6．如图，在平面直角坐标系xOy中，分别平行x、y轴的两直线a、b相交于点A（3，4）．连接OA，线段OA长______； (2)若在直线a上存在点P，使△AOP是以OA为腰的等腰三角形．那么所有满足条件的点P的坐标是________________．
三、解答题
7．如图，在平面直角坐标系中，已知 A（-2,0），B（0，m）两点，且线段AB= 2 ，以 AB 为边在第二象限内作正方形 ABCD．
（1）求点 B 的坐标
（2）在 x 轴上是否存在点 Q，使△QAB 是以 AB 为腰的等腰三角形？若存在，请直接写出点 Q 的坐标，若不存在，请说明理由；
（3）如果在坐标平面内有一点 P（a，3），使得△ABP 的面积与正方形 ABCD 的面 积相等，求 a 的值．
8．如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长为1，格点△ABC（顶点在网格线的交点上）的顶点A、C的坐标分别为A（﹣3，5）、C（0，3）．
（1）请在网格所在的平面内画出平面直角坐标系，并写出点B的坐标．
（2）将△ABC绕着原点顺时针旋转90°得△A1B1C1，画出△A1B1C1．
（3）在直线y＝1上存在一点P，使PA+PC的值最小，请直接写出点P的坐标．
如图，在平面直角坐标系中，，，．
（1）请画出关于轴对称的（其中，，分别是，，的对称点，不写画法，写出、、的坐标）
（2）在轴上是否存在一点，使的值最小，若有，请作出点，并直接写出点的坐标，若没有，请说明理由．
10.在平面直角坐标系中，已知点，在轴上找一点，使得是等腰三角形，求点的坐标.
11．如图是规格为的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）请在网格中建立平面直角坐标系，使点A的坐标为，点的坐标为；
（2）在第二象限内的格点上找一点，使点与线段组成一个以为底的等腰三角形，且腰长是无理数，画出，则点的坐标是 ，的周长是 （结果保留根号）；
（3）作出关于轴对称的.
12．直线AB交x轴于点A（2，0），交y轴于点B（0，2），
（1）若P是x轴上一动点，问是否存在点P，使得S△PAB=3S△OAB，若存在，求出P点的坐标；若不存在，请说明理由．
（2）若P是平面直角坐标系内一点，使得P，B，O为顶点的三角形与△AOB全等，请直接写出P点的坐标：
13．已知在平面直角坐标系中有三点、、请回答如下问题：（1）如图，在坐标系内描出点A、B、C的位置，求出以A、B、C三点为顶点的三角形的面积；
（2）在y轴上否存在点P，使以A、B、P三点为顶点的三角形的面积为10，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
14．已知在平面直角坐标系中有三点．请完成下列问题：
（1）在坐标系内描出点的位置，并画出．
（2）求出以三点为顶点的三角形的面积．
（3）在轴上是否存在点使以三点为顶点的三角形的面积为．若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
15.如图，在正方形网格中，每个小方格的边长为个单位长度，的顶点，的坐标分别为，．
（1）请在图中建立平面直角坐标系，并写出点的坐标．
（2）平移，使点移动到点，画出平移后的，其中点与点对应，点与点对应．
（3）求的面积．
（4）在坐标轴上是否存在点，使的面积与的面积相等，若存在，请直接写出点的坐标；若不存在，请说明理由．
16．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示，先将△ABC向右平移3个单位，再向下平移1个单位到△A1B1C1，△A1B1C1和△A2B2C2关于x轴对称．
（1）画出△A1B1C1和△A2B2C2；
（2）在x轴上确定一点P，使BP＋A1P的值最小，直接写出P的坐标为　 ；
（3）点Q在y轴上且满足△ACQ为等腰三角形，则这样的Q点有　 个．
17．已知在平面直角坐标系内的位置如图，，，、的长满足关系式．
（1）求、的长；
（2）求点的坐标；
（3）在轴上是否存在点，使是以为腰的等腰三角形．若存在，请直接写出点的坐标，若不存在，请说明理由．
18．如图1，以平行四边形OABC的顶点O为坐标原点，以OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，OA＝6，OC＝14，∠AOC＝45°，D是对角线AC的中点，点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿AB方向运动到点B，同时点Q从点0出发，以每秒3个单位的速度沿x轴正方向运动，当点P到达点B时，两个点同时停止运动．
（1）求点A的坐标；
（2）连结PQ，AQ，CP，当PQ经过点D时，求四边形APCQ的面积．
（3）当以C、D、Q为顶点的三角形是等腰三角形时，点Q的坐标为________（直接写出答案即可）
19.如图，在等腰三角形中，底边，腰长为，以所在直线为x轴，以边上的高所在的直线为y轴建立平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B、C的坐标．
（2）一动点P以的速度沿底边从点B向点C运动（P点不运动到C点），设点P运动的时间为t（单位：s）
①当t为何值时，是等腰三角形？并求出此时点P的坐标．
②当t为何值时，与一腰垂直？
20．作图
如图是规格为8×8的正方形网格，请在所给网格中按下列要求操作：
（1）在网格中建立平面直角坐标系，使A点坐标为（﹣2，4），B点坐标为（﹣4，2）；
（2）在第二象限内的格点上画一点C，使点C与线段AB组成一个以AB为底的等腰三角形，且腰长是无理数；
（3）△ABC的周长＝　 　（结果保留根号）；
（4）画出△ABC关于y轴对称的△A′B′C′．
21．平面直角坐标系的网格中，横、纵坐标均为整数的点叫做格点．例如：、都是格点．请选择适当的格点，用无刻度的直尺在网格中完成下列画图，
要求：保留连线痕迹，不必说明理由．
（1）在图1中画出一个以为边且与全等的三角形；
（2）在图2中画出的高线；
（3）在图2中，在轴正半轴上找一点，使；
（4）在图2中，找格点使为等腰三角形，并指出：图中这样的点共有_______个．
22.如图，以矩形OABC的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．已知OA＝3，OC＝2，点E是AB的中点，在OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，使点A落在BC边上的点F处．
（1）直接写出点E、F的坐标；
（2）在y轴上是否存在点M，使得三角形MFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
（3）设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；若顶点为F的抛物线交y轴负半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形， 请直接写出点P的坐标．
23．如图，方格纸中的每个小方格都是边长为1个单位的正方形，在建立平面直角坐标系后，△ABC的三个顶点的坐标分别是：A（2，2），B（1，0），C（3，1）．
（1）画出△ABC关于x轴对称的△A′B′C′，并求出点A′、B′、C′的坐标．
（2）在坐标平面内是否存在点D，使得△COD为等腰三角形？若存在，直接写出点D的坐标（找出满足条件的两个点即可）；若不存在，请说明理由．
24．如图1，矩形OABC中，OA＝3，OC＝2，以矩形的顶点O为原点，OA所在的直线为x轴，OC所在的直线为y轴，建立平面直角坐标系．在直线OA上取一点D，将△BDA沿BD翻折，点A的对应点为点A'，直线DA'与直线BC的交点为F．
(1)如图2，当点A′恰好落在线段CB上时，取AB的中点E，
①直接写出点E、F的坐标；
②设顶点为F的抛物线交y轴正半轴于点P，且以点E、F、P为顶点的三角形是等腰三角形，求该抛物线的解析式；
③在x轴、y轴上是否分别存在点M、N，使得四边形MNFE的周长最小？如果存在，求出周长的最小值；如果不存在，请说明理由．
(2)在平面内找一点G，连结BG、FG，使四边形A'BGF为正方形，求点D的坐标．
25．如图：在4×4的网格中存在线段AB，每格表示一个单位长度，并构建了平面直角坐标系．
（1）直接写出点A、B的坐标：A（　 　，　 　），B（　 　，　 　）；
（2）请在图中确定点C（1，﹣2）的位置并连接AC、BC，则△ABC是　 　 三角形（判断其形状）；
（3）在现在的网格中（包括网格的边界）存在一点P，点P的横纵坐标为整数（在格点上），连接PA、PB后得到△PAB为等腰三角形，则满足条件的点P有　 　个．
26．如图，在平面直角坐标系内，点是轴上的点，点是轴上的点，将沿直线翻折使点落在点处，过点作轴交轴于点，已知．
（1）直接写出、两点的坐标．
（2）若在轴上存在某点，使得以、、、四点为顶点的四边形面积为40，求点的坐标．
（3）若点是轴上一动点，当为等腰三角形时，请直接写出点的坐标．
27.在平面直角坐标系中，点与点关于过点且垂直于轴的直线对称．
（1）以为底边作等腰三角形，
①当时，点的坐标为________；
②当且直线经过原点时，点与轴的距离为________；
③若上所有点到轴的距离都不小于1，则的取值范围是________．
（2）以为斜边作等腰直角三角形，直线过点且与轴平行，若直线上存在点，上存在点，满足，直接写出的取值范围．
28．在平面直角坐标系xOy中，对于第一象限的P，Q两点，给出如下定义：若y轴正半轴上存在点，轴正半轴上存在点，使，且（如图1），则称点与点为－关联点．
（1）在点，中，与为45°－关联点的是________；
（2）如图2，，， ．若线段上存在点，使点与点为45°－关联点，结合图象，求的取值范围；
（3）已知点，．若线段上至少存在一对30°－关联点，直接写出的取值范围．
答案
一、选择题
D．B．D
二、填空题
4．(,0).
5．6
6．5 （8，4）或（﹣3，4）或（﹣2，4）
三、解答题
7．
解：(1)由题意知AB=，AO=2，根据勾股定理得
,所以点B的坐标为（0，4）
（2）设Q点坐标为（m，0）
当AB=AQ时，即AQ==，解得：m=或
则此时Q点坐标为（，0）（，0）
当BQ=AB时，BQ=，解得：m=2或-2
而m=-2时与A点重合，则m=2.
则Q的坐标为（2，0）
（3）①
由题意可知p点坐标为（a，3），则p点再y=3这条直线上，连接BP，AP，y=3与y轴的交点为H，与直线AB的交点为G，当a大于0时，如图所示：
此时三角形APB的面积可以由三角形PBG与三角形PGA的面积和求得.
设AB直线的函数解析式为y=kx+b，代入点A(-2，0)，B(0,4)得：
则G点的纵坐标与P点的纵坐标相等，则把y=3代入，得x=
则此时G点坐标为（，3），则PG=a-=
则三角形PBG与三角形PGA的面积和为：GP×BH×+ GP×OH×= GP(BH+OH)= GP×BO=
即
解得：.
②
当a小于0时，如图所示：
同理①得：PG=-a
则此时有：GP(BH+OH)= GP×BO=
解得：
则综上所述：或
8．
解：（1）平面直角坐标系如图所示，点B的坐标为(﹣2，1)；
（2）如图所示，△111即为所求；
（3）作点C关于直线的对称点'，连接AC'，与直线的交点P即为所求．
如图所示，点P的坐标为(﹣1，1)．
9．
解：（1）如图所示：△A′B′C′即为所求,
A′（0，2），B′（2，4），C′（4，1）；
（2）如图所示：P点即为所求，P(0,-3)
找到B点关于y轴对称点B″，连接B″C，交y轴于点P，
此时PA＋PB的值最小．
10．
解：设点，根据勾股定理有
，，
当时,有
=
解得
∴
当时,有
解得或
∴或
当时,有
解得或
∴或
综上所述，P的坐标为或或或或
11．
解：（1）把点A向右平移2个单位，向下平移4个单位就是原点的位置，建立相应的平面直角坐标系，如图；
（2）作线段AB的垂直平分线，寻找满足腰长是无理数的点C，点C的坐标为（-1，1），
，
AC=BC=，
则△ABC的周长为：；
（3）分别找出A、B、C关于y轴的对称点，顺次连接，如图所示.
12．
解：（1）存在，
设P（m，0），
∵S△PAB=3S△OAB，
∴PA OB＝3×OA OB，
即：|2 m|×2＝3××2×2，
解得：m＝ 4，m＝8，
∴P（ 4，0）或P（8，0）；
（2）如图，△AOB≌△OBP1, △AOB≌△P2OB, △AOB≌△P3OB,
由直角坐标系可得P1（-2，2），P1（2，2），P1（-2，0）
故答案为：（-2，2）或（2，2）或（-2，0）．
13．
解：（1）描点如图；
依题意，得AB∥x轴，且AB=3-（-2）=5，
∴；
（2）存在；
∵AB=5，S△ABP=10，
∴P点到AB的距离为4，
又点P在y轴上，
∴P点的坐标为（0，5）或（0，-3）．
14．
解：（1）描点如图：
（2）由题意得，轴，且，
（3）存在；
，
点到的距离为 ，
又∵点在x轴上，
∴点的坐标为或．
15．解：（1）如图所示：
点的坐标；
（2）∵点的对应为点
∴向右平移了8个单位，向下平移了7个单位，
分别将点向右平移了8个单位，向下平移了7个单位得到点和点，如下图：
（3）的面积
（4）存在，
当在轴上时，由题意得
解得
∴点的坐标为；
当在轴上时，由题意得
解得
点的坐标为；
综上所述：点的坐标为；；；
16．
解：（1）如图，△A1B1C1和△A2B2C2即为所求作．
（2）如图，点P即为所求作，P（0，0），
故答案为：（0，0）．
（3）如图，A为顶点的等腰三角形有2个，C为顶点的等腰三角形有一个，Q为顶点的等腰三角形有一个，共有4个．
故答案为4.
17．
解：⑴由.可知，
，
∴.
⑵作轴与点D，
⑶存在.
当点P在x轴的负半轴时，使AP=AC，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的负半轴时，使CP=AC，由勾股定理得，CP=AC=5，则为等腰三角形，P的坐标为；
当点P在x轴的正半轴时，使AC=CP，则为等腰三角形，
， ；
所以存在，点P或或．
18．
解：（1）过点A作AH⊥x轴于H，
∵
∴△AOH是等腰直角三角形
∴
∴A点的坐标为（6，6）
（2）∵
∵C点坐标为（14，0）
∵点D是对角线AC的中点
∴点D的坐标为（，），即（10，3）
∵四边形ABCD是平行四边形
∴
∴∠
当PQ经过点D时，
在和中
∴△
∴
∵
∴
∴
∴
∴四边形APCQ的面积为
即当PQ经过点D时，四边形APCQ的面积为21；
（3）∵
∴
当时，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）
当时，设Q点的坐标为
∴
解得，
∴Q点坐标为（，0）
当DC=DQ时，点D在QC垂直平分线上，则点 Q横坐标为
∴Q点坐标为(6,0)
综上，点Q的坐标为（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
故答案为：（9，0）或（19，0）或（，0）或（6，0）
19．解：（1）∵△ABC为等腰三角形，
∴OB=OC=BC=4，又腰长AB=AC=5，
∴OA==3，
∴，，；
（2）①当时，与或重合，不可能；
当时，，
解得．
此时，
，．
当时，，此时，解得：，
，即；
②当时，，即，
．
当时，，
即，
．
20．
解：（1）平面直角坐标系如下图所示：
（2）如下图，△ABC即为所求．
（3）∵，，
∴△ABC的周长，
故答案为：．
（4）如下图，△A′B′C′即为所求．
21．
解：（1）如图，；
（2）取点，连交直线于；
（3）取点，连交轴于；
（4）如图：符合题意的点P有10个．
22．（1）（3，1）；F（1，2）．
（2）存在点M，使得三角形MFE的周长最小．
如图①，作点F关于y轴的对称点F’，连接EF’，与y轴交于点M，则点M就是所求点．
∵．
．
在Rt△BEF’中，，BE=2，根据勾股定理可得，EF’=．
在Rt△BEF中，由勾股定理可得EF=．
∴三角形MFE的周长最小为+．
（3）设点P的坐标为（0，n），其中n＞0，
∵顶点F（1，2），
∴设抛物线解析式为．
①如图②，当EF=PF时，，
．
解得（舍去）；．
．
．
解得．
抛物线的解析式为
②如图③，当时，，
．
解得．
③当时，，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是．
考点：二次函数综合题．
23．(1)如图△即为所做的三角形.
其中(2,-2),(1,0),(3,-1).
(2)存在点D使得△COD为等腰三角形，（答案不唯一，正确即可得分）
提示：如图所示，满足条件的点D在坐标轴上的坐标.D1(6,0);D2(,0);D3(,0);D4(-,0);D5(0,5);D6(0, );D7(0,2);D8(0,- );或垂直平分线上任一点即可.
24．
解：(1)①∵矩形OABC中，OA＝3，OC＝2
∴∠BAO＝∠ABC＝90°，AB＝OC＝2，BC＝OA＝3
∴B(3，2)
∵E为AB中点
∴E(3，1)
∵△BDA沿BD翻折得△BDA'，点A'落在BC边上的F处，
∴∠BA'D＝∠BAD＝90°，AD＝A'D
∴四边形ABA'D是正方形
∴A'D＝AD＝A'B＝AB＝2
∴A'C＝BC﹣A'B＝1
∴F(1，2)
②∵抛物线顶点F(1，2)，
∴设抛物线解析式为y＝a(x﹣1)2+2(a≠0)
在Rt△EBF中，∠EBF＝90°，BE＝1，BF＝2
∴EF＝
设点P的坐标为(0，n)，其中n＞0
i)如图1，当EF＝PF时，PF2＝EF2＝5
∴12+(n﹣2)2＝5
解得：n1＝0(舍去)；n2＝4
∴P(0，4)
∴4＝a(0﹣1)2+2
解得：a＝2
∴抛物线的解析式为y＝2(x﹣1)2+2
ii)如图2，当EP＝FP时，EP2＝FP2，
∴(2﹣n)2+1＝(1﹣n)2+32
解得：n＝- (舍去)
iii)当EF＝EP时，EP＝，这种情况不存在．
综上所述，符合条件的抛物线解析式是y＝2(x﹣1)2+2．
③存在点M，N，使得四边形MNFE的周长最小．
如图3，作点E关于x轴的对称点E′，作点F关于y轴的对称点F′，
连接E′F′，分别与x轴、y轴交于点M，N，则点M，N就是所求点
∴E′(3，﹣1)，F′(﹣1，2)，NF＝NF′，ME＝ME′
∴BF′＝4，BE′＝3
∴FN+NM+ME＝F′N+NM+ME′＝E′F′＝
∵EF＝
∴FN+MN+ME+EF＝5+
∴四边形MNFE的周长最小值是5+．
(2)如图4，过点A'作MN⊥x轴于点N，交BC于点M
∴MN⊥BC，∠A'ND＝90°，四边形OCMN是矩形
∴ON＝CM，MN＝OC＝2
∵四边形A'BGF是正方形
∴A'F＝A'B＝AB＝2
∴BF＝
∴A'M＝BM＝FM＝BF＝
∴ON＝CM＝BC﹣BM＝3﹣，A'N＝MN﹣A'M＝2﹣
∵∠A'DN＝∠A'FM＝45°
∴DN＝A'N＝2﹣
∴OD＝ON+DN＝
∴点D坐标为(5﹣2，0)
25．解：（1）根据平面直角坐标系可得A（0，1），B（-1，-1），
故答案为：0；1；-1；-1；
（2）∵AB2=12+22=5，CB2=12+22=5，AC2=12+32=10，
∴AB2+BC2=AC2，
∴△ACB是等腰直角三角形，
故答案为：等腰直角；
（3）如图所示：
，
满足条件的点P有8个，
故答案为：8．
26．
解：（1）过C作CE⊥OB于E，
设OA=x，
∵点C（4，8）
∴DC=4，OD=8，AD=OD-OA=8-x，
∵将沿直线翻折使点落在点处，
∴AC=AO=x,
在Rt△DAC中
即
解得x=5
∴点A（0,5），
设OB=m，
∵OE=4,CE=8,
∴EB=OM-OE=m-4,BC=m，
在Rt△CEB中，
即，
解得m=10，
∴点B（10，0）；
（2）∵S△ABC=，
点N分两种情况，
当点N在OB上，以NB为底，OA为高，
∴S△ANB=，
则，
解得，
∴ON=OB-BN=10-6=4
∴点N（4，0），
当点N在OB延长线上，以NB为底，CE为高，
∴S△CNB=，
则，
∴解得，
∴ON=OB+BN=10+，
∴点N（，0）
综合点的坐标为（4，0）或（，0）；
（3）∵点A（0，5），点B（10，0）
∴AB=，
∵点是轴上一动点，当为等腰三角形，
分两种情况
以AB为腰，则AB=AP，
∴PA=AB=，
点P在OA延长线上，OP=OA+AP=5+，点P（0，5+）
点P在AO延长线上，OP=AP-OA=-5，点P（0，5-），
当AB=BP时，P为点A关于x轴的对称点，坐标为（0，-5）
以AB为底，则PA=PB
设点P（0，t）
5-t=
∴
解方程得，
∴点P（0，）
综合点的坐标点（0，5+）或（0，5-）或（0，-5）或（0，）．
27．
解：（1）①如图1所示
图1
由题意A（1，1），A，B关于直线x=2对称，
∴B（3，1）．
故答案为（3，1）．
②如图2所示
图2
由题意A（-0.5，1），直线l：x=0.5，
∵直线AC的解析式为y=-2x，
∴C（0.5，-1），
∴点C到x轴的距离为1，
故答案为1．
③由题意A（t-1，0），B（t+1，0），
∵△ABC上所有点到y轴的距离都不小于1，
∴t-1≥1或t+1≤-1，
解得t≥2或t≤-2．
故答案为t≥2或t≤-2．
（2）如图3所示
图3
∵A（t-1，0），B（t+1，0），
∴AB=t+1-（t-1）=2，
∵△ABD是以AB为斜边的等腰直角三角形，
∴点D到AB的距离为1，
∴当点D在AB上方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则0≤b≤3．
当点D在AB下方时，若直线m上存在点P，△ABD上存在点K，满足PK=1，则-1≤b≤2．
综上所述，0≤b≤3或-1≤b≤2．
故答案为0≤b≤3或-1≤b≤2
28．
解：（1）如图所示，作PA⊥y轴于点A，QB⊥x轴于点B，
∵P，，
∴，
∴，
∴和是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴当时，点Q的坐标为，
∴与为45°－关联点的是；
（2）解：如图所示，
对点P（m，8）（）而言，依定义，要使，则有：
为（0，），为（，0），
于是函数（）上的点Q即为点P的45°-关联点，
若当点Q在线段MN上时，，则有，
由，得，
解得．
（3）∵点Q和点P在线段AB上，
当点P离B点越近时，点Q的横坐标越小，
∴当点P，Q，B三点重合，点和点和O点重合，
如图所示，
作PE⊥y轴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴当线段上至少存在一对30°－关联点时，．